均值不等式（不等式簡史）

1、均值不等式 均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學中的一個重要公式：調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)，同學們，你想知道對于兩個正數(shù)a,b，在什么條件下，a+b取得最小值？在什么條件下，ab取得最大值嗎？讓我們從均值不等式基礎(chǔ)知識開始我們的求知之旅吧.數(shù)學史話不等式理論簡史數(shù)學不等式的研究首先從歐洲國家興起, 東歐國家有一個較大的研究群體, 特別是原南斯拉夫國家.目前,對不等式理論感興趣的數(shù)學工作者遍布世界各個國家.在數(shù)學不等式理論發(fā)展史上有兩個具有分水嶺意義的事件,分別是: Chebycheff 在 1882 年發(fā)表的論文和 1928

2、 年Hardy任倫敦數(shù)學會主席屆滿時的演講；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中對不等式的哲學 (philosophy) 給出了有見地的見解: 一般來講初等的不等式應(yīng)該有初等的證明, 證明應(yīng)該是“內(nèi)在的”,而且應(yīng)該給出等號成立的證明.A MFink認為, 人們應(yīng)該盡量陳述和證明不能推廣的不等式 Hardy認為, 基本的不等式是初等的自從著名數(shù)學家 G H Hardy,J E Littlewood和G Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以來, 數(shù)學不等式理論及其應(yīng)用的研究正

3、式粉墨登場, 成為一門新興的數(shù)學學科, 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合, 它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學理論.20 世紀 70 年代以來 , 國際上每四年在德國召開一次一般不等式 ( General Inequalities) 國際學術(shù)會議 , 并出版專門的會議論文集.不等式理論也是 2000 年在意大利召開的第三屆世界非線性分析學家大會 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主題之一.2000 年和 2001 年在韓國召開的第六屆和第七屆非線性泛函分析和應(yīng)用國際會議 ( Interna

4、tionalConference on Nonlinear Functional Analysis andApplications) 與 2000 年在我國大連理工大學召開的ISAAC都將數(shù)學不等式理論作為主要的議題安排在會議日程之中.2001 年的不等式國際會議 IN EQUAL IT IES于 2001 年 7 月 9 日至 14 日在羅馬尼亞 University of t heWest 召開.歷史上 , 華人數(shù)學家在不等式領(lǐng)域做出過重要貢獻，包括華羅庚、樊畿、林東坡、徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學家.最近幾年我國有許多數(shù)學工作者始終活躍在國際數(shù)學不等式理論及其應(yīng)用的領(lǐng)域，他們在相關(guān)

5、方面做出了獨特的貢獻，引起國內(nèi)外同行的注意和重視.例如王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、高明哲教授、張晗方教授、楊國勝教授等.20世紀80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮. 20世紀80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授對Fan ky不等式的深人研究達到國際領(lǐng)先水平.祁鋒教授及其所領(lǐng)導的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在中國科學上的論文一個不等式及其若干應(yīng)用，針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數(shù)學評論稱之

6、為一個杰出的非凡的新的不等式，現(xiàn)在稱之為胡克(HK)不等式.胡克教授對這個不等式及其應(yīng)用作了系統(tǒng)而深刻的研究.目前我國關(guān)于數(shù)學不等式理論及其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果.例如匡繼昌先生的專著常用不等式一書由于供不應(yīng)求 , 在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第二版 ,重印過多次.對于數(shù)學專著來講 , 這是少有的現(xiàn)象.第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的矩陣論中不等式.另外 , 國內(nèi)還有一個不等式研究小組比較活躍 , 主辦一個不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物 , 數(shù)學家楊路先生任顧問.對Hilbert不等式，是由Hilbert 在他的積分方程的講座中提出. 此后，許多著名數(shù)學家如Feier(1921)，F(xiàn)r

7、amcis，Littlewood (1928)，Hardy (1920)，Hardy-Littlewood-Polya(1926)，Mulhoand(1928，1931)，Owen(1930)，Polya和Szegb，Schur(1911)，F(xiàn) Wiener (1910)等都做出過貢獻.為此，Hardy等在文獻1中的第9x章中專門討論Hilbert不等式及其類似情形和推廣.20世紀90年代以來，我國一大批學者如徐利治，楊必成教授等對Hilbert不等式及其類似情形和推廣的研究取得了舉世矚目的成果.由于這些結(jié)果在理論和實際運用方面都有重要意義，引起一系列廣泛研究，當中取得各式各樣的進展，成果在眾

