微分方程的基本概念

1、第一節(jié)微分方程的基本概念教學(xué)目的：理解并掌握微分方程的基本概念， 主要包括微分方程的階，微分方程的通解、特解及微分方程的初始條件等教學(xué)重點：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件教學(xué)難點：微分方程的通解概念的理解教學(xué)內(nèi)容:1、首先通過幾個具體的問題來給出微分方程的基本概念。（1） 一條曲線通過點（1，2），且在該曲線上任一點M （x,y）處的切線的斜率為2x，求這條曲線的方程。解 設(shè)曲線方程為y = y（x）.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)y = y（x）滿足d(1)同時還滿足以下條件:x =1 時，y =2(2)把（1）式兩端積分，得2y = 2xdx 即 y = x C(3)其中

2、C是任意常數(shù)。把條件（2）代入（3）式，得C =1，由此解出C并代入（3）式，得到所求曲線方程:y = x21(4)2（2）列車在平直線路上以 20 m/s的速度行駛；當(dāng)制動時列車獲得加速度0.4m/s .問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間里行駛了多少路程?解設(shè)列車開始制動后t秒時行駛了 s米。根據(jù)題意，反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)S =s（t）滿足：d2s dt2-0.4(5)0 時，sv 尋 20(6)(7)(8)此外，還滿足條件:（5）式兩端積分一次得：dsv0.4t C1dt再積分一次得s - -0.2t2C1tC2其中Ci,C2都是任意常數(shù)。把條件“ t =0時v

3、 = 20”和“ t = 0時s = 0”分別代入（7）式和（8）式，得G = 20,C2 = 0把Ci,C2的值代入（7）及（8）式得v = -0.4t20,（9）2s - -0.2t20t（10）在（9）式中令v = 0，得到列車從開始制動到完全停止所需的時間：t 20 = 50(s)。0.4再把t =5代入（10）式，得到列車在制動階段行駛的路程2s=-0.2 5020 50 =500(m).上述兩個例子中的關(guān)系式（1 ）和（5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方程。2、定義 一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系到的方程，叫做微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常

4、微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏微分方程。本章只討論常微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的求知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程。又如，方程y 4 4y 10y12y 5y =sin 2x是四階微分方程。一般地，n階微分方程的形式是F（x,y,y, y（n） =0,（ 11）其中F是個n - 2變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程（11）中，y（n）是必須出現(xiàn)的，而x, y, y/ ,y（nJ）等變量則可以不出現(xiàn)。例如n階微分方程y（n）1=0中，除y（n）外，其他變量都沒有出現(xiàn)。如果能從方程（11）中解出最高階導(dǎo)數(shù)，得微分方程

5、（n）（n）、y =f（x,y,y, , y ）.（ 12）以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且（12）式右端的函數(shù)f在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。由前面的例子我們看到，在研究某些實際問題時，首先要建立微分方程，然后找出滿足 微分方程的函數(shù)，就是說，找出這樣的函數(shù)，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個函數(shù)就叫做該微分方程的解。確切地說，設(shè)函數(shù)y = ：（x）在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間I上，F(xiàn)x（x）, x）,n（x）=0,那么函數(shù)y二（x）就叫做微分方程（11）在區(qū)間I上的解。例如，函數(shù)（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函數(shù)（8）和（10

6、）都是微分方程（5） 的解。這樣的如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 解叫做微分方程的通解。例如，函數(shù)（3）是方程（1）的解，它含有一個任意常數(shù)，而方程（1 ）是一階的，所以函數(shù)（3）是方程（1）的通解。又如，函數(shù)（8）是方程的解，它含有 兩個任意常數(shù)，而方程（5）是二階的，所以函數(shù)（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)的值。為此，要根據(jù)問題的實際情況提出確定這些常數(shù)的條件。例如，例1中的條件（2），例2中的條件（6），便是這樣的條件。設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為y二y（x），如果微分方

7、程是一階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是x = xo 時，y 二 y，或?qū)懗蓎XzXo = y0其中X。，yo都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來確定任意常數(shù)的條件是：X = Xo 時，y = yo， y = yo或?qū)懗蓎lxry。，ylxry。其中xo，yo和yo都是給定的值。上述條件叫做初始條件。確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）滿足條件（2）的特解；（10）式是方程（5）滿足條件（6）的特解。求微分方程y=f（x,y）滿足初始條件 y Ix=xo二y o的特解這樣一個問題，叫做一階微分方程的 初值問題，記作W=f（x, y）,丿,（13）

