等價(jià)無(wú)窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、目目 錄錄 1 引言 .1 2 等價(jià)無(wú)窮小量的概念及其重要性質(zhì).1 2.1 等價(jià)無(wú)窮小量的概念 .1 2.2 等價(jià)無(wú)窮小量的重要性質(zhì).2 2.3 等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的推廣.2 3 等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用.5 3.1 求函數(shù)的極限.5 3.2 等價(jià)無(wú)窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用.6 3.3 利用等價(jià)無(wú)窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限.6 3.4 等價(jià)無(wú)窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用 .7 4 等價(jià)無(wú)窮小量的優(yōu)勢(shì).8 4. 1 運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)極限的優(yōu) 勢(shì).8 4. 2 等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢(shì).9 5 結(jié) 論.12 參 考 文 獻(xiàn) .13 致 謝.14 1 引言 等價(jià)無(wú)窮小量概念是微積分理論中最

2、基本的概念之一,但在微積分理論中等價(jià)無(wú)窮 小量的性質(zhì)僅僅在“無(wú)窮小的比較”中出現(xiàn)過,其他地方似乎都未涉及到.其實(shí),在判斷 廣義積分、級(jí)數(shù)的斂散性,特別是在求極限的運(yùn)算過程中,無(wú)窮小具有很好的性質(zhì),掌握 并充分利用好它的性質(zhì),往往會(huì)使一些復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,可起到事半功倍的效果,反之,則 會(huì)錯(cuò)誤百出,有時(shí)還很難判斷錯(cuò)在什么地方.因此,有必要對(duì)等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)進(jìn)行深 刻地認(rèn)識(shí)和理解,以便恰當(dāng)運(yùn)用,達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的. 2 等價(jià)無(wú)窮小量的概念及其重要性質(zhì) 這部分在同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的高等數(shù)學(xué)、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分 析、馬振明老師和呂克噗老師的微分習(xí)題類型分析、張?jiān)葡祭蠋煹母叩葦?shù)學(xué)教學(xué) 以及

3、 song qb, shen j y. on illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods j. journal of computer research and development 中做了詳細(xì)的講解,下面是我對(duì) 這部分的理解與總結(jié).推廣部分的性質(zhì)在書中未做證明,根據(jù)所學(xué)的知識(shí)以及數(shù)學(xué)方法我 對(duì)其進(jìn)行了證明. 2.12.1 等價(jià)無(wú)窮小量的概念 定義定義 若函數(shù)(包括數(shù)列)在某變化過程中以零為極限,則稱該函數(shù)為這個(gè)變化過2.11 程中的無(wú)窮小量. 如函數(shù), sinx, 1- cosx, ln(1+x

4、)均為當(dāng)x0 時(shí)的無(wú)窮小量.對(duì) 2 x 于數(shù)列只有一種情形, 即n, 如數(shù)列 為n時(shí)的無(wú)窮小量或稱為無(wú)窮小數(shù) 1 n 列. 注意： 1) 絕對(duì)值非常小的數(shù)不是無(wú)窮小量, 0 是唯一的是無(wú)窮小量的數(shù); 無(wú)窮小量無(wú)限 趨近于0 而又不等于0. 2) 無(wú)窮小量是變量, 與它的變化過程密切相關(guān),且在該變化過程中以零為極限. 如函數(shù) 當(dāng)x 時(shí)的無(wú)窮小量,但當(dāng)x1時(shí)不是無(wú)窮小量. 1 x 3）兩個(gè)（相同類型）無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量. 4）無(wú)窮小量與有界量的乘積為無(wú)窮小量. 無(wú)窮小量的比較無(wú)窮小量的比較2.12 1) 若存在正數(shù)k和l,使得在某上有,則稱與為當(dāng)時(shí)的 0 () o ux ( ) (

5、) f x kl g x fg 0 xx 同階無(wú)窮小量.特別當(dāng) 則稱與是同階無(wú)窮小. 0 ( ) lim(0) ( ) xx f x c c g x ( )f x( )g x 2) 若=1, 則稱與是等價(jià)無(wú)窮小量, 記為. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( )g x 3) 若= 0, 則稱是高階無(wú)窮小, 記作=. ( ) lim ( ) f x g x ( )f x( )g x( )f x( ( )o g x 注: 并不是任意兩個(gè)無(wú)窮小均可比較, 如當(dāng)x0 時(shí),與 都是無(wú)窮小量, 但它 1 sinx x 2 x 們不能進(jìn)行階的比較. 等價(jià)無(wú)窮小量的

