高考數(shù)學第一輪復習第四篇 平面向量

1、第四篇平面向量a第1講平面向量的概念及其線性運算最新考綱1了解向量的實際背景2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.知 識 梳 理1向量的有關(guān)概念名稱定義備注平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向

2、量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba.(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)續(xù)表減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得ba.辨 析 感 悟1對共線向量的理解(1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同()(2)若ab，bc，則ac.()(3)(2013鄭州調(diào)研改編)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量ab與2ab共線，

3、則.()(4)(2013陜西卷改編)設(shè)a，b為向量，則“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要條件()2對向量線性運算的應(yīng)用(5).()(6)(教材習題改編)在abc中，d是bc的中點，則()()學生用書第69頁感悟提升1一個區(qū)別兩個向量共線與兩條線段共線不同，前者的起點可以不同，而后者必須在同一直線上同樣，兩個平行向量與兩條平行直線也是不同的，因為兩個平行向量可以移到同一直線上2兩個防范一是兩個向量共線，則它們的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考點一平面向量的有關(guān)概念【例1】 給出下列命題：若|a|b|，則ab；若a，b，c，d是不共線的四點，則是四邊形abcd為

4、平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中真命題的序號是_解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又a，b，c，d是不共線的四點，四邊形abcd為平行四邊形；反之，若四邊形abcd為平行四邊形，則且|，因此，.正確ab，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.答案規(guī)律方法 對于向量的概念應(yīng)注意以下幾條：(1)向量的兩個特征：有大小和

5、方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標表示；(2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量；(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小【訓練1】 設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()a0 b1 c2 d3解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0

6、，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.答案d考點二平面向量的線性運算例2】 如圖，在平行四邊形oadb中，設(shè)a， b，b ， .試用a，b表示， 及.解由題意知，在平行四邊形oadb中， b ( )(ab)ab，則babab. ()(ab)ab，(ab)abab.規(guī)律方法 (1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用【訓練2】 (1) (2013四

7、川卷)如圖，在平行四邊形abcd中，對角線ac與bd交于點o， ，則_. (2)(2013泉州模擬)已知p，a，b，c是平面內(nèi)四點，且，那么一定有 ()a.2 b.2c.2 d.2解析(1)2，2.(2)，22.答案(1)2(2)d考點三向量共線定理及其應(yīng)用【例3】 (2013鄭州一中月考)設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：a，b，d三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線審題路線(1)由向量的加法，得用a，b表示得到與的關(guān)系式由向量共線定理，得與共線再看是否有公共點得到證明的結(jié)論(2)假設(shè)存在實數(shù)k利用向量共線定理列出方程根據(jù)a，b是兩個不共線的向量

8、得出方程組解得k值(1)證明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共線，又它們有公共點b，a，b，d三點共線(2)解假設(shè)kab與akb共線，則存在實數(shù)，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是兩不共線的非零向量，kk10.k210.k1.規(guī)律方法 (1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當且僅當120時成立，則向量a，b不共線.學生用書第70頁【訓練3】 (2014西安模擬)已知向量a，b不共線，

9、且cab，da(21)b，若c與d同向，則實數(shù)的值為_解析由于c與d同向，所以ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共線，所以有整理得2210，所以1或.又因為k0，所以0，故1.答案11向量的加、減法運算，要在所表達的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論2對于向量共線定理及其等價定理，關(guān)鍵要理解為位置(共線或不共線)與向量等式之間所建立的對應(yīng)關(guān)系要證明三點共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式ba，再結(jié)合條件或圖形有無公共點證明幾何位置方法優(yōu)化3準確把握平面向量的概念和運算【典例】 (20

10、12浙江卷)設(shè)a，b是兩個非零向量()a若|ab|a|b|，則abb若ab，則|ab|a|b|c若|ab|a|b|，則存在實數(shù)，使得bad若存在實數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|一般解法 (排除法)選項a，若ba，則等式|ab|a|b|成立，顯然ab不成立；選項b，若ab且|a|b|，則|a|b|0，顯然，|ab|a|0，故|ab|a|b|不成立；選項d，若ba，則|a|b|0，顯然，|ab|2|a|0，故|ab|a|b|不成立綜上，a，b，d都不正確，故選c.優(yōu)美解法 (數(shù)量積法)把等式|ab|a|b|兩邊平方，得(ab)2(|a|b|)2，即2ab2|a|b|，而ab|a|b|cos，所以

