5.三重積分(2012)

1、1 三重積分三重積分 I 三重積分的概念與性質三重積分的概念與性質 II 三重積分的計算法三重積分的計算法 二、二、 柱面坐標下三重積分的計算法柱面坐標下三重積分的計算法 三三 、球面坐標下三重積分的計算法、球面坐標下三重積分的計算法 III 重積分的應用重積分的應用 一、一、 直角坐標下三重積分的計算法直角坐標下三重積分的計算法 2 I I、三重積分的概念、三重積分的概念 1三重積分的三重積分的定義定義 n i iiii vfdvzyxf 1 0 ),(lim),( 如果如果f (x，y，z)表示某物體在點表示某物體在點(x，y，z)處的體密度，處的體密度， 是該物體所占的空間閉區(qū)域，是該物

2、體所占的空間閉區(qū)域，f (x，y ,z)在在上連續(xù)，上連續(xù)， 則則 dvzyxfM),( 物體的質量物體的質量 2物理意義物理意義 3幾何意義幾何意義 的體積的體積 dxdydzV 4性質性質 同二重積分同二重積分 3 補充：補充： 利用對稱性化簡三重積分計算利用對稱性化簡三重積分計算 1,zox 、若若空空間間區(qū)區(qū)域域是是關關于于面面是是對對稱稱的的 則則 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fy f x y z dvfy 關關于于 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 關關于于 是是偶偶函函數(shù)數(shù) 1 其其中中是是的的右右半半部部分分 4 2,yoz 、若若空空間間區(qū)區(qū)域域是是關關于

3、于面面是是對對稱稱的的 則則 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fx f x y z dvfx 關關于于 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 關關于于 是是偶偶函函數(shù)數(shù) 1 其其中中是是的的前前半半部部分分 3,xoy 、若若空空間間區(qū)區(qū)域域是是關關于于面面是是對對稱稱的的 則則 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fz f x y z dvfz 關關于于 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 關關于于 是是偶偶函函數(shù)數(shù) 1 其其中中是是的的上上半半部部分分 5 4、 若若關于變量關于變量x，y，z具有輪換對稱性，則有具有輪換對稱性，則有 dvyxzfdvxzyfdvzyx

4、f),(),(),( dVyxzfxzyfzyxf),(),(),( 3 1 dVzyxdVzdVydVx Rzyx 3 1 222222 2222 所所圍圍，則則為為球球面面若若 6 在直角坐標系中，如果用平行于坐標面的平面來劃在直角坐標系中，如果用平行于坐標面的平面來劃 分分，則則dv=dxdydz ,),( dxdydzzyxf 1直角坐標系中的體積元素直角坐標系中的體積元素 因此在直角坐標系中，三重積分記作因此在直角坐標系中，三重積分記作 II、三重積分的計算、三重積分的計算 一、一、 用直角坐標系計算三重積分用直角坐標系計算三重積分 7 為母線平行于為母線平行于z軸的曲頂，曲底柱體時

5、軸的曲頂，曲底柱體時 第一種情況：第一種情況：投影法投影法( (先一后二法先一后二法) ) 2 2、化三重積分為三次單積分、化三重積分為三次單積分 x y z o D 1 z 2 z 2 S 1 S ),( 1 yxzz ),( 2 yxzz a b )( 1 xyy )( 2 xyy ),(yx 如圖，如圖， ,D xoy 面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域 在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(: ),(: 22 11 yxzzS yxzzS ,),(作作直直線線過過點點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從 21 zz 8 ,),()(: 21 bxaxyyxyD 若若 得得 dvzyxf),(.),

6、( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 b a xy xy yxz yxz dzzyxfdydx ),( ),( 2 1 ),(),( yxz yxz D dzzyxfdxdydvzyxf xy xy Dyxyxzzyxz ),(),(),(: 21 往另兩個坐標面上投影的情況與此類似。往另兩個坐標面上投影的情況與此類似。 9 2 1 x y o1 解解 x y z C (0,0,1) o A (1,0,0) )0 , 2 1 , 0(B x+2y=1 ,1 21 xdxdydz x yz 計計算算三三重重積積分分 其其中中為為三三個個坐坐標標面面及及平平面面 所所 例例 圍圍成成的的

