數(shù)學破題36大招

1、目 錄 目 錄1第1關(guān)： 極值點偏移問題-對數(shù)不等式法2第2關(guān)： 參數(shù)范圍問題常見解題6法6第3關(guān)： 數(shù)列求和問題解題策略8法9第4關(guān)： 絕對值不等式解法問題7大類型13第5關(guān)： 三角函數(shù)最值問題解題9法19第6關(guān)： 求軌跡方程問題6大常用方法24第7關(guān)： 參數(shù)方程與極坐標問題“考點”面面看37第8關(guān)： 均值不等式問題拼湊8法43第9關(guān)： 不等式恒成立問題8種解法探析49第10關(guān)： 圓錐曲線最值問題5大方面55第11關(guān)： 排列組合應(yīng)用問題解題21法59第12關(guān)： 幾何概型問題5類重要題型66第13關(guān)： 直線中的對稱問題4類對稱題型69第14關(guān)： 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題4大解題技巧71第15關(guān)：

2、 函數(shù)中易混問題11對76第16關(guān)： 三項展開式問題破解“四法”82第17關(guān)： 由遞推關(guān)系求數(shù)列通項問題“不動點”法83第18關(guān)： 類比推理問題高考命題新亮點87第19關(guān)： 函數(shù)定義域問題知識大盤點93第20關(guān)： 求函數(shù)值域問題7類題型16種方法100第21關(guān)： 求函數(shù)解析式問題7種求法121第22關(guān)：解答立體幾何問題5大數(shù)學思想方法124第23關(guān)： 數(shù)列通項公式常見9種求法129第24關(guān)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題9種錯解剖析141第25關(guān)：三角函數(shù)與平面向量綜合問題6種類型144第26關(guān)：概率題錯解分類剖析7大類型150第27關(guān)：抽象函數(shù)問題分類解析153第28關(guān)：三次函數(shù)專題全解全析157第29關(guān)：二

3、次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題大盤點169第30關(guān)：解析幾何與向量綜合問題知識點大掃描178第31關(guān)：平面向量與三角形四心知識的交匯179第32關(guān)：數(shù)學解題的“靈魂變奏曲”轉(zhuǎn)化思想183第33關(guān)：函數(shù)零點問題求解策略194第34關(guān)：求離心率取值范圍常見6法199第35關(guān)：高考數(shù)學選擇題解題策略202第36關(guān)：高考數(shù)學填空題解題策略211 第1關(guān)： 極值點偏移問題-對數(shù)不等式法我們熟知平均值不等式：即“調(diào)和平均數(shù)”小于等于“幾何平均數(shù)”小于等于“算術(shù)平均值”小于等于“平方平均值”等號成立的條件是.我們還可以引入另一個平均值：對數(shù)平均值：那么上述平均值不等式可變?yōu)椋簩?shù)平均值不等式， 以下簡單給出證明

4、：不妨設(shè)，設(shè)，則原不等式變?yōu)椋阂韵轮灰C明上述函數(shù)不等式即可.以下我們來看看對數(shù)不等式的作用.題目1：（2015長春四模題）已知函數(shù)有兩個零點，則下列說法錯誤的是 A. B. C. D.有極小值點，且【答案】C【解析】函數(shù)導(dǎo)函數(shù)：有極值點，而極值，A正確.有兩個零點：，即：-得：根據(jù)對數(shù)平均值不等式：，而， B正確，C錯誤而+得：，即D成立.題目2：（2011遼寧理）已知函數(shù).若函數(shù)的圖像與軸交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明：【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)，則， -得：，化簡得： 而根據(jù)對數(shù)平均值不等式：等式代換到上述不等式根據(jù)

5、：（由得出）式變?yōu)椋?，在函數(shù)單減區(qū)間中，即： 題目3：(2010天津理)已知函數(shù) .如果，且.證明：.【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)，則，兩邊取對數(shù)-得： 根據(jù)對數(shù)平均值不等式題目4：（2014江蘇南通市二模）設(shè)函數(shù) ，其圖象與軸交于兩點，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項取對數(shù)得：-得：，即： 根據(jù)對數(shù)平均值不等式：，+得：根據(jù)均值不等式：函數(shù)在單調(diào)遞減題目5：已知函數(shù)與直線交于兩點.求證：【解析】由，可得：，-得： +得：根據(jù)對數(shù)平均值不等式利用式可得：由題于與交于不同兩點，易得出則上式簡化為: 第2關(guān)：

