完全平方數(shù)和完全平方式

1、完全平方數(shù)和完全平方式本資料為 woRD 文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址 第三十一講設(shè)n是自然數(shù)，若存在自然數(shù) m使得n=m2則稱n是 一個完全平方數(shù)常見的題型有：判斷一個數(shù)是否是完全平 方數(shù)；證明一個數(shù)不是完全平方數(shù)；關(guān)于存在性問題和其他 有關(guān)問題等最常用的性質(zhì)有：任何一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字只能是0， 1， 4， 5， 6，9，個位數(shù)字是 2， 3， 7， 8 的數(shù)一定不是平方數(shù)；個位數(shù)字和十位數(shù)字都是奇數(shù)的兩位以上的數(shù)一定不 是完全平方數(shù)，個位數(shù)字為6，而十位數(shù)字為偶數(shù)的數(shù)，也一定不是完全平方數(shù)；在相鄰兩個平方數(shù)之間的數(shù)一定不是平方數(shù)； 任何一個平方數(shù)必可表示成兩個數(shù)之差的形式；

2、任何整數(shù)平方之后， 只能是 3n 或 3n+1 的形式，從而知， 形如3n+2的數(shù)絕不是平方數(shù)；任何整數(shù)平方之后只能是 5n , 5n+1,5n+4的形式，從而知5n+2或5n+3的數(shù)絕不是平方數(shù)；相鄰兩個整數(shù)之積不是完全平方數(shù)；如果自然數(shù) n 不是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的 個數(shù)是偶數(shù)；如果自然數(shù) n 是完全平方數(shù)，那么它的所有正 因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)；偶數(shù)的平方一定能被 4 整除；奇數(shù)的平方被 8 除余 1，且十位數(shù)字必是偶數(shù)例題求解【例 1】 n 是正整數(shù)， 3n+1 是完全平方數(shù)，證明： n+l 是 3 個完全平方數(shù)之和思路點撥設(shè)3n+仁m2 顯然3卜m,因此，m=3k+1或m=3k

3、+2若 rn=3k+1 ，則 n+1=3k2+2k+ 仁k2+k2+2 .若 m=3k+2,則 n+1=3k2+4k+2=k2+2+2.故 n+1 是 3 個完全平方數(shù)之和【例 2】一個正整數(shù)，如果加上100 是一個平方數(shù)，如果加上 168，則是另一個平方數(shù)，求這個正整數(shù)思路點撥 引入?yún)?shù)，利用奇偶分析求解設(shè)所求正整數(shù)為x，則x+100=m2 x+168=n2 其中 m， n 都是正整數(shù)，一得 n2 m2=68 即（n m） =22 X 17. 因n m n+m具有相同的奇偶性，由知nm n+m都是偶數(shù).注意到 0<n m<n+m，由可得解得n=18.代人得x=156，即為所求.【

4、例 3】一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差， 則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)” ，比如 16=5232， 16 就是一 個“智慧數(shù)”.在正整數(shù)中從 1 開始數(shù)起， 試問第 1998 個“智 慧數(shù)”是哪個數(shù) ?并請你說明理由.思路點撥不能表為兩個正整數(shù)的平方差， 所以 1 不是“智慧數(shù)”.對 于大于1的奇正整數(shù) 2k+1，有2k+1=2 - k2 .所以大于1的 奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)” .對于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=22.即大于 4 的被 4 整除的數(shù)都是“智慧數(shù)” ，而 4 不能 表示為兩個正整數(shù)平方差，所以 4 不是“智慧數(shù)” .對于被4除余2的數(shù)4k+2，設(shè)4k+2=x2 y2=,其中x

5、, y 為正整數(shù)，當 x， y 奇偶性相同時，被 4 整除，而 4k+2 不 被 4 整除；當 x， y 奇偶性相異時， 為奇數(shù)， 而 4k+2 為偶數(shù)， 總得矛盾.所以不存在自然數(shù) x, y使得x2y2=4k+2 .即形 如 4k+2 的數(shù)均不為“智慧數(shù)” .因此，在正整數(shù)列中前四個正整數(shù)只有 3 為“智慧數(shù)”， 此后，每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)” .因為 1998=+2, 4X =2664,所以 2664 是第 1996 個“智 慧數(shù)”， 2665 是第 1997 個“智慧數(shù)”，注意到 2666 不是“智 慧數(shù)”，因此 2667是第 1998個“智慧數(shù)”，即第 1998個“智 慧數(shù)”是

6、2667【例 4】已知：五位數(shù)滿足下列條件： 它的各位數(shù)字均不為零； 它是一個完全平方數(shù)； 它的萬位上的數(shù)字 a 是一個完全平方數(shù)，干位和百位上 的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)以及十位和個位上的數(shù)字順次構(gòu) 成的兩位數(shù)也都是完全平方數(shù)試求出滿足上述條件的所有五位數(shù)思路點撥設(shè)，且，則 由式知比較式、式得 n2=2mt.因為 n2 是 2 的倍數(shù)，故 n 也是 2 的倍數(shù)，所以， n2 是4 的倍數(shù)，且是完全平方數(shù).故 n2=16 或 36 或 64.當 n2=16 時，得，則 m=l，2，4，8，t=8 ，4，2，1，后 二解不合條件，舍去；故或 41616當 n2=36 時，得則 m=2，3，1，t=9