8、y lxy.微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。初值問題（13）的幾何意義是求微分方程的通過點 （X。，yo）的那條積分曲線。二階微分方程的初值問題；y=f（x, y,y）,、yyo,y|xn = yo3、例題例1驗證：函數(shù)(14)x =C1 coskt C2sin kt是微分方程d2xdt2k2x =0(15)的解。解求出所給函數(shù)（14）的導(dǎo)數(shù)d2xdt2kCi sinkt kC? coskt, dt2 2 2二-k C1 cos ktk C2si n kt 二-k (C1 cos kt C2 sin kt)d x把今及x的表達(dá)式代入方程（15）得dt22 2-k （C1

9、coskt C2sin kt） + k （G coskt C2 sin kt） = 0函數(shù)（14）及其導(dǎo)數(shù)代入方程（15）后成為一個恒等式，因此函數(shù)（14）是微分方程（15） 的解。小結(jié)：本節(jié)講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解 及微分方程的初始問題作業(yè)：高數(shù)第325頁2、4、5題第二節(jié)可分離變量的微分方程教學(xué)目的：熟練掌握可分離變量的微分方程的解法教學(xué)重點：可分離變量的微分方程的解法教學(xué)難點：可分離變量的微分方程的解法教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)開始，我們討論一階微分方程y = f(x,y)(1)的一些解法.一階微分方程有時也寫成如下的對稱形式：(2)y為未知函數(shù)的方程P(x, y

10、)dx Q(x, y)dy = 0在方程(2)中,變量x與y對稱,它既可以看作是以為 x自變量、(Q(x,y),dx Q(x, y)也可看作是以x為自變量、y為未知函數(shù)的方程汁鵜(PS0),在第節(jié)的例1中，我們遇到一階微分方程dy = 2xdx.把上式兩端積分就得到這個方程的通解：2y = x C。但是并不是所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對于一階微分方程史二 2xy2（ 3）dx就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解。原因是方程（3 ）的右端含有未知函數(shù)y積分2xy2dx求不出來。為我解決這個困難,在方程（3）的兩端同時乘以dx，使方程（3）變?yōu)閥電二 2xdx，y這樣，變量

11、x與y已分離在等式的兩端，然后兩端積分得-x2 C1x2 C(4)其中C是任意常數(shù)?？梢则炞C，函數(shù)（4）確實滿足一階微分方程（3），且含有一個任意常數(shù)，所以它是方程（3）的通解。般地，如果一個一階微分方程能寫成(5)g(y)dy = f (x)dx的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy ,另一端只含x的函數(shù)和dx,那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。假定方程（5）中的函數(shù)g（y）和f（x）是連續(xù)的，設(shè)y二（x）是方程的解，將它代入（5） 中得到恒等式g （x）（x）dx 二 f（x）dx.將上式兩端積分，并由y二（x）引進(jìn)變量y，得g（y）dy 二 f（x）dx設(shè)G（y）及F

12、（x）依次為g（y）和f（x）的原函數(shù)，于是有G（y）=F（x） C（ 6）因此，方程（5）滿足關(guān)系式（6）。反之，如果y=6（x）是由關(guān)系到式（6）所確定的隱函數(shù)，那么在g（y） =0的條件下，y：（x）也是方程（5）的解。事實上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可知，當(dāng)g（y） =0時,：j(x)F(x)G(y)f(x)g(y)這就表示函數(shù)y h（x）滿足方程（5）。所以如果已分離變量的方程（5）中g(shù)（y）和f （x）是連續(xù)的，且g（y） =0,那么（5）式兩端積分后得到的關(guān)系式 （6），就用隱式給出了方程 （5） 的解，（6）式就叫做微分方程 （5）的隱式解。又由于關(guān)系式（6）中含有任意常數(shù)，因此（6）

13、 式所確定的隱函數(shù)是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。例1求微分方程也2xy dx的通解。解 方程（7 ）是可分離變量的，分離變量后得叭 2xdxy兩端積分d = 2xdx,y得ln y = x2 +G ,從而y = ex 憐 =e1 ex。C又因為_e 1仍是任意常數(shù)，把它記作C便得到方程（7）的通解y = Ce*。例2放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的誤變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比。已知t =0時鈾的含量為 Mo,求在衰變過程中含量 M（t）隨時間變化的規(guī)律。解鈾的衰變速度

