時(shí)間序列分析講義第章差分方程

1、第一章 差分方程差分方程是連續(xù)時(shí)間情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是時(shí)間序列方法的基 礎(chǔ)，也是分析時(shí)間序列動(dòng)態(tài)屬性的基本方法。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列或者金融時(shí)間序列方法主要處 理具有隨機(jī)項(xiàng)的差分方程的求解問(wèn)題，因此，確定性差分方程理論是我們首先需要了解的 重要內(nèi)容。 1.1 一階差分方程假設(shè)利用變量 yt 表示隨著時(shí)間變量 t 變化的某種事件的屬性或者結(jié)構(gòu)，則 yt 便是在時(shí) 間t可以觀測(cè)到的數(shù)據(jù)。 假設(shè)yt受到前期取值 yt 1和其他外生變量 wt的影響，并滿足下述方 程：yt 0 1 yt 1 wt(1.1)在上述方程當(dāng)中，由于 yt僅線性地依賴前一個(gè)時(shí)間間隔自身的取值 yt 1 ，因此稱具有

2、 這種結(jié)構(gòu)的方程為 一階線性差分方程 。如果變量 wt 是確定性變量，則此方程是確定性差分 方程；如果變量 wt 是隨機(jī)變量，則此方程是隨機(jī)差分方程。在下面的分析中，我們假設(shè)wt是確定性變量。例 1.1 貨幣需求函數(shù) 假設(shè)實(shí)際貨幣余額、實(shí)際收入、銀行儲(chǔ)蓄利率和商業(yè)票據(jù)利率 的對(duì)數(shù)變量分別表示為 mt 、 It、rbt和 rct ，則可以估計(jì)出美國(guó)貨幣需求函數(shù)為：上述方程便是關(guān)于 mt 的一階線性差分方程。可以通過(guò)此方程的求解和結(jié)構(gòu)分析，判斷 其他外生變量變化對(duì)貨幣需求的動(dòng)態(tài)影響。1.1.1 差分方程求解：遞歸替代法差分方程求解就是將方程變量表示為外生變量及其初值的函數(shù)形式，可以通過(guò)以前的 數(shù)據(jù)

3、計(jì)算出方程變量的當(dāng)前值。由于方程結(jié)構(gòu)對(duì)于每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)都是成立的，因此可以將 (1.1) 表示為多個(gè)方程：t 0 ： y00 1 y 1 w0t 1 ： y11 y0 w1t t： yt1 yt 1 wt依次進(jìn)行疊代可以得到：(1.2)ttyt01i1ty 11iwii 0 i0上述表達(dá)式 (1.2) 便是差分方程 (1.1) 的解，可以通過(guò)代入方程進(jìn)行驗(yàn)證。上述通過(guò)疊 代將 yt 表示為前期變量和初始值的形式，從中可以看出 yt 對(duì)這些變量取值的依賴性和動(dòng)態(tài) 變化過(guò)程。1.1.2. 差分方程的動(dòng)態(tài)分析：動(dòng)態(tài)乘子(dynamic multiplier)在差分方程的解當(dāng)中，可以分析外生變量， 假設(shè)

4、初始值 y 1 和 w1, ,wt 不受到影響，則有：例如 w0 的變化對(duì) t 階段以后的 yt 的影響。ytt1 w0(1.3)類似地，可以在解的表達(dá)式中進(jìn)行計(jì)算，得到：yt jwt(1.4)上述乘子僅僅依賴參數(shù) 1 和時(shí)間間隔 j ，并不依賴觀測(cè)值的具體時(shí)間階段，這一點(diǎn)在 任何差分方程中都是適用的。例 1.2 貨幣需求的收入乘子 在我們獲得的貨幣需求函數(shù)當(dāng)中，可以計(jì)算當(dāng)期收入一 個(gè)單位的變化，對(duì)兩個(gè)階段以后貨幣需求的影響，即：利用差分方程解的具體系數(shù)，可以得到：wtIt 0.19， 1 0.72從而可以得到二階乘子為：注意到上述變量均是對(duì)數(shù)形式，因此實(shí)際上貨幣需求相對(duì)于兩個(gè)階段以前收入的彈