6、 參數(shù)范圍問題常見解題6法求解參數(shù)的取值范圍是一類常見題型近年來在各地的模擬試題以及高考試題中更是屢屢出現(xiàn)學生遇到這類問題，較難找到解題的切入點和突破口，下面介紹幾種解決這類問題的策略和方法一、確定“主元”思想常量與變量是相對的，一般地，可把已知范圍的那個看作自變量，另一個看作常量例1.對于滿足0的一切實數(shù)，不等式x2+px4x+p-3恒成立，求x的取值范圍分析：習慣上把x當作自變量，記函數(shù)y= x2+(p-4)x+3-p,于是問題轉(zhuǎn)化為當p時y0恒成立，求x的范圍解決這個問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實根分布原理，這是相當復(fù)雜的若把x與p兩個量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問

7、題可轉(zhuǎn)化為在0,4內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題解：設(shè)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，當x=1時顯然不滿足題意由題設(shè)知當0時f(p)0恒成立，f(0)0,f(4)0即x2-4x+30且x2-10，解得x3或x3或x g(k) g(k) f(x) minf(x)g(k) f(x) maxg(k)f(x)g(k) f(x) max 0,a1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求解。設(shè)，在（0，1）上為減函數(shù)，當t=1時，。 七 數(shù)形結(jié)合由于，所以從圖形考慮，點(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方

8、法求得。例9 求函數(shù)的最小值。分析 法一：將表達式改寫成y可看成連接兩點A(2,0)與點(cosx,sinx)的直線的斜率。由于點(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求y的最小值就是在這個半圓上求一點，使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過點A的切線與半圓相切與點B,則可求得所以y的最小值為（此時）.法二：該題也可利用關(guān)系式asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來求解。 八 判別式法例10 求函數(shù)的最值。分析 同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。解：時此時一元二次方程總有實數(shù)解由y=3，tanx=-1，由 九 分類討論法含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，

9、需要對參數(shù)進行討論。例 11 設(shè)，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,則（1） 當，即在0，1上遞增， （2） 當即時，在0，1上先增后減，（3） 當即在0，1上遞減， 以上幾種方法中又以配方法和輔助角法及利用三角函數(shù)的有界性解題最為常見。解決這類問題最關(guān)鍵的在于對三角函數(shù)的靈活應(yīng)用及抓住題目關(guān)鍵和本質(zhì)所在。第6關(guān)： 求軌跡方程問題6大常用方法 知識梳理：（一）求軌跡方程的一般方法： 1. 待定系數(shù)法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法

10、。 2. 直譯法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點P的坐標（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。 3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點坐標x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系xf（t），yg（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）0。 4. 代入法（相關(guān)點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示

11、出相關(guān)點P的坐標，然后把P的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。5.幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點的坐標較簡單。6：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項： 1. 求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運動變化中，發(fā)現(xiàn)動點P的運動規(guī)律，即P點滿足的等量關(guān)系，因此要學會動中求靜，變中求不變。 來表示，若要

12、判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。 3. 求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解，（即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上），又要檢驗是否丟解。（即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補充。檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形。 4求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。課前熱身： 1. P是橢圓=1上的動點，過P作橢圓長軸的垂線，垂足為M，則PM中點的軌跡中點的軌跡方程為： （ ） A、 B、 C、 D、=1【答案】：B【解答】:令中點坐標為,則點P 的坐標為(代入橢圓方程得,選B2. 圓心在拋物線上，

13、并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程是（ ）A B C D 【答案】：D【解答】:令圓心坐標為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選D3: 一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【答案】：D【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。 4: 點P(x0，y0)在圓x2+y2=1上運動，則點M（2x0，y0）的軌跡是 （ ）A.焦點在x軸上的橢圓 B. 焦點在y軸上的橢圓C. 焦點在y軸上的雙曲線 D. 焦點在X軸上的雙曲線【答案】：A【解答】:令M的坐標為則代入圓的方程中得,選A【互動平臺

14、】 一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過坐標互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時，要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要動點滿足已知曲線定義時，通過待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例1：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C 為動點，且滿足求點C的軌跡?！窘馕觥坑煽芍矗瑵M足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）?！军c評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1） 圓：到定點的距離等于定長（2）

15、橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離）（3） 雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點的距離）（4） 到定點與定直線距離相等?！咀兪?】: 1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌

16、跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2： 一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P的軌跡方程？解 設(shè)M點的坐標為 由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標系，需選定適當位置的坐標系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公

17、式中含有動點坐標，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法.【變式2】: 動點P（x,y）到兩定點A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點P的軌跡方程？【解答】|PA|=代入得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3過點P（

18、2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程?！窘馕觥糠治?：從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點M的運動是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點M坐標（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設(shè)M（x，y），設(shè)直線l1的方程為y4k（x2），（k） M為AB的中點， 消去k，得x2y50。 另外，當k0時，AB中點為M（1，2），滿足上述軌跡方程； 當k不存在時，AB中點為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論