7、閉閉區(qū)區(qū)域域。 Dxy xdxdydz xy D yx ddzx )( 21 0 yx x dzxdydx 21 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 )21( x dyyxxdx 1 0 32 )2(dxxxx 。 48 1 10 為為三三次次積積分分化化三三重重積積分分例例 dvzyxf),(2 所所圍圍。1,: 22 zyxz 解：曲面解：曲面z=x2+y2與平面與平面z=1的交線在的交線在xOy平面上的投平面上的投 影曲線為在影曲線為在x2+y2=1，在在xOy平面上的投影區(qū)域為平面上的投影區(qū)域為 Dxy: x2+y21。 xy Dyxzyx ),( , 1: 22 1 y x

8、z O 而而Dxy可用不等式組可用不等式組 11,11 22 xxyx 于是于是 11 1 1 1 22 2 2 ),(),( yx x x dzzyxfdydxdvzyxf 11 第二種情況第二種情況:截面法截面法(先二后一法先二后一法) 設區(qū)域設區(qū)域 夾在平面夾在平面z = c1，z = c2(c1 c2)之間之間 ,),( ),( 21 czcDyxzyx z 1 c 2 c z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf)3( ),(),( 2 1 z y x o 用豎坐標為用豎坐標為z (c1 z c2) 的平面截的平面截 所得截面為所得截面為Dz 或或D(z)，即，即 z D 1

9、2 z y x o z D z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf),(),( 2 1 特別當特別當f (x,y,z)只是只是 z 的函數(shù)：的函數(shù)： f (x,y,z)= (z), 上式的適用范圍：上式的適用范圍： 有有 )()()(),(zAzdxdyzdxdyzyxf zz DD 其中其中A(z)是是Dz的面積，于是的面積，于是 dzzAzdvzyxf d c )()(),( 13 ,3 dxdydzz計計算算例例 所所圍圍其其中中1,: 22 zyxz 解解用截面法。用截面法。 222 zy:xDz zo z D x y z o 1 z D z , z xoy D 用用平平行行

10、于于面面的的平平面面去去截截 空空間間區(qū)區(qū)域域得得平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域 zdv z D zddz 1 0 z D dzdz 1 0 1 0 2 )(dzzz 1 0 3dz z 1 0 4 4 z 。 4 1: 22 zyx 14 解解 0sin 4 xdvy dvzxyI)sin( 4 zdv y4sinx關于關于x是奇函數(shù)是奇函數(shù) x y z o Rzzyx2: 222 關于關于yoz平面對稱，平面對稱， Rzzyx dxdydzzxyI 2: ,)sin(4 222 4 計計算算例例 15 用截面法。用截面法。 o z D 222 2:zRzyxDz Rzzyx2: 222 z Dz x

11、 y z o zdv R dzzRz 2 0 32 )2( z D R dxdyzdz 2 0 2 0 ( ) R zz dz R z Rz 2 0 4 3 ) 43 2 ( 。 4 3 4 R 16 二二 、利用柱面坐標計算三重積分、利用柱面坐標計算三重積分 1柱面坐標柱面坐標 ,0 r ,20 . z 的的柱柱面面坐坐標標就就叫叫點點個個數(shù)數(shù) ，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標標為為面面上上的的投投影影 在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點點，并并設設點點設設 Mzr rPxoy MzyxM , , ),( 規(guī)定：規(guī)定： x y z o r z x y M(x,y,z) ),(zrM ( , ,0

12、)P r 17 . ,sin ,cos zz ry rx 柱面坐標與直角坐柱面坐標與直角坐 標的關系為標的關系為 為常數(shù)為常數(shù)r 為常數(shù)為常數(shù)z 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為 圓柱面；圓柱面； 半平面；半平面； 平平 面面 ),(zyxM ),(rP r z x y z o 18 dxdydzzyxf),( .),sin,cos( dzrdrdzrrf d r x y z o dz dr rd 如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系 中的體積元素為中的體積元素為 ,dzrdrddv 3柱面坐標系中的三重積分的形式柱面坐標系中的三重積分的形式 2柱面坐標系中的體積元素柱面坐標

