最優(yōu)票價分析數(shù)學(xué)模型

1、 青島市第二屆大學(xué)生科技節(jié)數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了青島市第二屆大學(xué)生科技節(jié)數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。競賽編號（請嚴(yán)格按要求書寫）： c乙0808 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?青

2、島農(nóng)業(yè)大學(xué) 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 張志明 2. 蔡超 3. 王勇 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 修宗湖 日期： 2011 年 4 月 18 日青島市第二屆大學(xué)生科技節(jié)數(shù)學(xué)建模競賽評 閱 專 用 頁評閱記錄：評閱人評分備注2青島市第二屆大學(xué)生科技節(jié)數(shù)學(xué)建模競賽題 目 青榮輕軌的最優(yōu)票價 關(guān) 鍵 詞 輕軌；城市軌道交通；matlab；層次分析法；內(nèi)插外推法 摘 要票價是決定軌道交通客運量發(fā)展的重要因素，票價的制定將直接影響軌道公司的利益和普通乘客的利益。傳統(tǒng)的定價方式大都以不同的票價目標(biāo)為依據(jù)，建立單一的定價模型。但是這種定價方式?jīng)]有很好地體現(xiàn)對各方利益的兼顧和社會效益

3、的最大化。我們利用票價層次分析模型來解決上述問題，并根據(jù)模型提出青榮輕軌票價建議方案。本文中，我們創(chuàng)造性地采用了內(nèi)插外推法，結(jié)合青島到榮成及線路上的火車和客車的運量，近似得出青榮輕軌的客流量。我們找到與青煙威榮交通情況類似的武漢、長春等地的輕軌運營成本和客流量的相關(guān)資料，求出考慮邊際成本的票價。通過對香港地鐵19962003年的運營數(shù)據(jù)作線性回歸分析，得到運量的價格彈性系數(shù)，從而構(gòu)造相應(yīng)的盈虧平衡的定價模型。然后通過研究社會效益最大化的模型，得到最有益與社會效益的票價。最后我們利用層次分析法，從社會效益、軌道公司利益、乘客利益3方面選取指標(biāo)來對以上三個票價方案進行綜合評價。由于層次分析法分析決

4、策問題時有個比較明顯的缺陷，在做比較、判斷時，一些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度往往難以最化。為克服此不足，盡可能得到優(yōu)化結(jié)果。我們對此設(shè)了9個決策目標(biāo)，對3項指標(biāo)進行系統(tǒng)綜合的評價，從而得到合理的票價處理方案。在利用層次分析法的過程中，我們用到了大量的歷史數(shù)據(jù)，并運用回歸分析進行數(shù)據(jù)的擬合。在充分考慮了青榮青軌的實際情況后，我們決定全程采用計程票價制。最終給出了青榮青軌的票價一覽表。我們還對數(shù)據(jù)進行了計算機模擬、驗證，結(jié)果充分顯示了我們模型的實用性和實際可操作性。一 問題重述青榮輕軌為國鐵級、單線和電氣化鐵路，客貨并用，具有充分發(fā)揮青島、煙臺、威海作為區(qū)域中心城市的輻射作用，帶動沿線城鎮(zhèn)化

5、發(fā)展的重要意義。據(jù)媒體報道：青榮輕軌項目于2010年底全面開工建設(shè)，目前萊陽段和文登段已開工建設(shè)，其預(yù)計竣工日期為2013年9月30日，總工期為36個月。工程全線總長298.971公里，其中橋梁164.696公里，占正線長度的55.09%。青榮城際鐵路全線共設(shè)車站15個，其中城際始發(fā)站有青島北站、煙臺站、威海站、榮成站共4個；辦理客運業(yè)務(wù)的中間站有城陽、即墨北、萊西、萊陽、桃村北、福山南、煙臺南、牟平、威海北、威海機場共10個；預(yù)留夏格莊站。屆時，青島至煙臺、威海旅行時間將由現(xiàn)在的3.7小時、4.3小時分別縮短為1小時、1.5小時。同時，煙臺到濟南、北京的時間可分別控制在3小時、5小時之內(nèi)，而

