等價無窮小量在近似計算中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、目目 錄錄 1 引言 .1 2 等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì).1 2.1 等價無窮小量的概念 .1 2.2 等價無窮小量的重要性質(zhì).2 2.3 等價無窮小量性質(zhì)的推廣.2 3 等價無窮小量的應(yīng)用.5 3.1 求函數(shù)的極限.5 3.2 等價無窮小量在近似計算中的應(yīng)用.6 3.3 利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限.6 3.4 等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應(yīng)用 .7 4 等價無窮小量的優(yōu)勢.8 4. 1 運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu) 勢.8 4. 2 等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢.9 5 結(jié) 論.12 參 考 文 獻 .13 致 謝.14 1 引言 等價無窮小量概念是微積分理論中最

2、基本的概念之一,但在微積分理論中等價無窮 小量的性質(zhì)僅僅在“無窮小的比較”中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實,在判斷 廣義積分、級數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運算過程中,無窮小具有很好的性質(zhì),掌握 并充分利用好它的性質(zhì),往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化,可起到事半功倍的效果,反之,則 會錯誤百出,有時還很難判斷錯在什么地方.因此,有必要對等價無窮小量的性質(zhì)進行深 刻地認識和理解,以便恰當運用,達到簡化運算的目的. 2 等價無窮小量的概念及其重要性質(zhì) 這部分在同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的高等數(shù)學(xué)、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分 析、馬振明老師和呂克噗老師的微分習(xí)題類型分析、張云霞老師的高等數(shù)學(xué)教學(xué) 以及

3、 song qb, shen j y. on illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods j. journal of computer research and development 中做了詳細的講解,下面是我對 這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識以及數(shù)學(xué)方法我 對其進行了證明. 2.12.1 等價無窮小量的概念 定義定義 若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個變化過2.11 程中的無窮小量. 如函數(shù), sinx, 1- cosx, ln(1+x

4、)均為當x0 時的無窮小量.對 2 x 于數(shù)列只有一種情形, 即n, 如數(shù)列 為n時的無窮小量或稱為無窮小數(shù) 1 n 列. 注意： 1) 絕對值非常小的數(shù)不是無窮小量, 0 是唯一的是無窮小量的數(shù); 無窮小量無限 趨近于0 而又不等于0. 2) 無窮小量是變量, 與它的變化過程密切相關(guān),且在該變化過程中以零為極限. 如函數(shù) 當x 時的無窮小量,但當x1時不是無窮小量. 1 x 3）兩個（相同類型）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量. 4）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量. 無窮小量的比較無窮小量的比較2.12 1) 若存在正數(shù)k和l,使得在某上有,則稱與為當時的 0 () o ux ( ) (

5、) f x kl g x fg 0 xx 同階無窮小量.特別當 則稱與是同階無窮小. 0 ( ) lim(0) ( ) xx f x c c g x ( )f x( )g x 2) 若=1, 則稱與是等價無窮小量, 記為. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( )g x 3) 若= 0, 則稱是高階無窮小, 記作=. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( ( )o g x 注: 并不是任意兩個無窮小均可比較, 如當x0 時,與 都是無窮小量, 但它 1 sinx x 2 x 們不能進行階的比較. 等價無窮小量的

6、重要性質(zhì)2.2 設(shè) , 等均為同一自變量變化過程中的無窮小, 若 , 且 lim 存在,則 lim=lim （） 11111 11111 limlim(.lim.lim.limlim ） 若 ,則 . 性質(zhì)表明等價無窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)表明等價無窮小量的傳遞性. 2.3 等價無窮小量性質(zhì)的推廣 , 且 lim=c(-1),則 +. 1 證明證明 因為 lim= 11 1 limlim() 11 1 11 limlim 11. cc 1 lim1 1 c c 所以 +. 而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)im=c(-1)”這個條件,千篇一律認為 “,則有 + 在同一變化過程中,

7、,且存在,則 2( )f x( )x( )g x( )x 1 ( ) lim(1( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) g x f x 1 ( ) lim(1( ) x x 證明證明 因為 1 ( ) ln(1( ) lim(1( )exp(lim) ( ) g x f x f x g x = ln(1( ) ( )1 exp(limln(1( ) ln(1( ) ( )( ) f xx x x g xx = ln(1( ) exp(lim) ( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) x x 故結(jié)論得證. 若 , 且 lim存在,則當0 且 lim存在,有 3 ab cd