8、多報刊雜志上被發(fā)表.綜上所述 , 數(shù)學不等式理論充滿蓬勃生機、興旺發(fā)達.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度百科歐拉歐拉是數(shù)學史上著名的數(shù)學家，他在數(shù)論、幾何學、天文數(shù)學、微積分等好幾個數(shù)學的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就.不過，這個大數(shù)學家在孩提時代卻一點也不討老師的喜歡，他是一個被學校除了名的小學生.事情是因為星星而引起的. 當時，小歐拉在一個教會學校里讀書.有一次，他向老師提問，天上有多少顆星星.老師是個神學的信徒，他不知道天上究竟有多少顆星，圣經(jīng)上也沒有回答過.其實，天上的星星數(shù)不清，是無限的.我們的肉眼可見的星星也有幾千顆.這個老師不懂裝懂，回答歐拉說：“天上有多少顆星星，這無關(guān)緊要，只要知道天上的星星是上

9、帝鑲嵌上去的就夠了.” 歐拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上沒有扶梯，上帝是怎么把星星一顆一顆鑲嵌到天幕上的呢？上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕，他為什么忘記了星星的數(shù)目呢？上帝會不會太粗心了呢？” 他向老師提出了心中的疑問，老師又一次被問住了，漲紅了臉，不知如何回答才好.老師的心中頓時升起一股怒氣，這不僅是因為一個才上小學的孩子向老師問出了這樣的問題，使老師下不了臺，更主要的是，老師把上帝看得高于一切.小歐拉居然責怪上帝為什么沒有記住星星的數(shù)目，言外之意是對萬能的上帝提出了懷疑.在老師的心目中，這可是一個嚴重的問題.在歐拉的年代，對上帝是絕對不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，絕對不允許自

10、由思考.小歐拉沒有與教會、與上帝保持一致，老師就讓他離開學校回家.但是，在小歐拉心中，上帝神圣的光環(huán)消失了.他想，上帝是個窩囊廢，他怎么連天上的星星也記不住？他又想，上帝是個獨裁者，連提出問題都成了罪.他又想，上帝也許是個別人編造出來的家伙，根本就不存在.回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童.他一面放羊，一面讀書.他讀的書中，有不少數(shù)學書.爸爸的羊群漸漸增多了，達到了100只.原來的羊圈有點小了，爸爸決定建造一個新的羊圈.他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米.正打算動工的時候，他發(fā)現(xiàn)他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用

11、.若要圍成長40米，寬15米的羊圈，其周長將是110米（15+15+40+40=110），父親感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料；要是縮小面積，每頭羊的面積就會小于6平方米.小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔心每頭羊的領(lǐng)地會小于原來的計劃.他有辦法.父親不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他.小歐拉急了，大聲說，只有稍稍移動一下羊圈的樁子就行了.父親聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅持說，他一定能兩全齊美. 父親終于同意讓兒子試試看.小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準備動工的羊圈旁.他以一個木樁為中心，將原來的40米邊長截短，縮短到25米.父

12、親著急了，說：“那怎么成呢？那怎么成呢？這個羊圈太小了，太小了.”小歐拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長延長，又增加了10米，變成了25米.經(jīng)這樣一改，原來計劃中的羊圈變成了一個25米邊長的正方形（25+25+25+25=100）.然后，小歐拉很自信地對爸爸說：“現(xiàn)在，籬笆也夠了，面積也夠了.”父親照著小歐拉設(shè)計的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全部用光.面積也足夠了，而且還稍稍大了一些.父親心里感到非常高興.孩子比自己聰明，真會動腦筋，將來一定大有出息.父親感到，讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑强上Я?后來，他想辦法讓小歐拉認識了一個大數(shù)學家伯努利.通過這位數(shù)學家的