6、目前煙臺至北京的運行時間為14.5小時。隨著青榮輕軌項目的開工，全線15個站之間的票價問題成為倍受人們關(guān)注的熱點問題。交通票價問題向來是敏感而又復(fù)雜的問題，其往往具有雙面性：過高的票價會使眾多居民不堪負(fù)重，也可能使得鐵路部門因售票情況不佳而損失慘重；過低的票價一方面可能使建設(shè)和運營成本難以收回。本文圍繞如何確定最優(yōu)票價，重點解決以下問題：1.根據(jù)青榮輕軌的具體情況，分析影響青榮輕軌票價的相關(guān)因素，收集相關(guān)數(shù)據(jù)，并據(jù)此通過數(shù)學(xué)建模的方法，給出青榮輕軌各站間的最優(yōu)票價。2根據(jù)建模分析的結(jié)果，給有關(guān)部門寫一份報告，提出具體建議。二 問題分析城市軌道交通作為運量大、速度快、污染低、安全、準(zhǔn)點、舒適的公

7、共交通工具比其他公共交通方式擁有更多優(yōu)勢, 逐漸成為世界各國城市客運交通系統(tǒng)的骨干。目前, 我國正大力建設(shè)城市軌道交通, 而票價的高低始終是老百姓在運營前最關(guān)注的問題。隨著城市客運交通運輸市場競爭環(huán)境的日益激烈和復(fù)雜, 制定票價策略的難度也越來越大, 不僅要考慮到軌道通社會效益、企業(yè)成本補償、乘客接受能力, 還要考慮常規(guī)公交票價、其他同等城市票價等情況。票價的制定將直接影響軌道公司的利益和普通乘客的利益過高的票價會使眾多居民不堪重負(fù)，也可能使得鐵路部門因售票情況不佳而損失慘重；過低的票價可能使建設(shè)和運營成本難以收回。因此, 城市軌道交通的票價制定是一項比較復(fù)雜的系統(tǒng)工程, 并且受到政府嚴(yán)格管制

8、。傳統(tǒng)的定價方式大都以不同的票價目標(biāo)為依據(jù)，建設(shè)單一的定價模型。這種做法的直接后果就是損害了各方的利益。而為了達到雙贏或多贏得目標(biāo)，就得在票價的制定過程中考慮到各方的利益。采取分層的方式進行研究，從而達到各方利益共同兼顧的目標(biāo)。層次分析法就是對影響票價的幾個大的因數(shù)，進行分層研究分析，達到理想的效果。三 基本假設(shè)根據(jù)不同的定價理論和目標(biāo)建立定價模型來確定其最優(yōu)平均票價水平, 主要考慮建立邊際成本定價模型、公司盈虧平衡的定價模型以及最大化社會效益的定價模型。一般來說, 影響票價高低的主要因素有：運營成本、公眾的承受能力和選擇、其他公共交通工具的競爭、乘客的類別及出行目的、服務(wù)要求、客流量分布。根

9、據(jù)這些因素我們提出以下基本假設(shè)：1）客流量隨價格的變動變化。2）短期內(nèi)， 假設(shè)為一年.軌道公司的營運成本保持不變。3）在成本核算時不考慮廣告等收人的影響。4）對于乘客的福利多體現(xiàn)在單位里程的價格上, 不考慮乘坐環(huán)境與服務(wù)情況。 根據(jù)上面的分析, 乘客對環(huán)境和服務(wù)的敏感度不高, 而票價才是最主要的, 因此在此忽略不計 。5）不考慮公共交通每小時由于污染、交通堵塞等因素造成的負(fù)外部效應(yīng)。6）不考慮乘客坐車和候車的時間成本。7）不考慮通貨膨脹的影響。8）用長途車和火車客流量近似代替青榮輕軌客流量。四 變量申明及符號說明符號定義a b e 常數(shù)c運輸成本客流量邊際成本確定的單位運價tc運輸總成本p票價

