魯棒優(yōu)化的方法及應(yīng)用

1、.頁(yè)眉魯棒優(yōu)化的方法及應(yīng)用 楊威在實(shí)際的優(yōu)化中決策過(guò)程中，我們經(jīng)常遇到這樣的情形，數(shù)據(jù)是不確定的或者是非精確的；最優(yōu)解不易計(jì)算，即使計(jì)算的非常精確，但是很難準(zhǔn)確的實(shí)施；對(duì)于數(shù)據(jù)的一個(gè)小的擾動(dòng)可能導(dǎo)致解是不可行。魯棒優(yōu)化是一個(gè)建模技術(shù)，可以處理數(shù)據(jù)不確定但屬于一個(gè)不確定集合的優(yōu)化問(wèn)題。早在19世紀(jì)70年代，Soyster就是最早開(kāi)始研究魯棒優(yōu)化問(wèn)題的學(xué)者之一，他的文章給出了當(dāng)約束矩陣的列向量屬于一個(gè)橢球形不確定的集合時(shí)的魯棒線性優(yōu)化問(wèn)題。幾年以后Falk沿著這條思路做了非精確的線性規(guī)劃。在以后的很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，魯棒優(yōu)化方面都沒(méi)有新的成果出現(xiàn)。直到19世紀(jì)末，Ben-Tal,Nemirovski

2、的工作以及這時(shí)計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，尤其是對(duì)于半定優(yōu)化和凸優(yōu)化內(nèi)點(diǎn)算法的發(fā)展，使得魯棒優(yōu)化又成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)。 一個(gè)一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃的形式為其中為設(shè)計(jì)向量，為目標(biāo)函數(shù)，是問(wèn)題的結(jié)構(gòu)元素。表示屬于特定問(wèn)題的數(shù)據(jù)。是數(shù)據(jù)空間中的某個(gè)不確定的集合。對(duì)于一個(gè)不確定問(wèn)題的相應(yīng)的魯棒問(wèn)題為 這個(gè)問(wèn)題的可行解和最優(yōu)解分別稱為不確定問(wèn)題的魯棒可行和魯棒最優(yōu)解。這篇文章主要回顧了魯棒優(yōu)化的基本算法，目前的最新的研究結(jié)果及在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用。1 魯棒優(yōu)化的基本方法1.1魯棒線性規(guī)劃一個(gè)不確定線性規(guī)劃所對(duì)應(yīng)的魯棒優(yōu)化問(wèn)題為，如果不確定的集合是一個(gè)計(jì)算上易處理的問(wèn)題，則這個(gè)線性規(guī)劃也是一個(gè)計(jì)算上易處理的問(wèn)題。并且有下列的結(jié)論：

3、假設(shè)不確定的集合由一個(gè)有界的集合的仿射像給出，如果是1線性不等式約束系統(tǒng)構(gòu)成，則不確定線性規(guī)劃的魯棒規(guī)劃等價(jià)于一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題。2由錐二次不等式系統(tǒng)給出，則不確定線性規(guī)劃的魯棒規(guī)劃等價(jià)于一個(gè)錐二次的問(wèn)題。3 由線性矩陣不等式系統(tǒng)給出，則所導(dǎo)致的問(wèn)題為一個(gè)半定規(guī)劃問(wèn)題。1.2魯棒二次規(guī)劃考慮一個(gè)不確定的凸二次約束問(wèn)題對(duì)于這樣的一個(gè)問(wèn)題，即使不確定集合的結(jié)夠很簡(jiǎn)單，也會(huì)導(dǎo)致NP難的問(wèn)題，所以對(duì)于這種問(wèn)題的處理通常是采用它的近似的魯棒規(guī)劃問(wèn)題。考慮一個(gè)不確定的優(yōu)化問(wèn)題，假設(shè)不確定集合為，而表示名義的數(shù)據(jù)，而表示一個(gè)擾動(dòng)的集合，假設(shè)是一個(gè)包含原點(diǎn)的凸緊集。不確定問(wèn)題可以看成是一個(gè)不確定問(wèn)題的參數(shù)族，表