13、推薦，1720年，小歐拉成了巴塞爾大學的大學生.這一年，小歐拉13歲，是這所大學最年輕的大學生.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度百科思維導航運用均值不等式的八類拼湊方法利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學的一個重點.在運用均值不等式解題時，我們常常會遇到題中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用題設(shè)條件，此時需要對題中的式子適當進行拼湊變形.均值不等式等號成立條件具有潛在的運用功能.以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，為解題提供信息，可以引發(fā)出種種拼湊方法.筆者把運用均值不等式的拼湊方法概括為八類.一、 拼湊定和通過因式分解、納入根號內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，均分系

14、數(shù)，拼湊定和，求積的最大值例已知，求函數(shù)的最大值解：當且僅當，即時，上式取“=”,故.評注：通過因式分解，將函數(shù)解析式由“和”的形式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關(guān)系，求“積”的最大值.例2 求函數(shù)的最大值.解：因為，當且僅當，即時，上式取“=”,故.評注：將函數(shù)式中根號外的正變量移進根號內(nèi)的目的是集中變元，為“拼湊定和”創(chuàng)造條件例3 已知，求函數(shù)的最大值.解：,.當且僅當，即時，上式取“=”.故，又.二、 拼湊定積通過裂項、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點，配項湊定積，創(chuàng)造運用均值不等式的條件例4 設(shè)，求函數(shù)的最小值.解：.當且僅當

15、時，上式取“=”.故.評注：有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項，變?yōu)楹偷男问?，然后“拼湊定積”，往往是十分方便的.例5 已知，求函數(shù)的最大值.解：，.當且僅當時，上式取“=”.故.評注：有關(guān)的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變原式的結(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再設(shè)法將分母“拼湊定積”.例6 已知，求函數(shù)的最小值.解：因為，所以，令，則.所以.當且僅當，即時，上式取“=”.故.評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡，化難為易，創(chuàng)造出運用均值不等式的環(huán)境.三、 拼湊常數(shù)降冪例7 若，求證：.分析：基本不等式等號成立的條件具有潛在的運用功能，它

16、能在“等”與“不等”的互化中架設(shè)橋梁，能為解題提供信息，開辟捷徑.本題已知與要求證的條件是，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)應(yīng)拼湊項，巧妙降次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化.證明：.當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證.評注：本題借助取等號的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡潔明了.例8 若，求的最大值.解：.當且僅當時，上述各式取“=”，故的最大值為7.例9 已知，求證：.證明：，又，.當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證.四、 拼湊常數(shù)升冪例10 若，且，求證.分析：已知與要求證的不等式都是關(guān)于的輪換對稱式，容易發(fā)現(xiàn)等號成立的條件是，故應(yīng)拼湊，巧妙升次，迅速促成“等”與“不等”的

17、辯證轉(zhuǎn)化. 當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證.例11 若，求證：.證明：.又.當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證.五、 約分配湊通過“1”變換或添項進行拼湊，使分母能約去或分子能降次.例12 已知，求的最小值. 解：.當且僅當時，即，上式取“=”，故.例13 已知，求函數(shù)的最小值.解：因為，所以.所以.當且僅當時，即，上式取“=”，故.例14 若，求證.分析：注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是關(guān)于的輪換對稱式，當時，等式成立.此時，設(shè)，解得，所以應(yīng)拼湊輔助式為拼湊的需要而添，經(jīng)此一添，解題可見眉目.當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證.六、 引入?yún)?shù)拼湊某些復雜的問題

18、難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解得待定系數(shù)，可開辟解題捷徑.例15 已知，且，求的最小值.解：設(shè)，故有.當且僅當同時成立時上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時.故的最小值為36.七、 引入對偶式拼湊 根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個與之對偶的式子，然后一起參與運算，創(chuàng)造運用均值不等式的條件.例16 設(shè)為互不相等的正整數(shù)，求證.證明：記，構(gòu)造對偶式，則，當且僅當時，等號成立.又因為為互不相等的正整數(shù)，所以，因此.評注：本題通過對式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對偶式.八、 確立主元拼湊 在解答多元問題時，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件

