[數(shù)學]高中數(shù)學公式定理定律概念大全

1、第一章 集合與簡易邏輯集合的概念與運算 1.1集合的有關(guān)概念（1）定義：某些指定的對象集在一起叫集合；集合中的每個對象叫集合的元素。（2）元素的三要素：集合中的元素具有確定性、互異性和無序性；表示一個集合要用 。（3）集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法；（4）集合的分類：有限集、無限集和空集，空集記作；（5）元素a和集合a之間的關(guān)系：aa，或aa；（6）常用數(shù)集：自然數(shù)集：n ；正整數(shù)集：或；整數(shù)集：z；有理數(shù)集：q；實數(shù)集：r。 1.2子集 （1）定義：a中的任何元素都屬于b，則a叫b的子集 ；記作：ab，注意：ab時，a有兩種情況：a與a（2）性質(zhì)：；若，則；若則a=b ；1.3真子集

2、（1）定義：a是b的子集 ，且b中至少有一個元素不屬于a；記作：；（2）性質(zhì)：；若，則；1.4補集：（1）定義：記作：；（2）性質(zhì)：； 1.5交集與并集（1）交集：性質(zhì)： 若，則（2）并集：性質(zhì)： 若，則1.6集合運算中常用結(jié)論（1）德摩根公式： .（2）（3）含n個元素的集合的所有子集有個2一元二次不等式的解法2.1 一元一次不等式的解法通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當時，；當時，。如：已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_（答：）2.2 二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系:判別式：=b2-4acx1x2xyox1=

3、x2xyo二次函數(shù)的圖象xyo一元二次方程的根有兩相異實數(shù)根有兩相等實數(shù)根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集“”取兩邊r一元二次不等式的解集“”取中間2.4 二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系你了解了嗎？二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標。如（1）不等式的解集是，則=_（答：）；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則關(guān)于的不等式的解集為_（答：）；（3）不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_（答：）。2.5常用等價轉(zhuǎn)換含參數(shù)的不等式axb xc0恒成立問題含參不等式axb xc0的解集是r； 其解答分a0(驗證bxc0是否恒成立)、a0（a0且0)

4、的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸 ；函數(shù)y=f(x+a),(a0)的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸平；函數(shù)y=f(x)+a,(a0)的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸平。 （2）對稱變換 函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=0對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱；如果函數(shù)y=f(x)對于一切都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的圖象關(guān)于直線對稱。如果函數(shù)y=f(x)對于一切都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的圖象關(guān)于直線對稱。函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0對稱。函數(shù)與函數(shù)y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=對稱 與關(guān)于直

5、線對稱。 （3）伸縮變換的圖象，可將的圖象上的每一點的縱坐標伸長或縮短到原來的倍。的圖象，可將的圖象上的每一點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍。4、函數(shù)的反函數(shù)4.1、求反函數(shù)的步驟： 求原函數(shù)，的值域b 把看作方程，解出；x，y互換的的反函數(shù)為，。 4.2、函數(shù)與反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論： 4.3、原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（減），則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增（減）；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)。5、函數(shù)、方程與不等式 5.1、“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；當=0時，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為。若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二

6、次項系數(shù)可能為零的情形？ 5.2、利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實根的分布。 設(shè)為方程的兩個實根。若則；當在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根時，當在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個實根時，若時 注意：根據(jù)要求先畫出拋物線，然后寫出圖象成立的充要條件。注意端點，驗證端點。第三章 基本初等函數(shù)（）我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。 下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)a):不論x為何值,y總為正數(shù);b):當x=0時,y=1.對數(shù)函數(shù)a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點b):當a1時,在區(qū)間(0,1)的值為

7、負；在區(qū)間(-,+)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。令a=m/na):當m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù);b):當m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù);c):當m奇n偶時,y在(-,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)a):正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù)a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在-/2,/2上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).有關(guān)運算性質(zhì) 1