19、呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性： 解法2：設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB為直角三角形 化簡，得x2y50，此即M的軌跡方程。分析3：設(shè)M（x，y），由已知l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標。事實上，由M為AB的中點，易找出它們的坐標之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)M（x，y），M為AB中點，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2過點P（2，4），且l1l2 PAPB，從而kPAkPB1， 注意到l1x軸時，l2y軸，此時A（2，0），B（0，4） 中點M（1，2），經(jīng)

20、檢驗，它也滿足方程x2y50 綜上可知，點M的軌跡方程為x2y50?！军c評】1） 解法1用了參數(shù)法，消參時應(yīng)注意取值范圍。解法2，3為直譯法，運用了kPAkPB1，這些等量關(guān)系用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點的橫，縱坐標等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響【變式3】過圓O：x2 +y2= 4 外一點A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡 解法一：“幾何法” 設(shè)點M的坐標為（x,y）,因為點M 是弦BC的中點，所以O(shè)MBC, 所以|OM | |

21、 | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化簡得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點的橫坐標為1，所以點M的軌跡方程為 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。 解法二：“參數(shù)法” 設(shè)點M的坐標為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由點M為BC的中點，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0

22、得k2 ,所以x1.所以點M的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。 四：用代入法等其它方法求軌跡方程 例4. 軌跡方程。 分析：題中涉及了三個點A、B、M，其中A為定點，而B、M為動點，且點B的運動是有規(guī)律的，顯然M的運動是由B的運動而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點，故采用相關(guān)點法求動點M的軌跡方程。 【解析】設(shè)動點M的坐標為（x，y），而設(shè)B點坐標為（x0，y0） 則由M為線段AB中點，可得 即點B坐標可表為（2x2a，2y） 【點評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標間的等量關(guān)系【變式4】如圖所示，已知P(4，0)是圓

23、x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 【解析】： 設(shè)AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方

24、程 【備選題】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點坐標為當不與軸垂直時，即又因為兩點在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)當不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當與軸垂直時，點的坐標可分別設(shè)為，此時故在軸上存在定點，使

25、為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以 由得當時，由得，將其代入有整理得當時，點的坐標為，滿足上述方程當與軸垂直時，求得，也滿足上述方程故點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點點，使為常數(shù)，當不與軸垂直時，由（I）有，以上同解法一的（II）【誤區(qū)警示】1.錯誤診斷【例題5】中，B，C 坐標分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，求點A的軌跡方程?！境Ｒ婂e誤】由題意可知，|AB|+|AC|=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為【錯因剖析】ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線。【正確解答

26、】ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線。軌跡方程里應(yīng)除去點，即軌跡方程為2.誤區(qū)警示1：在求軌跡方程中易出錯的是對軌跡純粹性及完備性的忽略，因此，在求出曲線方程的方程之后，應(yīng)仔細檢查有無“不法分子”摻雜其中，將其剔除；另一方面，又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙法外，要將其“捉拿歸案”。2：求軌跡時方法選擇尤為重要，首先應(yīng)注意定義法，幾何法，直接法等方法的選擇。3：求出軌跡后，一般畫出所求軌跡，這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分。【課外作業(yè)】【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1:已知兩點給出下列曲線方程：；，在曲線上存在點P滿足的所有曲線方程是（ ）A B C D 【答案】:D【解答】: 要使得曲線上存

27、在點P滿足,即要使得曲線與MN的中垂線有交點.把直線方程分別與四個曲線方程聯(lián)立求解,只有無解,則選D2.兩條直線與的交點的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法): 3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是 .【解答】:令M點的坐標為(,則A的坐標為(2,代入圓的方程里面得:4:當參數(shù)m隨意變化時，則拋物線的頂點的軌跡方程為_?！痉治觥浚喊阉筌壽E上的動點坐標x，y分別用已有的參數(shù)m來表示，然后消去參數(shù)m，便可得到動點的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為它的頂點坐標為消去參數(shù)m得：故所求動點的軌跡方程為。 5:點M到點F（4，0）的距

28、離比它到直線的距離小1，則點M的軌跡方程為_。【分析】：點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M的軌跡方程。【解答】：依題意，點M到點F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點M的軌跡是以F（4，0）為焦點、為準線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點距離的比為1：2的點的軌跡方程為_【分析】:設(shè)動點為P，由題意，則依照點P在運動中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式。【解答】：設(shè)是所求軌跡上一點，依題意得由兩點間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在

