“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值

1、-可編輯修改-“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值所謂“定區(qū)間動(dòng)軸法”，就是將自變量所在區(qū)間a,b(或(a,b)標(biāo)在數(shù)軸上，無(wú)論該區(qū)間是動(dòng)的還是靜的，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，都將其看作“靜止”的，然后分又稱(chēng)軸x0b三種情況進(jìn)行討論，特別地，如果二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上求區(qū)間最大ab a，b一一 一值或二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下求區(qū)間最小值時(shí)，只需分x0 9兩種情況進(jìn)行22討論.這樣讓區(qū)間標(biāo)在數(shù)軸上不動(dòng)，而讓二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸移動(dòng)，分類(lèi)方法非常明確、思路清晰、條理性強(qiáng)，這樣可做到不重不漏，并且簡(jiǎn)捷易行1.條件中給出區(qū)間，直接采用“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值例1已知f(x) =x2+4x+3,xw r ,函數(shù)g(t)、h(

2、t)表示函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上的最小值，最大值，求 g(t)、h(t)表達(dá)式.分析：此題屬于區(qū)間最值問(wèn)題，結(jié)合圖形，將區(qū)間t,t+1在數(shù)軸上相對(duì)固定，讓對(duì)稱(chēng)軸x = 2的區(qū)間t,t+1內(nèi)外移動(dòng)，即分成 2 ct;t -2t十1三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合圖形便可輕松求出函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t + 1上的最小值.而只需分2wrim 與 一2匕兩種情況討論便可求出f (x)在區(qū)間t, t +1上的最大值.當(dāng) 2t (t 1)5當(dāng)-2 0 ,即tm-1寸,當(dāng).2 4,即 t-5 時(shí)， 22_2h(t) = f(t+1) = t +6t+8；_2h(t) u f (t) r 4t 3 .2t2 6

3、t 8,t 三一 2,)2 h(t)=匚.2八 ，5、t 4t 3,t -(一匚3 -一) 2評(píng)注：本題采用了 “定區(qū)間動(dòng)軸法”，分2(一)兩種情況進(jìn)行討論，使本來(lái)因分類(lèi)討論帶來(lái)的繁瑣、 思維混亂，變得脈絡(luò)清晰、思維流暢、條理性強(qiáng)，降低了分類(lèi)討論中因分類(lèi)不清帶來(lái)的難度 此法是解決區(qū)間最值的一種非常有效的方法.該法是數(shù)形結(jié)合是重要體現(xiàn)，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要手段，是解題的一個(gè)有效途徑，用數(shù)形結(jié)合法解題， 直觀(guān)、便于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，啟發(fā)思考，有助于培養(yǎng)我們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.應(yīng)用分類(lèi)討論思想的前提是：審題準(zhǔn)確、切入方向正確、分類(lèi)嚴(yán)謹(jǐn).引起分類(lèi)討論的原因主要有：字母的符號(hào)、字母的大小、函數(shù)圖象對(duì)

4、稱(chēng)軸的位置等.有時(shí)分類(lèi)討論思想應(yīng)用的很隱蔽，需要我們仔細(xì)發(fā)掘.在討論時(shí)，要做到盡量簡(jiǎn)捷、不重不漏.當(dāng)然，有時(shí)也可采用轉(zhuǎn)化思想避開(kāi)分類(lèi)討論，這需要有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能 力與轉(zhuǎn)化意識(shí).例2已知二次函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)閞, f (1) = 2且在x = t處(t wr)取得最值，若 y =g(x)為一次函數(shù)，且 f (x) + g(x) =x2 +2x -3(1)求y = f (x)的解析式(2)若x1,2時(shí)，f (x) 1恒成立，求t的取值范圍分析：(2)若x仆2時(shí)，f (x) -1恒成立，條件的實(shí)質(zhì)即為：當(dāng)xw -1,2時(shí)f (x)的最小值在于或等于 -1,從而將問(wèn)題歸結(jié)為區(qū)間最值問(wèn)題.作出

5、函數(shù)的大致圖象，借助函數(shù)圖象的直觀(guān)性讓區(qū)間定，對(duì)稱(chēng)軸動(dòng)，分三種情況進(jìn)行討論 解：(1)設(shè) f (x) = a(x -t)2 +b , g(x )為一次函數(shù)，a=1又 f (1)=2, . (1t)2 +b = 2 , b = t2 +2t +1 ,f x =x2 -2tx 2t 1(2)即 fm.(x)-1_.3當(dāng) t -1 ,得 t4當(dāng)一1 w tw 2時(shí)，f(x)min = f (t)= -t2 +2t +1 1 ,得 1 t w 1+73當(dāng) t 2 時(shí)，f(x)min = f (2)=4 2t+11,得 tw3由，得：1 j3w t 2時(shí)，求證：在區(qū)間-1, 5上，y = kx+ 3k的

