收斂數(shù)列的性質(zhì)

1、精品文檔 2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：第二章數(shù)列極限一一2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法 .教學(xué)要求：（1）使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、局部有界性、保號性、保不等 式性；（2）掌握并會證明收斂數(shù)列的四則運算定理、迫斂性定理，并會用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限.教學(xué)重點：迫斂性定理及四則運算法則及其應(yīng)用.教學(xué)難點：數(shù)列極限的計算.教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)過程：引言上節(jié)引進(jìn)“數(shù)列極限”的定義，并通過例題說明了驗證 liman a的方法，這是極限較基本 n的內(nèi)容，要求掌握.為了學(xué)習(xí)極限的技巧及其應(yīng)用極限來解決問題 .還需要對數(shù)列的性質(zhì)作進(jìn)

2、一 步討論.、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1 （極限唯一性） 若數(shù)列七收斂，則它的極限唯證法一 假設(shè)a與b都是數(shù)列小的極限，則由極限定義，對 0, n1，n2 y,當(dāng)n n1 時，有 an a； n n2 時，有 an b .取n max n1,n2），則當(dāng)n n時有| a b| | （an b） （an a） | | an a| | an b | 2由的任意性，上式僅當(dāng)a b時才成立.證法二（反證）假設(shè)an極限不唯一，即至少有兩個不相等的極限值，設(shè)為a，b3歡在下載lim ananlim an b.,、由定義，n1y ,當(dāng)n n1時有an aan又n2y,當(dāng)n此時有an bana b因此，當(dāng)n max

3、m,n2)時有an f an矛盾,因此極限值必唯性質(zhì)2（有界性）如果數(shù)列an收斂，則an必為有界數(shù)列.即m 0，使又t n有iani mlim a- a證明設(shè)n n 取 1 , n0使得當(dāng)n n時有i an i iai ian ai 1m max(1 i a |,| a1 |,|a2 |,閉 i)則有對n iani m即數(shù)列an有界.注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件，如ani an i i a i 1( 1)n在證明時必須分清何時用取定，何時用任給.上面定理3.2證明中必須用取定不能用任給，否則n隨在變，找到的m也隨在變，界m的意義就不明確了 .lim ana lim an b性

4、質(zhì)3 (保序性)設(shè)n, n,若a b，則存在n使得當(dāng)n n時有anbn； 若存在n ,當(dāng)n n時有an bn ,則a b （不等式性質(zhì)）.證明（1）取a b 八11ab0i an a i 2,則存在n1 ,當(dāng)n m時2從而ann且ab故不妨設(shè)精品文檔又存在n2,當(dāng)n n2時1bn b|, a b a bbn b 22當(dāng) n max( ni,n2)時 bn（2）（反證）如a b,則由知必n當(dāng)nn時anbn這與已知矛盾.1#歡在下載推論（保號性）若niman a b則n,當(dāng)n n時an b.特別地，若niman a 0,則n ,當(dāng)n n時an與a同號. lim anlim bn思考如把上述定理中的

5、an bn換成an bn,能否把結(jié)論改成n n ?例設(shè)an 0 （n 1,2,）,若niman a,則nimh 八證明由保序性定理可得a 0.若a 0,則 0, n1,當(dāng)nn1時有an 2jan口 jim . an0 、a即n .f若 a 0,則 0, n2,當(dāng)n n2 時有 |an a| ja數(shù)列較為復(fù)雜，如何求極限?性質(zhì)4 （四則運算法則）若an、bn都收斂,則anbn anbn、anbn也都收斂,lim (anbn)nlim an lim bn nnlim anbnlim an lim bnnnnlim an nlim bn n-anlim 證明由于anbnan （an -1)bnbnb

6、n故只須證關(guān)于和積與倒數(shù)運算的結(jié)論即可特別地，nimcan cniman, c為常數(shù)如再有nimbn 0則bn也收斂，且nbn精品文檔lim 設(shè)nan a lim bn bn0 ,n1，當(dāng) n n1 時an an2時bn bmaxm,n2),則當(dāng) nn時上兩式同時成立.(1)|anbn ab | |(an a)bna(bnb) | | an a | bn | | a |bnb|,由收斂數(shù)列的有界性,m 0 ,對n有1bn | m故當(dāng)nn時，有i anbn ab | (m | a |)lim anbn由的任意性知n n nablim bn b(2) n.由保號性，n00及k 0,對n n0有1b

7、n | k (如可令k|b|2 ).取 n max( n0, n2)11i i則當(dāng)n n時有bnb|bn b|bnb|bn b| k|b| k1b|,由的任意性得7歡在下載lim 工1n bnb用數(shù)學(xué)歸納法，可得有限個序列的四則運算:nlimxnk)n k 1lim xnk) k 1 nn(k)limxnnk 1nlim xnk) nk 1但將上述n換成般不成立.事實上k 1或k 1本身也是一種極限，兩種極限交換次序是個非常敏感的話題，是高等分析中心課題，一般都不能交換，在一定條件下才能交換，具體 什么條件，到后面我們會系統(tǒng)研究這個問題.性質(zhì)5 （兩邊夾定理或迫斂性）設(shè)有三個數(shù)列an、bn、c