29、拋物線上，求ABC重心P的軌跡方程?！痉治觥浚簰佄锞€的焦點為。設(shè)ABC重心P的坐標為，點C的坐標為。其中【解答】：因點是重心，則由分點坐標公式得：即由點在拋物線上，得：將代入并化簡，得：（【能力訓(xùn)練】8.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0），直線y=x1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為，求此雙曲線方程?！窘獯稹浚涸O(shè)雙曲線方程為。將y=x1代入方程整理得。由韋達定理得。又有，聯(lián)立方程組，解得。此雙曲線的方程為。9.已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程?！窘獯稹浚涸O(shè)點P的坐標為（x，y），則由題意可得。（1）當x3時，方程變?yōu)椋喌?。?）當x

30、3時，方程變?yōu)?，化簡得。故所求的點P的軌跡方程是或10.過原點作直線l和拋物線交于A、B兩點，求線段AB的中點M的軌跡方程?！窘獯稹浚河深}意分析知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程，得。因為直線和拋物線相交，所以0，解得。設(shè)A（），B（），M（x，y），由韋達定理得。由消去k得。又，所以。點M的軌跡方程為?！緞?chuàng)新應(yīng)用】11.一個圓形紙片，圓心為O，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于P，則P的軌跡是（ ）A:橢圓 B:雙曲線 C:拋物線 D:圓【答案】：A【解答】：由對稱性可知|PF|=|PM|，則|

31、PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R為圓的半徑），則P的軌跡是橢圓，選A第7關(guān)： 參數(shù)方程與極坐標問題“考點”面面看 “參數(shù)方程與極坐標”主要內(nèi)容是參數(shù)方程和普通方程的互化，極坐標系與普通坐標系的互化，參數(shù)方程和極坐標的簡單應(yīng)用三塊，下面針對這三塊內(nèi)容進行透析： 一、參數(shù)方程與普通方程的互化化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法；化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)，先確定一個關(guān)系（或，再代入普通方程，求得另一關(guān)系（或）.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標（或縱坐

32、標）例1、方程表示的曲線是（ ）A. 雙曲線 B.雙曲線的上支 C.雙曲線的下支 D.圓分析：把參數(shù)方程化為我們熟悉的普通方程，再去判斷它表示的曲線類型是這類問題的破解策略.解析：注意到t與互為倒數(shù)，故將參數(shù)方程的兩個等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含的項，即有，又注意到 ，可見與以上參數(shù)方程等價的普通方程為.顯然它表示焦點在軸上，以原點為中心的雙曲線的上支，選B.點評：這是一類將參數(shù)方程化為普通方程的檢驗問題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是要注意變量范圍的一致性.趁熱打鐵1：與普通方程等價的參數(shù)方程是（ ）（為能數(shù)）解析：所謂與方程等價，是指若把參數(shù)方程化為普通方程后不但形式一致而且的變化范圍也對應(yīng)相同，按

33、照這一標準逐一驗證即可破解. 對于A化為普通方程為；對于B化為普通方程為；對于C化為普通方程為;對于D化為普通方程為.而已知方程為顯然與之等價的為B.例2、設(shè)P是橢圓上的一個動點，則的最大值是 ，最小值為 .分析：注意到變量的幾何意義，故研究二元函數(shù)的最值時，可轉(zhuǎn)化為幾何問題.若設(shè)，則方程表示一組直線，（對于取不同的值，方程表示不同的直線），顯然既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點，從而轉(zhuǎn)化為研究消無后的一元二次方程的判別式問題.解析：令，對于既滿足，又滿足，故點是方程組的公共解，依題意得，由，解得：，所以的最大值為，最小值為.點評：對于以上的問題，有時由于研究二

34、元函數(shù)有困難，也常采用消元，但由滿足的方程來表示出或時會出現(xiàn)無理式，這對進一步求函數(shù)最值依然不夠簡潔，但若通過三角函數(shù)換元，則可實現(xiàn)這一途徑.即 ，因此可通過轉(zhuǎn)化為的一元函數(shù).以上二個思路都叫“參數(shù)法”.趁熱打鐵2：已知線段，直線l垂直平分，交于點O，在屬于l并且以O(shè)為起點的同一射線上取兩點，使，求直線BP與直線的交點M的軌跡方程.解析：以O(shè)為原點，BB為y軸，為軸建立直角坐標系，則，設(shè)，則由，得，則直線BP的方程為；直線和方程為；，因此點M的軌跡為長軸長為6，短軸長為4的橢圓（除B，）. 二、極坐標與直角坐標的互化 利用兩種坐標的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點與原點重合；（2）極軸與軸正方向重合；（3）取相同的單位長度.設(shè)點P的直角坐標為，它的極坐標為，則 ；若把直角坐標化為極坐標，求極角時，應(yīng)注意判斷點P所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角.例3、極坐標方程表示的曲線是（ ） A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線的一支D. 拋物線分析：這類問題需要將極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程進行判斷.解析：由，化為直角坐標系方程為，化簡得.顯然該方程表示拋物線，故選D.點評：若直接由所給方程是很難斷定它表示