14、就是M （t）對時間t的導(dǎo)數(shù)罟。由于鈾的衰變速度與其含量成正比，得到微分方程如下dt(8)其中（ 0）是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前的負(fù)號是指由于當(dāng)t增加時M單調(diào)減少，即dM : 0的緣故。dt由題易知，初始條件為方程（8）是可以分離變量的，分離后得dM_dt.M兩端積分dM M 以InC表示任意常數(shù)，因為 M0,得是方程（8）的通解。以初始條件代入上式，解得M = Ce = C故得M二Moe.由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰落減。及其解法小結(jié)：本節(jié)講述了一階微分方程中可分離變量的微分方程,作業(yè)：高數(shù)第333頁1、2、4題第三節(jié)齊次方程教學(xué)目的：熟練掌握齊次微分方程的解法教學(xué)重點：齊次方

15、程的解法教學(xué)難點：齊次方程的解法教學(xué)內(nèi)容：1、齊次方程的形式如果一階微分方程V 二 f(x, y)中的函數(shù)f (x, y)可寫成的函數(shù)，即f (x, y)x二C)，則稱這方程為齊次方程x例如(x y)dx (y -x)dy = 0是齊次方程，因為其可化為dx x - y2、齊次方程f(x,y)(1)的解法。作代換y = ux，于是dydx從而duu.dxdux udx(u) -u八(u)，分離變量得兩端積分得求出積分后，再用分離變量，得dxdudx(u) -udu(U) -Udxx上代替u，便得所給齊次方程的通解。如上例dux u = dx 1 - u(1 u)dudx1 u2積分后，將u=y

16、代回即得所求通解。x例1解方程xy、y(1 In y Tn x)。解原式可化為令u = y，則x于是dy y dx x dy dux u ,dx分離變量兩端積分得故方程通解為3、練習(xí)dxdux udxu(1 l nu)du dx u In u xIn In u=In u In CIn u=CxCxu = e oy 二 xeCx o1 x2y y2 = xy通解為In y = C x通解為- y22 22 (-3xy )dx 2xydy =0小結(jié)：本節(jié)講述了齊次方程，及其解法 作業(yè)：高數(shù)第333頁1、2、3題第四節(jié)一階線性微分方程教學(xué)目的：掌握一階線性微分方程的形式，熟練掌握其解法；掌握利用變量

17、代換 解微分方程的方法；了解貝努利方程的形式及解法教學(xué)重點：一階線性微分方程的形式，及解的形式，利用變量代換解微分方程教學(xué)難點：一階線性微分方程通解的形式，利用變量代換解微分方程教學(xué)內(nèi)容：、線性方程1定義 方程dy P(x)y二Q(x) (1)稱為一階線性微分方程。 dx特點 關(guān)于未知函數(shù) y及其導(dǎo)數(shù)y是一次的。若Q(x)三0 ，稱(1)為齊次的；若Q(x) =0 ，稱(1)為非齊次的。22v-如：(1) y 2xy=2xe(2) y(x 1)2x + 12、解法當(dāng)Q(x) =0時，方程(1)為可分離變量的微分方程。當(dāng)Q(x) =0時，為求其解首先把 Q(x)換為0，即dy P(x)y =0(

18、 2)dx稱為對應(yīng)于(1)的齊次微分方程，求得其解-P(x)dxy 二 CeP(x)dx 為求(1)的解，利用常數(shù)變易法，用u(x)代替C，即y二u(x)e于是,史=ueP(x)dxuex)dx-P(x)dx代入(1)，得P(x)dx二 Q(x)edx C-P(x) dxP (x)dxy = e ( Q(x)e dx C)。3、例求方程y2yx 1=(x 1)2(4)解 這是一個非齊次線性方程。先求對應(yīng)的齊次方程的通解。虬空=0 ,dx x 1dy 2dxy x 1In y = 21n(x 1) In C ,(5)y =c(x 1)2用常數(shù)變易法。把C換成u（x），即令y 二 U(x T)2，

19、則有dy =u(x 1)2 2u(x 1)，dx代入（1）式中得1u = (x 1)。，兩端積分，得32u (x 1)2 C。3再代入（4）式即得所求方程通解y =(x 1)2|(x 1) C。另解我們可以直接應(yīng)用（3 ）式-P(x)dxy 二 e(.Q(x)eP(x) dxdx+C)得到方程的通解，其中,P(x)二5Q(x)二(x 1)2代入積分同樣可得方程通解y =(x 1)2f(x 1)? C，3 )式求解。此法較為簡便，因此，以后的解方程中，可以直接應(yīng)用(二、貝努力方程1定義 dy - P(x)y二Q(x)yn (n - 0,1)稱為貝努力方程。 dx當(dāng)n =0,1時，為一階線性微分方