4、示不確定的水平。具有橢圓不確定性的不確定的凸二次規(guī)劃問(wèn)題的近似魯棒問(wèn)題其中則問(wèn)題可一轉(zhuǎn)化為一個(gè)半定規(guī)劃問(wèn)題 具有橢圓不確定集合的不確定錐二次問(wèn)題的近似魯棒規(guī)劃考慮不確定錐二次規(guī)劃它的約束為逐側(cè)的不確定它的左側(cè)的不確定的集合是一個(gè)橢圓其中右側(cè)的不確定集合是有界的，它的半定表示為，為線性映射。則半定規(guī)劃為其中1.3魯棒半定規(guī)劃一個(gè)不確定的半定規(guī)劃的魯棒規(guī)劃為由一個(gè)箱式不確定集合影響的不確定半定規(guī)劃的近似魯棒問(wèn)題。則半定規(guī)劃的近似的魯棒優(yōu)化為由一個(gè)球不確定集合影響的不確定半定規(guī)劃的近似魯棒問(wèn)題。則半定規(guī)劃問(wèn)題為具有易處理的魯棒counterparts的不確定線性規(guī)劃。 如果多胞形是由有限集合的凸包給

5、出的，則魯棒規(guī)劃為2 魯棒優(yōu)化的幾種新的方法 魯棒規(guī)劃的最近的研究包括了對(duì)于可調(diào)節(jié)的魯棒優(yōu)化的研究以及對(duì)于魯棒凸優(yōu)化的研究。2.1不確定的線性規(guī)劃的可調(diào)節(jié)的魯棒解不確定線性規(guī)劃為，其中不確定集合是一個(gè)非空的緊的凸集，稱為recourse矩陣。當(dāng)是確定的情況下，則稱相應(yīng)的不確定線性規(guī)劃為固定recourse的。定義：線性規(guī)劃的魯棒counterpart為 ，則它的可調(diào)節(jié)的魯棒counterpart為?？烧{(diào)節(jié)的魯棒規(guī)劃比一般的魯棒規(guī)劃靈活，但是同時(shí)它也比一般的魯棒規(guī)劃難解。對(duì)于一個(gè)不確定線性規(guī)劃的魯棒規(guī)劃是一個(gè)計(jì)算上易處理的問(wèn)題，然而它相應(yīng)的可調(diào)節(jié)的魯棒規(guī)劃卻是不易處理的問(wèn)題。但是如果不確定集合是

6、有限集合的凸包，則固定recourse的ARC是通常的線性規(guī)劃。從實(shí)際的應(yīng)用來(lái)看，只有當(dāng)原不確定問(wèn)題的魯棒counterpart在計(jì)算上容易處理的時(shí)候，魯棒優(yōu)化方法才有意義。當(dāng)可調(diào)節(jié)的變量是數(shù)據(jù)的仿射函數(shù)時(shí)，可以得到一個(gè)計(jì)算上易處理的魯棒counterpart.對(duì)于的仿射可調(diào)節(jié)的魯棒counterpart (AARC)可以表示為。如果是一個(gè)計(jì)算上易處理的集合，則在固定recourse的情況下，的仿射可調(diào)節(jié)的魯棒counterpart (AARC)是一個(gè)計(jì)算上易處理的問(wèn)題。如果是這樣的一個(gè)集合，是一個(gè)非空的凸緊集。在固定的recourse的情況下，AARC具有這樣的形式如果不確定的集合是一個(gè)錐表

7、示的，則的仿射可調(diào)節(jié)的魯棒counterpart (AARC)是一個(gè)錐二次或半定規(guī)劃。如果recourse也是可變的，則AARC是不易處理的問(wèn)題，這時(shí)采用它的近似形式。在簡(jiǎn)單橢圓不確定集合的情況下，AARC等價(jià)于一個(gè)半定規(guī)劃。當(dāng)擾動(dòng)的集合是一個(gè)中心在原點(diǎn)的箱式集合或者是一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的多胞形集合，則AARC可以有一個(gè)半定規(guī)劃來(lái)近似。對(duì)于多期的決策問(wèn)題也是一個(gè)可調(diào)節(jié)的魯棒優(yōu)化問(wèn)題?？紤]一個(gè)兩期的決策問(wèn)題其中是不確定的，但屬于一個(gè)閉的有界的不確定集合?？尚屑蕾囉诤蛥?shù)。則可以表示為，或。可調(diào)節(jié)的魯棒counterpart問(wèn)題可以表示為， 可以等價(jià)的表示為 。 如果包含有限數(shù)量的元素，則對(duì)于每個(gè)

