5.三重積分(2012)

1、1 三重積分三重積分 I 三重積分的概念與性質(zhì)三重積分的概念與性質(zhì) II 三重積分的計(jì)算法三重積分的計(jì)算法 二、二、 柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法柱面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法 三三 、球面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法、球面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法 III 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用 一、一、 直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法 2 I I、三重積分的概念、三重積分的概念 1三重積分的三重積分的定義定義 n i iiii vfdvzyxf 1 0 ),(lim),( 如果如果f (x，y，z)表示某物體在點(diǎn)表示某物體在點(diǎn)(x，y，z)處的體密度，處的體密度， 是該物體所占的空間閉區(qū)域，是該物

2、體所占的空間閉區(qū)域，f (x，y ,z)在在上連續(xù)，上連續(xù)， 則則 dvzyxfM),( 物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量 2物理意義物理意義 3幾何意義幾何意義 的體積的體積 dxdydzV 4性質(zhì)性質(zhì) 同二重積分同二重積分 3 補(bǔ)充：補(bǔ)充： 利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算 1,zox 、若若空空間間區(qū)區(qū)域域是是關(guān)關(guān)于于面面是是對(duì)對(duì)稱稱的的 則則 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fy f x y z dvfy 關(guān)關(guān)于于 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 關(guān)關(guān)于于 是是偶偶函函數(shù)數(shù) 1 其其中中是是的的右右半半部部分分 4 2,yoz 、若若空空間間區(qū)區(qū)域域是是關(guān)關(guān)于

3、于面面是是對(duì)對(duì)稱稱的的 則則 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fx f x y z dvfx 關(guān)關(guān)于于 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 關(guān)關(guān)于于 是是偶偶函函數(shù)數(shù) 1 其其中中是是的的前前半半部部分分 3,xoy 、若若空空間間區(qū)區(qū)域域是是關(guān)關(guān)于于面面是是對(duì)對(duì)稱稱的的 則則 1 ( , , ) 0 2( , , ) f x y z dv fz f x y z dvfz 關(guān)關(guān)于于 是是奇奇函函數(shù)數(shù) 關(guān)關(guān)于于 是是偶偶函函數(shù)數(shù) 1 其其中中是是的的上上半半部部分分 5 4、 若若關(guān)于變量關(guān)于變量x，y，z具有輪換對(duì)稱性，則有具有輪換對(duì)稱性，則有 dvyxzfdvxzyfdvzyx

4、f),(),(),( dVyxzfxzyfzyxf),(),(),( 3 1 dVzyxdVzdVydVx Rzyx 3 1 222222 2222 所所圍圍，則則為為球球面面若若 6 在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃 分分，則則dv=dxdydz ,),( dxdydzzyxf 1直角坐標(biāo)系中的體積元素直角坐標(biāo)系中的體積元素 因此在直角坐標(biāo)系中，三重積分記作因此在直角坐標(biāo)系中，三重積分記作 II、三重積分的計(jì)算、三重積分的計(jì)算 一、一、 用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分用直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分 7 為母線平行于為母線平行于z軸的曲頂，曲底柱體時(shí)

5、軸的曲頂，曲底柱體時(shí) 第一種情況：第一種情況：投影法投影法( (先一后二法先一后二法) ) 2 2、化三重積分為三次單積分、化三重積分為三次單積分 x y z o D 1 z 2 z 2 S 1 S ),( 1 yxzz ),( 2 yxzz a b )( 1 xyy )( 2 xyy ),(yx 如圖，如圖， ,D xoy 面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域 在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(: ),(: 22 11 yxzzS yxzzS ,),(作作直直線線過過點(diǎn)點(diǎn)Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從 21 zz 8 ,),()(: 21 bxaxyyxyD 若若 得得 dvzyxf),(.),

6、( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 b a xy xy yxz yxz dzzyxfdydx ),( ),( 2 1 ),(),( yxz yxz D dzzyxfdxdydvzyxf xy xy Dyxyxzzyxz ),(),(),(: 21 往另兩個(gè)坐標(biāo)面上投影的情況與此類似。往另兩個(gè)坐標(biāo)面上投影的情況與此類似。 9 2 1 x y o1 解解 x y z C (0,0,1) o A (1,0,0) )0 , 2 1 , 0(B x+2y=1 ,1 21 xdxdydz x yz 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 其其中中為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面 所所 例例 圍圍成成的的

