基本不等式的變形及應(yīng)用

1、基本不等式a2b22ab的變式及應(yīng)用2 2不等式a b 2ab是課本中的一個定理，它是重要的基本不等式之一，對于它及它各種變式的掌握與熟練運用是求解很多與不等式有關(guān)問題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應(yīng)用1、十種變式2 2, a b ab2 ab (-T2 ；號)2 a2 b2.2(a2b2)2若b 0，則2aba,b4b11 2若 a,b R，(-1)2a b4ab若ab上述不等式中等號成立的充要條件均為:若 m, n R ,a,b R，則a2b2(a b)2（當(dāng)且僅當(dāng)anm nbm時等號成立）2 2(a b c) 3(ab2（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時等號成立）2、應(yīng)用例 1、若 a,b

2、,c Rc 2，求證：、a 1.b 1.c 14證法一：由變式得21HI 二理同vbb- 2廠VCc- 2因此.a 1 b 1 c 1由于三個不等式中的等號不能同時成立，故a 1- b 1 c 142 b2評論：本解法應(yīng)用ab”觀察其左右兩端可以發(fā)現(xiàn)，對于某一字母左邊是2一次式，而右邊是二次式，顯然，這個變式具有升幕與降幕功能，本解法應(yīng)用的是升幕功證法二：由變式得a 1 b 1 . 2(a 廠b)同理：.c 1 12(c_1一1)a 1.b 1、c 112(a b 2) 2(c 2)2(a b c 4).12 5故結(jié)論成立評論：本解法應(yīng)用“ a b V2(a2 b2) ”，這個變式的功能是將

3、“根式合并”，將“離 散型”要根式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一根式，顯然，對問題的求解起到了十分重要的作用。證法三：由變式得(a 1 b 1 c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15故,a 1 b 1. c 14 即得結(jié)論評論：由基本不等式a2 b2 2ab易產(chǎn)生2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca，兩邊2 2 2 2 2 2 2同時加上ab c即得3(a b c ) (a b c)，于是便有了變式，本變式的功能可以將平方進(jìn)行“分拆”與“合并”。本解法是將平方進(jìn)行分拆，即由整體平方轉(zhuǎn)化為個整平方，從而有效的去掉了根號。例 2、設(shè) a,b,c R，求證：羋7a b VcbVc Va證明：由變式得 a

4、 2 .a .b， b 2 b c， c 2；c -abVca三式相加即得： vb c評論：本解法來至于“若b2a0，則2abb ”,這個變式將基本不等式轉(zhuǎn)化成更為靈活的形式，當(dāng)分式的分子與分母出現(xiàn)平方與一次的關(guān)系時，立即可以使用，方便快捷。例3、實數(shù)a,b滿足(a 4)2 (b 3)22，4，解析：結(jié)合變式得(a 4)242(b 3)3求a b的最大值與最小值2(a b 7)因此 J4 a b 14當(dāng)且僅當(dāng)3(a4)4(b3)、再結(jié)合條件得3、14丁及4.147別獲得最小值與最大值;評論：由a2m2b2n222mnab n(m n)am(m n)b2mn(am,n R即得變式，這可是3 14

5、7時，分4.147b)2再結(jié)合個很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產(chǎn)生的一個特殊分式的關(guān)系，它的靈活應(yīng)用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問題，也為我們處理圓錐曲線問題中的最值問題開辟了新的途徑。例4、已知x, y (2,2)，且 xy 1，求 u4_4 x299-的最小值y解析：由變式u44 x299 y21219422(1 F (1 行492 2x y2 ( )49125上述兩不等式當(dāng)且僅當(dāng)|x|2號、再結(jié)合xy2或.632時，3取得最小值;評論：由a2 b22abb(a b) a(a b)4ab結(jié)合a,b R,兩邊同除以ab(a b)即得變式，本題兩次使用基本不等式，第一次應(yīng)用變式

6、，第二次應(yīng)用基本不等式。值得注意的是兩次等號成立的條件必須一致，否則,最值是取不到的。例5、當(dāng)0 x a時，不等式2x1(a x)22恒成立，求a的最大值;解：由變式、得1 1 1 1 2(x (a x) 2 x丄)2a x1 _42 x(a14x) 2(X a Xy(2上述三個不等式中等號均在同一時刻x時成立故a的最大值為2 ；2評論：由(a b)4ab再結(jié)合a,b R即得變式；又由a b 2ab 得2(a2 b2)(a b)2b2 a2 如b)2結(jié)合ab 0，兩邊同除a2b2即得變式。本題的求解，雖然“廖廖幾步”，但來之實在不易。首先這兩個變式不一定大家都熟悉,其次,三次使用變式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，必須保證等號在同一時刻取得，可謂步履