8、，都存在著相應(yīng)的滿足上面的問(wèn)題。則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的單層優(yōu)化問(wèn)題這樣的一個(gè)單層的優(yōu)化問(wèn)題對(duì)于許多類的函數(shù)和集合，這是一個(gè)易處理的問(wèn)題。比如，其中，在這種情況下，問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)二次約束的優(yōu)化問(wèn)題如果不確定集合是有限集合的凸包，則考慮下面的問(wèn)題如果是擬凸的，則。則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)單層的優(yōu)化問(wèn)題。 2.2一個(gè)錐二次問(wèn)題的魯棒解一個(gè)錐二次約束的形式為，或者是等價(jià)的形式，是Lorentz錐。假設(shè)不確定參數(shù)屬于一個(gè)有界的集合。兩種類型的不確定集合常常用到，一個(gè)是范數(shù)有界的不確定集合，一個(gè)是擾動(dòng)的向量屬于一個(gè)有界的擾動(dòng)集合時(shí)的結(jié)構(gòu)不確定集合。對(duì)于參數(shù)的結(jié)構(gòu)不確定為，其中是描述擾動(dòng)的向量，是表示擾動(dòng)幅度的

9、向量，是擾動(dòng)集合，是名義數(shù)值，為擾動(dòng)方向。是橢圓的交集 ，為對(duì)稱的正半定矩陣，且是正定的。對(duì)于一個(gè)單側(cè)不確定的錐二次約束，El Ghaoui和Lebret證明了在不確定集合是范數(shù)有界的情況下，問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)錐二次約束。Ben-Tal,Nemirovski給出了在擾動(dòng)集合是橢圓集合的交集的結(jié)構(gòu)不確定的情況下，如果是簡(jiǎn)單的橢圓不確定集合，則相應(yīng)的魯棒counterpart為一個(gè)線性矩陣不等式，在一般的情況下，問(wèn)題是NP難的，但是可以用線性矩陣不等式來(lái)近似。Ben-Tal等研究了逐側(cè)不確定的錐二次約束，即對(duì)于影響左側(cè)的不確定獨(dú)立于影響右側(cè)的不確定。，是相互獨(dú)立的集合。則是問(wèn)題的可行解，但且僅當(dāng)存在，

10、使得，和成立。在具有橢球交集的結(jié)構(gòu)不確定的集合的情況下，這兩個(gè)問(wèn)題是易處理的。在很多的情況下，影響兩側(cè)的不確定集合是相互依存的。比如考慮一個(gè)不確定的錐二次約束 ， (*)其中關(guān)于是仿射的。是中心在原點(diǎn)的橢圓的交集。，為對(duì)稱的正半定矩陣，且是正定的。如果存在著，且滿足下式，則滿足(*)式。其中 如果向量被分成兩部分，其中表示不可調(diào)節(jié)的變量，表示可調(diào)節(jié)的變量。假設(shè)目標(biāo)函數(shù)是確定的，獨(dú)立于可調(diào)節(jié)的變量，則相應(yīng)的錐優(yōu)化問(wèn)題為，是一個(gè)錐。則相應(yīng)于不確定集合的魯棒counterpart為則可調(diào)節(jié)的魯棒規(guī)劃為。可調(diào)節(jié)的魯棒規(guī)劃比一般的魯棒靈活一些。但是這樣會(huì)導(dǎo)致所得到的問(wèn)題是不易處理的?？朔?jì)算上缺點(diǎn)的一個(gè)

11、方法是限制可調(diào)節(jié)的變量為一個(gè)仿射函數(shù)。，這樣得到了仿射可調(diào)節(jié)的魯棒規(guī)劃為對(duì)于結(jié)構(gòu)不確定的錐二次約束可表示為，如果分別用表示的子向量，并且分別對(duì)應(yīng)于不可調(diào)節(jié)的部分和可調(diào)節(jié)的部分，則上面的約束可以表示為(*)，若，則上面的約束即為仿射可調(diào)節(jié)的約束。下面分成兩種情況來(lái)討論，一種是固定的recourse,即是確定的，一種是可變的recourse，即是不確定的。在第一種情況下，如果約束由(*)表達(dá)，擾動(dòng)集合為中心在原點(diǎn)的橢圓的交集，如果存在和使得下式成立，則會(huì)存在一個(gè)解滿足(*)，對(duì)于所有的擾動(dòng)成立， 其中， 在第二種情況下，如果擾動(dòng)很小，使得二次項(xiàng)可以被忽略，則可以用上面的半定規(guī)劃來(lái)近似。如果二次項(xiàng)不

