平面向量知識點易錯點歸納

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備 5.1平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為L的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相冋或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算a櫛悶迪聒法曲(1)交換律：a + b =b+

2、 a.結(jié)合 律：(a+ b) + c = a+(b+ c) 減法求a與b的相反向 量一b的和的運算 叫做a與b的差a- b= a + ( b)厶5 三角形法則數(shù)乘求實數(shù)入與向量a的積的運算(1)|怯1=1川a|;當(dāng)Q0時，掃的方向 與a的方向相同；當(dāng) X0時，淪的方 向與a的方向相反；當(dāng)匸0時，ya= 0X 0 )=(入)0；(入+ 0 a= ?a+ 0 ；X a+ b)= ?a+ X3.共線向量定理人使得b=掃.做題時，要注意三角形法則與平行“首尾相接，指向終點”；向量減法的向量a(az 0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù) 方法與技巧1. 向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則

3、, 四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是三角形法則要素是 “起點重合，指向被減向量 ”；平行四邊形法則要素是 “起點重合”.2 可以運用向量共線證明線段平行或三點共線.如AB/ CD且AB與CD不共線，則AB / CD;若Ab / Bc，貝u A、B、c三點共線.失誤與防范1.解決向量的概念問題要注意兩點:是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2 在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤 5.2平面向量基本定理及坐標表示a,有且只1. 平面向量基本定理如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個

4、不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量有一對實數(shù)入、d使a= 1e1 +代.其中，不共線的向量 ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2. 平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè) a = (X1, y1), b= (x2, y2),貝Ua+ b= (X1+ X2, yi+ y2l, a b= (x1_ xg, y辿, 匕=(入 x,入,|a|=寸X2 + y11.(2)向量坐標的求法 若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標. 設(shè) A(X1, y1), B(x2, y2)，則 Ab= (x? X, y? y, |AB|=a/(x2 X1 $+(y2 如).

5、3. 平面向量共線的坐標表示設(shè) a = (x1, y”,b=(X2,y2),其中bMo.a/ b?X1.-y2X2.y1-=0.方法與技巧 1 .平面向量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解.向量的坐標表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標運算法則是運算的關(guān)鍵.2 .平面向量共線的坐標表示(1)兩向量平行的充要條件若a = (x1, y”，b= (x2, y2)，貝U a / b的充要條件是a = ?b,這與X1y2 X2y1= 0在本質(zhì)上是 沒有差異的，只是形式上不同.三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求由三點組成的任兩個向量，然后再按兩向量共線進行判定.失誤與防范

6、1 .要區(qū)分點的坐標和向量的坐標，向量坐標中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種情況.2. 若a = (xi, yi), b= (x?, y2)，則a/ b的充要條件不能表示成_=，因為x2, y?有可能等y2于0，所以應(yīng)表示為X1y2 X2y1 = 0. 5.3平面向量的數(shù)量積1.平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量 a和b它們的夾角為則數(shù)量aIblcos 0叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作 a b= |a|b|cos 0規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個非零向量a與b垂直的充要條件是 a b= 0,兩個非零向量a與b平行的充要條件是 a b=a|b|.2.平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a b等于a的長度a與b在a的方向上的投影|b|cos 0的乘積.3.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) e a= ae= |a |cos 0;非零向量a, b, a丄