8、. 2. 第四章 基本初等函數(shù)（）1、角的換算(1)換算關(guān)系:(2)弧長公式: 扇形面積公式:2、特殊角的三角函數(shù)值0sin010cos100tan01不存在0不存在cot不存在10不存在03、任意角的三角函數(shù) ，三角函數(shù)值的符號規(guī)律：“一全二正弦，三切四余弦”4、誘導公式：“，奇變偶不變，符號看象限”正弦余弦正切余切，5、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：平方關(guān)系；商式關(guān)系；倒數(shù)關(guān)系；。記憶方法：上弦，中切，下割，左正，右余，中間一6、兩角和與差公式 (平方正弦公式);.7、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（a、0）定義域rrr值域r周期性 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)當非奇非偶當奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)

9、（）；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)（）上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）注意：與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）與的周期是或（）的周期的周期為2（，如圖，翻折無效）的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）當；與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)（） 只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增若在整個定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯誤的 不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如： 8.正弦定理：， ；余弦定理：= cosa=解斜三角形的常規(guī)思

10、維方法是：（1）已知兩角和一邊（如a、b、c），由a+b+c = 求c，由正弦定理求a、b（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用a+b+c = ，求另一角（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、a），應(yīng)用正弦定理求b，由a+b+c = 求c，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求a、b，再由a+b+c = ，求角c9函數(shù)的圖象可以通過下列兩種方式得到：（1）（2）第五章 立體幾何1、平面的基本性質(zhì)：公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)。

11、 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那它們還有其它公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線 。 公理3：經(jīng)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且僅有一個平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行線，有且僅有一個平面。 公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行 2、.空間兩條直線的位置關(guān)系：2.1、位置關(guān)系：平行、相交、異面2.2、異面直線所成的角：關(guān)鍵是選點平移，范圍是（0，/2。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法找角。一般點選擇在特殊的位置上（常用中位線、平行四邊形）；證角；求角。3、直線與平面3.1

12、、位置關(guān)系：在面內(nèi)、相交、平行 3.2、直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。3.3、直線與平面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行4、直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是00.9005、三垂線定理及其逆定理：定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直；逆定理：在平面內(nèi)的一條直線

13、,如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。4、平面與平面4.1、位置關(guān)系：平行 ，相交4.2、兩個平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行另：垂直于同一條直線的兩個平面平行 性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行另：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，必垂直于另一個平面如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面 兩平面間的距離問題點到面的距離問題4.3、兩個平面垂直判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于

14、它們交線的直線垂直于另一個平面。4.4、二面角 定義法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角。三垂線法：找二面角的一個面的垂線，再由垂足向棱作垂線得斜足，連斜足與另一面上點。5、簡單幾何體5.1 棱柱（1）棱柱的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形； 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形（2）相關(guān)計算：長方體的對角線， 5.2 棱錐(1)正棱錐的定義（底面是正多邊形，頂點在底面上的射影是底面的中心）(2)正棱錐性質(zhì)各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高棱錐的高

15、、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形。(3)相關(guān)計算：5.3 球（1）相關(guān)計算： ，=4r2，r3（2）球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離d與球的半徑r及截面的半徑r有下面的關(guān)系：（3）兩點的球面距離：經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣孤的長度.5.4 正多面體：正多面體的種數(shù)有 歐拉公式：v+f-e=2 其中：v頂點數(shù)e棱數(shù)f面數(shù)5.5 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：（1）兩異面直線所成角：（2）直線與平面所成角：（3）二面角：先求在根據(jù)圖形情況作答（4）點到平面的距離：（a為所給點，b為平面內(nèi)任意一點

16、）第六章 平面向量1、加法與減法的代數(shù)運算： (1)向量加法滿足：平行四邊形法則-“同一起點”、三角形法則-“首尾相接”。向量減法滿足：三角形法則-“同一起點，指向被減數(shù)”（2）若a=（）,b=（）則ab=（）2、實數(shù)與向量的積：(1)長度：=;方向：當0時，與同向；當0時，與反向；當=0時，=0 (2)若=（），則=（）(3)兩個向量共線的充要條件：向量b與非零向量共線有且僅有一個實數(shù)，使得b= 若=（）,b=（）則b3、向量的數(shù)量積：(1)定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos其中cos稱為向量在方向上的投影(2) 若a=（）,b=（）則ab=（3）性質(zhì)：=0（，為非零向量）;