12、能夠被忽略，則需要增加一些變量后能夠用一個(gè)半定規(guī)劃來(lái)近似。 2.3 魯棒凸優(yōu)化2.3.1魯棒凸二次約束的規(guī)劃問(wèn)題 一個(gè)凸二次約束的規(guī)劃問(wèn)題為，其中為決策向量，為參數(shù)。上面的這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二階的錐規(guī)劃問(wèn)題由于上述的模型對(duì)于參數(shù)很敏感，所以有必要研究其對(duì)應(yīng)的魯棒問(wèn)題一個(gè)一般的魯棒凸二次規(guī)劃問(wèn)題為當(dāng)不確定的集合是橢球時(shí)，上面的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)半定規(guī)劃問(wèn)題，這里我們來(lái)確定的結(jié)構(gòu)，使它能夠轉(zhuǎn)化為一個(gè)二階錐規(guī)劃。分成以下的三種情況:1離散集合和多邊形不確定集合對(duì)于離散形式的集合定義為，魯棒約束等價(jià)于K個(gè)凸二次約束?；蛘叩葍r(jià)的個(gè)二階錐約束。對(duì)于離散集合的凸包為，則魯棒約束等價(jià)于將上面的兩種情況下的

13、集合推廣到多邊形的不確定集合。如果決策向量滿足魯棒約束，對(duì)于所有的，當(dāng)且僅當(dāng)存在著，使得其中是的第列，。2范數(shù)約束的不確定的集合一個(gè)決策向量滿足魯棒約束，對(duì)于所有的，當(dāng)且僅當(dāng)存在和，滿足，其中，二次項(xiàng)和錐項(xiàng)的不確定性是獨(dú)立的，即一個(gè)決策向量滿足魯棒約束，對(duì)于所有的，當(dāng)且僅當(dāng)存在和，滿足，其中，3因子化的不確定的集合如果不確定的集合定義為一個(gè)決策向量滿足魯棒約束，對(duì)于所有的，當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得下式成立其中是的譜分解，。2.3.2二次約束的二次規(guī)劃的魯棒解 對(duì)于一個(gè)非凸的二次約束的二次優(yōu)化問(wèn)題 其中是一個(gè)多面體，并且包含在中，每個(gè)的形式為。任何一個(gè)二次多項(xiàng)式可以寫成兩個(gè)正系數(shù)的二次多項(xiàng)式的差，一個(gè)

14、一般的(QQP)可以寫成由于，則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為通過(guò)變換記號(hào)，可以得到這樣的形式 其中，所有的系數(shù)為正的。，并且為單調(diào)遞增的二次函數(shù)使得由于孤立的最優(yōu)解即使是可計(jì)算的，但是它是難于實(shí)施，因?yàn)樗鼘?duì)一個(gè)小的擾動(dòng)非常的不穩(wěn)定，因而，從實(shí)際的觀點(diǎn)來(lái)看，只有非孤立的可行解有意義。 Essential 最優(yōu)解，表示所以非孤立的可行解的集合。 Essential可行解：滿足。一個(gè)非孤立的可行解稱為是Essential最優(yōu)解，如果它滿足尋找Essential最優(yōu)解的方法是：從一個(gè)初始的Essential可行解，尋找一個(gè)更好的Essential可行解，直到不能獲得比當(dāng)前的可行解更好的可行解為止。假設(shè)為一個(gè)Esse

15、ntial可行解的目標(biāo)函數(shù)值，給定：如果，由于單調(diào)遞增，則如果，則即為一個(gè)Essential可行解如果，則需要考慮一個(gè)輔助的問(wèn)題求解采用分支定界的方法。這篇文章中給出了一個(gè)successive incumbent transcending(SIT)算法。3 魯棒優(yōu)化的應(yīng)用 魯棒優(yōu)化現(xiàn)在已經(jīng)應(yīng)用到了各個(gè)研究領(lǐng)域，這里我們主要給出了在金融上的應(yīng)用。1Ruijun Shen和Shuzhong Zhang將魯棒的觀點(diǎn)應(yīng)用于基于scenario樹(shù)的投資組合的選擇問(wèn)題中，給出了一階段和兩階段的組合選擇模型相應(yīng)的魯棒規(guī)劃問(wèn)題。這里允許概率分布存在ambiguity.這樣的一個(gè)問(wèn)題能夠轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限的錐形式凸