8、n，如n，當(dāng)n n時有blimlimbl limlan cnbnn annbnl則 n cnl證明nimannimbnl0,n1，n2,當(dāng)n n1 時，lanl jn n2時，lbn l ，取n0 max(n1，n2，n),則當(dāng)n山時以上兩式與已知條件中的不等式lim同時成立，故有n n0時 l an cn bn l|cn l | 即n cn l.該定理不僅提供了一個判定數(shù)列收斂的方法，而且也給出了一個求極限的方法推論若n ,當(dāng)n n時有a cn bn (或bn cn a )且則 bn a ,則cn a .例求證nimn0n!(a 0).證明 k 使彳3k a,從而當(dāng)n k時有na a a a

9、 a0 n! 1 2 k k 1kaaank!n,lim由于nk!ak a limk! n n0由推論即可得結(jié)論例設(shè)a1, a2,am是m個正數(shù)，證明nimn a;na2n ammax(a1,a2, ,am)n n n證明設(shè)a max(a1,a2, 則 a na1 a2n am/lim nm 1n jm1,由迫斂性得結(jié)論lim n a 1 (a 1) n在證明中，令hnn.a 1 0 a (1hnj得hnan,由此推出hn 0.由此例也看出由xn znyn和nim xna nim yn,也推出顧乙證明lim vn n證明令un1 hn,n (1 hn)n1 nhnn(n21)hn2hnn(n

10、1)2 hn(n 3)精品文檔20hn ,n 1兩邊火推出hn 0,即vn1在求數(shù)列的極限時，常需要使用極限的四則運算法則.下舉幾例:lim求極限n,24n 6n 13n2lim 2 n 3n4n2 6n求極限limn(1lim (1 anlim (n3n 1(lim 3nlimnlimmamn解原式limn) nlimnlimn1)(lim 1 n nam 1bknk bkm k.amn lim nbk即有理式的極限lim 如n2n3 4n21nl6 _1_百節(jié)7 v 百節(jié)1 an1 a3n 1(0 a1)limnlim(3 n1 )lim (1 n nlim 1) n na1nb1na。b

11、。bk1a1ntk- b1nkanamm bm0, mk分子分母最高次數(shù)相同分子最高次低于分母最,為最高次系數(shù)之比高次，則為033n 10n 7, lim . n ( . n 1, n )例 7 n 、/lim _n -n . n 1, n11lim 一n 1 n 11 1例8設(shè)a,b 0,證明bn maxa，b)證明 max(a ,b) :；max(a,b)n n;an bn n2 max(a, b)nmax(a,b)二、數(shù)列的子列(一)引言極限是個有效的分析工具.但當(dāng)數(shù)列an的極限不存在時，這個工具隨之失效.這能說明什 么呢？難道an沒有一點規(guī)律嗎？當(dāng)然不是！出現(xiàn)這種情況原因是我們是從“整

12、個”數(shù)列的特 征角度對數(shù)列進(jìn)行研究.那么，如果“整體無序”，“部分”是否也無序呢？如果“部分”有序， 可否從“部分”來推斷整體的性質(zhì)呢？簡而言之，能否從“部分”來把握“整體”呢？這個“部 分?jǐn)?shù)列”就是要講的“子列”.(二)子列的定義定義1設(shè)an為數(shù)列，nk為正整數(shù)集n的無限子集，且口 n2 n3 l 限l ,則數(shù) 列an1 , an2，l ，ank , l稱為數(shù)列an的一個子列，簡記為 ank .注1由定義可見，an的子列ank的各項都來自an且保持這些項在an中的的先后次 序.簡單地講，從an中取出無限多項，按照其在an中的順序排成一個數(shù)列，就是an的一個 子列(或子列就是從 an中順次取出

13、無窮多項組成的數(shù)列).注2子列ank中的nk表示ank是an中的第1項，k表示ank是ank中的第k項，即ank 中的第k項就是an中的第、項，故總有nkk .特別地，若“ k,則ankan,即ankan .注3數(shù)列an本身以及an去掉有限項以后得到的子列，稱為 an的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為 an的非平凡子列.如a2k , a2ki都是an的非平凡子列.由上節(jié)例知：數(shù)列 為與它的任一平凡子列同為收 斂或發(fā)散，且在收斂時有相同的極限.那么數(shù)列an的收斂性與的非平凡子列的收斂性又有何關(guān)系呢？此即下面的結(jié)果：定理2.8 數(shù)列an收斂的充要條件是：an的任何非平凡子列都收斂.證明 必要性：

14、設(shè)lniman a，ank)是an的任一子列.任給0,存在正數(shù)n,使得當(dāng)k n7歡在下載時有ak a.由于nkk，故當(dāng)k n時有nk n ,從而也有anka ,這就證明了 ank收斂(且與an有相同的極限).充分性：考慮an的非平凡子列a2k, a2k 1與a3k.按假設(shè)，它們都收斂.由于a6k既是a2k,又是a3k的子列，故由剛才證明的必要性，kim a2kkim a6k 沖 a3k.又a6k 3既是a2k 1又是a3k的子列，同樣可得(10)lim a2k i lim a3k. kk(9)式與(10)式給出lim a2kk 2kkim a2k 1所以由課本例7可知an收斂.由定理2. 8的證明可見，若數(shù)列an的任何非平