6、圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.分析：通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，將文字語(yǔ)言y = kx+ 3k的圖像位于函數(shù) f (x)圖像的上方，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言g(x)= k(x+ 3)- (- x2+ 4x+ 5) 0 ,當(dāng)x? 1, 5時(shí)恒成立.而當(dāng) x? 1, 5時(shí)，g(x)= k(x+3)- (- x2+ 4x+5) 0恒成立只需g(x)min a0,所以， 本題的實(shí)質(zhì)為區(qū)間最值問(wèn)題 .解：當(dāng) x? 1,5時(shí)，f (x) = - x2+4x+5. 2g(x) = k(x+ 3)- (- x + 4x + 5) 2=x + (k- 4)x+ (3k- 5)游 4- k： k2- 20k + 36=薪包4，/ k

7、2 , 生) 1.又-1 #x 5,2_ t 4- k4- k 當(dāng)-1? 1 ,即 2 k? 6時(shí)，取 x=,22k2- 20k + 361 異、2g(x)min= - 4=-4h- 10) - 64 .16? (k 10)2 64,(k- 10)2- 64 0 . 4- k當(dāng)- 6時(shí)，取 x= - 1, g(x)min = 2k 0.由、可知，當(dāng)k 2時(shí)，g(x)0,x? 1, 5.因此，在區(qū)間-1, 5上，y= k(x+3)的圖像位于函數(shù) f(x)圖像的上方.評(píng)注：因?yàn)閗 2條件的限制，降低了問(wèn)題的難度， 使討論的，f#況減少.很多問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn) 化思想都可以達(dá)到化生為熟、化未知為已知、化繁雜

8、為簡(jiǎn)單的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性.本題就是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的一個(gè)典型，通過(guò)轉(zhuǎn)化將本來(lái)抽象的問(wèn)題歸結(jié)到區(qū)間最值的求解，讓我們有一種豁然開(kāi)朗的感覺(jué).例4設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)f(x) =ajl-x2 +jm + jtx的最大值為g(a).(i)設(shè)t =41 +x +41 -x ,求t的取值范圍，并把f (x)表示為t的函數(shù)m(t),求m(t) 和表達(dá)式及t的取值范圍.(n)求 g(a).分析：本題看似與區(qū)間最值無(wú)關(guān)，但通過(guò)換元、轉(zhuǎn)化思想，可將問(wèn)題化歸為區(qū)間最值.解：(i) ；t = ji + x + ji - x ,.要使t有意義，必須1 +x 0且1 x 0,即1 0 x0 1 .t2 =2+2-x

9、2w 12,4 1 t0,.t的取值范圍是譚2 i.由得* -x2t2 -1, 21 2 .12，m(t)=a.t -1 +t=-at +ta, 22(ii)由題意知g(a卿為函數(shù)m(t ) = ；at2+ta , tw2的最大值.112注意到直線(xiàn)t=(a#0)是拋物線(xiàn)m(t ) = at2+t-a的對(duì)稱(chēng)軸，分以下幾種情況討 論.(1)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y = m(t ), t w j2,2的圖像是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一段，由1t=。知 m(t 而 近,2 i 上單倜遞增，g(a )=m(2)=a + 2 .(2)當(dāng) a=0時(shí)，m(t 產(chǎn)t , t w 72,2，. g(a)=2.(3)當(dāng)a0時(shí)，函

10、數(shù)y = m(t), tw j2,2的圖像是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的一段.若 t =-三(0,也)，即 a ,則 g(a )= m(v2 )=v2 .a21-、2111右 t = c v2,2，即 a=,則 g( a )= m .= -a -a22. a2aa 11若t=_w 2,+天，即 aw , -,0 ,則 ga=m2=a+2.a. 2綜上有g(shù) (a )=1一a 一,一2aa2222評(píng)注：此題也給我們啟發(fā)：遇陌生或比較棘手的問(wèn)題時(shí)，可采用化歸、轉(zhuǎn)化思想，將其 轉(zhuǎn)化為熟知的問(wèn)題、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從“數(shù)”方面難以入手時(shí)，可考慮借助形來(lái)說(shuō)理例5求函數(shù)y =sin2 x + psin x+q的最值.分析：由已知條件的形式特點(diǎn)，可采用配方法，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問(wèn) 題，但要注意-1wsinx w 1的條件限制，在此條件限制下，其實(shí)質(zhì)即為區(qū)間最值問(wèn)題，采用“定”區(qū)間“動(dòng)”軸法，結(jié)合圖形便可求出函數(shù)f (x)在區(qū)間1,1上的最值.解： y =sin2 x psin x q = (sin x )2224q - p4若1 w p w 1,即2 2 ,則當(dāng)2sin x = - 1時(shí),ymin = 1 p +q ；當(dāng) sinx = 1時(shí),ymax =1p q.若j 1 ,即p