7、閉閉區(qū)區(qū)域域。 Dxy xdxdydz xy D yx ddzx )( 21 0 yx x dzxdydx 21 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 0 )21( x dyyxxdx 1 0 32 )2(dxxxx 。 48 1 10 為為三三次次積積分分化化三三重重積積分分例例 dvzyxf),(2 所所圍圍。1,: 22 zyxz 解：曲面解：曲面z=x2+y2與平面與平面z=1的交線在的交線在xOy平面上的投平面上的投 影曲線為在影曲線為在x2+y2=1，在在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)槠矫嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)?Dxy: x2+y21。 xy Dyxzyx ),( , 1: 22 1 y x

8、z O 而而Dxy可用不等式組可用不等式組 11,11 22 xxyx 于是于是 11 1 1 1 22 2 2 ),(),( yx x x dzzyxfdydxdvzyxf 11 第二種情況第二種情況:截面法截面法(先二后一法先二后一法) 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 夾在平面夾在平面z = c1，z = c2(c1 c2)之間之間 ,),( ),( 21 czcDyxzyx z 1 c 2 c z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf)3( ),(),( 2 1 z y x o 用豎坐標(biāo)為用豎坐標(biāo)為z (c1 z c2) 的平面截的平面截 所得截面為所得截面為Dz 或或D(z)，即，即 z D 1

9、2 z y x o z D z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf),(),( 2 1 特別當(dāng)特別當(dāng)f (x,y,z)只是只是 z 的函數(shù)：的函數(shù)： f (x,y,z)= (z), 上式的適用范圍：上式的適用范圍： 有有 )()()(),(zAzdxdyzdxdyzyxf zz DD 其中其中A(z)是是Dz的面積，于是的面積，于是 dzzAzdvzyxf d c )()(),( 13 ,3 dxdydzz計(jì)計(jì)算算例例 所所圍圍其其中中1,: 22 zyxz 解解用截面法。用截面法。 222 zy:xDz zo z D x y z o 1 z D z , z xoy D 用用平平行行

10、于于面面的的平平面面去去截截 空空間間區(qū)區(qū)域域得得平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域 zdv z D zddz 1 0 z D dzdz 1 0 1 0 2 )(dzzz 1 0 3dz z 1 0 4 4 z 。 4 1: 22 zyx 14 解解 0sin 4 xdvy dvzxyI)sin( 4 zdv y4sinx關(guān)于關(guān)于x是奇函數(shù)是奇函數(shù) x y z o Rzzyx2: 222 關(guān)于關(guān)于yoz平面對(duì)稱，平面對(duì)稱， Rzzyx dxdydzzxyI 2: ,)sin(4 222 4 計(jì)計(jì)算算例例 15 用截面法。用截面法。 o z D 222 2:zRzyxDz Rzzyx2: 222 z Dz x

11、 y z o zdv R dzzRz 2 0 32 )2( z D R dxdyzdz 2 0 2 0 ( ) R zz dz R z Rz 2 0 4 3 ) 43 2 ( 。 4 3 4 R 16 二二 、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 1柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo) ,0 r ,20 . z 的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) ，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影 在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè) Mzr rPxoy MzyxM , , ),( 規(guī)定：規(guī)定： x y z o r z x y M(x,y,z) ),(zrM ( , ,0

12、)P r 17 . ,sin ,cos zz ry rx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐 標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為 為常數(shù)為常數(shù)r 為常數(shù)為常數(shù)z 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為 圓柱面；圓柱面； 半平面；半平面； 平平 面面 ),(zyxM ),(rP r z x y z o 18 dxdydzzyxf),( .),sin,cos( dzrdrdzrrf d r x y z o dz dr rd 如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系 中的體積元素為中的體積元素為 ,dzrdrddv 3柱面坐標(biāo)系中的三重積分的形式柱面坐標(biāo)系中的三重積分的形式 2柱面坐標(biāo)系中的體積元素柱面坐標(biāo)

13、系中的體積元素 4計(jì)算方法：定限方法同直角坐標(biāo)，把邊界化成柱面計(jì)算方法：定限方法同直角坐標(biāo)，把邊界化成柱面 坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。 一般是化為先 一般是化為先z，再，再r ，最后，最后的三次積分的三次積分 19 例例1 1 計(jì)算計(jì)算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4 222 zyx與拋物面與拋物面zyx3 22 所圍的立體所圍的立體. 解解 由由 zz ry rx sin cos , 交線的投影為交線的投影為: xy Dyxyxz yx ),.(4 3 : 22 22 3: 22 yxDxy .20 , 30 4 3 : 2 2 r rz r ， 2 3 2 42 0 3 0 r