6、重要性質(zhì)2.2 設(shè) , 等均為同一自變量變化過程中的無(wú)窮小, 若 , 且 lim 存在,則 lim=lim （） 11111 11111 limlim(.lim.lim.limlim ） 若 ,則 . 性質(zhì)表明等價(jià)無(wú)窮小量量的商的極限求法.性質(zhì)表明等價(jià)無(wú)窮小量的傳遞性. 2.3 等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的推廣 , 且 lim=c(-1),則 +. 1 證明證明 因?yàn)?lim= 11 1 limlim() 11 1 11 limlim 11. cc 1 lim1 1 c c 所以 +. 而學(xué)生則往往在性質(zhì)(3)的應(yīng)用上忽略了“l(fā)im=c(-1)”這個(gè)條件,千篇一律認(rèn)為 “,則有 + 在同一變化過程中,

7、,且存在,則 2( )f x( )x( )g x( )x 1 ( ) lim(1( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) g x f x 1 ( ) lim(1( ) x x 證明證明 因?yàn)?1 ( ) ln(1( ) lim(1( )exp(lim) ( ) g x f x f x g x = ln(1( ) ( )1 exp(limln(1( ) ln(1( ) ( )( ) f xx x x g xx = ln(1( ) exp(lim) ( ) x x =. 1 ( ) lim(1( ) x x 故結(jié)論得證. 若 , 且 lim存在,則當(dāng)0 且 lim存在,有 3 ab cd

8、 ab cd ab cd lim=lim. ab cd ab cd 證明證明 因?yàn)?, 11 1 aa abbb aa ab bb 又 ,于是, , limlim1 aa bb lim(1)lim(1)0 aa bb 從而 =1, ab ab 即 abab 同理可證 .cdcd 故命題得證. 設(shè)在自變量的某一變化過程中, 、及、都是無(wú) 4 ( )f x( )g x( )h x 1( ) f x 1( ) g x 1( ) h x 窮小量. 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 (

9、 ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x .()fg 11 ()fg 若、且存在且,則有( )f x 1( ) f x( )g x 1( ) g x( )h x 1( ) h x 1 1 ( ) lim ( ) f x g x 1 1 ( ) lim1 ( ) f x g x . 11 1 lim fgfg hh 證明證明 因?yàn)?=. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g ff

10、f 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因?yàn)?, 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 因?yàn)?=. 11 lim fg fg 11 1 1 1 lim 1 g fff g fff 1 1 1 1 (1) lim 1 (1) g ff g ff 又因?yàn)?, 1 1 limlim1 ff gg 故上式等于 1. 要證成立,只需證,因?yàn)?11 1 lim fgfg hh 1 11 lim1 hfg hfg ,fg 11 fg( )h x 1( ) h x 所以結(jié)論得證. 性質(zhì)（1）、（3）的求極限中就使等價(jià)無(wú)窮小量的代換有了可能性,從而大大地簡(jiǎn) 化了計(jì)算

11、.但要注意條件“l(fā)im =c(-1)”,“ 0”的使用. ab cd 注意 1）需要注意的是在運(yùn)用無(wú)窮小替換解題時(shí),等價(jià)無(wú)窮小量一般只能在對(duì)積商的某 一項(xiàng)做替換,和差的替換是不行的. 2）以上性質(zhì)說(shuō)明我們利用無(wú)窮小量的代換性質(zhì)將無(wú)窮小的等價(jià)替換推廣到和與 差的形式,并對(duì)的不定式極限的求解作了簡(jiǎn)化,使其適用的函數(shù)類范圍擴(kuò)大,從而簡(jiǎn)化函 數(shù)極限的運(yùn)算過程,對(duì)不定式極限的求解有很大的意義. 3 3等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用 等價(jià)無(wú)窮小量的應(yīng)用在馮錄祥老師的關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量量代換的一個(gè)注記、王斌 老師的用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)分 析、盛祥耀老師的高等數(shù)學(xué)、馬振明老師和呂

12、克噗老師的微分習(xí)題類型分析、 shivakumar n, g.molina h. scam: a copy detection mechanism for digital documents a. the 2nd international conference in theory and practice of digital librariesc. usa austin texas: s. n以及劉玉璉老師和傅沛仁老師的數(shù)學(xué)分析講義中都有詳細(xì)的分析 與注解,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容,再加上自己篩選例題解答例 題寫出來(lái)的.請(qǐng)看下面的內(nèi)容： 求函數(shù)的極限3.1 在求極限中經(jīng)常

