2021年21-2.高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)總結(jié)--圓錐曲線與方程

1、21-高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)總結(jié)-圓錐曲線與方程高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章圓錐曲線與方程裝第二章圓錐曲線與方程本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圓錐曲線的實(shí)際背景本章知識(shí)要點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線簡(jiǎn)單應(yīng)用訂1曲線與方程一、曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)0的實(shí)數(shù)解建立如下的關(guān)系（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這個(gè)曲線叫做方程的曲線.二、求曲線的方程解析幾何用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的學(xué)科叫做解析幾何.解析幾何研究的主要問(wèn)題是（1

2、）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程；（2）通過(guò)曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).求曲線方程的步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件p的點(diǎn)m的集合pmp(m)；（3）用坐標(biāo)表示條件p(m)，列出方程f(x,y)0；第1頁(yè)共6頁(yè)線盤點(diǎn)知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)逐步提高（4）化方程f(x,y)0為最簡(jiǎn)形式；（5）說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.簡(jiǎn)言之建系、取點(diǎn)列式代換化簡(jiǎn)證明.2橢圓一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的定義可

3、用集合語(yǔ)言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當(dāng)2af1f2；當(dāng)2af1f2時(shí)，表示線段f1f2時(shí)，軌跡不存在.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab圖形范圍對(duì)稱軸對(duì)稱中心axa，bybaya，bxbx軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)x軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)第2頁(yè)共6頁(yè)高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章圓錐曲線與方程裝長(zhǎng)軸短軸頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)離心率長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b(a,0)，(0,b)(c,0)，其中c2a2b2ec(其中0e1)a(0,a)，(b,0)(0,c)，

4、其中c2a2b2ec(其中0e1)a注意a、b、c、e的幾何意義a叫做長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；b叫做短半軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、b、c之間滿足a2b2ce叫做橢圓的離心率，e的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.c且0e1，e可以刻畫橢圓a點(diǎn)p是橢圓上任一點(diǎn)，f是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則pfmaxac，pfminac.點(diǎn)p是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p在短軸端點(diǎn)位置時(shí)，f1pf2取最大值.橢圓的第二定義當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)m到一個(gè)定點(diǎn)f(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線訂線ca2lx的距離的比是常數(shù)e(0e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)是橢圓的ac焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.x2y2橢圓方程

5、221(ab0)常用三角換元為xacos,ybsin.ab三、點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系x2y2點(diǎn)p(x0,y0)與橢圓221(ab0)位置關(guān)系abx02y02（1）點(diǎn)p(x0,y0)在橢圓內(nèi)221（含焦點(diǎn)）ab（2）點(diǎn)p(x0,y0)在橢圓上x(chóng)0y012222abx02y02（3）點(diǎn)p(x0,y0)在橢圓外221ab第3頁(yè)共6頁(yè)盤點(diǎn)知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)逐步提高四、直線與橢圓位置關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系相交相切相離（2）弦長(zhǎng)公式設(shè)直線ykxb交橢圓于p1(x1,y1),p2(x2,y2)2x1x2，或|pp則|pp12|1k12|1公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)判定方法00

6、0直線與橢圓方程首先應(yīng)消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式1y1y2(k0).k23雙曲線一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.雙曲線的定義可用集合語(yǔ)言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當(dāng)2af1、f2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2af1f2時(shí)，表示分別以f1f2時(shí)，軌跡不存在.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)x2y221(a0,b0)2aby2x221(a0,b0)2ab圖形第4頁(yè)共6頁(yè)高中數(shù)學(xué)選修2-1

7、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章圓錐曲線與方程裝范圍對(duì)稱軸對(duì)稱中心實(shí)軸虛軸頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)漸近線離心率xa，或xaya，或yax軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2bx軸、y軸坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b(a,0)(c,0)，其中c2a2b2xyb0，即yxabace(其中e1)a(0,a)(0,c)，其中c2a2b2yxa0，即yxabbce(其中e1)a訂注意a、b、c、e的幾何意義a叫做半實(shí)軸長(zhǎng)；b叫做半虛軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、線b、c之間滿足c2a2be叫做橢圓的離心率，e張口就越大.c且ee越大，雙曲線的a實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率e雙曲線的第二定義當(dāng)

8、平面內(nèi)點(diǎn)m到一個(gè)定點(diǎn)f(c,0)(c0)的距離和它到一條定ca2直線lx的距離的比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙ac曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.直線與雙曲線位置關(guān)系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，除相切外還有當(dāng)直線與漸進(jìn)線平行時(shí)，也是一個(gè)公共點(diǎn).x2y2共漸近線的雙曲線可寫成22(0)；abx2y221(b2a2).共焦點(diǎn)的雙曲線可寫成2ab第5頁(yè)共6頁(yè)盤點(diǎn)知識(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)逐步提高4拋物線一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.注意當(dāng)定點(diǎn)f在定直線l上