16、規(guī)劃問(wèn)題。并且在不允許賣空的情況下，效用函數(shù)采用下半方差的負(fù)值，參數(shù)的不確定集合是橢球形的，則相應(yīng)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)二階錐規(guī)劃問(wèn)題。 假設(shè)想從種資產(chǎn)中選擇一個(gè)投資組合并且持有一段時(shí)間，假設(shè)初始的財(cái)富為1，持有期末有種可能的結(jié)果。即所有的可能的scenario可以通過(guò)一個(gè)具有個(gè)葉子的一階段樹(shù)來(lái)表示。假設(shè)收益向量的第個(gè)元素表示表示第種資產(chǎn)的收益。則基于scenario的單階段的組合選擇模型為 是股票的數(shù)量，是每個(gè)節(jié)點(diǎn)scenario的數(shù)量是持有的股票，是模型中的決策向量是如果scenario 出現(xiàn)的話個(gè)股票的收益是scenario 出現(xiàn)的概率是分量全為1的向量是允許的投資組合集合則兩階段的效用極

17、大化投資模型為 表示如果scenario 出現(xiàn)在第一階段，scenario 出現(xiàn)在第二階段表示條件概率scenario 出現(xiàn)在第二階段在scenario 出現(xiàn)在第一階段的條件下的概率。第二階段允許的投資組合是第二階段的recourse問(wèn)題的最優(yōu)解則上面的問(wèn)題可以寫成(P2) 假設(shè)可行集為凸集令，且由定義可知為非負(fù)的向量問(wèn)題(P2)是可分的，則可得由于是凹的，則上面的問(wèn)題為凸規(guī)劃。單階段模型的魯棒規(guī)劃模型確定的情景樹(shù)有兩個(gè)缺點(diǎn)：一個(gè)是每個(gè)情境中收益的模糊性，一個(gè)是每個(gè)情景發(fā)生的條件概率的模糊性。實(shí)際上在我們的模型中用到的收益向量為估計(jì)值。并且我們并不知道確切的收益為多少，但是根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，我們知

18、道實(shí)際的值離我們估計(jì)的值不遠(yuǎn)，我們可以得到某些置信區(qū)間。（收益的模糊性）（概率分布的模糊性）假設(shè)所有的集合為凸的，緊的，非空的。令，則魯棒模型為兩階段的魯棒規(guī)劃模型兩階段的模型中的估計(jì)量為,令，,令，.單階段魯棒模型的有限表示假設(shè)條件：1 沒(méi)有賣空 2 一個(gè)半方差的非效用函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)給定的基準(zhǔn)組合的下方風(fēng)險(xiǎn)，相應(yīng)的效用函數(shù)為。模糊集合是橢球形的：，為了簡(jiǎn)便，假設(shè)是單位矩陣，則原模型可變形為則相應(yīng)的魯棒規(guī)劃模型為進(jìn)一步變形為利用結(jié)論將上面的規(guī)劃變?yōu)閷?duì)于一個(gè)一般的模型通過(guò)增加變量變?yōu)槿绻且粋€(gè)凸集，則它的齊次錐是則可以得到如下的凸表示對(duì)于多階段的魯棒模型因此把球映射到區(qū)間，則上述模型等價(jià)于2R.

19、h.tutuncu, M.Koenig給出一個(gè)基于worse-case的方法。在一個(gè)簡(jiǎn)單的情況下，相應(yīng)魯棒優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃問(wèn)題，在大多數(shù)情況下，這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)鞍點(diǎn)問(wèn)題。利用2003年Handorsson和Tutuncu給出的方法求解。作者給出了在不確定集合為區(qū)間時(shí)的魯棒MVO模型，和魯棒最大夏普比率問(wèn)題。一個(gè)資產(chǎn)分配問(wèn)題可以表示為在期望收益的下限上極小化方差或最大化一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)節(jié)的期望收益 （1） （2）其中對(duì)于期望收益的向量和協(xié)方差矩陣分別取成區(qū)間的形式采用區(qū)間型數(shù)據(jù)的原因：（1）區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)于歷史數(shù)據(jù)中相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)的極值，在分析估計(jì)和Scenarios中。（2）建模者可以