8、 ab cd ab cd lim=lim. ab cd ab cd 證明證明 因為 , 11 1 aa abbb aa ab bb 又 ,于是, , limlim1 aa bb lim(1)lim(1)0 aa bb 從而 =1, ab ab 即 abab 同理可證 .cdcd 故命題得證. 設(shè)在自變量的某一變化過程中, 、及、都是無 4 ( )f x( )g x( )h x 1( ) f x 1( ) g x 1( ) h x 窮小量. 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 (

9、 ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x( )h x 1( ) h x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x . 11 1 lim fgfg hh 證明證明 因為 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g ff

10、f 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因為 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 因為 =. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因為 , 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 要證成立,只需證,因為 11 1 lim fgfg hh 1 11 lim1 hfg hfg ,fg 11 fg( )h x 1( ) h x 所以結(jié)論得證. 性質(zhì)（1）、（3）的求極限中就使等價無窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡 化了計算

11、.但要注意條件“l(fā)im =c(-1)”,“ 0”的使用. ab cd 注意 1）需要注意的是在運用無窮小替換解題時,等價無窮小量一般只能在對積商的某 一項做替換,和差的替換是不行的. 2）以上性質(zhì)說明我們利用無窮小量的代換性質(zhì)將無窮小的等價替換推廣到和與 差的形式,并對的不定式極限的求解作了簡化,使其適用的函數(shù)類范圍擴大,從而簡化函 數(shù)極限的運算過程,對不定式極限的求解有很大的意義. 3 3等價無窮小量的應(yīng)用 等價無窮小量的應(yīng)用在馮錄祥老師的關(guān)于等價無窮小量量代換的一個注記、王斌 老師的用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分 析、盛祥耀老師的高等數(shù)學(xué)、馬振明老師和呂

12、克噗老師的微分習(xí)題類型分析、 shivakumar n, g.molina h. scam: a copy detection mechanism for digital documents a. the 2nd international conference in theory and practice of digital librariesc. usa austin texas: s. n以及劉玉璉老師和傅沛仁老師的數(shù)學(xué)分析講義中都有詳細的分析 與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容,再加上自己篩選例題解答例 題寫出來的.請看下面的內(nèi)容： 求函數(shù)的極限3.1 在求極限中經(jīng)常

13、用到的等價無窮小量有xsin xarcsin xtan xtanarcx -1, , ,( 0).ln(1)x x e1 cosx 21 2 x 1 x a lnxax 例例 1 求. 2 0 2tan lim 1 cos x x x 解解 當當0 時,.x1 cosx 21 2 x 2tan x2x 原式= 2 0 2 4 1 2 lim x x x = .8 例例 2 求. 3 0 tansin lim x xx x 解解 原式= 3 0 sin1 cos lim cos x xx xx = (,) 2 3 0 1 2 lim cos x xx xx sin xx1 cosx 2 1 2

14、x = . 1 2 此題也可用洛必達法則做,但不能用性質(zhì)做. 所以,=0,不滿足性質(zhì)的條件,否則得出錯誤結(jié)論 0. 3 0 tansin lim x xx x 3 0 lim x xx x 等價無窮小量在近似計算中的應(yīng)用3.2 如：利用等價無窮小，在做近似計算，有時可以起到意想不到的效果， 例例 3 3 6 65 64 求的近似值 解解 因為時,0 x .11 n x x n 所以 . 66 651 12.005208 6464 故 6 65 62.005175 64的準確值，保留小數(shù)點后位可得為 2.0052082.005175)/ 2.0051750.000016相對誤差為（這說明計算精度

15、已經(jīng)很高 利用等價無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限3.3 例例 4 求極限 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 解解 由于函數(shù)的分母中（0）,因此只需將函數(shù)分子中的與分母 2 sin x 2 xx 2 1x 中的 cosx 和分別用佩亞諾余項的麥克勞林公式表示,即： 2 x e , 2244 11 11() 28 xxxo x , 22 1 cos1( 2 xxo x ） . 2 22 e1o() x xx 所以 . 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 4444 2 00 44 2 2 11 ()() 88 l

16、imlim 3 3o() () 1x 2 2 xx xo xxo x x xo x x 1 12 例例 5 由拉格朗日中值定理,對任意的-1,存在,使得x(0,1) .證明.ln(1)ln(1)ln(1 0) 1 x xx x 0 1 lim( ) 2 x x 解解 因 2 2 ln(1)(), 2 x xxo x , 1 1( ) 1 xo x x 所以,根據(jù)題設(shè)所給條件有 2 2 ( ) ()1 2 xo x xo xx x 即 , 2 22 () 2 x xo x 所以, . 2 2 00 1()1 lim( )lim 22 xx o x x x 以上例子能使我們更加深刻的理解無窮小與無