17、=;cos=（4）運算律：不滿足消去律、乘法結(jié)合律4p分有向線段所成的比：(1)若點p分有向線段成定比，則=(2)定比分點坐標公式：若點，點p分有向線段成定比，則 （1）， 中點坐標公式：（3）若點則(4)若，則abc的重心g的坐標是5平移公式：將按平移后得到，則有第七章 平面解析幾何1、直線和圓1. 直線的傾斜角與斜率：直線的傾斜角范圍是0,，直線的斜率：1. 直線方程的幾種形式：點斜式：， 斜截式： 兩點式：， 截距式： 一般式：1. 兩條直線的位置關(guān)系（1）平行： 若斜率存在：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2有l(wèi)1l2k1=k2且b1b2；（2）垂直：若斜率存在：l1：y=

18、k1x+b1；l2：y=k2x+b2有 l1l2k1k2=-1 l1l2k1k2=-1（3）相交：到的角： ，與的夾角：，1.4 點到直線的距離公式點到直線的距離：1.5 兩平行直線間的距離：兩條平行直線距離：1.6 圓的方程四種形式（1）圓的標準方程:.（2）圓的一般方程:(0).（3）圓的參數(shù)方程:.（4）圓的直徑式方程:(圓的直徑的端點是、).圓中有關(guān)重要結(jié)論:(1)若p(,)是圓上的點,則過點p(,)的切線方程為.(2)若p(,)是圓上的點,則過點p(,)的切線方程為.(3)若p(,)是圓外一點,由p(,)向圓引兩條切線, 切點分別為a、b則直線ab的方程為.(4)若p(,)是圓外一點

19、, 由p(,)向圓引兩條切線, 切點分別為a、b，則直線ab的方程為.圓的切線方程(1)已知圓若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當在圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓過圓上的點的切線方程為;斜率為的圓的切線方程為.1.7 直線與圓的位置關(guān)系：相離、相切和相交。判斷方法（幾何法）：圓心到直線的距離過圓的切線方程是：弦長問題：利用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形解決切線長問題：構(gòu)造直角三角形解決2.圓錐曲線一、橢圓1橢圓方程的第一

20、定義：平面內(nèi)與兩定點f1，f2的距離的和為常數(shù)(大于)的點的軌跡。其中兩定點f1，f2叫焦點，定點間的距離叫焦距。（1）橢圓的標準方程：i中心在原點，焦點在x軸上：ii中心在原點，焦點在軸上：一般方程：橢圓的標準參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（一象限應(yīng)是屬于）幾何性質(zhì)頂點：或軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長焦點：或焦距：準線：或離心率：焦半徑：由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來為“左加右減”通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng)坐標：和（3）共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程（4）若p是橢圓：上的點為焦點，若，則的面積為（用余弦定理

21、與可得）若是雙曲線，則面積為二、雙曲線1雙曲線的第一定義：平面內(nèi)與兩個定點距離的差的絕對值等于的點的軌跡。（1）雙曲線標準方程：一般方程：（2）i焦點在x軸上：頂點：，焦點：，準線方程，漸近線方程：或ii焦點在軸上：頂點：焦點：準線方程：漸近線方程：或，參數(shù)方程：或 軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c離心率準線距（兩準線的距離）；通徑參數(shù)關(guān)系焦半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則： 構(gòu)成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號） （3）等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率（4）

22、共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：（5）共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設(shè)為例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得（6）直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行

23、的直線小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號（7）若p在雙曲線，則常用結(jié)論1：p到焦點的距離為m ：n，則p到兩準線的距離比為mn簡證： = 常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b三、拋物線設(shè)，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點 （0，0）離心率焦半徑注：頂點則焦半徑;則焦點半徑為通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)） 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系： （1）判定方法：聯(lián)立

24、直線與圓錐曲線方程，消元得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，求出，根據(jù) 判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（2）弦長公式：直線y=kx+b和圓錐曲線f(x,y)=0交于兩點p1(x1,y1) ,p2(x2,y2)則弦長p1p2=命題：經(jīng)過圓錐曲線焦點弦的端點的兩條切線相交于準線上。經(jīng)過橢圓（ab0）上一點p(x0，y0)的切線方程為。 經(jīng)過雙曲線上一點p(x0，y0)的切線方程為。 經(jīng)過拋物線y2=2px（p0）上一點p(x0，y0)的切線方程為y0y=p(x0+x)。 “四線”一方程 對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.第八章