10、五 幾種重要的票價理論國外對城市軌道交通定價的理論研究較多, 常用的定價方法有平均成本定價、邊際成本定價、供求關(guān)系定價等。1勞動價值論輕軌業(yè)的社會必要勞動時間難以確定，因此在實踐中，通常用運營成本加上一定的利潤作為制定票價的依據(jù)。 2廠商理論 該理論是從企業(yè)的角度，以理性經(jīng)紀(jì)人假設(shè)為前提，以實現(xiàn)利潤最大化為目標(biāo)進行定價。在壟斷競爭的市場條件下，當(dāng)某一票價水平能使邊際收益等于邊際成本，同時平均收益等于邊際成本，輕軌企業(yè)能達到利潤最大化。圖13運輸價值理論 該理論是從需求者的角度出發(fā)，根據(jù)運輸服務(wù)能力為乘客創(chuàng)造的運輸價值的多少來定價。運輸價值反應(yīng)乘客為獲得運輸服務(wù)而愿意支付的價格，它反映了運輸服務(wù)

11、所創(chuàng)造的經(jīng)濟價值。一般認(rèn)為，運輸價值就是能是乘客愿意乘坐該交通工具的情況下，能夠收取的最高票價。運輸價值的大小反映了乘客對票價的承受能力。運輸價值定價實質(zhì)就是根據(jù)運輸對象的負(fù)擔(dān)能力的大小定價。六 模型建立及求解1 考慮邊際成本的定價模型客流量預(yù)測：1原理；1對青榮輕軌線附近居民出行方式進行充分調(diào)查的基礎(chǔ)上獲得沿路居民出行方式。2通過內(nèi)插、外推方法獲得規(guī)劃年（建成通車日）全方式od，并用交通方式劃分模型求出規(guī)劃年分方式od，獲得規(guī)劃年的火車通行方式od1，客車通行方式od2，輕軌通行方式od3，及其他方式（人數(shù)較少，可忽略）。3對規(guī)劃年線路的火車線路網(wǎng)絡(luò)、客車線路網(wǎng)絡(luò)，進行調(diào)查，求出參數(shù)。4以規(guī)

12、劃年的不同交通方式od為基礎(chǔ)，以廣義出行費用最小化為原則，模擬出行者選擇交通方式（含新建輕軌）的選擇過程，用廣義費用優(yōu)化競爭分配模型，對火車客流量od1、客車客流量od2，在哦含有輕軌的交通運輸線上進行優(yōu)化分配，從而獲得輕軌od3競爭得到的客流量。od內(nèi)插外推法，根據(jù)2011年日均輕軌線沿路客流量預(yù)測輕軌通車日均發(fā)送客流量。青榮輕軌線周圍重點線路火車客流量：始發(fā)站目的地日發(fā)送次數(shù)每次發(fā)送人數(shù)日均發(fā)送總?cè)藬?shù)備注青島煙臺1700700青島藍村3600-8002100青島至威海換乘藍村威海52001000青島至威海換乘煙臺桃村112002200中轉(zhuǎn)站煙臺萊陽10200-4004000中轉(zhuǎn)站煙臺藍村1

13、02002000中轉(zhuǎn)站表1青榮輕軌線周圍重點線路客車流量：始發(fā)站目的地發(fā)車時間發(fā)車頻率實際人均發(fā)送人數(shù)備注青島煙臺5：50-16：5030分鐘/班2200路過萊西故不在對萊西求青島萊陽5：30-17：0020分鐘/班3600青島威海5：45-18：0020分鐘/班3600青島即墨6：50-18：0020分鐘/班3200忽略私人車?yán)颓鄭u成陽7：00-16：4020分鐘/班2800忽略私人車?yán)蜔熍_萊陽5：50-17：00流水發(fā)車2000煙臺萊陽5：00-15：0020分鐘/班3000路過桃村故不在對桃村求煙臺威海6：00-16：0010分鐘/班4000煙臺威海6：00-14：0030分鐘/班2

