2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版必修2一課三測：1.6.1.2 平面與平面垂直的判定 含解析

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績61垂直關(guān)系的判定第二課時平面與平面垂直的判定填一填1。二面角及其平面角（1)半平面：一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中的每一部分都叫作半平面(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面（3）二面角的記法：以直線ab為棱,半平面,為面的二面角,記作：二面角面ab.（4）二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)o為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱l的兩條射線oa,ob，則這兩條射線所成的角aob叫作二面角的平面角（5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角(6）二面角的取值范圍為018

2、0。2兩個平面互相垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直3兩個平面互相垂直的判定定理（1)文字語言:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直(2)圖形語言:如圖所示（3）符號語言：.判一判1.若l，則過l有無數(shù)個平面與垂直（)2兩垂直的平面的二面角的平面角大小為90.(）3若,a，b,則ab.(）4異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補(bǔ)（)5二面角的平面角是從二面角的棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的最小角（)6二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在二面角的棱上的位置沒有關(guān)系(）7若平面和平面分別過

3、兩條互相垂直的直線，則.（）8若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條平行直線，則。(）想一想1.二面角與平面幾何中的角有什么區(qū)別？提示：平面幾何中的角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形；二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形2二面角的平面角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)嗎？提示:無關(guān)如圖，根據(jù)等角定理可知,aobaob，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)3求二面角的三種方法是什么？提示:（1)定義法：在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，過該點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線(2）垂面法：過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線,這兩條射線(交

4、線)所成的角，即為二面角的平面角(3)垂線法：過二面角的一個平面內(nèi)一點(diǎn)作另一個平面的垂線,過垂足作棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角，此種方法通用于求二面角的所有題目，具體步驟為：一找,二證,三求4證明平面與平面垂直的方法有什么?提示：（1）利用定義:證明二面角的平面角為直角；（2)利用面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直思考感悟：練一練1。關(guān)于直線a，b,l以及平面，下列命題中正確的是（)a若a，b，則abb若a,ba，則bc若a，b，且la，lb，則ld若a，a，則答案：d2.如圖所示，已知pa矩形abcd所在的平面,則圖中互相垂直

5、的平面有（)a2對b3對c4對 d5對答案：d3在二面角l的棱l上任選一點(diǎn)o，若aob是二面角l的平角角，則必須具有的條件是（）aaobo，ao，bobaol，bolcabl，ao，bodaol,bol,且ao，bo答案:d4如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，平面acd1與平面bb1d1d的位置關(guān)系是_答案：垂直5如圖，在正方體abcdabcd中,二面角dabd的大小為_答案：45知識點(diǎn)一平面與平面垂直的判定1。如圖所示,四棱錐pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是直角梯形，abad，cdad.求證：平面pdc平面pad.證明：pa平面abcd，cd平面abcd，pacd.又c

6、dad，paada，cd平面pad.又cd平面pdc,平面pdc平面pad.2.如圖，已知bsc90,bsacsa60,又sasbsc,求證:平面abc平面sbc.證明：因為bsacsa60，sasbsc，所以asb和asc都是等邊三角形，則有sasbscabac，令其值為a，則abc和sbc為共底邊bc的等腰三角形,取bc的中點(diǎn)d，連接ad，sd，則adbc，sdbc，所以ads為二面角abcs的平面角，在rtbsc中,因為sbsca，所以sda,bda，在rtadb中，ada,因為sd2ad2sa2，所以ads90，即二面角abcs為直二面角，故平面abc平面sbc.知識點(diǎn)二二面角的求法3

7、。如圖所示，在abc中，adbc,abd的面積是acd的面積的2倍沿ad將abc翻折，使翻折后bc平面acd，此時二面角badc的大小為()a30 b45c60 d90解析:由已知得,bd2cd.翻折后，在rtbcd中,bdc60,而adbd，cdad，故bdc是二面角badc的平面角，其大小為60。故選c。答案：c4如圖所示,三棱錐pabc中，pa平面abc，bac90，二面角bpac的大小等于_解析:pa平面abc,paab,paac。bac是二面角bpac的平面角,又bac90。則二面角bpac的平面角是90。答案：90綜合知識線面、面面垂直的綜合問題5如圖，在四棱錐pabcd中,底面是