19、和解題需要，確立主元，減少變元個數(shù)，恰當拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式.例17 在中，證明.分析：為輪換對稱式，即的地位相同，因此可選一個變元為主元，將其它變元看作常量（固定），減少變元個數(shù)，化陌生為熟悉.證明：當時，原不等式顯然成立. 當時，.當且僅當，即為正三角形時，原不等式等號成立. 綜上所述，原不等式成立.評注：變形后選擇A為主元，先把A看作常量，B、C看作變量，把B、C這兩個變量集中到，然后利用的最大值為1將其整體消元，最后再回到A這個主元，變中求定.綜上可見，許多貌似繁難的最值問題或不等式證明問題，運用均值不等式等號成立條件，恰當拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式，輕松獲解.這種運用等

20、號成立條件的拼湊方法，既開拓了學生的思路，又活躍了學生的思維，培養(yǎng)了學生的數(shù)學能力.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫數(shù)學應(yīng)用有趣的不等式一、2005年10月12日，我國“神舟”六號飛船在甘肅酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，千年飛天夢，今朝又成真.這一偉大成就莊嚴地載入了中華民族的光輝史冊，豪情滿懷之后，你可曾知道，飛船是必須由火箭運載上天的，并且只有當火箭的速度大于112104米/秒時，飛船才能脫離地球的引力束縛，飛入太空.二、把看似枯燥的數(shù)學問題用朗朗上口的詩歌形式表達出來或編成有趣的小故事，讓人們耳目一新，備受喜歡，不少的問題還涉及不等式.請看以下幾例.1、詩歌與不等式詩歌曰：六丈六尺布，裁成兩種褲，長的七尺

21、二，短的二尺五，布要全用盡，規(guī)格要相等，各樣有幾條，請問大師傅？解：設(shè)長褲裁出條，短褲裁出條，根據(jù)題意，得,轉(zhuǎn)化為.顯然，必是正整數(shù)，即，解得.所以為1至9的整數(shù).由可知，必須是5的倍數(shù)，否則就不是整數(shù).所以，代入得.即長褲裁5條，短褲裁12條.2、建筑物與不等式一位意大利數(shù)學家游玩了比薩斜塔后，提出了一道有趣的問題.他說：比薩斜塔共有8層，其中頂層有12根石柱，中間6層，每層的石柱一樣多，底層石柱只有中間每層石柱的一半，而且中間每層和底層的石柱數(shù)都是5的倍數(shù).告訴你比薩斜塔是由200多根石柱構(gòu)成，但不會超過250根.請問比薩斜塔由多少根石柱構(gòu)成？解：設(shè)比薩斜塔的底層有根石柱，那么中間6層各有

22、根，則比薩斜塔共有根石柱.由于中間每層和底層的石柱數(shù)都是5的倍數(shù)，即是5的倍數(shù)，因此可取5，10，15，20，取5，10時，總石柱數(shù)少于200；取20時，也不符合題意；當時, ，符合要求.因此比薩斜塔由207根石柱構(gòu)成.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫均值不等式在實際生活中的應(yīng)用在日常生活中遇到的土地利用、機械制造、廣告投資等問題可用均值不等式來解決這節(jié)主要介紹均值不等式在以上三個方面中的應(yīng)用例1 利用已有足夠長的一面圍墻和米的籬笆圍成一個矩形場地，問如何圍才能使圍成的場地面積最大？解設(shè)圍墻的鄰邊長為米，則圍墻對邊長為米，那么所圍場地面積為，當且僅當，即米時，圍成的面積最大，最大值為平方米機械制造業(yè)是各行業(yè)

23、技術(shù)裝備的主要提供者，為其它行業(yè)的發(fā)展提供必不可少的基礎(chǔ)條件，市場需要工廠生產(chǎn)不同規(guī)格的零件去滿足不同的需求，如果要利用同樣的材料制造不同特點的產(chǎn)品，那么此時會用到均值不等式例2 用一塊鋼錠鑄造一個厚度均勻，且全面積為的正四棱錐形有蓋容器，設(shè)容器高為米，蓋子的邊長為米，容器的容積為，問當為何值時，最大，并求最大值解:因為底面積為，四個側(cè)面積均為，所以全面積為，整理得 ，而容積，由均值不等式，得，當且僅當時，取等號，即，時，容器的容積最大，其最大值為立方米近年來廣告業(yè)一場突起，可以說為企業(yè)的生存和發(fā)展劈荊斬棘，在一定條件下，銷售量是廣告費的增函數(shù)，但銷售應(yīng)有極限，盲目加大投入，企業(yè)必將虧損，所以

