(完整版)勾股定理(基礎(chǔ))知識講解

1、 勾股定理（基礎(chǔ)）撰稿：吳婷婷 責編：常春芳【學習目標】1掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數(shù)形結(jié)合的思想；2能夠運用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）；3通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題【要點梳理】【高清課堂 勾股定理 知識要點】要點一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果直角三角形的兩直角邊長分別為 a，ba +b = c，斜邊長為 ，那么 2 c22要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系（2）利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將

2、數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的（3）理解勾股定理的一些變式：( )2a = c -b ，b = c - a ， c = a + b - 2ab2222222要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形圖（1）中，所以方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形圖（2）中 ，所以方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形 ，所以要點三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2. 用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3 與勾股定理有關(guān)的面積計算；4勾股定理在實際生活中的應用【典型例題】類型一、勾股定理的直接應用1

3、、在abc 中，c90，a、b、c 的對邊分別為a 、b 、c （1）若a 5，b 12，求c ；（2）若c 26，b 24，求a +b = c2 來求未知邊長【思路點撥】利用勾股定理a22【答案與解析】+b = c2 ， 5， 12，ab解：（1）因為abc 中，c90，a22= a + b = 5 +12 = 25+144 =169所以 13c所以c22222+b = c2 ， 26， 24，cb（2）因為abc 中，c90，a22= c -b = 26 - 24 = 676 -576 =100所以 10a所以 a22222【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關(guān)鍵是先弄清楚所求

4、邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股原式還是變式舉一反三：【變式】在abc 中，c90，a、b、c 的對邊分別為a 、b 、c （1）已知b 6，c 10，求a ；:c = 3:5 b（2）已知a【答案】解：（1） c90，b 6，c 10， 32，求a 、c = c -b =10 - 6 = 64， a22222 a 8= 3k c = 5k， ，（2）設(shè)a c90，b 32，+b = c2 a(3k) + 32 = (5k)2 22即22解得k 8= 3k = 38 = 24 c = 5k = 58 = 40， a類型二、與勾股定理有關(guān)的證明 2、如圖所示，在 rtabc 中，c90，am 是

5、中線，mnab，垂足為 n，- bn = ac2 試說明an22【答案與解析】解：因為 mnab，所以an+ mn = ambn + mn = mb2 ，222 ，22- bn = am - bm2 所以an222因為 am 是中線，所以 mcmb又因為c90，所以在 rtamc 中，am- mc = ac2 ，22- bn = ac2 所以an22【總結(jié)升華】證明帶有平方的問題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進行轉(zhuǎn)化若沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理證明舉一反三：【變式】如圖，在abc 中，c90，d 為bc 邊的中點，deab 于e，則ae -be22aa

6、c2bbd2cbc2dde2【答案】連接ad 構(gòu)造直角三角形，得，選a類型三、與勾股定理有關(guān)的線段長【高清課堂 勾股定理 例 3】3、如圖，長方形紙片abcd 中，已知 ad8，折疊紙片使 ab 邊與對角線 ac 重合，點 b落在點 f 處，折痕為 ae，且 ef3，則 ab 的長為（ ）a3b4c5d6 【答案】d；【解析】解：設(shè) abx ，則 afx ， abe 折疊后的圖形為afe， abeafebeef，ecbcbe835，在 rtefc 中，由勾股定理解得 fc4，( )+8 = x + 4 ，解得x = 6在 rtabc 中，x222【總結(jié)升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”

7、兩大問題，最后通過勾股定理求解類型四、與勾股定理有關(guān)的面積計算4、如圖，直線 l 上有三個正方形 a，b，c，若 a，c 的面積分別為 5 和 11，則 b 的面積為（）a6b5c11d16【思路點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應用，由 b 是正方形，可求abccde由勾股定理可求 b 的面積=a 的面積+c 的面積【答案】d【解析】acb = decac = ceabccdebc=de+ bc = acabab2222+ de = ac22b 的面積為 5+11=16，故選 d【總結(jié)升華】此題巧妙的運用了勾股定理解決了面積問題，考查了對勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等

8、找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵類型五、利用勾股定理解決實際問題5、一圓形飯盒，底面半徑為 8cm ，高為 12cm ，若往里面放雙筷子（精細不計），那么筷子最長不超過多少，可正好蓋上盒蓋？ 【答案與解析】解：如圖所示，因為飯盒底面半徑為 8cm ，所以底面直徑 dc 長為 16cm 則在 rtbcd 中，bd+ bc =16 +12=400 ，2 2 2= dc22= 20 cm所以bd()答：筷子最長不超過 20cm ，可正好蓋上盒蓋【總結(jié)升華】本題實質(zhì)是求飯盒中任意兩點間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對平行直徑和相應的兩條高組成的長方形的對角線長舉一反三：【變式】如圖所示，一旗桿在離地面 5m 處斷裂，旗桿頂部落在