5、性系數(shù)，這意味著收入增長(zhǎng) 1%，將會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)階段以后貨幣需求增加 0.098%，其彈性是比較微弱的定義 1.1 在一階線性差分方程中，下述乘子系列稱為 yt 相對(duì)于外生擾動(dòng) wt 的反應(yīng)函 數(shù)：yt jLjt j 1j， j 0,1, (1.5)wt顯然上述反應(yīng)函數(shù)是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)，其收斂性依賴于參數(shù) 1 的取值。(1) 當(dāng) 0 1 1時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是單調(diào)收斂的；(2) 當(dāng) 1 1 0 時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是震蕩收斂的；(3) 當(dāng) 1 1 時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是單調(diào)擴(kuò)張的；(4) 當(dāng) 1 1 時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是震蕩擴(kuò)張的；可以歸納描述反應(yīng)函數(shù)對(duì)于參數(shù)的依賴性：當(dāng) | 1 | 1時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是收斂的；當(dāng) | 1| 1

6、時(shí)，反應(yīng)函數(shù)是發(fā)散的。一個(gè)特殊情形是 1 1的情形，這時(shí)擾動(dòng)將形成持續(xù)的單一影響， 即 wt 的一個(gè)單位變化 將導(dǎo)致其后任何時(shí)間 yt j 的一個(gè)單位變化：yt jL jt j 1， j 0,1,wt為了分析乘子的持久作用， 假設(shè)時(shí)間序列 yt 的現(xiàn)值貼現(xiàn)系數(shù)為 ，則未來(lái)所有時(shí)間的 yt 流貼現(xiàn)到現(xiàn)在的總值為：(1.6)如果 wt發(fā)生一個(gè)單位的變化， 而 ws,s t不變，那么所產(chǎn)生的對(duì)于上述貼現(xiàn)量的影響為 邊際導(dǎo)數(shù)：j j yt j j j 1(j yt j )/ wtj t j j j，| 1j 0 j 0wt j 0 1上述分析的是外生變量的暫時(shí)擾動(dòng)， 如果 wt 發(fā)生一個(gè)單位的變化，

7、而且其后的 ws,s t也都發(fā)生一個(gè)單位的變化，這意味著變化是持久的。這時(shí)持久擾動(dòng)對(duì)于 (t j)時(shí)刻的 yt j 的 影響乘數(shù)是：yt jwtyt 1wt 1yt j j j 111 wt j(1.7)當(dāng)| 1 |1時(shí)，對(duì)上式取極限，并將其識(shí)為擾動(dòng)所產(chǎn)生的持久影響：lim ( yt jyt 1wtwt 1yt j )1wt j 1 1(1.8)例 1.3 貨幣需求的長(zhǎng)期收入彈性 在例 1.1 中我們已經(jīng)獲得了貨幣的短期需求函數(shù)， 從中可以求出貨幣需求的長(zhǎng)期收入彈性為：這說(shuō)明收入增加 1%最終將導(dǎo)致貨幣需求增加 0.68%，這是收入對(duì)于貨幣需求反饋的持 久影響效果。yt 以后如果換一個(gè)角度考察

8、擾動(dòng)的影響，那么我們需要分析一個(gè)單位的外生擾動(dòng)對(duì)于路徑的累積影響，這時(shí)可以將這種累積影響表示為：yt j 1 j 0 wt1wt(1.9)由此可見(jiàn)，如果能夠估計(jì)出差分方程中的系數(shù)，并且了解差分方程解的結(jié)構(gòu)，則可以 對(duì)經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行穩(wěn)定性的動(dòng)態(tài)分析。另外，我們也發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生變量對(duì)外生變量反應(yīng)函數(shù)的 性質(zhì)比較敏感地依賴差分方程中的系數(shù)。 1.2 p 階差分方程如果在方程當(dāng)中允許 yt 依賴它的 p階前期值和輸入變量，則可以得到下述 p階線性差 分方程( 將常數(shù)項(xiàng)歸納到外生變量當(dāng)中 )：yt1yt 1 2 yt 2p yt pwt(1.10)為了方便起見(jiàn)，將上述差分方程表示成為矩陣形式：F t 1 vt