24、企業(yè)在策劃這方面時，應(yīng)該運用均值不等式檢測是否合理例3 某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)，預計年銷量（萬件）與廣告費（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為萬元，每生產(chǎn)萬件此產(chǎn)品仍需再投入萬元，若每件售價為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之差，求年廣告費投入多少時，企業(yè)年利潤最大？解設(shè)企業(yè)年利潤為萬元，由已知條件，知年成本為萬元，年收入為萬元，則年利潤，整理得 由于，因此當且僅當，即時，有最大值，最大值為萬元摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫拓展延伸著名不等式薈萃在數(shù)學領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加

25、豐富多彩下面擇要介紹一些著名的不等式一、平均不等式（均值不等式）設(shè) 是個實數(shù)，叫做這個實數(shù)的算術(shù)平均數(shù).當這個實數(shù)非負時，叫做這個非負數(shù)的幾何平均數(shù).當這個實數(shù)均為正數(shù)時，叫做這個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù).設(shè) 為個正數(shù)時，對如下的平均不等式： ，當且僅當時等號成立.平均不等式 是一個重要的不等式，它的應(yīng)用非常廣泛，如求某些函數(shù)的最大值和最小值即是其應(yīng)用之一.設(shè) 是個正的變數(shù)，則（1）當積 是定值時，和有最小值，且 ；（2）當和 是定值時，積 有最大值，且 兩者都是當且僅當個變數(shù)彼此相等時，即 時，才能取得最大值或最小值.在 中，當 時，分別有 ，平均不等式 經(jīng)常用到的幾個特例是（下面出現(xiàn)的 時等號成立

26、；（3） ，當且僅當 時等號成立；（4） ，當且僅當 時等號成立.二、柯西不等式（柯西許瓦茲不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）對任意兩組實數(shù) ，有 ，其中等號當且僅當時成立.柯西不等式經(jīng)常用到的幾個特例（下面出現(xiàn)的都表示實數(shù)）是：（1） ， ，則 （2） （3） 柯西不等式是又一個重要不等式，有許多應(yīng)用和推廣，與柯西不等式有關(guān)的競賽題也頻頻出現(xiàn)，這充分顯示了它的獨特地位.三、閔可夫斯基不等式設(shè)是兩組正數(shù)， ，則當且僅當 時等號成立.閔可夫斯基不等式是用某種長度度量下的三角形不等式，當時得平面上的三角形不等式： 右圖給出了對上式的一個直觀理解.若記 ， ，則上式為四、貝努利不等式（1）設(shè),且同號

27、，則 （2）設(shè),則（）當 時，有 ；（）當 或 時，有 ，上兩式當且僅當時等號成立.不等式（1）的一個重要特例是 ,五、赫爾德不等式已知是個正實數(shù)，,則 上式中若令 ,則此赫爾德不等式即為柯西不等式.六、契比雪夫不等式（1）若,則 ；（2）若 ，則 下面給出一個時的契比雪夫不等式的直觀理解. 如圖，矩形中， ，顯然陰影部分的矩形的面積之和不小于空白部分的矩形的面積之和，（這可沿圖中線段向上翻折比較即知）.于是有 ，也即 七、排序不等式設(shè)有兩組數(shù) 滿足,則有，式中的 是的任意一個排列，式中的等號當且僅當或時成立.以上排序不等式也可簡記為：反序和亂序和同序和這個不等式在不等式證明中占有重要地位，它

28、使不少困難問題迎刃而解.八、含有絕對值的不等式為復數(shù)，則 ，左邊的等號僅當?shù)姆遣顬闀r成立，右邊的等號僅當?shù)姆窍嗟葧r成立，這個不等式也稱為三角形不等式，其一般形式是 ，也可記為絕對值不等式在實數(shù)的條件下用得較多.九、琴生不等式設(shè)是內(nèi)的凸函數(shù)，則對于內(nèi)任意的幾個實數(shù)有 ，等號當且僅當時取得.琴生不等式是丹麥數(shù)學家琴生于1905年到1906年間建立的.利用琴生不等式我們可以得到一系列不等式，比如“冪平均不等式”，“加權(quán)的琴生不等式”等等.十、艾爾多斯莫迪爾不等式設(shè)為內(nèi)部或邊界上一點，到三邊距離分別為，則 ，當且僅當為正三角形，且為三角形中心時上式取等號.這是用于幾何問題的證明和求最大（?。┲禃r的