13、系中的體積元素 4計算方法：定限方法同直角坐標，把邊界化成柱面計算方法：定限方法同直角坐標，把邊界化成柱面 坐標方程。坐標方程。 一般是化為先 一般是化為先z，再，再r ，最后，最后的三次積分的三次積分 19 例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4 222 zyx與拋物面與拋物面zyx3 22 所圍的立體所圍的立體. 解解 由由 zz ry rx sin cos , 交線的投影為交線的投影為: xy Dyxyxz yx ),.(4 3 : 22 22 3: 22 yxDxy .20 , 30 4 3 : 2 2 r rz r ， 2 3 2 42 0 3 0 r

14、r zdzrdrdI . 4 13 20 22 222 .() 0. xydxdydz xyzza a 例例2 2 計計算算，其其中中是是錐錐面面 與與平平面面（）所所圍圍成成的的立立體體 解解用柱面坐標。用柱面坐標。 x y z o 1 22 :.( , ) xy xyza x yD dxdydzyxI)( 22 a r a dzrrdrd 2 0 2 0 a drrar 0 3 )(2 54 2 54 aa a . 10 5 a .20,0,: arazr 21 三、利用球面坐標計算三重積分三、利用球面坐標計算三重積分 1球面坐標球面坐標 rOMr0| 0 ),( KOM （1）M(x，y

15、，z) (r， ,) ：MP，x軸正向按逆時針方向到軸正向按逆時針方向到OP的轉角，的轉角， 02。 r， , 叫點叫點M的的球面坐標。球面坐標。 P x y z o ),(zyxM r z y x A .cos ,sinsin ,cossin rz ry rx （2）球面坐標與直角坐標的關）球面坐標與直角坐標的關 系為系為 22 為常數(shù)為常數(shù)r 為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) （3） 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為 圓錐面；圓錐面； 球球 面；面； 半平面半平面 2球面坐標下三重積分的形式球面坐標下三重積分的形式 （1）球面坐標下的體積元素）球面坐標下的體積元素 d r x y z o

16、 dr dsinr rd d d sinr ,sin 2 ddrdrdv 23 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf （2）三重積分的球面坐標形式）三重積分的球面坐標形式 （3）計算方法：計算一般是化為先）計算方法：計算一般是化為先r，再再 ，最，最 后后的三次積分的三次積分 24 為為：積積分分，其其中中 化化為為球球面面坐坐標標下下的的三三次次將將例例 dVzyxf),(1 20 , 2 0 cos20 : Rr x y z 2R o R 2222 )(:)1(RRzyx dVzyxf),( cos2 0 2 2 0 2 0 s

17、in),( R drrrFdd 25 x y z o 20 4 0 0 : Rr dVzyxf),( R drrrFdd 0 2 4 0 2 0 sin),( 222 )2(yxRz 所所圍圍與與 22 yxz 26 注注以下區(qū)域時用球面坐標以下區(qū)域時用球面坐標 2222 :)1Rzyx R fdrrdd 0 2 0 2 0 sin fdxdydz 0,:)2 2222 zRzyx R fdrrdd 0 2 2 0 2 0 sin fdxdydz 222 :)3yxRz 所所圍圍與與 22 yxz R fdrrdd 0 2 4 0 2 0 sin fdxdydz 27 2222 )(:)4RR

18、zyx 所所圍圍與與 22222 2:)5yxzRzzyx Azyxa 222 0:)6 fdxdydz cos2 0 2 2 0 2 0 sin R fdrrdd fdxdydz cos2 0 2 4 0 2 0 sin R fdrrdd A a fdrrdd 2 0 2 0 sin fdxdydz 28 ,)(2 222 dxdydzzyx計計算算例例 dxdydzzyx)( 222 解解 5 4 drrrdd 2 1 0 2 0 2 0 sin 1: 222 zyx 29 dvzyx 222 cos 2 2 2 00 0 sinddr rdr 2 0 4 4 cos sin2 d zzy

19、xdvzyx 222222 :,3例例 :0cos ,0,02 2 r 解解 x y z 1 o 10 30 zdv計算計算例例 . 4 22222 , 1:yxzzyx 8 cossin 1 0 2 4 0 2 0 drrrddzdv解解： （2 2）被積函數(shù)形如）被積函數(shù)形如 f(x2+y2+z2) f(z),為球形域，為球形域， 球面與圓錐面所圍時，用球面坐標計算。球面與圓錐面所圍時，用球面坐標計算。 （1 1）為旋轉體或為旋轉體或的邊界面中含圓柱面、圓錐面、的邊界面中含圓柱面、圓錐面、 球面時，或者投影區(qū)域為圓形域時，被積函數(shù)形如球面時，或者投影區(qū)域為圓形域時，被積函數(shù)形如 一般用柱面