13、用到的等價(jià)無(wú)窮小量有xsin xarcsin xtan xtanarcx -1, , ,( 0).ln(1)x x e1 cosx 21 2 x 1 x a lnxax 例例 1 求. 2 0 2tan lim 1 cos x x x 解解 當(dāng)當(dāng)0 時(shí),.x1 cosx 21 2 x 2tan x2x 原式= 2 0 2 4 1 2 lim x x x = .8 例例 2 求. 3 0 tansin lim x xx x 解解 原式= 3 0 sin1 cos lim cos x xx xx = (,) 2 3 0 1 2 lim cos x xx xx sin xx1 cosx 2 1 2

14、x = . 1 2 此題也可用洛必達(dá)法則做,但不能用性質(zhì)做. 所以,=0,不滿足性質(zhì)的條件,否則得出錯(cuò)誤結(jié)論 0. 3 0 tansin lim x xx x 3 0 lim x xx x 等價(jià)無(wú)窮小量在近似計(jì)算中的應(yīng)用3.2 如：利用等價(jià)無(wú)窮小，在做近似計(jì)算，有時(shí)可以起到意想不到的效果， 例例 3 3 6 65 64 求的近似值 解解 因?yàn)闀r(shí),0 x .11 n x x n 所以 . 66 651 12.005208 6464 故 6 65 62.005175 64的準(zhǔn)確值，保留小數(shù)點(diǎn)后位可得為 2.0052082.005175)/ 2.0051750.000016相對(duì)誤差為（這說(shuō)明計(jì)算精度

15、已經(jīng)很高 利用等價(jià)無(wú)窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限3.3 例例 4 求極限 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 解解 由于函數(shù)的分母中（0）,因此只需將函數(shù)分子中的與分母 2 sin x 2 xx 2 1x 中的 cosx 和分別用佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式表示,即： 2 x e , 2244 11 11() 28 xxxo x , 22 1 cos1( 2 xxo x ） . 2 22 e1o() x xx 所以 . 2 22 2 0 1 11 2 lim (cos)sin x x xx xex 4444 2 00 44 2 2 11 ()() 88 l

16、imlim 3 3o() () 1x 2 2 xx xo xxo x x xo x x 1 12 例例 5 由拉格朗日中值定理,對(duì)任意的-1,存在,使得x(0,1) .證明.ln(1)ln(1)ln(1 0) 1 x xx x 0 1 lim( ) 2 x x 解解 因 2 2 ln(1)(), 2 x xxo x , 1 1( ) 1 xo x x 所以,根據(jù)題設(shè)所給條件有 2 2 ( ) ()1 2 xo x xo xx x 即 , 2 22 () 2 x xo x 所以, . 2 2 00 1()1 lim( )lim 22 xx o x x x 以上例子能使我們更加深刻的理解無(wú)窮小與無(wú)

17、窮小或函數(shù)與無(wú)窮小的相關(guān)運(yùn)算,能 更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運(yùn)用. 等價(jià)無(wú)窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用3.4 在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判別法中,用得比較多的是比較審斂法的極限形式,它也是無(wú)窮小 的一個(gè)應(yīng)用.比較審斂法的極限形式：設(shè)和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 1 n n u 1 n n v 如果=l(0l0 或 l=+,且級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)發(fā)散.lim n n n u v lim n n n u v 1 n n v 1 n n u 當(dāng)=1 時(shí),就是等價(jià)無(wú)窮小量.由比較審斂法的極限形式知,與同斂 n u n v n u n v 散性,只要已知un,中某一個(gè)的斂散性,就可以找到另一個(gè)的斂散性. n v 例

18、例 6 n 1 1 sec( ) 1 n 判定的斂散性 解解 . 2 n 22 11 sec( ) 1 1 2 limlim 11 2 n nn nn 2 111 (,0,sec( ) 1) 2 n nnn 此時(shí) ,所以,收斂. 2 n 1 1 n 又收斂 n 1 1 sec( ) 1 n 例例 7 研究的斂散性 1 1 ln(1) n n 解解 = =1 1 ln(1) lim 1 n n n lim ln(1) n n n 而發(fā)散, 1 n 發(fā)散. 1 1 ln(1) n n 從以上的例題可以看出,在級(jí)數(shù)斂散性的判別中,等價(jià)無(wú)窮小量發(fā)揮了重要的作用.在 很多題目中,我們需要綜合運(yùn)用羅比達(dá)法