29、一個重要不等式.以上這些著名不等式是數(shù)學家們長期致力于不等式理論研究的重要成果，如果它們已變成了我們學習數(shù)學、研究數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的得力工具.數(shù)學競賽中使用的幾個不等式幾個變元的均值不等式.設(shè)則此不等式的變形為：設(shè) ，則有柯西不等式設(shè)，則等號成立當且僅當 時成立.（約定 時，）排序不等式設(shè)有兩個有序數(shù)組 及，則 （順序和）（亂序和）（反序和）其中 的任一排列，當且僅當 或 時等號成立.利用排序不等式可得切比雪夫不等式：若 ， ，則柯西不等式的拓展設(shè)同號，則當且僅當 時取等號.若，且，則.不等式 的推廣及應(yīng)用利用不等式可以簡捷巧妙地解答其它一些不等式問題,本文簡單介紹它的應(yīng)用及推廣，供大家在教學中

30、參考. 一、不等式 的應(yīng)用例1 設(shè)是直角三角形斜邊的長，兩直角邊長為和,求證. 證明： ,. 例2 填空：設(shè) 的最小值為 . 當且僅當. 例3 設(shè)、為空間中的四點，求證： 證明：如圖，取的中點，連結(jié)和，則在和中，根據(jù)中線的性質(zhì)，有 二、不等式的推廣及應(yīng)用不等式 可以推廣成如下命題：如果 ：證明： 例4 （外森比克不等式）已知三角形的邊長為其面積為，求證 ，并指出何時等號成立證明：由海倫公式，例5 試確定 的所有實數(shù)解解：由，得，取“=”號 所以，原方程組有唯一實數(shù)解 三、不等式 的再推廣及應(yīng)用不等式 還可以再推廣，這就是著名的Holder不等式如果 （當且僅當時取“=”號）證明從略例6 求證：

31、 證明：由Holder不等式，得例7 設(shè)為的三個內(nèi)角，為自然數(shù)，求證 證明：由Holder不等式，得 .當且僅當時取“=”號.例8 已知 ，求證證明：由H lder不等式，得事實上，我們稱為個正數(shù)的次冪平均關(guān)于冪平均有下面的定理：如果 為正數(shù)， 那么（當且僅當時取“=”號）證明從略據(jù)定理，有（當且僅當時取“=”號），即 時取“=”號），即為H lder不等式.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫數(shù)學欣賞不等式的趣味應(yīng)用題賞析趙先舉 不等式不僅是數(shù)學的基礎(chǔ),在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應(yīng)用,靈活應(yīng)用不等式知識可以幫助我們化解困難,使得生活更加美好下面給出幾個例子供大家欣賞.一、交通問題中的基本不等式問題繁華都市中,人

32、們的生活節(jié)奏在不斷加快,交通的壓力越來越大為了解決交通擁擠問題,政府想了很多辦法,對車輛的行駛速度等進行了調(diào)查,試圖通過對數(shù)據(jù)的分析,來減輕交通的壓力下面給出的是一個城市的數(shù)據(jù)模型,我們來幫政府分析一下吧.案例：2012年倫敦奧運會進行期間,為了緩解交通壓力,在一交通要道交通部門規(guī)定:在此段內(nèi)的車距d正比于車速v(km/h)的平方與車身長s(m)的乘積,且最小車距不得少于半個車身長假設(shè)車身長均為s(m),且車速為50(km/h)時,車距恰為車身長s問交通繁忙時,應(yīng)規(guī)定怎樣的車速,才能使此地段的車流量Q最大?探究：這一問題可以利用均值不等式求最值的方法進行解決車身長s為常量,設(shè)d=kv2s,把v

