可測集的判定方法及其性質(zhì)大學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文可測集的判定方法及其性質(zhì)determination methods and properties ofthe measurable set姓 名： 學(xué) 號(hào)： 學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 完成時(shí)間： 2011年4月20日 可測集的判定方法及其性質(zhì) 【摘要】 在本論文中，我們介紹了基于caratheodory測度理論上的lebesgue測度理論.從可測集的定義出發(fā)，我們討論可測集的性質(zhì).我們還討論了可測集和borel集之間的關(guān)系.為了更好地了解可測集的性質(zhì)，我們在文中給出一些例子.通過寫這篇論文，我對(duì)可測集的性質(zhì)及其結(jié)

2、構(gòu)有了更深刻全面的了解.【關(guān)鍵字】測度 可測集 性質(zhì) determination methods and properties of the measurable set *abstract in this paper, we introduce the lebesgue measure theory which is based on the caratheodory measure theory. from the definitions of measurable set, we discuss the properties of measurable set. we also disc

3、uss the relationship between measurable set and borel set. in order to obtain a good understanding the properties of measurable set, we give some examples in the paper. through writing this paper, i get a comprehensive and profound understanding about the construction and properties of measurable se

4、t.keywords measure measurable set properties 目錄1.引言12.可測集的定義23.可測集的性質(zhì)4(1)零測集4(2)可測集關(guān)于集合的運(yùn)算性質(zhì)5(3)單調(diào)的可測集序列94.可測集類及可測集的構(gòu)成11(1)可測集類11(2)可測集與集的關(guān)系14參考文獻(xiàn)、致謝201 引言實(shí)變函數(shù)論的核心問題是對(duì)我們在數(shù)學(xué)分析中已學(xué)過的黎曼（）積分進(jìn)行推廣，而建立一種應(yīng)用范圍更廣，使用起來更靈活、便利的新的積分理論即積分理論.數(shù)學(xué)分析中積分基本上是處理幾乎連續(xù)的函數(shù)，但隨著理論的發(fā)展，積分理論的缺陷變得愈來愈明顯，主要表面在以下兩個(gè)方面：一方面是對(duì)被積函數(shù)的連續(xù)性要求太強(qiáng)，

5、以致于著名的函數(shù)這樣一種非常簡單的函數(shù)都不可積；另一方面是應(yīng)用起來有很大的局限性，這種局限性突出表現(xiàn)在可積函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分，以及可積函數(shù)列的積分與極限的可交換性方面，一般要求函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要具有一致收斂性，而這一要求在實(shí)際問題中常常得不到滿足，或雖然滿足要想驗(yàn)證又非常的繁復(fù)，因此，無論在理論方面還是在實(shí)際應(yīng)用方面改進(jìn)積分的定義使之適用更廣泛的函數(shù)類是很有必要的.為此,數(shù)學(xué)家通過努力建立了一種新型的積分積分.積分和積分的思路相反,不是從分割自變量的區(qū)域而是從分割函數(shù)值域著手構(gòu)造積分和.19世紀(jì)下半葉,不少分析學(xué)家進(jìn)行一系列擴(kuò)充長度和面積概念的探索,逐漸形成測度概念.它作為建立積分的基礎(chǔ),

6、是要對(duì)中一般點(diǎn)集給出一種度量.它是長度、面積和體積等概念的推廣.從1898年開始, 建立了一維點(diǎn)集的測度.法國數(shù)學(xué)家在20世紀(jì)初葉系統(tǒng)地建立了測度論,并成功地建立起新的積分理論.1915年法國數(shù)學(xué)家提出在一般代數(shù)上建立測度，開始創(chuàng)立抽象測的理論.1918年左右希臘數(shù)學(xué)家提出關(guān)于現(xiàn)代測度理論的關(guān)鍵理論.本文要介紹基于外測度理論上的測度理論.2 可測集的定義定義2.11 稱是的可數(shù)開覆蓋為點(diǎn)集的外測度，簡稱外測度，記作.定理2.11 外側(cè)度具有如下性質(zhì)：（1）對(duì)任意都有 （非負(fù)性）；（2）設(shè)，則 （單調(diào)性）；（3）設(shè)，則 （次可加性）；（4）設(shè)，若，則 （距離可加性）. 定義2.21 稱中的點(diǎn)集為

