數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納

1、個人資料整理，僅供個人學(xué)習(xí)使用數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納1 .等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：4+冊=d （為常數(shù)），1）4等差中項：x, a, y成等差數(shù)列o24 = x+y一 （a. +an）/?（八 一 1）前項和s“ = .+ ; 力性質(zhì)：q是等差數(shù)列（1）若 m + = + “，貝ij am + ah = ap + %；數(shù)列色的n仍為等差數(shù)列，s“，s2 -s, sn-su仍為等差數(shù)列，公差為同：（3）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為ad, a, a + d（4）若外，2是等差數(shù)列，且前項和分別為s”，t,則 =與竺 bm（5） q為等差數(shù)列os” =，/+（。，為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為0的二次函數(shù)

2、）s”的最值可求二次函數(shù)sa=a2+?的最值：或者求出4中的正、負(fù)分界項，an0即：當(dāng)40, dvo,解不等式組ic可得s“達到最大值時的值. 0atl 0當(dāng) 。，由可得s“達到最小值時的值.4. 之 0項數(shù)為偶數(shù)2的等差數(shù)列6,有s2n =（i + 2rt） = n（a2 + aln_x ） = = n（an +4+|）（。,%+1 為中間兩項）s偶一 s奇=，=j偶 怎-i（7）項數(shù)為奇數(shù)2一1的等差數(shù)列也,有$21 =（2-1）。（4為中間項），2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：&l = g （q為常數(shù)，工0） , 4 = 叱. %等比中項：x、g、y成等比數(shù)列= g?=封，或g = 歷.f

3、ia （q = 1）前項和：sn=a（-qn（要注意?。?）1-夕性質(zhì)：4是等比數(shù)列（1）若7 + 九=p + q，則 am9 an = ap9 aq2 2） s“，s2fl-s., s3n-s2仍為等比數(shù)列，公比為注意：由s,求明時應(yīng)注意什么？=1 時，4 = s：3 .求數(shù)列通項公式的常用方法（1）求差（商）法如：數(shù)列“，+1為=2 + 5,求明解 =1 時，,eq =2x1 + 5,，,4=142“n2時，5al +tt2 + 產(chǎn)m-i = 2-1 + 5 （2）w：1+i14(71 = 1)% = 2 /. a = 2 , ； ci = t n 22(2 2)練習(xí)數(shù)列q,滿足 s“

4、+ s“+ = i。1=4,求 an注意到4r產(chǎn)sgs,代入得 3 = 4：又s=4,，s是等比數(shù)列，s“=4 s,心 2 時，q,=s”-s,i= 34”t（2）疊乘法如：數(shù)列中，=3,&a=二，求勺 an n + i4 = l 又 =3 , /. an ca n（3）等差型遞推公式由。一4_ =/（），=外,求勺，用迭加法七一弓=/（2）之2時，/兩邊相加得q q = /(2) + f(3) + f(n)1/1為一 3 =/（）,4=4 + / + j + /()練習(xí)數(shù)列%中，q =1,（=3t+%（22）,求勺（=5（3t） （4）等比型遞推公式c_+ (c、為常數(shù)，cwo, cwl,

5、uwo)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)+x = c（at +x） = a =（4_ +卜，-l）xdc-1是首項為十三，c為公比的等比數(shù)列（5）倒數(shù)法如：4=1，%+2，求許由已知得:2若=*一為等差數(shù)列，-=n公差為l,，-!- = i+5i)l=1( at2 an2 221=77 + 1附:公式法、利用“s（=l）s-之2）、累加法、累乘法,構(gòu)造等差或等比或4川=勺+/5）、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法）4 ,求數(shù)列前n項和的常用方法（1）裂項法把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.如：卜”“是公差為4的等差數(shù)列，求z人=i/ 解：由一! = -!（”工0）

6、，c如 &（/+） 41/=u_l_l練習(xí)求和：1+!h!f +!1+2 1+2+31+2+3+n h + 1（2）錯位相減法若也為等差數(shù)列，4為等比數(shù)列，求數(shù)列q也j （差比數(shù)列）前項和，可由s 一求s”,其中夕為4的公比.如：s =1 + 2x + 3/+4y+x sfi=x+2x2 +3x3 +4x4 +(/?-l)z-1+m(d_(1x)sn = +x + x2 + xts _(j) w (1-a)21x = 1 時，sn= 1 + 2 + 3 + n =-;2（3）倒序相加法“=4+%+ *+%s八=%+/_】+生+囚把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相力口.相加 2szl =

7、(%+4)+(%+%)+(+4)v-練習(xí)已知/5） = 一,則 1 +廠ji14/1由/（幻+ / - 1xx2 1+x2tt7 = 1原式=1)+ /(2)+ /(孫卜3) +4)+ /(4) +4) = g+l + l + l = 3；(附：a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和如果一個數(shù)列an),與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個 和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識時，不但要知其 果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前 n項和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法工b.用公式法求數(shù)

8、列的前n項和對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用 公式求解的注意事項：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。c.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前 n項和。d.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列 anbn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整 理后即可以求出前n項和。e.用迭加法求數(shù)列的前n項和迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an)滿足an+l=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這 個式子變成an+l-an=f(n),代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求 出an ,從而求出sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項和所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不