11、cos1.又因為0，所以，即a，b為方向相反的共線向量故c正確反思感悟 部分學生做錯的主要原因是：題中的條件“|ab|a|b|”在處理過程中誤認為“|ab|ab|”，從而得到“ab”這個錯誤的結(jié)論【自主體驗】在oab中，a，b，od是ab邊上的高，若，則實數(shù) ()a. b.c. d.解析由，|.又|a|cos a|a|，|ba|，.故選c.答案c 基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1若o，e，f是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()a. b.c. d.解析由圖可知.答案b2.(2014汕頭二模)如圖，在正六邊形abcdef中，等于()a0 b.c. d.解析因為abcdef是正

12、六邊形，故.答案d3對于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件解析若ab0，則ab，所以ab.若ab，則ab，ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件答案a4(2014開封模擬)下列命題中，正確的是()a若|a|b|，則ab或abb若ab0，則a0或b0c若ka0，則k0或a0d若a，b都是非零向量，則|ab|ab|解析對于a，顯然不能得知ab或ab，因此選項a不正確；對于b，易知不正確；對于c，易知正確；對于d，注意到(ab)2(ab)24ab，顯然ab與零的大小關(guān)系不確定，因此選項d不正確綜上所述，選c.答案

13、c5(2014蘭州質(zhì)檢)若點m是abc所在平面內(nèi)的一點，且滿足53，則abm與abc的面積比為()a. b. c. d.解析設(shè)ab的中點為d，由53，得3322，即32.如圖所示，故c，m，d三點共線，且，也就是abm與abc對于邊ab的兩高之比為35，則abm與abc的面積比為，選c.答案c二、填空題6(2014湖州月考)給出下列命題：向量的長度與向量的長度相等；向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；向量與向量是共線向量，則點a，b，c，d必在同一條直線上其中不正確命題的序號是_解析中，向量與為相反向量，它

14、們的長度相等，此命題正確中若a或b為零向量，則滿足a與b平行，但a與b的方向不一定相同或相反，此命題錯誤由相等向量的定義知，若兩向量為相等向量，且起點相同，則其終點也必定相同，該命題正確由共線向量知，若兩個向量僅有相同的終點，則不一定共線，該命題錯誤共線向量是方向相同或相反的向量，若與是共線向量，則a，b，c，d四點不一定在一條直線上，該命題錯誤答案7在abcd中，a，b，3，m為bc的中點，則_(用a，b表示)解析由3，得43 3(ab)，ab，所以(ab)ab.答案ab8(2014泰安模擬)設(shè)a，b是兩個不共線向量，2apb，ab，a2b，若a，b，d三點共線，則實數(shù)p的值為_解析2ab，

15、又a，b，d三點共線，存在實數(shù)，使.即p1.答案1三、解答題9在abc中，d，e分別為bc，ac邊上的中點，g為be上一點，且gb2ge，設(shè)a，b，試用a，b表示，.解()ab；()()ab.10若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當t為何值時，a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上？解設(shè)a，tb，(ab)，ab，tba.要使a，b，c三點共線，只需.即ab(tba)tba.又a與b為不共線的非零向量，有當t時，三向量終點在同一直線上能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1(2013濟南一模)已知a，b，c 是平面上不共線的三點，o是abc的重心，動點p滿足，則點p一

16、定為三角形abc的()aab邊中線的中點bab邊中線的三等分點(非重心)c重心dab邊的中點解析設(shè)ab的中點為m，則，(2)，即32，也就是2，p，m，c三點共線，且p是cm上靠近c點的一個三等分點答案b2在abc中，點o在線段bc的延長線上，且與點c不重合，若x (1x)，則實數(shù)x的取值范圍是()a(，0) b(0，)c(1,0) d(0,1)解析設(shè) (1)，則 (1) ，又x (1x)，所以x (1x)(1) .所以1x1，得x0.答案a二、填空題3若點o是abc所在平面內(nèi)的一點，且滿足|2|，則abc的形狀為_解析2，|.故a，b，c為矩形的三個頂點，abc為直角三角形答案直角三角形三、