7、可測集，如果對(duì)于任意，都有 （1）可測集的外測度就稱為它的測度，簡稱測度，記作.測度為零的集合稱為零測集.中所有可測集組成的集合稱為可測集類.上述（1）式稱為條件，它等價(jià)于：對(duì)任意都有 （2）事實(shí)上，若（1）式成立，則取反之，若（2）式成立，令 ,便有（1）式成立.注: 要證明點(diǎn)集可測,只需證明不等式 成立，因?yàn)橄喾吹牟坏仁娇偸浅闪?例11 證明對(duì)任意可測集和，都有 . 證明 可測，由條件對(duì)任意的，有 ,取,所以 (3)取 (4)綜合（3），（4），得到.注: 可測集的定義方式有多種，原有的定義是通過內(nèi)測度與外測度給出的，外測度如前所述，有界點(diǎn)集的內(nèi)測度定義為 其中為包含的開區(qū)間. 的內(nèi)測度記

8、作.由于是包含的開集無限外縮逼近的度量的極限值,所以實(shí)際上是包含于內(nèi)的閉集向外無限膨脹的度量的逼近值,類似于用圓的內(nèi)接正多邊形面積逼近圓的面積,內(nèi)脹于外縮能達(dá)到統(tǒng)一的值,這個(gè)值就自然是點(diǎn)集的度量.因此可以給出:定義2.31 設(shè)為中有界點(diǎn)集，如果=，則稱是可測的.如果為中無界點(diǎn)集,若對(duì)于任何開區(qū)間,有界集都是可測的,則稱是可測的. 可測集的外測度稱為它的測度.注: 定義2.2和定義2.3是分別從兩個(gè)方面對(duì)可測集下的定義,可以證明這兩個(gè)定義是等價(jià)的,但是由于定義2.3中有界集和無界集受到不同對(duì)待,而且同時(shí)出現(xiàn)內(nèi)外兩種內(nèi)外兩種測度,使用起來很不方便 ,因此一般以定義2.2作為可測集的正式定義.3 可

9、測集的性質(zhì)(1) 零測集例21 若的外側(cè)度為零，則是可測集.證明 對(duì)，, 從而.所以可測.注: 測度為零的點(diǎn)集就為零測集.顯然我們有:(1)零測集的子集也是零測集.(2)有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測集的并集也是可測集. 例31 可測集與零測集的并集也是可測集.證明 設(shè)是中可測集，是中零測集.因?yàn)?, = .由定義知可測. （2）可測集關(guān)于集合運(yùn)算的性質(zhì).定理3.11 (1)若可測,則可測.(2)若可測,則,都可測. 證明 (1)由于 , 故可測能推出可測 .(2)對(duì)任意,它均可分解為,（如上圖 ） a.集.可測集.顯然互不相交，且,故由的可測性，得,同理，取則，從而有，又因可測，所以取，得，聯(lián)立以上三式

10、，得，所以可測.由de morgan公式，故也可測.又，所以也可測.注: 設(shè)則下列三種說法是等價(jià)的:（1）是可測集;（2）是可測集;（3）對(duì)任意.定理3.21 若為可測集,則,也可測.若進(jìn)一步假設(shè),則有 (5)證明 首先考慮兩兩不相交的情形.我們先證明:對(duì)任意的,有 (6)事實(shí)上,由于,在(2)式中取即可.進(jìn)一步,很容易將(6)推廣到 (7)其中為任意正整數(shù).現(xiàn)證明可測.對(duì)任意,不妨設(shè),則 ，由于可測，故，于是，所以，因?yàn)?，從?）式知，故令,知收斂，所以有，所以可測.在(7)式中取,有 (8)再應(yīng)用引理2.51，立即得到（5）式.其次,考察一般可測集序列,我們令則是互不相交的可測集序列.而由

11、,即知是可測的,也是可測的.定理證畢.從(7)式可以推出:定理3.31 設(shè)是互不相交的可測集序列,則對(duì)任意,有 (9)例41 設(shè)是互不相交的可測集，.證明.證明 由定理3.2,可測,對(duì)任意,有 ，取,所以，由定理3.3知.證畢.(3)單調(diào)的可測集序列 定理3.41 設(shè)是可測集序列,且,.則也是可測的,且 （10）證明 因?yàn)?，故可測.若存在l，使，則（10）式顯然成立.現(xiàn)設(shè),.由的單調(diào)性及可測性，均可測且不相交,所以有由于，所以，令,則.再應(yīng)用測度的可數(shù)可加性，有=.例56 設(shè)是一列可測集，證明:.證明 先將求集合序列下限集的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求單調(diào)集列極限的運(yùn)算,然后利用測度的性質(zhì)進(jìn)行必要的討論. 由