14、000中途下客站牟平、棲霞威海榮城6：00-15：0020分鐘/班2800表2長途車發(fā)送量30000火車發(fā)送量10000其他因素5000表3只計算由南向北方向客流量約為4.5萬人，按照其2倍人數(shù)估算整條青榮輕軌線日均客流量越為9萬人。圖2建立回歸方程預(yù)測通車日時客流量大?。呵鄻s輕軌線附近居民通行行方式主要為火車和客車；隨著經(jīng)濟的發(fā)展，交通設(shè)備的完善，居民的出行需要等因素都影響著od的大小變化，出行方式都不會是線性增長，而且公共交通增長速度應(yīng)該先快后慢，所以選擇“指數(shù)增長函數(shù)” 進行回歸，然后根據(jù)回歸出來的方程進行內(nèi)內(nèi)插外推預(yù)測。年份199020002010線路周邊客流量（萬人）6.98.813

15、.9推算出：年份20202030客流量（萬人）1523假設(shè)運輸成本與客流量之間存在函數(shù)關(guān)系45： （1）式中： b, e為待定常數(shù), c 為運輸成本, 為客流量。根據(jù)對青島情況的調(diào)研，找到與青島比較相近城市的輕軌發(fā)展情況，發(fā)現(xiàn)武漢和長春在城市人口和gdp等影響交通的重要因素均與青島類似。通過查相關(guān)資料得到武漢輕軌在人員，電費，維修等費用的年運營成本約為2億元，每天約為54.7萬。又得到武漢一號線運營六年來日均為4萬人。通過對長春輕軌近幾年的運營情況的分析得到09年日均運量為5萬人，運行費用約為70萬.1.6094.0021.3864.248 表4圖3擬合為 誤差 邊際成本是運營總成本對運量的導(dǎo)

16、數(shù), 公式為： ( 2) 式中： pm 為用邊際成本確定的單位運價； tc 為運輸總成本。最優(yōu)平均票價公式為： ( 3) 式中：t 為年固定運營成本。代入數(shù)據(jù)得到：元2 考慮盈虧平衡的定價模型考慮到企業(yè)和普通市民兩者的利益, 通過輕軌運營的盈虧平衡作為制定票價模型的依據(jù), 從而構(gòu)造相應(yīng)的盈虧平衡的定價模型。 運量 與票價p 之間存在關(guān)系： （4）式中：a 為常數(shù)；為運量的價格彈性系數(shù), a=1 0.625 1.428 1.428 1 0.625 1 1.428 1.625;1.6 1 2.285 2.285 1.6 1 1.6 2.285 1;0.7 0.432 1 1 0.7 0.437 0

17、.7 0.437 0.437;0.7 0.437 1 1 0.7 0.437 0.7 0.437 0.437;1 0.625 1.428 1.428 1 0.625 1 1.428 0.625;1.6 1 2.288 2.288 1.6 1 1.6 2.285 1;1 0.625 1.428 1.428 1 0.625 1 1.428 0.625;0.7 0.437 2.288 2.288 0.7 0.437 0.7 1 0.437;1.6 1 2.288 2.288 1 1 1.6 2.288 1; eig(a)ans = 9.2275 -0.0191 + 0.9921i -0.0191 -

18、 0.9921i -0.4182 0.2289 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 a=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2; eig(a)ans = 2 1 1 a= 1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1; eig(a)ans = 3.0055 -0.0028 + 0.1290i -0.0028 - 0.1290i a= 1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1; rank(a)ans = 3 a=1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1; eig(a)ans = 3.0055 -0.0028 + 0.1290i -0.0028 - 0.1290i a=1 2.29