20、選擇置信水平，以預(yù)測(cè)區(qū)間的形式產(chǎn)生收益和協(xié)方差的估計(jì)。給定不確定集合，優(yōu)化問(wèn)題（1）（2）對(duì)應(yīng)的魯棒優(yōu)化為 （7） （8）若是（8）一個(gè)給定正值的最優(yōu)解，則也是（7）的最優(yōu)解對(duì)于。US財(cái)政證券可以認(rèn)為是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資。如果這樣的資產(chǎn)包含于資產(chǎn)類中，則有效的投資組合是這個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)組合的線性組合。這個(gè)最優(yōu)的組合是具有最高夏普比率的組合。，為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的已知收益。假設(shè)是正定的。因?yàn)槭钦攵ǖ?，若它是正定的，則意味著沒(méi)有冗余的資產(chǎn)。具有最高夏普比率的組合可以通過(guò)解決下面的優(yōu)化問(wèn)題給出： （11）這個(gè)目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)非線性，非凹的目標(biāo)函數(shù)，難以解決。利用lifting技術(shù)對(duì)進(jìn)行齊次化：，增加是為了或得

21、一個(gè)凸集。是一個(gè)錐，當(dāng)是一個(gè)環(huán)的時(shí)候，是一個(gè)ice-cream錐，若是一個(gè)多面體，則。，由于是齊次的，則問(wèn)題等價(jià)于，由于是齊次的，則增加規(guī)范化的約束不會(huì)影響最優(yōu)解，則問(wèn)題等價(jià)于 結(jié)論：給定一個(gè)可行的具有性質(zhì)的組合集，這個(gè)集合中具有最大夏普比率的解可以通過(guò)下面的規(guī)劃來(lái)解： （15）若是（15）的解，則。松弛問(wèn)題如下：魯棒有效前沿的算法：1利用SP算法解決沒(méi)有期望收益約束的問(wèn)題，令表示他的最優(yōu)解，令2，解決問(wèn)題，令表示他的最優(yōu)解，3 選擇，有效前沿上點(diǎn)的數(shù)量，解決問(wèn)題3Mustafa C.Pinar 給出了多階段的組合選擇模型。目標(biāo)是最大化最終期望收益和最小化與一個(gè)給定的財(cái)富水平的偏差。他們之間是

22、通過(guò)一個(gè)非負(fù)參數(shù)來(lái)平衡的。利用一個(gè)分段的線性罰函數(shù)，能夠得到線性規(guī)劃模型，并且能夠確保如下階段的最優(yōu)性。假設(shè)有種資產(chǎn)，前種為風(fēng)險(xiǎn)的股票，第種為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，比如現(xiàn)金。表示1階段初的決策向量，表示相應(yīng)的組合種第種資產(chǎn)的市值。表示2階段初的決策向量，表示一階段和二階段結(jié)束后的凈資產(chǎn)收益。是有限概率空間上的離散的隨機(jī)變量。假設(shè)市場(chǎng)的發(fā)展是離散的scenario樹(shù)。表示隨機(jī)變量相應(yīng)于第一層scenario樹(shù)的第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)?；谧畲蟮钠谕鹐nd-of-horizon組合值的沒(méi)有交易費(fèi)用的兩階段組合選擇模型的隨機(jī)規(guī)劃為：其中由于recourse 問(wèn)題的可分性，上面的優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)于以上的模型假設(shè)決策者是風(fēng)

23、險(xiǎn)中立的，Mulvey,Vanderbei and Zenios建議通過(guò)由一個(gè)參數(shù)控制給目標(biāo)函數(shù)增加一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)得到兩階段的魯棒隨機(jī)規(guī)劃。他們的模型為 （4）則可分離的魯棒優(yōu)化模型為（5）Takriti and Ahmed證明了對(duì)于任意的方差測(cè)度，上式對(duì)能夠給出當(dāng)兩階段的組合決策問(wèn)題對(duì)于recourse問(wèn)題不是最優(yōu)時(shí)的最優(yōu)解。 如果是一個(gè)非減的函數(shù)，則上面的兩個(gè)問(wèn)題時(shí)等價(jià)的。Takriti and Ahmed利用了一個(gè)分段二次的方差度量 ，其中是目標(biāo)函數(shù)值。是一組離散的隨機(jī)變量，具有實(shí)現(xiàn)，而是相應(yīng)的概率。為了是計(jì)算方便是所得的問(wèn)題是一個(gè)線性規(guī)劃，采用一個(gè)分段線性的方差測(cè)度 它仍然滿足非減的條件。