25、 不等式1、不等式的基本性質(zhì)：此類選擇題多采用取特殊值法處理2、均值不等式：若，則（當且僅當時取等號） 若，則（當且僅當時取等號）基本變形： ； ；若，則，應(yīng)用條件：“一正二定三取等；積定和小，和定積大”。3、絕對值不等式：4、證明不等式常用方法：（1）比較法： 步驟：作差；變形（對差進行因式分解或配方變成幾個數(shù)（或式）的完全平方和）。判斷差的符號（2）綜合法：由因?qū)Ч＃?）分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證只需證，只需證5、不等式的解法： 注意“系數(shù)化正”（1）一元一次不等式：； （2）一元二次不等式：先“系數(shù)化正”，再根據(jù)的三種情況即寫出解集， （3）絕對值不等式：若，則 ； ；注意：(1

26、).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。(2).含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。（4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式； ； ；（5）高次不等式：穿根法：）第九章 數(shù)列1.數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，第n項，數(shù)列也可以看作一個定義域為自然數(shù)集n（或它的有限子集1，2，3，n）的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值2.數(shù)列的表示法 數(shù)列的表示法與函數(shù)的表示法相同列表法：把數(shù)列表示成a1，a2，a3，an，圖象法：在直角坐標系中，數(shù)列可用

27、一群坐標為(1，a1)，(2，a2)，(3，a3)，(n，an)，分散的弧立的點表示解析法：用通項公式來表示或用遞推公式來表示3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式4.數(shù)列的前n項和已知數(shù)列an,sn=a1+a2+a3+an，稱為數(shù)列的前n項的和，注意在sn-sn-1的表達式中令n=1不一定與s1相同5.數(shù)列的分類（1）按項數(shù)分：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列（2）按項與項之間大小關(guān)系分：遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動數(shù)列（3）按|an|的取值范圍分：有界數(shù)列，無界數(shù)列6.等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常

28、數(shù)，這個數(shù)列就叫做（一階）等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公差為，則有.對于等差數(shù)列，若，則。也就是：，如圖所示：若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等差數(shù)列。如下圖所示：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和，則有如下性質(zhì)：(i)奇數(shù)項 (ii)偶數(shù)項 (iii) 所以有 ； 所以有若等差數(shù)列的前項的和為，等差數(shù)列的前項的和為，則。7.等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d時，該數(shù)列的通項公式是an=a1+(n-1)d.8.等差數(shù)列an的前

29、n項的和的公式 等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d時，該數(shù)列的前n項的和的公式是9.等比數(shù)列 如果一個數(shù)列從第2項起，第一項與它前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示10.等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q時，該數(shù)列的通項公式是an=a1qn-1等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公比為，則有.對于等比數(shù)列，若，則也就是：。如圖所示：若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：數(shù)列的求和方法：(1)等差與等比數(shù)列(2)裂項相消法： 如：an=1/n

30、(n+1)常用裂項公式， ，,，(3)錯位相減法：, 所以有如：an=(2n-1)2n倒序相加法：如an=;又如已知函數(shù)求：。通項分解法：如：an=2n+3n12.排列組合與二項式定理12.1 計數(shù)原理加法原理：n=n1+n2+n3+nm (分類) 乘法原理：n=n1n2n3nm (分步)12.2排列（有序）與組合（無序）排列數(shù)公式是：=； 組合數(shù)公式是：=； 組合數(shù)性質(zhì)：= +=12.3二項式定理： 特別地：(1+x)n=1+cn1x+cn2x2+cnrxr+cnnxn通項為第r+1項： 主要結(jié)論： 所有二項式系數(shù)的和：cn+cn1+cn2+ cn3+ cn4+cnr+cnn=2n奇數(shù)項二項

