年度論文例談三角形五心問題

1、數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)09級年論文（設(shè)計）例談三角形五心問題【摘要】三角形“五心”的性質(zhì)在處理三角形點、線及角之間各種關(guān)系的問題時有著重要的作用,三角形“五心”的性質(zhì)較多,但其應(yīng)用和重要性在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常被忽視，而正確運用三角形的“五心” 又可以解決三角形中許多重要的問題，下面就正確運用三角形的“五心” 巧解幾何問題進行必要的探究和舉例說明。 【關(guān)鍵詞】三角形； 五心； 內(nèi)切圓； 外接圓an example about the problems of triangles five heart【abstract】 triangles five heart have important role

2、s in dealing with the problems of the various relationships between triangles point, line and angle. there are many properties in triangles five hearts, but the nature of the application and importance in mathematics teaching often is ignored, and correct use of the triangles five hearts also can so

3、lve many important problems, here is proceeding necessary exploration and examples in answering geometry problems masterly on applying triangles five heart problems correctly.三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心和旁心。中學(xué)教學(xué)過程中很少系統(tǒng)性舉例說明其性質(zhì)在解三角形時的簡便。在平面幾何中,三角形五心的性質(zhì)常常被忽略,但這些性質(zhì)在解三角形問題中卻有著重要的作用。能夠正確理解“五心”的定義、作法、性質(zhì)及以下實例

4、是掌握三角形“五心”的首要條件，也是正確運用“五心”解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的途徑。1、內(nèi)心定義：與三角形所有邊相切的圓叫做此三角形的內(nèi)切圓，其圓心叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，都在三角形內(nèi)部。作法：作三角形任意兩內(nèi)角的角平分線，交點即為內(nèi)心。性質(zhì):(1)三角形的內(nèi)心到三角形各邊距離相等。（2）所有三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部。(3)頂點和內(nèi)心的連線平分頂點所在的內(nèi)角。（4）直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。例1：如圖為的內(nèi)心，的延長線交的外交平分線于，則_ ，_。分析：由于為內(nèi)心故故 又由于、為的內(nèi)外角平分線圖故,則 了解了三角形內(nèi)心的基本性質(zhì)以

5、后，在解決實際例題時試著連接頂點與內(nèi)心、可以連接各切點與內(nèi)心，看看問題是不是可以解決了。2、重心定義：三角形三條邊中線的交點叫做此三角形的重心。重心在三角形內(nèi)部。作法：作三角形任意兩角到對邊中點的連線，交點即為重心。性質(zhì)：( 1 ) 重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍。 ( 2 ) 重心是三角形內(nèi)到三個頂點距離的平方和最小的點。 ( 3 ) 任意三角形的重心都在三角形內(nèi)部。 ( 4 ) 頂點和重心的連線半分對邊。例2 (如圖)在中，已知且中線互相垂直，重心到的距離為 ,求和的長。 分析：本題只知 ，到的距離為,可過作于,有,由于沒有告訴角,因此須將化為與相關(guān)的線段關(guān)系求之，從而可構(gòu)造,

6、,則問題轉(zhuǎn)化為求由是重心，,可得:, 所以。又,為中點，有,則,易得,從而問題可解。圖3、旁心定義：與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。旁切圓的圓心叫做三角形的旁心。三角形中任意兩角的外角平分線與第三角的內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的旁心。性質(zhì)：（1）旁心到三角形各邊距離相等。（2）任意三角形的旁心都在三角形外部，且有三個。（3）直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等于三角形周長的一半。(4) 一個旁心與三角形三個頂點連結(jié)所組成的三個三角形面積之比等于原三角形三條邊長之比；三個旁心與三角形一條邊的端點連結(jié)所組成的三個三角形面積之比等于三個旁切圓半徑之比.為介紹下面的性質(zhì)，我們

7、記的三邊,的邊長分別為、，令=(+)。分別與,外側(cè)相切的旁切圓圓心記為、，其半徑記為、。表示的面積。設(shè)為角內(nèi)的旁心,為的外接圓半徑,則=4.4、垂心定義：三角形三條高線的交點叫做此三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)部，直角三角形的垂心在直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形外部。作法：作三角形任意兩邊高線，交點即為垂心。性質(zhì)：（1）頂點和垂心的連線垂直于對邊。（2）垂心分每條高線的兩部分乘積相等。（3）垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。（4）三角形外心、重心和垂心三點共線，且。（此直線稱為三角形的歐拉線（euler line）例3 為鈍角三角形的垂心，圖分析：為鈍角

8、三角形的垂心，則在的外部，且 所以 我們知道鈍角三角形的垂心在其外部，三角形的任意兩個頂點與其垂心組成的三角形叫做垂心三角形，上題中都是垂心三角形。其中有一性質(zhì)，銳角三角形的面積與它的一個垂心三角形面積之比等于其公共邊所鄰的原銳角三角形的兩個角的正切之積。5、外心定義：經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做此三角形的外接圓。其圓心叫做三角形的外心，外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點。銳角三角形的外心在其內(nèi)部，直角三角形的外心在其斜邊中點，鈍角三角形的外心在其外部。作法：做三角形任意兩邊的垂直平分線，交點即為外心。性質(zhì)：（1）外心到三角形三個頂點的距離相等（2）銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。 （3）直角三角形

9、外心是斜邊的中點。 （4）鈍角三角形外心在三角形外部 。 例：設(shè)為的外心，的平分線交外接圓于,求證：圖分析：因為為的外心，可連接，又.因為平分，則,則知，,于是所以，當時，有： 所以當時，根據(jù)(1)可證綜上，得出。在了解三角形外心性質(zhì)及其應(yīng)用中我們知道了三角形外心在實際用途中的其他性質(zhì)，三角形外心關(guān)于各邊的對稱點所構(gòu)成的三角形必與原三角形全等，利用全等三角形的證明可以說明。我覺得在解三角形，尤其在一些技巧性上要求比較高的問題的時候，運用三角形五心的結(jié)論最容易找到解決方案，而如果我們不知道這些性質(zhì)一步一步去推導(dǎo)時，事倍而功半。何況有很多有關(guān)三角形五心的性質(zhì)，這樣就更有利于增加我們求解三角形問題的速度。例如，垂心有一性質(zhì)，垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍，現(xiàn)在如果有一個題目要求三高線交