9、(1.11)其中：yt123yt 1100tyt 2 ， F010yt p 1p 1pwt00000， vt0其實(shí)在方程 (1.11) 所表示的方程系統(tǒng)當(dāng)中，只有第一個(gè)方程是差分方程 (1.10) ，而其 余方程均是定義方程：yt j yt j ， j 1,2, , p將 p 階差分方程表示成為矩陣形式的好處在于，它可以進(jìn)行比較方便的疊代處理，同 時(shí)可以更方便地進(jìn)行穩(wěn)定性分析。另外，差分方程的系數(shù)都體現(xiàn)在矩陣F 的第一行上。進(jìn)行向前疊代，可以得到差分方程的矩陣解為：t Ft 1 1 Ftv0 Ft1v1F1vt 1 vt(1.12)利用 fi (jt)表示矩陣 Ft中第i 行、第 j列元素，則

10、方程系統(tǒng) (1.12) 中的第一個(gè)方程可以表 示為：(1.13)需要注意， 在 p 階差分方程的解中需要知道 p 個(gè)初值： (y 1, y 2, , y p) ，以及從時(shí)刻 0 開(kāi)始時(shí)的所有外生變量的當(dāng)前和歷史數(shù)據(jù)： (w0, w1, ,wt)。由于差分方程的解具有時(shí)間上的平移性，因此可以將上述方程 (1.12) 表示為：t j Fj 1 t 1 F jvt Fj 1vt1Fvt j 1 vt j (1.14)類似地，表示成為單方程形式：y f(j 1)y f(j 1) y f(j 1) y(1.15)t j 11t 1 12 t 21 p t pf11wtf11wt 1f11 wt j 1

11、wtj利用上述表達(dá)式，可以得到 p 階差分方程的動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為：Lj yt j f1(1j)， j 0,1,wt由此可見(jiàn)，動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子主要由矩陣 F j 的首個(gè)元素確定。例 1.4 在 p 階差分方程中，可以得到一次乘子為：二次乘子為：雖然可以進(jìn)一步通過(guò)疊代的方法求出更高階的反應(yīng)乘子，但是利用矩陣特征根表示則 更為方便，主要能夠更為方便地求出矩陣 F j 的首個(gè)位置的元素。根據(jù)定義，矩陣 F 的特征根是滿足下述的 值：|F Ip | 0 (1.16)一般情況下，可以根據(jù)行列式的性質(zhì)，將行列式方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。例 1.5 在二階差分方程當(dāng)中，特征方程為：具體可以求解出兩個(gè)特征根為：12212

12、4 2(1.17)上述特征根的表達(dá)式在討論二階線性差分方程解的穩(wěn)定性時(shí)，我們還要反復(fù)用到距陣 F 的特征根與 p階差分方程表達(dá)式之間的聯(lián)系可以由下述命題給出：命題 1.1 距陣 F 的特征根滿足下述方程， 此方程也稱為 p階線性差分方程的特征方程：證明：根據(jù)特征根的定義，可知特征根滿足：對(duì)上述行列式進(jìn)行初等變化，將第 p列乘以 (1/ )加到第 p 1列，然后將第 p 1列乘以 (1/ )加到第 p 2 列，依次類推，可以將上述行列式方程變化為對(duì)角方程，并求出行列式值 為：這便是所求的 p 階線性差分方程的特征方程。END如果知道 p 階線性差分方程的特征方程及其特征根，不僅可以分析差分方程的

