習(xí)題參考答案與提示

1、第一章 習(xí)題參考答案與提示第一章 隨機事件與概率習(xí)題參考答案與提示1 設(shè)為三個事件，試用表示下列事件，并指出其中哪兩個事件是互逆事件：CBA、 CBA、（ 1）僅有一個事件發(fā)生； （2）至少有兩個事件發(fā)生；（ 3）三個事件都發(fā)生； （4）至多有兩個事件發(fā)生；（ 5）三個事件都不發(fā)生； （6）恰好兩個事件發(fā)生。 分析：依題意，即利用事件之間的運算關(guān)系，將所給事件通過事件表示出來。 CBA、解：（ 1）僅有一個事件發(fā)生相當(dāng)于事件 CBACBACB、A 、有一個發(fā)生，即可表示 成CBACBACBA；類似地其余事件可分別表為（ 2）或ACBCAB ABCCBABCACAB；（ 3）；（ 4）ABCAB

2、C或CBA； （5）CBA；（6）CBABCACAB或。 ABCACBCAB 由上討論知，（ 3）與（ 4）所表示的事件是互逆的。2如果表示一個沿著數(shù)軸隨機運動的質(zhì)點位置，試說明下列事件的包含、互不 相容等關(guān)系： x20| =xxA 3|= xxB9|= xxC5|=xxD 9| =xxE解：（ 1）包含關(guān)系： 、 ACDBE。（2）互不相容關(guān)系： C與E（也互逆）、 B與、 DE與。 D 3寫出下列隨機事件的樣本空間：（ 1）將一枚硬幣擲三次，觀察出現(xiàn) H（正面）和 T（反面）的情況；（ 2）連續(xù)擲三顆骰子，直到 6點出現(xiàn)時停止 , 記錄擲骰子的次數(shù)；（3）連續(xù)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點數(shù)之

3、和；（ 4）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有 10件正品時停止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總數(shù)。提示與答案：（ 1）； TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTH,H,H,=（ 2）； ,2,1= （ 3）； 18,4,3=（ 4）。 ,11,10=4設(shè)對于事件有 CBA、 =）（AP4/1）（）（=CPBP, ， 8/1）（=ACP1第一章 習(xí)題參考答案與提示0）（）（=BCPABP，求至少出現(xiàn)一個的概率。 CBA、 提示與答案：至少出現(xiàn)一個的概率即為求， 可應(yīng)用性質(zhì) 4及性質(zhì)5得CBA、）（CBAP （）PABC5 / 8 =5設(shè)A、 B為隨機事件， （=BAPAP，求 ）（ABP。提示與答案：欲求 )(ABP，由概

4、率性質(zhì) 3可先計算，由于，且 )(ABP)(BAABA= =)(BAAB。解得。6已知事件、 AB滿足 PABPAB()(= )且3/1)(=AP，求 PB()。解法一：由性質(zhì)( 5)知PB()=PABPAPA(B)()( ) + (性質(zhì)5)=1+PABPAPA(B)()( ) (性質(zhì) 3)=1+PABPAPA(B)()( ) (對偶原理)=1PA()=32311= (已知條件)解法二：由于 PABPAB()() = =P( A B) = 1 P( A B)=)()(311ABPBP+從而得 0)(32=BP，即32)(=BP7一個袋中有 5個紅球 2個白球，從中任取一球，看過顏色后就放回袋中

5、，然后 再從袋中任取一球。求：( 1)第一次和第二次都取到紅球的概率；(2) 第一次取到紅球，第二次取到白球的概率。提示與答案：設(shè)表示：“第一次和第二次都取到紅球”； AB表示：“第一次取到紅球，第二次取到白球“。(1) 4925)()()(=nAnAP(2) 4910)()()(=nBnBP8一批產(chǎn)品有 8個正品 2個次品，從中任取兩次，每次取一個(不放回)。求： (1)兩次都取到正品的概率；(2)第一次取到正品，第二次取到次品的概率；2第一章 習(xí)題參考答案與提示(3) 第二次取到次品的概率；(4) 恰有一次取到次品的概率。提示與答案：設(shè)表示：“第 i次取出的是次品”( =1， 2)，則所求