17、窮小或函數(shù)與無窮小的相關(guān)運算,能 更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運用. 等價無窮小量在判斷級數(shù)收斂中的應(yīng)用3.4 在正項級數(shù)的審斂判別法中,用得比較多的是比較審斂法的極限形式,它也是無窮小 的一個應(yīng)用.比較審斂法的極限形式：設(shè)和 都是正項級數(shù), 1 n n u 1 n n v 如果=l(0l0 或 l=+,且級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散.lim n n n u v lim n n n u v 1 n n v 1 n n u 當=1 時,就是等價無窮小量.由比較審斂法的極限形式知,與同斂 n u n v n u n v 散性,只要已知un,中某一個的斂散性,就可以找到另一個的斂散性. n v 例

18、例 6 n 1 1 sec( ) 1 n 判定的斂散性 解解 . 2 n 22 11 sec( ) 1 1 2 limlim 11 2 n nn nn 2 111 (,0,sec( ) 1) 2 n nnn 此時 ,所以,收斂. 2 n 1 1 n 又收斂 n 1 1 sec( ) 1 n 例例 7 研究的斂散性 1 1 ln(1) n n 解解 = =1 1 ln(1) lim 1 n n n lim ln(1) n n n 而發(fā)散, 1 n 發(fā)散. 1 1 ln(1) n n 從以上的例題可以看出,在級數(shù)斂散性的判別中,等價無窮小量發(fā)揮了重要的作用.在 很多題目中,我們需要綜合運用羅比達法

19、則、等價無窮小量的性質(zhì)、泰勒級數(shù)等相關(guān)知 識,才能達到簡化運算的目的. 4 等價無窮小量的優(yōu)勢 這一部分的內(nèi)容是我在聽了鄭老師和郭老師的數(shù)學(xué)分析課以后,由于他們教學(xué)方法 的鮮明對比而深受啟發(fā),在他們講解數(shù)學(xué)分析其他部分的比較與分析時,我也希望自己能 找到一個他們沒有整理過的知識點經(jīng)過自己的努力完成對它的比較與分析,因此我選擇 了這一部分內(nèi)容.請看下面的內(nèi)容： 4.1 運用等價無窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢 例例8 求 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 解解 解法一（等價無窮小量替換）： ,由無窮小替換定理有：=由于l n(1+3x)等價于3x, si n3x等價于 3x, 則 0

20、ln(1 3 ) lim sin3 x x x . 0 3x lim1 3 x x 解法二（兩個重要極限）：由于 , 1 3 00 sin3 limln(1 3 )1,lim1 3 x xx x x x 所以有 =. 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 1 3 00 ln(1 3 ) ln(1 3 ) 3 limlim1 sin3sin3 33 x xx x x x xx xx 解法三（洛必達法則）： =. 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 00 3 1 1 3 limlim1 3cos3cos3 (1 3 ) xx x xxx 由此例可以發(fā)現(xiàn),很多時候求解函

21、數(shù)極限的方法多種多樣.其中包括極限的運算法則、 兩個重要極限、洛必達法則以及無窮小替換等等.所以我們求解一道題時要進行全方位、 多角度的思考,找出最適合、最恰當?shù)慕忸}方法.對上例的幾種不同解法進行比較,我們 很容易地發(fā)現(xiàn)恰當利用無窮小替換能夠快速、準確地求解一些函數(shù)極限. 例例 9 9 求 ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ） 解法一（等價無窮小量替換）：由于當x- 時,有,20,30 xx ,則由無窮小替換定理有 x ln(12 )2 ,ln(1 3 )3 xxx 等價于等價于 ：=. ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ）2 lim 3 x x x 解法二（洛

22、必達法則）： =. ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ） 2 ln21 3 ln2 1212 limlim 3 ln3ln3 3 1 3 2 xx xx xx xx x 我們知道通常碰到求解未定式極限的問題時,大家總是習(xí)慣使用洛必達法則.但是 由此例看求解上述極限時,很顯然利用等價無窮小量替換更簡單、便捷.另外,值得注意 的是對本例在使用洛必達法則計算時,如果不把寫到分母上,而是繼續(xù)使用洛必達法 2 3 x x 則,就會出現(xiàn)循環(huán)計算,將永遠得不到結(jié)果.由此更能體現(xiàn)等價無窮小量替換的重要性. 同時本例還說明不僅是在極限存在時而且在極限為無窮大時同樣都可以使用等價無窮 小量替換.