13、動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子，而且可以求解出差分方程解析解的動(dòng)態(tài)形式。1.2.1 具有相異特征根的 p 階線性差分方程的通解根據(jù)線性代數(shù)的有關(guān)定理，如果一個(gè)方陣具有相異特征根，則存在非奇異矩陣 T 將其 化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角線元素便是特征根：F T T 1，diag( 1,p)(1.18)這時(shí)矩陣 F 的乘級(jí)或者冪方矩陣可以簡(jiǎn)單地表示為：F j (T T 1)j T j T 1， j diag(j , , j )1p(1.19)假設(shè)變量 tij 和 tij 分別表示矩陣 T 和 T 矩陣形式表示為：1 的第 i 行、第 j 列元素，則可以將上述方程利用從中可以獲得：F11(j) (t11t11) 1j c1

14、1 c2(t12t21) j 2j2cp(t1ptp1)(1.19)其中： cj t1jtj1 ，0,1,，如此定義的序列具有下述約束條件 （ 自行證明 ） ：c1 c2cp 1(1.20)具有上述表達(dá)式以后，在差分方程的解：y f(j 1)y f(j 1)yyt j f11 yt 1f12yt 2f(j)w f(j 1) w f11 wtf11wt 1( j 1) f1 p f1(11)wtyt pj 1 wt j(1.15)中可以得到動(dòng)態(tài)乘子為：Ljyt jwt1(1j) c1 1j c2 2jcp0,1,(1.21)究竟系數(shù)序列 cj 取值如何，下述命題給出了它的具體表達(dá)式命題 1.2

15、如果矩陣 F 的特征根是相異的，則系數(shù) cj 可以表示為：p1ci(1.22)ip( i k )k 1, k i證明：由于假設(shè)矩陣 F 具有相異的特征根，因此對(duì)角化的非奇異矩陣可以由特征向量 構(gòu)造。令向量 ti 為：ti ip 1, ip 2, i,1 ，i 1,2, , p其中 i 是矩陣 F 的第 i 個(gè)特征根。經(jīng)過(guò)運(yùn)算可以得到：由此可知 ti是矩陣 F 的對(duì)應(yīng)特征根 i的特征向量，利用每個(gè) ti做列就可以得到矩陣 T 將矩陣 TT 1 Ip 的第一列表示出來(lái)：可以求解上述線性方程的解為：t111( 1 2)( 1 3) ( 1 p )注意到： ci ti1ti1 ，i 1,2, , p

16、，帶入上述表達(dá)式即可得到結(jié)論例 1.6 求解二階差分方程： yt 0.6yt 1 0.2yt 2 wt解：該方程的特征方程為：END特征根為：1 0.6(0.6)2 4(0.2)0.84，1 0.6(0.6) 2 4(0.2)0.240.778，( 1 2 )2 0.222( 2 1)此方程的動(dòng)態(tài)乘子為：wtLjyt j c1 1j c2 2j 0.788(0.84) j 0.222( 0.24) j ， j 0,1,在上述乘子的作用過(guò)程中，絕對(duì)值教大的特征根決定了乘子的收斂或者發(fā)散過(guò)程。一 般情形下，如果 1 是絕對(duì)值最大的特征根，則有：yt j 1 ljim( t j 1j ) c1(1.

17、23)jwt 1j則動(dòng)態(tài)乘子的收斂或者發(fā)散是以指數(shù)速度進(jìn)行。當(dāng)一些特征根出現(xiàn)復(fù)數(shù)的時(shí)候，差分方程解的性質(zhì)出現(xiàn)了新的變化，擾動(dòng)反應(yīng)函數(shù)將 出現(xiàn)一定的周期性質(zhì)。為此，我們討論二階差分方程的情形。當(dāng) 12 4 2 0 時(shí)，特征方程具有共扼復(fù)根，可以表示為：1 a bi ， 2 a bi ，a 1 /2 ， b (1/ 2)( 12 4 2)1/ 2利用復(fù)數(shù)的三角函數(shù)或者指數(shù)表示法，可以將其寫(xiě)作：1 Rcos isin Rexp(i )， R a2 b2 ， tan b/a 這時(shí)動(dòng)態(tài)乘子可以表示為：對(duì)于實(shí)系統(tǒng)的擾動(dòng)分析，上述反應(yīng)乘子應(yīng)該是實(shí)數(shù)。由于 c1 和c 2也是共扼復(fù)數(shù)，因此 有：c1i ， c