6、概率依次化為 iAi)(21AAP、)(21AAP、)()= ( 2 1 2 1 2 P A P A A A A 、)(2121AAAAP。 (1)(21AAP2845=(2)(21AAP845=(3) )(2AP)()(2121AAPAAP+=15=。(4) )(2121AAAAP)()(2121AAPAAP+=1645=。9設(shè)有80件產(chǎn)品，其中有 3件次品，從中任取 5件檢查。求所取 5件中至少有 3件 為正品的概率。提示與答案：設(shè)：“所取 5件中至少有 3件為正品”；則的對立事件為至多有 2件 為正品，即：“恰有 2件為正品”(最多有 3件次品)。 AA()PA=10從5雙不同的鞋子中任

7、取 4只，求 4只鞋子至少有 2只配成一雙的概率。 提示與答案： 直接求4只鞋子至少有 2只配成一雙的概率不易得到正確的結(jié)果， 這 是由于所考慮事件比較復(fù)雜，解決此類問題的方法通常是利用概率性質(zhì)3，即先求逆事件的概率。 13()21PA=11假設(shè)每個人的生日在一年 365天都是等可能的，那么隨機選取個人，求他們 的生日各不相同的概率及這個人至少有兩個人生日在同一天的概率；若n，求上述兩個事件的概率。 )365(nn=40提示與答案：此問題屬于占位問題。可設(shè) A表示事件： “個人的生日各不相同”； nB表示事件：“這個人至少有兩個人生日在同一天”。 nnnAAP365)(365=， 365()1

8、365nnAPB=。若取，則， 40=n() ()=12某進出口公司外銷員與外商約談，兩人相約某天 8點到 9點在預(yù)定地點3第一章 習(xí)題參考答案與提示會面，先到者要等候另一個人 20分鐘，過時就離去， 若每人在這指定的一個小時 內(nèi)任一時刻到達是等可能的，求事件 =兩人能會面 的概率。 A提示與答案： 設(shè)分別表示兩人到達預(yù)定地點的時刻， 那么兩人到達時間的可能結(jié) 果對應(yīng)邊長為 60的正方形里所有點，如圖， xy、5()9PA= 13設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時被打破的概率為 3/10 ，第二次落 下時被打破的概率為 1/2 ，第三次落下時被打破的概率為 9/10 ，試求透鏡落下三 次未

9、打破的概率。提示與答案：解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意，弄清概率1/2 、9/10的具體含義。依題意“第二次落下時被打破的概率為 1/2”指的是第一次落下未被打破 的情況下，第二次落下時被打破的概率；概率 9/10 的含義類似?？稍O(shè)表示“落下 三次未被打破”， A()PA=720014由長期統(tǒng)計資料得知，某一地區(qū)在 4月份下雨(記作事件)的概率為 4/15 ， 刮風(fēng)(記作事件 AB )的概率為 7/15 ，刮風(fēng)又下雨(記作事件)的概率為 1/10。求， ，。CP(A | B) P A) P(A B) |(B提示與答案： 3(|)14 PAB=， 3(|)8 PBA=， 19()30PAB=。

10、15設(shè)、 AB為隨機事件，若 (=BPAP，求： |(= ABP(1)；( 2) 。 )(ABP)(BAP 提示與答案：該題主要是考查條件概率公式、乘法公式及概率性質(zhì)的應(yīng)用。(1)； (2)()= 4 .7 ()0PAB=。16一機床有 1/3 的時間加工零件 A，其余時間加工零件 B，加工零件 A時，停機 的概率是 3/10，加工零件 B時，停機的概率是 4/10，求這臺機床停機的概率。 提示與答案：依題意，這是一全概率問題。若設(shè) A事件表示：“加工零件 A”； B 事件表示：“加工零件 B；C事件表示：“機床停機”。則。 ()11/30PC= 17有兩個口袋，甲袋中盛有 2個白球 1個黑球