8、邊長為a的正方形，側(cè)棱pda，papca，求證：(1)pd平面abcd;（2）平面pac平面pbd。證明：(1）pda，dca，pca,pc2pd2dc2.則pddc.同理可證pdad。又addcd，且ad，dc平面abcd,pd平面abcd。（2）由(1)知pd平面abcd，又ac平面abcd，pdac.四邊形abcd是正方形，acbd.又bdpdd，且pd，bd平面pbd，ac平面pbd.又ac平面pac.平面pac平面pbd.6四棱錐pabcd的底面abcd是邊長為1的菱形，bcd60，e是cd的中點(diǎn)，pa底面abcd，pa。（1）證明：平面pbe平面pab；（2）求二面角abep的大小

9、解析：(1）證明：如圖所示，連接bd，由abcd是菱形且bcd60知，bcd是等邊三角形因為e是cd的中點(diǎn)，所以becd.又abcd，所以beab。又因為pa平面abcd,be平面abcd，所以pabe.而paaba，因此be平面pab.又be平面pbe，所以平面pbe平面pab.（2)由(1）知,be平面pab,pb平面pab，所以pbbe.又abbe，所以pba是二面角abep的平面角在rtpab中，tanpba，pba60，故二面角abep的大小是60.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1對于直線m，n和平面，能得出的一個條件是()amn，m，nbmn，m，ncmn，n，m dmn，m，n解析：在正方體

10、abcda1b1c1d1中,連接ac，a1c1，把a(bǔ)d看作直線m，bb1看作直線n，把平面bb1c1c作為平面，平面aa1c1c作為平面.對于a雖滿足mn,m，n,但不垂直于，從而否定a.類似地可否定b和d。故選c.答案：c2已知直線l，m，平面，且l,m，給出下列四個說法,其中正確的個數(shù)是（)若,則lm；若lm，則;若，則lm；若lm，則.a1個 b2個c3個 d4個解析：對于，若，l，則l,又m，得lm，所以正確；對于，若l，m,lm，則與可能相交，所以不正確；對于,若l，m,，則l與m可能平行或異面，所以不正確；對于，若l，m，lm，則，故正確,選b。答案：b3從空間一點(diǎn)p向二面角l的兩

11、個面，分別作垂線pe,pf,e,f為垂足，若epf60,則二面角l的平面角的大小是（）a60 b120c60或120 d不確定解析：若點(diǎn)p在二面角內(nèi),則二面角的平面角為120;若點(diǎn)p在二面角外，則二面角的平面角為60。答案：c4在正四面體pabc中,d，e，f分別是ab，bc，ca的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不成立的是（）abc平面pdfbdf平面paec平面pdf平面abcd平面pae平面abc解析：如圖所示,dfbc，bc平面pdf,bc平面pdf，a正確連接ae，pe，則bcae，bcpe。bcdf，dfae，dfpe，又aepee，df平面pae，故b正確又bc平面pae,平面abc平面pae

12、。故d正確答案:c5正方體abcda1b1c1d1中e為線段b1d1上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯誤的是()aacbebb1e平面abcdc三棱錐eabc的體積為定值db1ebc1解析：對于a，在正方體中，acbd，acdd1，bddd1d，ac面bb1d1d，acbe，即a正確對于b，b1d1平面abcd，b1e平面abcd，即b正確對于c，三棱錐eabc的底面abc為定值，錐體的高bb1為定值，錐體體積為定值，即c正確;對于d,bdc1為正三角形,bd與bc1所成的角為60,又bdb1e，b1e與bc1所成的角為60,錯誤，故選d。答案:d6如圖，四邊形abcd中，adbc，adab，bcd

13、45，bad90，將abd沿bd折起,使平面abd平面bcd,構(gòu)成幾何體abcd，則在幾何體abcd中，下列結(jié)論正確的是（)a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abc解析：由已知得abad，cdbd，又平面abd平面bcd,且平面abd平面bcdbd，所以cd平面abd，從而cdab，又cdadd，故ab平面adc。又ab平面abc,所以平面abc平面adc。選d.答案：d7如果一個二面角的兩個半平面分別垂直另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關(guān)系是（）a大小不確定 b相等c互補(bǔ) d相等或互補(bǔ)解析：如圖，l為直二面角,a為另一個二面角，使