17、解答題4.在abc中，e，f分別為ac，ab的中點，be與cf相交于g點，設(shè)a，b，試用a，b表示.解()()(1)(1)ab.又m ()(1m)a(1m)b，解得m，ab.學生用書第70頁第2講平面向量基本定理及坐標表示最新考綱1了解平面向量的基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標表示3會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件.知 識 梳 理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面

18、向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.辨 析 感 悟1對平面向量基本定理的理解(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12. () (3)(2013廣東卷改編)已知a是已知的平面向

19、量且a0.關(guān)于向量a的分解，有下列四個命題，請判斷它們的正誤：給定向量b，總存在向量c，使abc. ()給定向量b和c，總存在實數(shù)和，使abc；()給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實數(shù)，使abc； ()給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使abc. ()2平面向量的坐標運算(4)(教材習題改編)已知點a(2,1)，b(1,3)，則(3,2)()(5)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()(6)(2013湘潭調(diào)研改編)已知向量a(4，x)，b(4,4)，若ab，則x的值為4.()感悟提升1向量坐標與點的坐標的區(qū)別在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量a

20、，點a的位置被向量a唯一確定，此時點a的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點a(x，y)，向量a(x，y)當平面向量平行移動到時，向量不變即(x，y)，但的起點o1和終點a1的坐標都發(fā)生了變化2兩個防范一是注意能作為基底的兩個向量必須是不共線的，如(1)二是注意運用兩個向量a，b共線坐標表示的充要條件應(yīng)為x1y2x2y10，如(5).考點一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】 如圖，在平行四邊形abcd中，m，n分別為dc，bc的中點，已知c，d，試用c，d表示，.解法一設(shè)a，b，則ad，bc.將代入，得ad，adc(2dc)，將代入，得bc(2dc)(2cd)(2dc)，

21、(2cd)法二設(shè)a，b.因m，n分別為cd，bc的中點，所以b，a，因而即(2dc)，(2cd)規(guī)律方法 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決【訓練1】 在梯形abcd中，abcd，ab2cd，m，n分別為cd，bc的中點，若a，則()a. b. c. d.解析因為()22，所以，所以.答案d考點二平面向量的坐標運算【例2】 已知a(2,4)，b(3，1)，c(3，4)，設(shè)a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab

22、3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求m，n的坐標及向量的坐標解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3)設(shè)o為坐標原點，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，m的坐標為(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，n的坐標為(9,2)，(90,220)(9，18)規(guī)律方法 向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及運算法則的正

23、確使用【訓練2】 (1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab ()a(2，1) b(2,1) c(1,0) d(1,2)學生用書第72頁(2)在平行四邊形abcd中，ac為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則()a(2，4) b(3，5)c(3,5) d(2,4)解析(1)a，b，故ab(1,2)(2)由題意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案(1)d(2)b考點三平面向量共線的坐標表示【例3】 平面內(nèi)給定三個向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求實數(shù)k；(2)若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐標審題路線(1)分別求出

24、(akc)與(2ba)的坐標利用向量平行的充要條件列方程解關(guān)于k的方程；(2)設(shè)d的坐標根據(jù)已知條件列出方程組解方程組，得到d的坐標解(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)設(shè)d(x，y)，則dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐標為(3，1)或(5,3)規(guī)律方法 ab的充要條件有兩種表達方式：(1)ab(b0)ab(r)；(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.兩種充要條件的表達形式不同第(1)種是用線性關(guān)系的形式表示的，而且有前提條件b0，而第(2)種無b0限制【訓練3】 (1)

25、(2014衡水中學一檢)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則 ()a. b. c1 d2(2)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三個頂點a(1,2)，b(2,1)，c(4,2)，則點d的坐標為_解析(1)由于ab(1，2)，故(ab)c4(1)60，解得，故選a.(2)在梯形abcd中，dc2ab，2 .設(shè)點d的坐標為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點d的坐標為(2,4)答案(1)a(2)(2,4)1平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法

26、的平行四邊形法則，將向量進行分解2向量的坐標表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標運算法則是運算的關(guān)鍵，通過坐標運算可將一些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問題3在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用 思想方法3方程思想在平面向量線性運算中的應(yīng)用【典例】 (2013北京卷)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，r)，則_.解析以向量a和b的交點為坐標原點建立如圖所示的坐標系，令每個小正方形的邊長為1個單位，則a(1，1)，b(6,2)，c(5，1)，所以a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由cab可得解得所以4.答案4