20、程。2、解法兩邊同除nyy學(xué) P(x)y1二 Q(x) dx令z = y1，則有dzn dy(1 - n)ydxdx1 dzP(x)z 二 Q(x)1 - n dx而(1 _n)P(x)z = (1 - n)Q(x) dx為一階線性微分方程，故(1)P(x) dx(1 -n)Q(x)edx C)。貝努力方程的解題步驟(1) 兩端同(1 n)yn(2) 代換 z = y14(3) 解關(guān)于z的線性微分方程(4) 還原例解方程 xy y二x3 y65解 過程略，通解為y x3 Cx5。2三、利用變量代換解微分方程例解方程 xy y 二 y(ln x In y)令xy=u，則譽y + x*，于是Uln

21、uxdu , ylnu = dx解得u = eCx， 即xy = eCx例解方程dy 1 dx x y解 過程略，通解為 1 x - y = Cey。小結(jié)：本節(jié)講述了一階線性微分方程，及貝努力方程的解法，利用常數(shù)變易法, 和變量代換法來解微分方程。作業(yè)：高數(shù)第348頁1、2、3、6 9題第五節(jié)全微分方程教學(xué)目的：掌握全微分方程成立的充要條件，掌握全微分方程的解法，會用觀察法找積分因子教學(xué)重點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子教學(xué)難點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子教學(xué)內(nèi)容：1定義 若P(x,y)dx Q(x, y)dy =0(1 )恰為某一個函數(shù)的全微分方程，即存在某個u(x, y)，使

22、有du = P(x,y)dx Q(x, y)dy，則稱(1)為全微分方程?？梢宰C明 u(x, y) =C是(1 )式的隱式通解。2、解法 若P(x,y)，Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，條件.:p g.:y ;x(1)式為全微分方程的充要要條件。xy通解為 u(x,y) = i P(x, y)dx 亠 i Q(x, y)dy=C。X)y0例 1 求解 (5x4 3xy2 - y3)dx (3x2y - 3xy2 y2 )dy 二 0解令 P = 5 x 43 xy 2 - y 3，Q = 3x2 y - 3xy2 y2蘭=6xy-3y2 y此方程為全微分方程。于是x423y 2

23、u(x,y)0(5x 3xy -y)dx 0ydy532231二 x x y - xy23通解為x5 3x2y2 - xy3 1 y3 = C233、積分因子若蘭 Q，則(1)式不是全微分方程,但若有一個適當(dāng)函數(shù)=J(x, y)，使(1)式乘以J(x, y)后為全微分方程，稱函數(shù)J(x,y)為積分因子。般積分因子不好求，我們只要求通過觀察找到積分因子。例2 方程ydx -xdy =0不是全微分方程，但于是將方程乘以丄，則有ydx ；xdy =0 ,yyxx1即d() = 0，從而C為其通解。此時 2為其積分因子。yyy注意 積分因子一般不唯一。女口上述方程，若同乘有 -0，xyx y于是 d(

24、ln x -In y) = 0，即x1C為其通解。也yxy是其積分因子。小結(jié)：本節(jié)講述了全微分方程的解法，用觀察法長積分因子, 程的充要條件。作業(yè)：高數(shù)第352頁1、2題使之滿足全微分方第六節(jié) 可降階的高階微分方程教學(xué)目的：掌握三種容易降階的高階微分方程的求解方法教學(xué)重點：三種可降階的高階微分方程的求法教學(xué)難點：三種可降階的高階微分方程的求法 教學(xué)內(nèi)容：一、y 二 f (x)型令 y(n=z，則原方程可化為生=f (x)，dx于是 z =y(z = f(x)dx C,同理 y2)= f(x)dx C訂dx Cn次積分后可求其通解。其特點：只含有y(n)和x，不含y及y的1 (n -1)階導(dǎo)數(shù)。

25、1例1解方程 y” :J2x+15解得 y二丄(2x 1)2 C1x2 C2x - C3為其通解。 15二、yJf(x,y)令y二p,則，于是可將其化成一階微分方程。特點含有y, y,x，不含y。例 2 xy+y-x2 =01 3解得通解為y x3 C1ln x C29三、y=f(y,y)令y = p,則y,亞二生變十蟲，dx dy dx dy于是可將其化為一階微分方程。特點不顯含x。例 3 yy-y2+y= 0解化為一階線性或可分離變量的微分方程，解得通解為In(1 Gy) = Gx - C2。小結(jié)：本節(jié)講述了三種容易降階的高階微分方程及其求解方法作業(yè)：高數(shù)第352頁1、3題第七節(jié)高階線性微