11、；乙袋中盛有 1個白球 2個黑球。由 甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球，求取到白球的概率。4第一章 習(xí)題參考答案與提示提示與答案： 依題意， 這是一全概率問題， 因為從乙袋中取出一球是白球有兩個 前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有兩種可能(由甲袋任取出的球可能是白球， 也可能是黑球)，并且也只有這兩種可能。因此若把這兩種可能看成兩個事件， 這兩個事件的和事件便構(gòu)成了一個必然事件。若設(shè) A表示：“由甲袋取出的球是白球”； B表示：“由甲袋取出的球是黑球”； 表示：“從乙袋取出的球是白球”。則 C()5/12PC=。18設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的， 其中 21是第一家工廠生產(chǎn)的， 其

12、余 兩家各生產(chǎn) 41，又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有 2%的次品，第三家工廠生產(chǎn) 的產(chǎn)品有 4%的次品，現(xiàn)從箱中任取一只，求：(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第三家工廠生產(chǎn)的概率。 提示與答案：設(shè)事件表示： “取到的產(chǎn)品是次品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品是 第i家工廠生產(chǎn)的”( i)。則 AiA=123，( 1) ； ()=( 2) 。 3(|)=19某專門化醫(yī)院平均接待 K型病患者 50%，L型病患者 30%，M型病患者 20%，而 治愈率分別為 7/10 、8/10、9/10。今有一患者已治愈，問此患者是 K型病的概率 是多少提示與答案： 依題意，這是一全概率公式及貝

13、葉斯公式的應(yīng)用問題， 解決問題的 關(guān)鍵是找出一組兩兩互斥事件。解：設(shè)事件 A表示：“一患者已治愈”；事件 i(A321， =i )表示：“患者是 K、 L 、M型病的”。則得 77()100PA=； )|( 1AAP511= 。20三個人獨立地破譯一個密碼，他們能單獨譯出的概率分別為1/5、1/3、1/4 ，求此密碼被譯出的概率。提示與答案：設(shè)事件 A表示：“此密碼被譯出”；應(yīng)用概率性質(zhì) 3及事件獨立性得3()5PA=21若 )|()|( BAPBAP=，證明事件相互獨立。 BA與事件提示與答案：應(yīng)用 BAABA=，且 =BAAB。22一個系統(tǒng)由三個元件按圖所示方式連接而成，設(shè)每個元件能正常工

14、作的5第一章 習(xí)題參考答案與提示概率(即元件的可靠性)均為 Ar(0)1 r；求系統(tǒng)的可靠性。(設(shè)三個元件能否正常工作是 C相互獨立的)。 B 提示與答案：此問題是考查事件間的關(guān)系及獨立性的應(yīng)用。2()(2PACBCr)r =23設(shè)事件 A與B相互獨立，已知 (=AP，(=BAP，求 )(BAP， )(BAP。提示與答案：考查概率性質(zhì)與事件的獨立性的應(yīng)用 ()= 2； ()=。24已知 (=AP，(=BP，(=BAP，求)(|( BABP。提示與答案：由 )()()(|(BAPBABPBABP =，因此轉(zhuǎn)化為計算概率 )(BABP 及)(BAP，進而解得 1(|()4 PBAB=。25隨機地向半圓 220xaxy(為正常數(shù))內(nèi)擲一點，若該點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域 的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點和該點的連線與 ax軸的夾角小于 4/ 的概 率。提示與答案：這是一個幾何概型的概率計算問題，如圖所示。若設(shè)事件A：“表示擲的點和原點的連線與 x軸的夾角小于 4/”；。 11()2PA=+ 26設(shè)有來自三個地區(qū)的各 10名、15名、25名考生的報名表，其中女生的報名表 分別為 3份、 7份、 5份。隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份，求： ( 1)先抽到的一份是女生表的概率； p（ 2）已知后抽