9、時(shí)，點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)f與直線l垂直的直線.二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率注意p的幾何意義p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.2p表示拋物線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的弦）.2若點(diǎn)m(x0,y0)是拋物線y2px(p0)上任意一點(diǎn)，則mfx02p(,0)2px2x0(p,0)2px2x0p(0,)2py2p(0,)2py2y0y軸y0y軸x軸(0,0)e1x軸(0,0)e1(0,0)e1(0,0)e1p.2若過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線y2px(p0)于a(x1,y1)、b(x2,y2)兩點(diǎn)，則弦

10、長(zhǎng)abx1x2p.第6頁(yè)共6頁(yè)擴(kuò)展閱讀21-高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)總結(jié)-圓錐曲線與方程橢圓一、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的距離的和等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的定義可用集合語(yǔ)言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當(dāng)2af1f2時(shí)，表示線段f1f2；當(dāng)2af1f2時(shí)，軌跡不存在.二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)2標(biāo)準(zhǔn)方程xy21(ab0y2x2a2b2)a2b21(ab0)圖形范圍axa，bybaya，bxb對(duì)稱軸x軸、y軸x軸、y軸對(duì)稱中心坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)

11、坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2離心率eca(其中0e1)eca(其中0e1)a、b、c、e的幾何意義a叫做長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；b叫做短半軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、b、c之間滿足a2b2ce叫做橢圓的離心率，eca且0e1，e可以刻畫橢圓的扁平程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.點(diǎn)p是橢圓上任一點(diǎn)，f是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則pfmaxac，pfminac.點(diǎn)p是橢圓上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p在短軸端點(diǎn)位置時(shí)，f1pf2取最大值.當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)m到一個(gè)定點(diǎn)f(c,

12、0)(c0)的距離和它到一條定直線lxa2橢圓的第二定義c的距離的比是常數(shù)eca(0e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.三、點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系p(xx2y2x22點(diǎn)0y00,y0)與橢圓a2b21(ab0)位置關(guān)系（1）點(diǎn)p(x0,y0)在橢圓內(nèi)a2b21（2）點(diǎn)p(xy22（3）點(diǎn)p(xx220y00,0)在橢圓上x(chóng)0y0b210,y0)在橢圓外a2a2b21四、直線與橢圓位置關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法位置關(guān)系公共點(diǎn)判定方法相交有兩個(gè)公共點(diǎn)0直線與橢圓方程首相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)0先應(yīng)消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程相離無(wú)公共點(diǎn)

13、0的根的判別式（2）弦長(zhǎng)公式設(shè)直線ykxb交橢圓于p1(x1,y1),p2(x2,y2)則|pp12|1k2x1x2，或|pp12|11k2y1y2(k0).雙曲線一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a（其中2af1f2）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.雙曲線的定義可用集合語(yǔ)言表示為pmmf1mf22a,2af1f注意當(dāng)2af1f2時(shí)，表示分別以f1、f2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2af1f2時(shí)，軌跡不存在.二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)2標(biāo)準(zhǔn)方程xy21(a0,y2a2b

14、2b0)a2x2b21(a0,b0)圖形范圍xa，或xaya，或ya對(duì)稱軸x軸、y軸x軸、y軸對(duì)稱中心坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)坐標(biāo)原點(diǎn)o(0,0)實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)(0,a)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，其中c2a2b2(0,c)，其中c2a2b2漸近線xayb0，即ybyxaaxab0，即ybx離心率eca(其中e1)eca(其中e1)a、b、c、e的幾何意義a叫做半實(shí)軸長(zhǎng)；b叫做半虛軸長(zhǎng)；c叫做半焦距；a、b、c之間滿足c2a2be叫做橢圓的離心率，eca且ee越大，雙曲線的張口就越大.實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線為yx離心率ea2

15、雙曲線的第二定義當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)m到一個(gè)定點(diǎn)f(c,0)(c0)的距離和它到一條定直線lxc的距離的比是常數(shù)eca(e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.直線與雙曲線位置關(guān)系同橢圓.特別地，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，除相切外還有當(dāng)直線與漸進(jìn)線平行時(shí)，也是一個(gè)公共點(diǎn).4拋物線一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.注意當(dāng)定點(diǎn)f在定直線l上時(shí)，點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)f與直線l垂直的直線.二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(p2,0)(p2,0)(0,p2)(0,p2)準(zhǔn)線方程xpppp2x2y2y2范圍x0x0y0y0對(duì)稱性x軸x軸y軸y軸頂點(diǎn)(0,0