18、2i則有：yt j Ljt j 2 Rj cos( j) 2 R j sin( j) (1.24)wt如果 R 1，即復(fù)數(shù)處于單位圓上，則上述動(dòng)態(tài)乘子出現(xiàn)周期性變化，并且影響不會(huì)消 失；如果 R 1，即復(fù)數(shù)處于單位圓內(nèi)，則上述動(dòng)態(tài)乘子按照周期方式進(jìn)行率減，其作用慢 慢消失；如果 R 1，即復(fù)數(shù)處于單位圓外，則上述動(dòng)態(tài)乘子按照周期方式進(jìn)行擴(kuò)散，其作 用將逐漸增強(qiáng)。例 1.7 求解二階差分方程： yt 0.5yt 1 0.8yt 2 wt解：該方程的特征方程為：特征根為：121 0.5 (0.5)2 4(0.8) 0.25 0.86i ，上述共扼復(fù)數(shù)的模為：因?yàn)?R 1，由此可知其動(dòng)態(tài)乘子呈現(xiàn)收斂

19、趨勢(shì)?？梢跃唧w計(jì)算出其震蕩的周期模式。cos( ) a/R 0.28 ， 1.29由此可知?jiǎng)討B(tài)乘子的周期為：由此可知?jiǎng)討B(tài)乘子的時(shí)間軌跡上，大于 4.9 個(gè)時(shí)間階段便出現(xiàn)一次高峰。1.2.2 具有相異特征根的二階線性差分方程的通解針對(duì)具體的二階線性差分方程，可以討論解的性質(zhì)與參數(shù)1, 2 之間的關(guān)系。a. 當(dāng) 12 4 2 0時(shí)，參數(shù)取值處于拋物線 12 4 2 的下方。這時(shí)特征方程具有復(fù)特征 根，且復(fù)數(shù)的模為：因此，當(dāng) 0 2 1 時(shí)，此時(shí)解系統(tǒng)是震蕩收斂的；當(dāng)2 1是震蕩維持的；當(dāng) 2 1時(shí)是震蕩發(fā)散的。b. 當(dāng)特征根為實(shí)數(shù)時(shí)，我們分析最大特征根和最小特征的性質(zhì)。此時(shí)12 4 2 0 ，且當(dāng)

20、且僅當(dāng) 1 2 1 1 時(shí)解及其動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子是穩(wěn)定的。下面我們判斷非穩(wěn)定情形。 如果：即：求解可知，使得不等式 1 1成立的參數(shù)解為：1 2 ，或者， 2 1 1同理，使得不等式 2 1 成立的參數(shù)解為：1 2 ，或者， 2 1 1因此當(dāng)特征方程具有相異實(shí)根的時(shí)候， 穩(wěn)定性要求參數(shù)落入拋物線上的三角形區(qū)域內(nèi)。c. 類似地可以說(shuō)明， 當(dāng)特征方程具有相等實(shí)根的時(shí)候， 即處于三角形內(nèi)的拋物線上時(shí)， 方程仍然具有穩(wěn)定解，同時(shí)動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子也是收斂的。1.2.3 具有重復(fù)特征根的 p 階線性差分方程的通解在更為一般的情形下，矩陣 F 可能具有重復(fù)的特征根，即具有重根。此時(shí)可以利用 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型表示差分方程的解及其動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子。下面以二階差分方程為例說(shuō)明。假設(shè)二階差分方程具有重根，則可以將矩陣 F 表示為：計(jì)算矩陣乘積得到：于是動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子可以表示為：1.3 長(zhǎng)期和現(xiàn)值的計(jì)算如果矩陣 F 的所有特征根均落在單位圓內(nèi) （即所有特征根的模小于 1） ，當(dāng)時(shí)間間隔 j 逐