14、，,a.把平面固定不動,使平面繞直線a轉(zhuǎn)動時，滿足條件，但a的度數(shù)不能確定故選a.答案：a二、填空題8把正方形abcd沿對角線ac折起，當(dāng)以a，b,c，d四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，直線bd和平面abc所成的角的大小為_解析：底面積不變,在折疊過程中，高是先增加后減小設(shè)ac的中點(diǎn)為o，當(dāng)do平面abc時，do即為高，此時高最大此時dob為等腰直角三角形，bd與平面abc所成角為45。答案：459已知：m，l為直線，為平面,給出下列命題:若l垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則l；若l平行于，則l平行于內(nèi)的所有直線；若m，l，且lm，則；若m，l，且,則ml。其中正確命題的序號是_解析：由直線與平面垂直

15、的判定定理知，正確；對于,若l，m,則l與m可能平行，也可能是異面直線,故不正確；對于，滿足題設(shè)的平面，有可能平行或相交,不能推出，故是錯誤的;對于，m與l可能平行，也可能是異面直線，故是錯誤的故正確的命題是。答案：10已知ab是平面的垂線，ac是平面的斜線，cd，cdac，則平面abc與平面acd的位置關(guān)系是_解析:ab，cd，abcd.又cdac,abaca，cd平面abc。而cd平面acd，平面abc平面acd.答案：垂直11如圖，abc是等腰直角三角形，bac90，abac1，將abc沿斜邊bc上的高ad折疊，使平面abd平面acd，則折疊后bc_。解析：由題意知，bdad，由于平面a

16、bd平面acd。且平面abd平面acdad,bd平面adc.又dc平面adc，bddc。連接bc，則bc1.答案：112棱長都相等的三棱錐（即正四面體）abcd中，相鄰兩個平面所成的二面角的余弦值為_解析：取bc的中點(diǎn)e，連接ae，de,四面體abcd是正四面體，bcae，bced。aed為二面角abcd的平面角設(shè)正四面體的棱長為1，則ae，de，ad1.在ade中可求得cosaed。答案：三、解答題13.如圖，在三棱錐pabc中,pa底面abc，paab，abc60，bca90，點(diǎn)d,e分別在棱pb，pc上，且debc.（1）求證：bc平面pac；（2）是否存在點(diǎn)e使得二面角adep為直二面

17、角？并說明理由解析：(1)證明:因為pa底面abc，bc平面abc，所以pabc.又bca90，所以acbc。又因為acpaa，所以bc平面pac.（2）存在理由如下:因為debc，又由(1)知，bc平面pac，所以de平面pac。又因為ae平面pac,pe平面pac,所以deae，depe。所以aep為二面角adep的平面角因為pa底面abc，所以paac，所以pac90.所以在棱pc上存在一點(diǎn)e，使得aepc.這時aep90，故存在點(diǎn)e，使得二面角adep為直二面角14如圖所示，在矩形abcd中，已知abad，e是ad的中點(diǎn)，沿be將abe折起至abe的位置，使acad，求證：平面abe平

18、面bcde.證明：如圖所示,取cd的中點(diǎn)m，be的中點(diǎn)n,連接am，an，mn，則mnbc。abad，e是ad的中點(diǎn)，abae，即abae。anbe.acad,amcd.在四邊形bcde中，cdmn，又mnamm，cd平面amn.又an平面amn，cdan.debc且debc,be必與cd相交an平面bcde.又an平面abe,平面abe平面bcde.能力提升15側(cè)棱垂直于底面的三棱柱abcabc滿足bac90，abacaa2，點(diǎn)m，n分別為ab,bc的中點(diǎn)（1)求證：mn平面aacc；(2）求證:an平面bcn;（3)求三棱錐cmnb的體積解析：(1）證明：如圖，連接ab，ac,因為四邊形abba為矩形,m為ab的中點(diǎn),所以ab與ab交于點(diǎn)m，且m為ab的中點(diǎn)，又點(diǎn)n為bc的中點(diǎn)，所以mnac，又mn平面aacc，且ac平面aacc，所以mn平面aacc。(2)證明：因為abac2,點(diǎn)n為bc的中點(diǎn),所以anbc。又bb