14、r zdzrdrdI . 4 13 20 22 222 .() 0. xydxdydz xyzza a 例例2 2 計(jì)計(jì)算算，其其中中是是錐錐面面 與與平平面面（）所所圍圍成成的的立立體體 解解用柱面坐標(biāo)。用柱面坐標(biāo)。 x y z o 1 22 :.( , ) xy xyza x yD dxdydzyxI)( 22 a r a dzrrdrd 2 0 2 0 a drrar 0 3 )(2 54 2 54 aa a . 10 5 a .20,0,: arazr 21 三、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 1球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) rOMr0| 0 ),( KOM （1）M(x，y

15、，z) (r， ,) ：MP，x軸正向按逆時(shí)針方向到軸正向按逆時(shí)針方向到OP的轉(zhuǎn)角，的轉(zhuǎn)角， 02。 r， , 叫點(diǎn)叫點(diǎn)M的的球面坐標(biāo)。球面坐標(biāo)。 P x y z o ),(zyxM r z y x A .cos ,sinsin ,cossin rz ry rx （2）球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)）球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān) 系為系為 22 為常數(shù)為常數(shù)r 為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) （3） 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為 圓錐面；圓錐面； 球球 面；面； 半平面半平面 2球面坐標(biāo)下三重積分的形式球面坐標(biāo)下三重積分的形式 （1）球面坐標(biāo)下的體積元素）球面坐標(biāo)下的體積元素 d r x y z o

16、 dr dsinr rd d d sinr ,sin 2 ddrdrdv 23 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf （2）三重積分的球面坐標(biāo)形式）三重積分的球面坐標(biāo)形式 （3）計(jì)算方法：計(jì)算一般是化為先）計(jì)算方法：計(jì)算一般是化為先r，再再 ，最，最 后后的三次積分的三次積分 24 為為：積積分分，其其中中 化化為為球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的三三次次將將例例 dVzyxf),(1 20 , 2 0 cos20 : Rr x y z 2R o R 2222 )(:)1(RRzyx dVzyxf),( cos2 0 2 2 0 2 0 s

17、in),( R drrrFdd 25 x y z o 20 4 0 0 : Rr dVzyxf),( R drrrFdd 0 2 4 0 2 0 sin),( 222 )2(yxRz 所所圍圍與與 22 yxz 26 注注以下區(qū)域時(shí)用球面坐標(biāo)以下區(qū)域時(shí)用球面坐標(biāo) 2222 :)1Rzyx R fdrrdd 0 2 0 2 0 sin fdxdydz 0,:)2 2222 zRzyx R fdrrdd 0 2 2 0 2 0 sin fdxdydz 222 :)3yxRz 所所圍圍與與 22 yxz R fdrrdd 0 2 4 0 2 0 sin fdxdydz 27 2222 )(:)4RR

18、zyx 所所圍圍與與 22222 2:)5yxzRzzyx Azyxa 222 0:)6 fdxdydz cos2 0 2 2 0 2 0 sin R fdrrdd fdxdydz cos2 0 2 4 0 2 0 sin R fdrrdd A a fdrrdd 2 0 2 0 sin fdxdydz 28 ,)(2 222 dxdydzzyx計(jì)計(jì)算算例例 dxdydzzyx)( 222 解解 5 4 drrrdd 2 1 0 2 0 2 0 sin 1: 222 zyx 29 dvzyx 222 cos 2 2 2 00 0 sinddr rdr 2 0 4 4 cos sin2 d zzy

19、xdvzyx 222222 :,3例例 :0cos ,0,02 2 r 解解 x y z 1 o 10 30 zdv計(jì)算計(jì)算例例 . 4 22222 , 1:yxzzyx 8 cossin 1 0 2 4 0 2 0 drrrddzdv解解： （2 2）被積函數(shù)形如）被積函數(shù)形如 f(x2+y2+z2) f(z),為球形域，為球形域， 球面與圓錐面所圍時(shí)，用球面坐標(biāo)計(jì)算。球面與圓錐面所圍時(shí)，用球面坐標(biāo)計(jì)算。 （1 1）為旋轉(zhuǎn)體或?yàn)樾D(zhuǎn)體或的邊界面中含圓柱面、圓錐面、的邊界面中含圓柱面、圓錐面、 球面時(shí)，或者投影區(qū)域?yàn)閳A形域時(shí)，被積函數(shù)形如球面時(shí)，或者投影區(qū)域?yàn)閳A形域時(shí)，被積函數(shù)形如 一般用柱面

