圓的解題套路(word修訂版)

1、IE. I AXEE也衛(wèi)IK=ni.：EK _NLi . I.K3flttt3. 5；tE. HQZ3fc4E-VW由（U圓 的 解 題 套 路門派姓名號%模型一：伴隨型相似（聽說它比較容易？）識別模型：AB為圓0直徑，AC為/ BAD角 平分線。CD丄AD。則可以證 ADC與厶ACB 相似。AD AC CDAC AB CB第一天C為L二的中點，過點C作直線CD丄AE例題1:如圖，AB為O O的直徑，點E在O O上,于D，連接AC、BC.(1 )試判斷直線CD與O O的位置關系，并說明理由;(2 )若 AD=2 , AC= r.求AB的長.變式1:如圖，在 ABC中，/C=90。，點E在AB上

2、，以AE為直徑的O O切BC于點D , 連接AD .(1 )求證：AD平分ZBAC ;(2 )若0 O的半徑為5, sin ZDAC=，求 BD的長.第二天例題2 :如圖，已知O O是ABC的外接圓，AD是O O的直徑，且BD=BC ,延長AD到E, 且有 ZEBD= /CAB .(1 )求證：BE是O O的切線；(2 )若BC,打，AC=5，求圓的直徑 AD及切線BE的長.變式1 :如圖1 , AB為半圓的直徑,O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D , AB的延長線交直線 CD于點E.(2)如圖2，連接0D交AC于點G,若(1 )求證：AC平分/ DAB ;CG.3:=

3、4，求sin ZE的值.第三天變式2 : AB為O O的直徑，C為O O上一點，AD與過C點的切線垂直，垂足為D ,連AC .(1 )求證：AC平分/ DAB ;si變式3 :如圖所示， ABC內接于O O, AB是O O的直徑，點 D在O O上，過點C的切線交AD的延長線于點 E，且AE丄CE，連接CD .(1 )求證：DC=BC ;(2 )若 AB=10 , AC=8，求 tan ZDCE 的值.E第四天變式4 :如圖，已知以 RtKBC的斜邊AB為直徑作厶ABC的外接圓O O ,/ABC的平分線 BE交AC于D，交O O于E,過E作EF/AC交BA的延長線于 F.(1 )求證：EF是O

4、O切線；(2 )若 EF=8 , tan ZAEF=丄，求 CD 的長.模型二：子母型and切割線（這是一個很深的坑）如圖：AB為圓0的直徑，過點 D的切線交AB的模型識別：如左圖：PB為圓0切線，PA為圓0割線?？勺C： PCBs pba。 從而：PB PC CB （這個比例式經常將 CB進行轉化。）PA PB BABA第四天（先讓我們來體會一個幾何的連鎖反應）延長線于點 C,DH丄AB于H。若AB=10 ,DH求CB的值。分析：這里有射影定理模型和切割線模型(能找到嗎？)，兩個模型的線段之比可以不斷轉化：可以證明 DHB s/ahD, HBHDDHAHBDCBCD1CBD s/CDA,ADC

5、DCA2HBBDCB(這里就有一個連鎖反應:DHDACD解答:BD，即：-BD 1ADHD AD 2CD，將射影定理和切割線結合到了一起！)CA第五天D為O O上一點，點 C在直徑BA的延長線上，且/ CDA= ZCBD .(1 )求證：CD是O O的切線；an 9(2 )過點B作O O的切線交CD的延長線于點 E, BC=6，諾三.求BE的長.BD 3變式1 :如圖，在O O中，AB為直徑，0C丄AB，弦CD與OB交于點F,在AB的延長線上有點E,且EF=ED .(1 )求證：DE是O 0的切線；(2 )若OF: 0B=1 : 3 , O 0的半徑R=3，求一的值. AD變式2 :如圖，AB

6、為O 0直徑，C是O 0上一點，CO丄AB于點0,弦CD與AB交于點F,過點D 作ZCDE，使ZCDE= ZDFE,交AB的延長線于點 E.過點A作O 0的切線交ED 的延長線于點G .(1 )求證：GE是O 0的切線;(2 )若 0F: 0B=1 : 3，求 AG 的長.第六天例題2 :如圖，在ABC中，AB=AC .以AC為直徑的O O交AB于點D ,交BC于點E.過E點作O O的切線，交AB于點F.(1 )求證：EF丄AB ;(2 )若 BD=2 , BE=3，求 AC 的長.變式1 :如圖，以 AB為直徑的O O交ABC的邊AC于D、BC于E,過D作O O的切線交BC于F，交BA延長線

7、于 G,且DF丄BC .(1 )求證：BA=BC ;，求DE的長.第七天變式：如圖，在 ABC中，CA=CB，以BC為直徑的圓O O交AC于點G,交AB于點D ,過點D作O O的切線，交CB的延長線于點 E,交AC于點F.(1 )求證：DF丄AC .(2 )如果O O的半徑為5, AB=12，求cos ZE.第八天(真正的子母型)例題4 :已知：在 RtKBD中，/ ABD=90。，以直角邊AB為直徑作圓 0交AD于C,取 線段BD的中點E,連接CE交AB的延長線于P.(1 )求證：CP是O 0的切線；(2 )點M是弧T啲中點，CM 交AB于點N，若AB=4，求MN ?MC的值.變式：如圖，已