27、反思感悟 (1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去(2)利用向量共線建立方程組，用方程的思想求解【自主體驗】1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基底a，b的線性組合，即e1e2_a_b.解析由題意，設(shè)e1e2manb.又ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.又e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，所以則答案2已知向量a，b(x,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，則x_.解析a2b，2ab(16x，x1)，由題意得(82x)(x1)

28、(16x)，整理得x216，又x0，所以x4.答案4基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1(2014華東師大附中模擬)如圖，設(shè)o是平行四邊形abcd的兩條對角線ac，bd的交點，下列向量組：與；與；與；與，其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是()a b c d解析中與不共線，可作為基底；中與為共線向量，不可作為基底；中與是兩個不共線的向量，可作為基底；中與在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底綜上，只有中的向量可以作為基底，故選c.答案c2(2014揭陽二模)已知點a(1,5)和向量a(2,3)，若3a，則點b的坐標為()a(7,4) b(7,14) c(5,4) d(5,

29、14)解析設(shè)點b的坐標為(x，y)，則(x1，y5)由3a，得解得答案d3.如圖，在oab中，p為線段ab上的一點，x y ，且2 ，則()ax，y bx，ycx，y dx，y解析由題意知，又2 ，所以()，所以x，y.答案a4(2013惠州模擬)已知向量a(1,1)，b(3，m)，a(ab)，則m()a2 b2 c3 d3解析ab(2，m1)，由a(ab)，得(1)(m1)210，解得m3.答案c5(2014許昌模擬)在abc中，點p在bc上，且2p，點q是ac的中點，若(4,3)，(1,5)，則等于()a(2,7) b(6,21)c(2，7) d(6，21)解析3 3(2 )6 3 (6,

30、30)(12,9)(6,21)答案b二、填空題6若三點a(2,2)，b(a,0)，c(0，b)(ab0)共線，則的值為_解析(a2，2)，(2，b2)，依題意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案7已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若點a，b，c能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是_解析由題意得(3,1)，(2m,1m)，若a，b，c能構(gòu)成三角形，則，不共線，則3(1m)1(2m)，解得m.答案m8(2013江蘇卷)設(shè)d，e分別是abc的邊ab，bc上的點，adab，bebc.若1 2 (1，2為實數(shù))，則12的值為_解析()，所以1，2，即12.答案三、解答題9已

31、知a(1,2)，b(3,2)，當k為何值時，kab與a3b平行？平行時它們是同向還是反向？解kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，法一當kab與a3b平行時，存在唯一實數(shù)使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，解得k，當k時，kab與a3b平行，這時kabab(a3b)0，kab與a3b反向法二kab與a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k，此時kab(a3b)當k時，kab與a3b平行，并且反向10已知點o為坐標原點，a(0,2)，b(4,6)，t1 t2 .(1)求點m在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當t1

32、1時，不論t2為何實數(shù)，a，b，m三點都共線(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當點m在第二或第三象限時，有故所求的充要條件為t20且t12t20，(2)證明當t11時，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2 ，與共線，又它們有公共點a，a，b，m三點共線能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1(2013保定模擬)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，則角c的大小為()a30 b60 c90 d120解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理得b2a2c

33、2ab，由余弦定理得cos c，又0c0，b0，o為坐標原點，若a，b，c三點共線，則的最小值為_解析(a1,1)，(b1,2)a，b，c三點共線，.2(a1)(b1)0，2ab1.(2ab)442 8.當且僅當，即b，a時取等號的最小值是8.答案8三、解答題4.如圖，已知點a(1,0)，b(0,2)，c(1，2)，求以a，b，c為頂點的平行四邊形的第四個頂點d的坐標解以a，b，c為頂點的平行四邊形可以有三種情況：abcd；adbc；abdc.設(shè)d的坐標為(x，y)，若是abcd，則由，得(0,2)(1,0)(1，2)(x，y)，即(1,2)(1x，2y)，x0，y4.d點的坐標為(0，4)(