23、4.2 等價無窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢 如果直接使用洛比達法則,而 22 0 11 lim() sin x xx 22 22 0 xsin lim, sin x x xx 上式可化為 ,分母上的求導(dǎo)運算不用“ 等價無窮小替換” ，那么在四次使用洛比達法則的過程中 將越來越復(fù)雜.若對上式中分母上的無窮小量用等價無窮小量來替換,便可將上sin xx 式化為較為簡單的式子,雖然讓使用洛比達法則,但是其運算過程就變的 22 4 0 xsin lim x x x 很簡單了.請看下面的例題： 例例 10 0 tan(sin ) lim sin(tan ) x x x 解解 原式= （用羅比塔法則）

24、2 2 0 sec (sin )cos lim cos(tan )sec x xx xx =（分離非零極限乘積因子并算出非零極限） 0 sin(tan ) lim tan(sin ) x x x = （用羅比塔法則） 2 2 0 cos(tan )sec lim sec (sin )cos x xx xx = . 0 tan(sin ) lim sin(tan ) x x x 出現(xiàn)循環(huán),此時用羅比塔法則求不出結(jié)果.怎么辦？用等價無窮小量代換. 因為 xsinxtanx(x0) 所以,原式= =1 而得解. 0 lim x x x 例例 11 求 2 2 0 1 lim(cot) x x x 解

25、解 原式= 22 22 0 tan lim tan x xx xx 4 0 (tan)(tan) lim x xxxx x 4 0 2 (tan) lim x xxx x 3 0 2(tan) lim x xx x 22 22 00 2(sec1)2tan limlim 33 xx xx xx （）. 2 3 tan xx 若使用洛必達法則可知原式=繼續(xù)運用 22 22 0 tan lim tan x xx xx 222 0 2(sec tan) lim 2 tan2tan sec x xxx xxxxx 洛必達法則會將上式越變越復(fù)雜,難于求出最后的結(jié)果.而通過運用無窮小的等價替換,將 分母替

26、換成,又將分子分解因式后進行等價替換,從而很快地求出正確結(jié)果,由 22 tanxx 4 x 此可以看出單單運用洛必達法則有時并不能達到較好的效果,適時地運用等價替換可以 簡化替換. 通過上面的兩個例子可看到洛必達法則并不是萬能的,也不一定是最佳的,它的使用 具有局限性,只要充分地掌握好等價無窮小量的 4 條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論. 結(jié) 論 極限計算是微積分理論中的一個重要內(nèi)容,等價無窮小量代換又是極限運算中 的一個重要的方法.利用等價無窮小量代換計算極限,主要是指在求解有關(guān)無窮小的極 限問題時利用等價無窮小量的性質(zhì)、定理施行的等價無窮小量替換的計算方法,通常與 洛必達法則一起使用,目的是使解

27、題步驟簡化,減少運算錯誤.進行等價無窮小量代換的 原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M行代換.即在等價無窮小量的代換中,可以分子分母 同時進行代換,也可以只對分子（或分母）進行代換.當分子或分母為和式時,通常不能 將和式中的某一項以等價無窮小量替換,而應(yīng)將和式作為一個整體、一個因子進行代換,即 必須是整體代換；當分子或分母為幾個因子相乘積時,則可以只對其中某些因子進行等 價無窮小量代換簡言之,只有因子才可以進行等價無窮小量替換. 參 考 文 獻 1 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,主編.高等數(shù)學(xué).第 5 版m.高等教育出版社,2002,7 5659. 2 楊文泰,等.價無窮小量代換定理的推廣j.甘肅高師學(xué)報,2

28、005,10（2）：1113. 3 王斌.用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討j.黔西南民族師專學(xué)報,2001. 4 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析m. 北京: 高等教育出版社, 2001. 5 盛祥耀. 高等數(shù)學(xué)m. 北京: 高等教育出版社, 1987. 6 馮錄祥. 關(guān)于等價無窮小量量代換的一個注記j. 伊犁師范學(xué)院學(xué)報, 2006( 3) : 25- 26. 7 段麗凌,楊賀菊. 關(guān)于等價無窮小量替換的幾點推廣. j . 河北自學(xué)考試, 2007, (06). 8 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊） m .（第三版）北京：高等教育出版社, 2004.62. 9 馬振明,呂克噗.微分習(xí)題類型分析 m .蘭州：蘭州大學(xué)出版社,1999.59,45-65. 10 崔克儉,應(yīng)用數(shù)學(xué) m ,北京：中國農(nóng)業(yè)出版社,2004. 11 張云霞. 高等數(shù)學(xué)教學(xué)j. 山西財政稅務(wù)?？茖W(xué)校學(xué)報 , 2001.04. 12 任治奇 , 梅胤勝.數(shù)學(xué)分析m. 渝西學(xué)院學(xué)報(社會科學(xué)版) , 1998.02 13 劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義m.北京：人民教育出版社,2000. 14 song qb, shen j y. on illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods j. journ