12、于,記,這樣的()是單調(diào)增加的,且,所以，對(duì)后一式兩邊取下限,注意到左邊實(shí)際上存在極限,故有.綜上所述得 .定理3.51 設(shè)是可測集序列,且,.則也是可測的.又設(shè),則 . 證明 由的單調(diào)性知，且是遞減數(shù)列，故存在.因?yàn)?， 所以是遞增可測集序列.由定理3.4,有，由于,故上式可以寫為.即得欲證.例66 設(shè)是一列可測集,是某自然數(shù),證明： .證明 由于,記,這樣的是單調(diào)減少集列，且.由題設(shè)知,時(shí)，,所以.證畢.注: 從以上各定理可知,點(diǎn)集的可測性關(guān)于可數(shù)并、可數(shù)交、差、余和極限運(yùn)算是封閉的,有了這些性質(zhì),我們可以從已知的可測集去發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造更多的可測集,由一些可測集去研究另外的可測集.4 可測集類

13、及可測集的構(gòu)成(1)可測集類在上一節(jié)中,給出了中可測集的定義，并且知道了可測集的一些性質(zhì)，但是除了零測集外，我們還不知道哪些具體的集合是可測的.本節(jié)要研究這個(gè)問題.由于我們是將測度作為長度、面積、體積該概念的擴(kuò)充,因此凡可求長度、面積、體積的集合都應(yīng)該是可測的.首先從區(qū)間開始.引理4.11 設(shè)是中的開區(qū)間,則.定理4.21 中任何開區(qū)間都是可測的,且.證明 由上面的引理1,只要證明可測.設(shè)，,對(duì)任意，要證明 （1） 令，)|,則當(dāng)充分大，從而，由外測度的距離可加性,有，如果能證明，則(1)式就可以通過前式取極限得到,因?yàn)?，現(xiàn)來證.令，)|,它將在附近的點(diǎn)蓋住了.其體積,其中是與無關(guān)的正數(shù).對(duì)的

14、其余部分,同樣可分別作出與之類似的開區(qū)間蓋住.最終,可用個(gè)體積不大于的開區(qū)間覆蓋.于是,所以.令,則有于是(1)式成立,故可測. 注: 從定理4.1可以看出, 中任何區(qū)間與相應(yīng)的開區(qū)間只差一個(gè)零測集.因此可以由此推出中任何區(qū)間都是可測的,且體積就是它的測度.下面研究在中有哪些集合是可測的.用分割函數(shù)值域的方法作積分和時(shí),出現(xiàn)了形如的點(diǎn)集.我們知道,連續(xù)函數(shù)是可積的，在新的積分中也應(yīng)該可積因此,當(dāng)連續(xù)時(shí)相應(yīng)的應(yīng)該可測.為兩個(gè)開集之差.因此開集應(yīng)該是可測的.下面證明, 中的開集是可測集.首先,給出中開集的構(gòu)造定理.引理4.31 中非空開集都可以表示成可數(shù)多個(gè)互不相交的左開右閉區(qū)間的并,即,其中，)

15、|,且.證明 對(duì)每一個(gè)正整數(shù), 都可分解為可數(shù)多個(gè)形如，)|，,2, , (為整數(shù)) （2）的互不相交的左開右閉的區(qū)間.設(shè)時(shí)上述這些區(qū)間中完全包含在內(nèi)的是，（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）.對(duì)于,用,表示上述那些區(qū)間中完全被包含,但不被任何包含的區(qū)間(有限個(gè)或可數(shù)個(gè)).這樣可以得到可數(shù)多個(gè)左開右閉的區(qū)間.顯然它們是互不相交的,.現(xiàn)對(duì)任意,因?yàn)間是開集,故存在,使得以x為中心的為半徑的鄰域.于是,當(dāng)充分大時(shí)，（2）式中那些區(qū)間中包含x的那個(gè)一定完全被包含在內(nèi)，從而，即.定義4.11 如果點(diǎn)集是可數(shù)多個(gè)開集的交,則稱為集.如果是可數(shù)多個(gè)閉的并,則稱為集.由開集出發(fā),通過取余集,作可數(shù)交、可數(shù)并而成的集合類稱為集