24、則我們的問(wèn)題變?yōu)榭梢詫⑸厦娴哪Ｐ屯茝V到三階段的情況。在這篇文章中作者還給出了包含線性交易費(fèi)用的模型。表示一階段買入資產(chǎn)的數(shù)量，表示一階段買入一美元的資產(chǎn)的交易費(fèi)表示一階段賣出資產(chǎn)的數(shù)量，表示一階段賣出一美元的資產(chǎn)的交易費(fèi)表示的第個(gè)分量則對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)， 對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)初始的資金要求為則可行集為帶有交易成本的魯棒兩階段的投資組合選擇的模型為 4. Aharon Ben-Tal, Tamar Margalit Arkadi Nemirovski給出了一個(gè)多階段的組合選擇問(wèn)題的魯棒建模方法。假設(shè)有種類型的資產(chǎn)和現(xiàn)金。個(gè)投資階段。目標(biāo)是控制這些資產(chǎn)的一個(gè)投資組合。表示投資組合中資產(chǎn)在階段開(kāi)始時(shí)的數(shù)量?？?/p>

25、以有下列的方程給出：時(shí)，是來(lái)自前一個(gè)階段的數(shù)量，表示資產(chǎn)收益。表示在階段初買入的資產(chǎn)數(shù)量。表示在階段初賣出的資產(chǎn)數(shù)量。時(shí)，是從前一個(gè)階段得到的現(xiàn)金流；是在階段賣出資產(chǎn)得到的資產(chǎn)數(shù)量，表示交易成本表示在階段買入資產(chǎn)得到的資產(chǎn)數(shù)量，表示交易成本應(yīng)該滿足約束假設(shè)約束為簡(jiǎn)單的約束，即下界為0，上界為無(wú)窮大目標(biāo)是極大化期末財(cái)富的總價(jià)值?？傻玫骄€性規(guī)劃模型為 令，其中，則新的規(guī)劃為 其中 數(shù)據(jù)的不確定性 決策向量不是實(shí)的，是的可測(cè)函數(shù)，當(dāng)決策向量實(shí)施的時(shí)候，數(shù)據(jù)就是立即可知。 不確定線性規(guī)劃的魯棒規(guī)劃 為維的決策向量，為精確可知的目標(biāo)，為不確定的約束矩陣。錐二次規(guī)劃， 是的期望，是隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣。是

26、隨機(jī)變量的協(xié)方差。. 錐規(guī)劃模型可以用已有的算法求解。4結(jié)論：這里給出了魯棒優(yōu)化的基本算法，最新的發(fā)展和在金融上的應(yīng)用。今后的研究方向是對(duì)魯棒優(yōu)化算法本身的研究，另一個(gè)是將其用到金融上。參考文獻(xiàn)1A.L.Soyster. Convex programming and set-inclusive constraints and application to inexact linear programming. Operation Research,21:1154-1157,19732J.E.Falk. Exact solution of inexact linear programs. Ope

27、ration Research,24,17963A.Ben-Tal and A.Nemirovski. Robust convex optimization. Math.Oper.Res.23:769-805,19984A.Ben-Tal and A.Nemirovski. Robust solution of uncertain linear programs. Operation Research Letters,25,19995A.Ben-Tal and A.Nemirovski. Robust optimization-methodology and applications. Mat

28、h.Program,.Ser.B92:453-480,20026Shen Ruijun Zhang shuzhong Robust portfolio selection based on a muli-stage tree,European Journal of operation research,191:864-887,20087Mustafa C.Pinar Robust scenario optimization based on downside-risk measure for multi-period portfolio selection. OR spectrum,20058 Aharon Ben-Tal, Tamar Margalit Arkadi Nemirovski, robust modeling of multi-stage portfolio problems, draft paper9A.Ben-Tal A.Goryashko E.Guslitzer A.Nemirovski Adustable robust soltutions of uncertain linear programs Math