20、坐標(biāo)。一般用柱面坐標(biāo)。、)(),(arctan)( 22 zf x y fyxf 注：坐標(biāo)系的選擇注：坐標(biāo)系的選擇 31 IIIIII、重積分應(yīng)用、重積分應(yīng)用 通過三重積分可求空間區(qū)域通過三重積分可求空間區(qū)域 的體積，物體的質(zhì)量的體積，物體的質(zhì)量 通過二重積分可求曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)通過二重積分可求曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì) 量、平面區(qū)域的面積量、平面區(qū)域的面積 D dyxfV ),( D dyxm ),( D dA 1. 空間區(qū)域空間區(qū)域 的體積的體積 , dxdydzV 如果如果 (x，y，z)表示某物體在點(diǎn)表示某物體在點(diǎn)(x，y，z)處的體密處的體密 度，度，是該物體所占的空間

21、閉區(qū)域，是該物體所占的空間閉區(qū)域， (x，y ， z)在在 上連續(xù)上連續(xù). dvzyxM),( 2. 物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量 32 一、空間曲面的面積一、空間曲面的面積 dxdyA xy D y z x z 22 )()(1 1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠?曲面面積公式為：曲面面積公式為： 33 cosar y x o 2 a a 1 ,4()AA 由由對(duì)對(duì)稱稱性性第第卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的部部分分 222 yxa y z y 222 x x z axy 2222222 ,xyzazaxy又又 y a x o z D 解解 34 dz

22、zdA yx 22 1 dxdy yxa a 222 D dAA4 cos 022 2 0 4 a rdr ra a d 2 0 cos 0 22 )(4 draa a 。)1 2 (4 2 a D dxdy yxa a 222 4 cosar y x o 2 a a D y a x o z 35 例例2 平面平面x+2y+3z8=0被柱面被柱面 割割下下部部分分的的面面積積1 2 2 2 2 b y a x 1 (82 ) 3 zxy解解 dddA 3 14 9 4 9 1 1 xy D dA 3 14 12 , 33 zz xy 3 14 。ab 3 14 Dxy y xoa b o z

23、x y 36 二、質(zhì)心二、質(zhì)心 設(shè)有平面薄片，占有設(shè)有平面薄片，占有xoy平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域D，點(diǎn)點(diǎn) (x，y)處的面密度為處的面密度為(x，y)在在D上連續(xù)，求上連續(xù)，求 ),( _ yxG xx y y D d O , ),( ),( _ D D y dyx dyxx M M x D Dx dyx dyxy M M y ),( ),( _ 1 1、平面薄片的質(zhì)心、平面薄片的質(zhì)心 37 當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心形心. , 1 D xd A x . 1 D yd A y D dA 其中其中 設(shè)設(shè) (x，y，z)表示某物體在點(diǎn)表示某物體在點(diǎn)(x，y，z)處的

24、體密度，處的體密度， 是該物體所占的空間閉區(qū)域，是該物體所占的空間閉區(qū)域， (x，y ， z)在在上上 連續(xù)，則連續(xù)，則空間立體的質(zhì)心空間立體的質(zhì)心 坐標(biāo)為：坐標(biāo)為： M dvzyxz z M dvzyxy y M dvzyxx x ),( , ),( , ),( 2 2、空間立體的質(zhì)心、空間立體的質(zhì)心 38 例例3 求位于兩圓求位于兩圓r =2sin和和r=4sin 之間的均勻薄片的質(zhì)心之間的均勻薄片的質(zhì)心(如如圖圖)。 D C 4 O 2解：因?yàn)殚]區(qū)域解：因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于對(duì)稱于y軸，所以質(zhì)心軸，所以質(zhì)心 0),( _ xyyxG軸軸上上，所所以以必必位位于于 _ 1 yyd A y D 計(jì)計(jì)算算再再按按公公式式 A=3。再利用極坐標(biāo)計(jì)算積分：再利用極坐標(biāo)計(jì)算積分： DD drdryd sin 2 sin4 sin2 2 0 sindrr 0 4 sin 3 56 d 因此因此 , 3 7 3 7 _ y ). 3 7 ,0(G所求質(zhì)心是所求質(zhì)心是 2 0 4 sin2 3 56 d.7 22 1 4 3 2 3 56