7、 ，6，18最后一 解不合條件，舍去故或 93636當 n2=64 時，得則 m=1，2，4，8，t=32 ，16， 8，4 都不合條件，舍去因此，滿足條件的五位數(shù)只有 4 個：11664，41616，43681， 93636【例 5】能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩 個數(shù)的積與XX的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請舉出一例； 若不能夠；請說明理由思路點撥不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩 個數(shù)的積與XX的和都是完全平方數(shù).理由如下：偶數(shù)的平方能被 4 整除，奇數(shù)的平方被 4 除余 1，也就 是正整數(shù)的平方被 4除余 0或 1若存在正整數(shù)滿足； =1，2，3, 4, rn是正整數(shù)；

8、因為XX被4除余2,所以被4除應(yīng)余2 或 3若正整數(shù) n1, n2, n3, n4 中有兩個是偶數(shù), 不妨設(shè) n1, n2 是偶數(shù),則被 4 除余 2,與正整數(shù)的平方被 4 除余 0 或 1 不符，所以正整數(shù) n1， n2， n3，n4 中至多有個是偶數(shù)， 至少有三個是奇數(shù)在這三個奇數(shù)中，被 4 除的余數(shù)可分為余 1 或 3 兩類， 根據(jù)抽屜原則，必有兩個奇數(shù)屬于同一類，則它們的乘積被 4 除余 1 ，與被 4 除余 2 或 3 的結(jié)論矛盾綜上所述，不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得褥它們中 任兩個數(shù)的積與XX的和都是完全平方數(shù).【例 6】使得為完全平方數(shù)的自然數(shù)n 的個數(shù)是多少 ?思路點撥 若處

9、在兩個相鄰整數(shù)的完全平方數(shù)之間，則它的取值便 固定了/ n2 一 19n+91=2+當 n>10 時， 2<n2 19n+19<2 當 n>10 時不會成為完全平方數(shù) 當nW 10時，才是完全平方數(shù)經(jīng)試算，n=9和n=10時，n2 19n+91是完全平方數(shù). 所以滿足題意的值有 2 個【例7】已知的值都是1或一1,設(shè)m是這XX個數(shù)的兩 兩乘積之和求m的最大值和最小值，并指出能達到最大值、最小值的條件；求m的最小正值，并指出能達到最小正值的條件. 思路點撥?當或時，m取最大值XX001.當中恰有1001個1, 1001個時，m取最小值一1001 .因為大于XX的最小完全平

10、方數(shù)為 452=2025，且必為偶 數(shù)，所以，當或；即中恰有 1024個1，978個或恰有 1024個，978個1時， m取最小值.【例 8】如果對一切 x 的整數(shù)值， x 的二次三項式都是 平方數(shù)，證明：2a、2b 都是整數(shù)；a、b、 c 都是整數(shù)，并且 c 是平方數(shù). 反過來，如果成立，是否對一切 x 的整數(shù)值，的值都是 平方數(shù) ?思路點撥令x=0，得c=平方數(shù)=;令 x=1 ，得，其中 m、n 都是整數(shù).所以， ， 都是整數(shù).如果 2b 是奇數(shù) 2k+l ，令 x=4 得，其中 h 是整數(shù). 由于2a是整數(shù)，所以16a被4整除，有除以4余2.而，在 h、 l 的奇偶性不同時，是奇數(shù)；在h

11、、l 的奇偶性相同時，能被 4 整除因此，從而2b是偶數(shù)，b是整數(shù)，八也是整數(shù).在成立時，不一定對x的整數(shù)值都是平方數(shù).例如，a=2, b=2，c=4，x=1 時，=8不是平方數(shù)另解：令 x= 2,得 4a+2b+c=h2，4a 2b+c=k2，其中 h、k 為 整數(shù)兩式相減得4b=h2k2=由于 4b=2 是偶數(shù)，所以 h、 k 的奇偶性相同，能被 4 整 除因此，b是整數(shù)，也是整數(shù).學力訓練如果是整數(shù)，那么 a 滿足A a>0 ，且 a 是完全平方數(shù)B a<0 ，且 a 是完全平方數(shù)c. a 0,且a是完全平方數(shù)D. a 0,且一a是完全平方數(shù)2設(shè) n 是自然數(shù),如果 n2 的

12、十位數(shù)字是 7,那么 n2 的 末位數(shù)字是A1B4 c5D63. 設(shè)自然數(shù)N是完全平方數(shù)，N至少是3位數(shù)，它的末2 位數(shù)字不是 00，且去掉此 2 位數(shù)字后，剩下的數(shù)還是完全 平方數(shù)，則 N 的最大值是4. 使得n2 19n+95為完全平方數(shù)的自然數(shù) n的值是5自然數(shù) n 減去 52 的差以及 n 加上 37 的和都是整數(shù) 的平方，則 n=6兩個兩位數(shù)，它們的差是56，它們的平方數(shù)的末兩位數(shù)字相同，則這兩個數(shù)分別是7是否存在一個三位數(shù)，使得為完全平方數(shù) ?8求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積加 l ，其和必為完全平方 數(shù)（B級）若 x 是自然數(shù)，設(shè)，則A y 一定是完全平方數(shù)B.存在有限個，使y是完全平方數(shù) c y 一定不是完全平方數(shù)D.存在無限多個，使 y是完全平方數(shù) 2已知 a 和 b 是兩個完全平方數(shù)， b 的個位數(shù)字為 l ，十位數(shù)字為x; b的個位數(shù)為6,十位數(shù)字為y，則 Ax， y 都是奇數(shù)Bx， y 都是偶數(shù) c x 是奇數(shù)， y 是偶數(shù)Dx 為偶數(shù)， y 為奇數(shù) 3若四位數(shù)是一個完全平方數(shù)