20、坐標。一般用柱面坐標。、)(),(arctan)( 22 zf x y fyxf 注：坐標系的選擇注：坐標系的選擇 31 IIIIII、重積分應用、重積分應用 通過三重積分可求空間區(qū)域通過三重積分可求空間區(qū)域 的體積，物體的質量的體積，物體的質量 通過二重積分可求曲頂柱體的體積、平面薄片的質通過二重積分可求曲頂柱體的體積、平面薄片的質 量、平面區(qū)域的面積量、平面區(qū)域的面積 D dyxfV ),( D dyxm ),( D dA 1. 空間區(qū)域空間區(qū)域 的體積的體積 , dxdydzV 如果如果 (x，y，z)表示某物體在點表示某物體在點(x，y，z)處的體密處的體密 度，度，是該物體所占的空間

21、閉區(qū)域，是該物體所占的空間閉區(qū)域， (x，y ， z)在在 上連續(xù)上連續(xù). dvzyxM),( 2. 物體的質量物體的質量 32 一、空間曲面的面積一、空間曲面的面積 dxdyA xy D y z x z 22 )()(1 1設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為在在 曲面面積公式為：曲面面積公式為： 33 cosar y x o 2 a a 1 ,4()AA 由由對對稱稱性性第第卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的部部分分 222 yxa y z y 222 x x z axy 2222222 ,xyzazaxy又又 y a x o z D 解解 34 dz

22、zdA yx 22 1 dxdy yxa a 222 D dAA4 cos 022 2 0 4 a rdr ra a d 2 0 cos 0 22 )(4 draa a 。)1 2 (4 2 a D dxdy yxa a 222 4 cosar y x o 2 a a D y a x o z 35 例例2 平面平面x+2y+3z8=0被柱面被柱面 割割下下部部分分的的面面積積1 2 2 2 2 b y a x 1 (82 ) 3 zxy解解 dddA 3 14 9 4 9 1 1 xy D dA 3 14 12 , 33 zz xy 3 14 。ab 3 14 Dxy y xoa b o z

23、x y 36 二、質心二、質心 設有平面薄片，占有設有平面薄片，占有xoy平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域D，點點 (x，y)處的面密度為處的面密度為(x，y)在在D上連續(xù)，求上連續(xù)，求 ),( _ yxG xx y y D d O , ),( ),( _ D D y dyx dyxx M M x D Dx dyx dyxy M M y ),( ),( _ 1 1、平面薄片的質心、平面薄片的質心 37 當薄片是均勻的，質心稱為當薄片是均勻的，質心稱為形心形心. , 1 D xd A x . 1 D yd A y D dA 其中其中 設設 (x，y，z)表示某物體在點表示某物體在點(x，y，z)處的

24、體密度，處的體密度， 是該物體所占的空間閉區(qū)域，是該物體所占的空間閉區(qū)域， (x，y ， z)在在上上 連續(xù)，則連續(xù)，則空間立體的質心空間立體的質心 坐標為：坐標為： M dvzyxz z M dvzyxy y M dvzyxx x ),( , ),( , ),( 2 2、空間立體的質心、空間立體的質心 38 例例3 求位于兩圓求位于兩圓r =2sin和和r=4sin 之間的均勻薄片的質心之間的均勻薄片的質心(如如圖圖)。 D C 4 O 2解：因為閉區(qū)域解：因為閉區(qū)域D對稱于對稱于y軸，所以質心軸，所以質心 0),( _ xyyxG軸軸上上，所所以以必必位位于于 _ 1 yyd A y D 計計算算再再按按公公式式 A=3。再利用極坐標計算積分：再利用極坐標計算積分： DD drdryd sin 2 sin4 sin2 2 0 sindrr 0 4 sin 3 56 d 因此因此 , 3 7 3 7 _ y ). 3 7 ,0(G所求質心是所求質心是 2 0 4 sin2 3 56 d.7 22 1 4 3 2 3 56