31、式系數(shù)的和偶數(shù)項而是系數(shù)的和cn+cn+cn+ cn+ cn+cn+cn+cn+ cn+ cn+=2n-1第十章 概率統(tǒng)計必然事件：p(a)=1，不可能事件：p(a)=0，隨機事件：0p(a)1。2等可能事件的概率（古典概率）： 3互斥事件有一個發(fā)生的概率：4對立事件間的概率關(guān)系： 5相互獨立事件同時發(fā)生的概率： 6獨立重復試驗的概率： 表示事件a在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生了k次的概率。p為在一次獨立重復試驗中事件a發(fā)生的概率。概率與統(tǒng)計的公式和重要結(jié)論編號公式名稱內(nèi) 容1離散性隨機變量分布列（1） pi0,i=1,2, （2） p1+p2+=12期 望e=x1p1+x2p2+xnpn+3期

32、 望e(a+b)=ae+b4方 差d=（x1- e）2p1+(xn- e)2pn+5方 差d(a+b)=a2 d6二項分布b（n,p）,則e=np d=np(1-p)7幾何分布g(k,p), 則e=1/p d=(1-p)/p28標準差=9正態(tài)分布n(u,2)(1) 標準正態(tài)總體n(0,1)(x0 f(x)在這個區(qū)間是增函數(shù) 一般地，函數(shù)f(x)在某個區(qū)間可導 ，f1(x)0 f(x)在這個區(qū)間是減函數(shù) 一般地，函數(shù)f(x)在某個區(qū)間可導， f(x)在這個區(qū)間是增函數(shù) f1(x)0 一般地，函數(shù)f(x)在某個區(qū)間可導， f(x)在這個區(qū)間是減函數(shù) f1(x)06一般地，連續(xù)函數(shù)f(x)在點x0處

33、有極值 f1(x0)=07求函數(shù)的極值的一般步驟：先求導，再求駐點，再列表確定極值。一般地，函數(shù)在f(x)點x0連續(xù)時，如果x0附近左側(cè)f1(x0)0，右側(cè)f1(x0)0，那么f(x0)是極大值。一般地，函數(shù)在f(x)點x0連續(xù)時，如果x0附近左側(cè)f1(x0)0，那么f(x0)是極小值。8函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f1(x)=0成立，如果函數(shù)在這點有極大（小）值，那么不與端點值比較，也可以說這就是最大（?。┲?。如果沒有一個點使f1(x)=0成立，則這個函數(shù)在這個區(qū)間必定單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。9f1(x0)表示函數(shù)圖象在點x0處的切線的斜率10s1(t)表示物體在時刻t處的瞬時速度2導數(shù)的應(yīng)用：求切

34、線的斜率。kf/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點p(x0,f(x0)的切線的斜率。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）求導數(shù) （2）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。求極值、求最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個。常見話語：當x=x0時，函數(shù)有極值m f/(x0)0；f(x0)m第十二章 算法初步1.秦九韶算法：通過一次式的反復計算逐步得出高次多項式的值，對于一個n次多項式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達式如下：2. 理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機

35、械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法 (algorithm) 2.1. 描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言（本書指偽代碼）. 2.2 算法的特征：有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進行下去確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個或多個。沒有輸出的算法是無意義的。可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機器在一定時間內(nèi)可以完成，在時間上有一個合理的限度2.3. 算法含有兩大要素：操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)

36、系運算等控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)3. 流程圖：（flow chart）: 是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。 注意：3.1. 畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習慣3.2. 拿不準的時候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。 y n npa n yap3.3. 在輸出結(jié)果時，如果有多個輸出，一定要用

37、流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。 y n abpab4.算法結(jié)構(gòu)： 順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán) 當型循環(huán).順序結(jié)構(gòu)（sequence structure ）：是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重復執(zhí)行的操作，一個順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。.選擇結(jié)構(gòu)（selection structure ）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時主要是注意臨界條件的確定。它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中的a,b兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cycle structure）：它用來解決現(xiàn)實生活中的重復操作問題，分直到型（until）和當型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時（即不知道循環(huán)次數(shù)時）用當型循環(huán)。5.基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudo code），且是使用 basic語言編寫的,是介于自然語言和機器語言之間的文字和符號，是表達算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用 ，也可以用 ; 表示兩變量相乘時可以用“