19、則、等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)、泰勒級(jí)數(shù)等相關(guān)知 識(shí),才能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的. 4 等價(jià)無(wú)窮小量的優(yōu)勢(shì) 這一部分的內(nèi)容是我在聽了鄭老師和郭老師的數(shù)學(xué)分析課以后,由于他們教學(xué)方法 的鮮明對(duì)比而深受啟發(fā),在他們講解數(shù)學(xué)分析其他部分的比較與分析時(shí),我也希望自己能 找到一個(gè)他們沒有整理過的知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過自己的努力完成對(duì)它的比較與分析,因此我選擇 了這一部分內(nèi)容.請(qǐng)看下面的內(nèi)容： 4.1 運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢(shì) 例例8 求 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 解解 解法一（等價(jià)無(wú)窮小量替換）： ,由無(wú)窮小替換定理有：=由于l n(1+3x)等價(jià)于3x, si n3x等價(jià)于 3x, 則 0

20、ln(1 3 ) lim sin3 x x x . 0 3x lim1 3 x x 解法二（兩個(gè)重要極限）：由于 , 1 3 00 sin3 limln(1 3 )1,lim1 3 x xx x x x 所以有 =. 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 1 3 00 ln(1 3 ) ln(1 3 ) 3 limlim1 sin3sin3 33 x xx x x x xx xx 解法三（洛必達(dá)法則）： =. 0 ln(1 3 ) lim sin3 x x x 00 3 1 1 3 limlim1 3cos3cos3 (1 3 ) xx x xxx 由此例可以發(fā)現(xiàn),很多時(shí)候求解函

21、數(shù)極限的方法多種多樣.其中包括極限的運(yùn)算法則、 兩個(gè)重要極限、洛必達(dá)法則以及無(wú)窮小替換等等.所以我們求解一道題時(shí)要進(jìn)行全方位、 多角度的思考,找出最適合、最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.對(duì)上例的幾種不同解法進(jìn)行比較,我們 很容易地發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)利用無(wú)窮小替換能夠快速、準(zhǔn)確地求解一些函數(shù)極限. 例例 9 9 求 ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ） 解法一（等價(jià)無(wú)窮小量替換）：由于當(dāng)x- 時(shí),有,20,30 xx ,則由無(wú)窮小替換定理有 x ln(12 )2 ,ln(1 3 )3 xxx 等價(jià)于等價(jià)于 ：=. ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ）2 lim 3 x x x 解法二（洛

22、必達(dá)法則）： =. ln(12 lim ln(1 3 ) x x x ） 2 ln21 3 ln2 1212 limlim 3 ln3ln3 3 1 3 2 xx xx xx xx x 我們知道通常碰到求解未定式極限的問題時(shí),大家總是習(xí)慣使用洛必達(dá)法則.但是 由此例看求解上述極限時(shí),很顯然利用等價(jià)無(wú)窮小量替換更簡(jiǎn)單、便捷.另外,值得注意 的是對(duì)本例在使用洛必達(dá)法則計(jì)算時(shí),如果不把寫到分母上,而是繼續(xù)使用洛必達(dá)法 2 3 x x 則,就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)計(jì)算,將永遠(yuǎn)得不到結(jié)果.由此更能體現(xiàn)等價(jià)無(wú)窮小量替換的重要性. 同時(shí)本例還說(shuō)明不僅是在極限存在時(shí)而且在極限為無(wú)窮大時(shí)同樣都可以使用等價(jià)無(wú)窮 小量替換.

23、4.2 等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限過程中的優(yōu)勢(shì) 如果直接使用洛比達(dá)法則,而 22 0 11 lim() sin x xx 22 22 0 xsin lim, sin x x xx 上式可化為 ,分母上的求導(dǎo)運(yùn)算不用“ 等價(jià)無(wú)窮小替換” ，那么在四次使用洛比達(dá)法則的過程中 將越來(lái)越復(fù)雜.若對(duì)上式中分母上的無(wú)窮小量用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換,便可將上sin xx 式化為較為簡(jiǎn)單的式子,雖然讓使用洛比達(dá)法則,但是其運(yùn)算過程就變的 22 4 0 xsin lim x x x 很簡(jiǎn)單了.請(qǐng)看下面的例題： 例例 10 0 tan(sin ) lim sin(tan ) x x x 解解 原式= （用羅比塔法則）

24、2 2 0 sec (sin )cos lim cos(tan )sec x xx xx =（分離非零極限乘積因子并算出非零極限） 0 sin(tan ) lim tan(sin ) x x x = （用羅比塔法則） 2 2 0 cos(tan )sec lim sec (sin )cos x xx xx = . 0 tan(sin ) lim sin(tan ) x x x 出現(xiàn)循環(huán),此時(shí)用羅比塔法則求不出結(jié)果.怎么辦？用等價(jià)無(wú)窮小量代換. 因?yàn)?xsinxtanx(x0) 所以,原式= =1 而得解. 0 lim x x x 例例 11 求 2 2 0 1 lim(cot) x x x 解