8、知 ABC，以AC為直徑的O O交AB于點D，點E為丨的中點，連結 CE交AB于點F,且BF=BC .(1 )判斷直線BC與O O的位置關系，并說明理由;(2 )若0 O的半徑為2, sinB= ，求CE的長.5(2 )若 BC=6 , tan /CDA=,第九天變式：如圖，D為O O上一點，點 C在直徑BA的延長線上，且/ CDA= /CBD .(1 )求證：CD是O O的切線;求CD的長.IffC變式：如圖，AB為O O的直徑，CO丄AB于O , D在O O上，連接 BD , CD，延長 CD與AB的延長線交于 E, F在BE上，且FD=FE .(1 )求證：FD是O O的切線；(2 )若

9、 AF=8 , tan /BDF=丄，求 EF 的長.4類型三：等腰三角形與圓的交點(key-poi nt)如左圖： ABC為等腰三角形，AB為圓0 的直徑，貝U BC與圓0的交點D為BC的中 點。第十天例題1 :如圖，在 ABC中，AB=AC，以AB為直徑作O 0，交BC邊于邊 D，交AC邊于 點G,過D作O 0的切線EF,交AB的延長線于點 F,交AC于點E.(1 )求證：BD=CD ;(2 )若 AE=6 , BF=4，求O 0 的半徑.變式：在厶ABC中，/ACB=90 ,D是AB邊上一點，以 BD為直徑的O O與邊AC有公共點E,連結DE并延長，與 BC的延長線交于點 F, BD=B

10、F .(1 )求證：AC是O O的切線；變式：如圖，以 ABC的邊AB為直徑的O O與邊BC交于點D，過點D作DE丄AC,垂足 為E,延長AB、ED交于點F, AD平分/ BAC .(1 )求證：EF是O O的切線；(2 )若 CE=1 , sinF=f，求O O 的半徑.5第十一天例題2:如圖，已知等腰三角形 ABC的底角為30 以BC為直徑的O O與底邊AB交于點D ,過D作DE丄AC，垂足為E.(1 )證明：DE為O O的切線；D變式：已知如圖， AB是O O的直徑，O O過BC的中點 D，且DE丄AC于點E.(1 )求證：DE是O O的切線;，求O O的直徑.(2 )若/C=30 ,C

11、D=10cm變式：如圖，在 ABC中，以AB為直徑的O O交AC于點D，過點D作DE丄BC于點E,且/BDE= /A.求O O的半徑.(1 )判斷DE與O O的位置關系并說明理由;(2 )若 AC=16 , tanA=第十二天例題3:如圖，在 ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O O分別交AC, BC于點D , E,過點B作O O的切線，交AC的延長線于點F.(1 )求證：/ CBF= /CAB ;2(2)連接 BD, AE 交于點 H，若 AB=5 , tan /CBF=，求 BH 的值.變式：如圖，以 ABC的邊BC為直徑的O O交AC于點D，過點D作O O的切線交 AB于點E.(1)如

12、圖1，若/ ABC=90，求證：OE /AC;如圖2，已知 AB=AC,若 sin ZADE=I，求tanA的值.類型四：射影定理（唐教授（長沙中考命題人）的最愛）第十三天例題1 :如圖，以MBC的一邊AB為直徑作O O , O O與BC邊的交點恰好為 BC的中點D , 過點D作O O的切線交AC于點E.（1 ）求證：DE丄AC ;oB變式：如圖，AB是O O的直徑，AC是O O的切線，BC交O O于點E,連接AE .(1 )若D為AC的中點，連接DE,證明：DE是O O的切線;(2 )若 BE=3EC，求 tan /ABC .3第十四天例題2 :如圖，已知 CD是ABC中AB邊上的高，以 C

13、D為直徑的O O分別交CA、CB于點E、F,點G是AD的中點.GE=BD=2(1 )求證：GE是O O的切線.(2 )求 sin ZDCB 的值.變式：如圖，四邊形 ABCD內接于O 0,對角線AC為O O的直徑，過點 C作AC的垂線交AD的延長線于點 E,點F為CE的中點，連接 DB , DC , DF .(1 )求證：DF是O O的切線;(2 )若 AC=2 .口DE，求 tan /ABD 的值.變式：如圖， ABC內接于O O , AC為O O的直徑，PB是O O的切線，B為切點，OP丄BC,垂足為(1 )求證：BD平分/ PBC;(2 )若0 O的半徑為1 , PD=3DE雜題(方法或輔助線稍特殊的題)第十五天1:如圖，AB是O O的直徑，AC、BC是O O的弦，AD /BC，且/DCA= ZB，連接 0D .(1 )求證：DC與O 0相切;第十六天1 :如圖，點 0在ABC的邊AB上，O O過點B且分別與邊 AB、BC相交于點 D、E, EF丄AC于F,直線EF是O 0的切線.(1 )求證： ABC為等腰三角形;(2 )若 BD=2DACF=2，求線段AF的長.第十七天1 :在RtKBC中，/ ACB=90 ,0在AB上，O經過點 A，與CB切于D，分別交 AB、AC 于 E、F.sin ZB=一BD(1 )