26、分方程教學(xué)目的：掌握二階線性方程解的結(jié)構(gòu)，齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。教學(xué)重點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。教學(xué)難點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。教學(xué)內(nèi)容：1、定義：方程”2d+ P(x)空+Q(x)y= f(x)(1)稱為二階線性微分方程。dxdx當(dāng)f(x)=O時稱為齊次的，當(dāng) f(x)=O時稱為非齊次的。為求解方程(1)需討論其解的性質(zhì)2、解的性質(zhì)”2d P(x)翌 Q(x)y =0( 2)dxdx性質(zhì) 1 若 yi(x), y2(x)是(2)的解，則 y -Ciyi (x) - C2y2(x)也是(2)的解, 其中G

27、，C2為任意常數(shù)。稱性質(zhì)1為解的疊加原理。但此解未必是通解， 若力&)=3丫2&)，則y,x) (C 2 3CyGx，那么Ci yi(x) C2 y (x)何時成為通解？只有當(dāng) y與y線性無關(guān)時。線性相關(guān)設(shè)y1,y2li,yn是定義在區(qū)間1內(nèi)的函數(shù)，若存在不全為零的數(shù) 人*2,|1|,心 使得kk22 川 knyn =0恒成立，則稱 如，y2,丨11, yn線性相關(guān)。線性無關(guān)不是線性相關(guān)。2 2如:1,cos x,sin x 線性相關(guān),1,x,x2線性無關(guān)。對兩個函數(shù)，當(dāng)它們的比值為常數(shù)時，此二函數(shù)線性相關(guān)。若它們的比值是函數(shù)時，線性無關(guān)。性質(zhì)2若yx）, y2（x）是（2）的兩個線性無關(guān)的特

28、解，那么y =Ciyi（x） C2y2（x）（Ci，C2為任意常數(shù)）是方程（2）的特解。此性質(zhì)稱為二階齊次線性微分方程（2）的通解結(jié)構(gòu)。如：y-i二cosx, y2二sin x是yy = 0的兩個解，又-= ctgx=常數(shù)。因此， y2y 二 G cos x C2sin x 為 y y = 0 的通解。又（x -1）y”-xy y =0的解y-二x,牡=e亦線性無關(guān)。x則y =Gx C?e為其通解。下面討論非齊次微分方程（1）的解的性質(zhì)稱（2）為（1）所對應(yīng)的齊次方程。性質(zhì)3設(shè)y*是（1 ）的特解，Y是（2）的通解，貝U y二Yy*是（1）的通解。2 2如：yy 二x ,C1 cos x C2

29、 s inx 為 yy=0 的通解，又 y* = x - 2 是特解,則 y = G cos x C2 sin x 的通解。性質(zhì)4設(shè)（5）式中f （x） = f1（x）f2（x），若y1*, y2*分別是 p(x)黑 Q(x)y=f1(x),d4 P(x)乎 Q(x)y = f2(x)dxdx的特解，則y1* y2*為原方程的特解。稱此性質(zhì)為解的疊加原理。小結(jié)：本節(jié)講述了二階線性方程解的結(jié)構(gòu)， 包括齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。作業(yè)：高數(shù)第375頁，第1、3、4題。第八節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)目的：掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程，特征根，及對應(yīng)于特征根的

30、三種情況，通解的三種不同形式。教學(xué)重點：特征方程，特征根，及對應(yīng)于特征根的三種情況，通解的三種不同形式。教學(xué)難點：根據(jù)特征根的三種不同情況，得到三種不同形式的通解。教學(xué)內(nèi)容：d 2ydy若一4 P（x） Q（x）y =0（ 2）中P（x）,Q（x）為常數(shù)，稱之為二階常系數(shù)齊次dxdx微分方程，而（2）稱之為二階變系數(shù)齊次微分方程。記：y” py qy =0（ 3）將y二e伙代入（3）中有（r2 pr q）erx= 0，稱r2 pr q = 0為（3）的特征方程。設(shè)ri,r2為（4）的解。2rdxx（1） 當(dāng) ri = a 即 p -4q 0 時，y=Ge C2e 為其通解。（2）當(dāng) * = r2 = r 即 p2 -4q = 0 時，（3）只有一個解 y 二 Ce。（3）當(dāng) r 土i P 即 p2 -4q c0 時，有 y = e-x 是解。利用歐拉公式可得實解，故通解為y = e x（