25、解 原式= 22 22 0 tan lim tan x xx xx 4 0 (tan)(tan) lim x xxxx x 4 0 2 (tan) lim x xxx x 3 0 2(tan) lim x xx x 22 22 00 2(sec1)2tan limlim 33 xx xx xx （）. 2 3 tan xx 若使用洛必達(dá)法則可知原式=繼續(xù)運(yùn)用 22 22 0 tan lim tan x xx xx 222 0 2(sec tan) lim 2 tan2tan sec x xxx xxxxx 洛必達(dá)法則會(huì)將上式越變?cè)綇?fù)雜,難于求出最后的結(jié)果.而通過運(yùn)用無(wú)窮小的等價(jià)替換,將 分母替

26、換成,又將分子分解因式后進(jìn)行等價(jià)替換,從而很快地求出正確結(jié)果,由 22 tanxx 4 x 此可以看出單單運(yùn)用洛必達(dá)法則有時(shí)并不能達(dá)到較好的效果,適時(shí)地運(yùn)用等價(jià)替換可以 簡(jiǎn)化替換. 通過上面的兩個(gè)例子可看到洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的,也不一定是最佳的,它的使用 具有局限性,只要充分地掌握好等價(jià)無(wú)窮小量的 4 條性質(zhì)就不難求出正確的結(jié)論. 結(jié) 論 極限計(jì)算是微積分理論中的一個(gè)重要內(nèi)容,等價(jià)無(wú)窮小量代換又是極限運(yùn)算中 的一個(gè)重要的方法.利用等價(jià)無(wú)窮小量代換計(jì)算極限,主要是指在求解有關(guān)無(wú)窮小的極 限問題時(shí)利用等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)、定理施行的等價(jià)無(wú)窮小量替換的計(jì)算方法,通常與 洛必達(dá)法則一起使用,目的是使解

27、題步驟簡(jiǎn)化,減少運(yùn)算錯(cuò)誤.進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小量代換的 原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M(jìn)行代換.即在等價(jià)無(wú)窮小量的代換中,可以分子分母 同時(shí)進(jìn)行代換,也可以只對(duì)分子（或分母）進(jìn)行代換.當(dāng)分子或分母為和式時(shí),通常不能 將和式中的某一項(xiàng)以等價(jià)無(wú)窮小量替換,而應(yīng)將和式作為一個(gè)整體、一個(gè)因子進(jìn)行代換,即 必須是整體代換；當(dāng)分子或分母為幾個(gè)因子相乘積時(shí),則可以只對(duì)其中某些因子進(jìn)行等 價(jià)無(wú)窮小量代換簡(jiǎn)言之,只有因子才可以進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小量替換. 參 考 文 獻(xiàn) 1 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,主編.高等數(shù)學(xué).第 5 版m.高等教育出版社,2002,7 5659. 2 楊文泰,等.價(jià)無(wú)窮小量代換定理的推廣j.甘肅高師學(xué)報(bào),2

28、005,10（2）：1113. 3 王斌.用羅比塔法則求未定式極限的局限性的探討j.黔西南民族師專學(xué)報(bào),2001. 4 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析m. 北京: 高等教育出版社, 2001. 5 盛祥耀. 高等數(shù)學(xué)m. 北京: 高等教育出版社, 1987. 6 馮錄祥. 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量量代換的一個(gè)注記j. 伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2006( 3) : 25- 26. 7 段麗凌,楊賀菊. 關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小量替換的幾點(diǎn)推廣. j . 河北自學(xué)考試, 2007, (06). 8 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)） m .（第三版）北京：高等教育出版社, 2004.62. 9 馬振明,呂克噗.微分習(xí)題類型分析 m .蘭州：蘭州大學(xué)出版社,1999.59,45-65. 10 崔克儉,應(yīng)用數(shù)學(xué) m ,北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社,2004. 11 張?jiān)葡? 高等數(shù)學(xué)教學(xué)j. 山西財(cái)政稅務(wù)?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) , 2001.04. 12 任治奇 , 梅胤勝.數(shù)學(xué)分析m. 渝西學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版) , 1998.02 13 劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義m.北京：人民教育出版社,2000. 14 song qb, shen j y. on illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods j. journ