16、類，其中的元素稱為集.定理4.41 中的開集、閉集以及任何集都是可測的.證明 因?yàn)橹凶箝_右閉區(qū)間是可測的,而開集又可以表為可數(shù)個(gè)左開右閉區(qū)間的并,從而開集是可測的.任何閉集都是開集的余集,故閉集也是可測的.由集的定義知任何集也是可測的.注: 從定理4.2可知,許多常見的集合都是可測的,比可求面積的(中)或可求體積的(中)的范圍擴(kuò)充了許多.但是上述的定理并不意味著每一個(gè)可測集都是開集、閉集或集.事實(shí)上,存在非集的可測集. (2)可測集與集的關(guān)系定理4.54 設(shè)型集，使，且 .證明 由外測度的定義知，自然數(shù)，存在一列開區(qū)間，使，記 = 顯然為型集, 且，所以 ，讓得 , 證畢 .定理4.64 設(shè)，

17、則下列關(guān)系等價(jià)：（1）為可測集；（2）存在開集，使且；（3）存在型集，使，且， =0 .證明 （1）（2）當(dāng), 則由外測集的定義知對(duì),存在一列開區(qū)間, 使，記=，顯然為開集，且，所以 , 而, 從而，當(dāng)時(shí)，必為無界集，但它總可表示成可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測集的并即=（）. 對(duì)每個(gè)應(yīng)用上面結(jié)果, 存在開集，使,顯然為開集, ,且 =，從而 .（2）（3）取,由(2)知, 存在開集使，顯然, 為型集, 且，所以 ，讓得, 從而 .（3）（1）由（3）知 存在型集，使, 且, ，而 , 故是可測集.注: 此定理表明任意可測集總可表示成一個(gè)與一個(gè)零測集的差集.定理4.74 設(shè), 則下列關(guān)系等價(jià)（1）為

18、可測集；（2）, 存在閉集, 使, 且；（3）存在型集，使，且， .證明（1）（2）.可測可測存在開集，使且.現(xiàn)令,則f是閉集且.因?yàn)?所以.（1）（3）可測可測存在型集g，使，且，記，則 為型集， 所以 ，.定理證畢.例 71 證明中可測集經(jīng)平移后仍為可測集.證明 設(shè) 是可測集，是中的固定點(diǎn).記下證可測.因?yàn)榭蓽y,由定理4.4,存在集,且.記,則由集的定義可設(shè),其中為開集.于是.其中， 顯然是開集，是零測集（由外測度的平移不變性），即也是一個(gè)集與零測集的差，所以可測.注: 以上兩個(gè)定理表明，只要有了全部的型或型集(它們都是集)和全部零測集，一切可測集都可以通過型集與零測集的差集或型集與零測集

19、的并集獲得.推論11 如果是中的可測集，則存在一個(gè)集和一個(gè)零測集，使得.推論24 設(shè),則存在中的型集,使,且.例81 設(shè)是可測的,且,若 證明皆是可測集.證明 由推論2:存在可測集,使得,且因?yàn)?，所?皆可測,且.所以,.同理.由例1，因?yàn)?，所?取為基本集，,所以,所以可測.同理也可測.作為可測集與集之間關(guān)系的應(yīng)用，再給出乘積空間測度的計(jì)算公式.定理4.81 設(shè)、分別為和中的可測集，記，則為中的可測集,且 .證明 證明分兩步(一)先證當(dāng)均有界時(shí)，結(jié)論成立.（1）當(dāng)都是區(qū)間時(shí)，由區(qū)間的體積公式知結(jié)論成立. （2）當(dāng)都是開集時(shí)，由開集的結(jié)構(gòu)知 ， ，其中，分別為和中兩兩不交的區(qū)間.于是，其中為中兩兩不交的區(qū)間.所以是可測集，且 . （3）當(dāng)都是集時(shí)，則， ，其中為有界開集，且單調(diào)遞減；也為有界開集，且單調(diào)遞減.于是為可測集，其中也單調(diào)遞減，所以 .（4）當(dāng)至少有一個(gè)為零測集時(shí)，不妨設(shè)，由定理4.6 存在集使， 且 ，于是由（3）得 而 ，所以 .（5）當(dāng)