34、如題圖中所示的d1)若是adbc，由，得(0,2)(1，2)(x，y)(1,0)，即(1,4)(x1，y)，解得x2，y4.d點的坐標為(2,4)(如題圖中所示的d2)若是abdc，則由，得(0,2)(1,0)(x，y)(1，2)，即(1,2)(x1，y2)解得x2，y0.d點的坐標為(2,0)(如題圖中所示的d3)，以a，b，c為頂點的平行四邊形的第四個頂點d的坐標為(0，4)或(2,4)或(2,0).學生用書第73頁第3講平面向量的數(shù)量積最新考綱1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算4能運用數(shù)量積表示

35、兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.知 識 梳 理1平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.(2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夾角：cos .(4)兩非零向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20

36、.(5)|ab|a|b|(當且僅當ab時等號成立)|x1x2y1y2| .3平面向量數(shù)量積的運算律(1)abba(交換律)(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)(3)(ab)cacbc(分配律)辨 析 感 悟1對平面向量的數(shù)量積的認識(1)兩個向量的數(shù)量積是一個向量，向量加、減、數(shù)乘運算的結(jié)果是向量()(2)(2013湖北卷改編)已知點a(1,1)，b(1,2)，c(2，1)，d(3,4)，則向量在方向上的投影為.()(3)若ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角()2對平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)、運算律的理解(4)ab0，則a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)

37、abac(a0)，則bc.()感悟提升三個防范一是兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，如(1)；二是在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個數(shù)量，不是向量設(shè)向量a，b的夾角為，當為銳角時，投影為正值；當為鈍角時，投影為負值；當為直角時，投影為0；當0時，b在a的方向上投影為|b|，當180時，b在a方向上投影為|b|，如(2)；當0時，ab0，180，ab0，即ab0是兩個向量a，b夾角為銳角的必要而不充分條件，如(3)；三是ab0不能推出a0或b0，因為ab0時，有可能ab，如(4) 考點一平面向量數(shù)量積的運算【例1】 (1)(2014威海期末考試)已知a(1,2)，2ab(3,1)，則ab

38、()a2 b3 c4 d5(2)(2013江西卷)設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的射影為_解析(1)a(1,2)，2ab(3,1)b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)ab(1,2)(1,3)1235.(2)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，所以a在b方向上的射影為|a|cos.答案(1)d(2)學生用書第74頁規(guī)律方法 求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用【訓練

39、1】 (1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)滿足條件(8ab)c30，則x()a6 b5 c4 d3(2)(2013山東卷)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實數(shù)的值為_解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30，即183x30，解得x4.故選c.(2)，0，()0，即()()(1)220.向量與的夾角為120，|3，|2，(1)|cos 120940，解得.答案(1)c(2)考點二向量的夾角與向量的?！纠?】 (1)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(2)已知向量a，b滿足ab0，

40、|a|1，|b|2，則|2ab|_.解析(1)等式平方得|a|29|b|2|a|24|b|24ab，則|a|2|a|24|b|24|a|b|cos ，即04|b|243|b|2cos ，得cos .(2)因為|2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448，故|2ab|2.答案(1)(2)2規(guī)律方法 (1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式(2)|a|常用來求向量的?！居柧?】 (1)(2014長沙模擬)已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)若平面向量a，b滿足|a|1，|b|1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角的取值范圍是_解

41、析(1)由|2ab|平方得，4a24abb210，即|b|24|b|cos 45410，亦即|b|22|b|60，解得|b|3或|b|(舍去)(2)依題意有|a|b|sin ，即sin ，由|b|1，得sin 1，又0，故有.答案(1)3(2)考點三平面向量的垂直問題【例3】 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求(其中k為非零實數(shù))審題路線證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計算這兩個向量的數(shù)量積問題，數(shù)量積為零即得證由模相等，列等式、化簡求.(1)證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(

42、cos2sin2)0，ab與ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.0，0，.規(guī)律方法 (1)當向量a與b是坐標形式給出時，若證明ab，則只需證明ab0x1x2y1y20.(2)當向量a，b是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進行運算證明ab0.(3)數(shù)量積的運算ab0ab中，是對非零向量而言的，若a0，雖然有ab0，但不能說ab.【訓練3】 已知平面向量a(，1)

43、，b.(1)證明：ab；(2)若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t)(1)證明ab10，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t)(t0) 1計算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算3利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.學生用書第75頁教你審題5數(shù)量積的計算問題【典例】 (201