33、=50,d=s代入可得,把代入,可得所以于是,車流量當時,Q為v的增函數(shù),所以,時,Q最大為;當時,當且僅當,即時,等號成立,又,所以,v=50km/h時,車流量最大.二、市場經(jīng)營中的不等式證明問題市場經(jīng)濟給世界帶來了競爭,也帶來了活力,在市場經(jīng)濟下,我們更應(yīng)該學會靈活應(yīng)用數(shù)學知識,只有這樣才能使我們的成本最低,盈利最大,進而使得我們的實力更強大,下面來看一個例子,來分析數(shù)學知識在市場經(jīng)營中的靈活應(yīng)用.案例：國際上鉆石的重量計量單位為克拉已知某種鉆石的價值v(美元)與其重量w(克拉)的平方成正比,且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元.(1)寫出v關(guān)于w的的函數(shù)關(guān)系式;(2)若把一顆

34、鉆石切割成重量為1:3的兩顆鉆石,求價值損失的百分率;(3)試用你所學的數(shù)學知識證明:把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時,按重量之比1:1切割,價值損失的百分率最大. (注:價值損失的百分率=,在切割過程中的重量損耗忽略不計).探究：(1)依題意設(shè):,又當時, 故; (2)設(shè)這顆鉆石的重量為a克拉,由(1)可知,按重量為1:3切割后的價值為:價值損失為:價值損失的百分率為:答:價值損失的百分率為375%;(3)(理)若把一顆鉆石按重量m:n切割成兩顆,價值損失的百分率為:,又.當且僅當時等號成立即重量為1:1切割時,價值損失的百分率達到最大.三、交通糾紛與解不等式問題生活中總會有些意外讓我們無法預料,

35、交通糾紛就是很常見的事情教訓是慘痛的,但事后責任的劃分也是比較麻煩的其實,交警在對事故現(xiàn)場進行取證分析時也離不開數(shù)學知識,有時候一個不等式的正確求解就成為化解糾紛的關(guān)鍵下面看一個生活實例,加以分析:案例：汽車行駛中,由于慣性作用剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住,我們稱之為“剎車距離”,剎車距離是分析事故的一個重要因素一天某電視臺就報到了一件交通事故的新聞在一個限速40km/h以內(nèi)的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發(fā)現(xiàn)情況不對,同時剎車,但還是相碰了,雙方當事人互不相讓,都在指責對方,要求對方負責這時,交警來了,經(jīng)過現(xiàn)場勘測可知:甲車剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m,又知甲

36、、乙兩種車型的剎車距離sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系:問:超速行駛應(yīng)負主要責任的是誰?探究：本題可以利用解不等式的方法來判斷是誰超速應(yīng)負主要責任,只要根據(jù)剎車距離計算各自行駛的超速程度比較即可.,這是常見的一元二次不等式,分別求解可得或;或.由于,從而可得km/h,km/h,比較可知乙車明顯超過限速,應(yīng)負主要責任 .趣味練習:1、隨著社會的發(fā)展,物流公司的重要性越來月明顯在奧運會期間,某物流公司為了順利完成某大型運送任務(wù),使用了17列貨車從鄭州市以v km/h勻速直達目的地阜陽的一個小鎮(zhèn),已知兩地鐵路線長為400 km,為了安全,兩列貨車的間距不得小于()2 km,那么這批貨物全部運到

37、阜陽的目的地,怎樣才能使得運送時間最短?最短時間是多少?答案:這批貨物從鄭州市全部運到阜陽目的地的時間可以表示為：當且僅當,即(km/h)時,等號成立,即車速為100km/h時,所用時間最短,最短時間為8小時.2、某商場預計全年分批購入每臺價值為2000元的電視機3600臺,每批都購入x臺(x是自然數(shù)),且每批均需付運費400元貯存購入的電視機全年所需保管費與每批購入電視機的總價值(不含運費)成正比若每批購入400臺,則全年需用去運輸和保管總費用43600元現(xiàn)在全年只有24000元資金可以用于支付這筆費用請證明:只要適當安排每批購入電視機數(shù)量,這批資金恰好夠用.答案:依題意,當每批購入x臺時,

38、全年需用保管費可設(shè)為,所以,全年需用去運輸和保管總費用為因為時,所以,所以,所以,只要安排每批進貨120臺,便可使資金夠用.3、酒后駕車是非常危險的因此法律規(guī)定:駕駛員血液中的酒精含量不得超過008ml/ml已知甲在上午11:00喝150ml酒后,血液中的酒精含量上升到048mg/ml,乙在上午9:00喝了300ml酒后,血液中的酒精含量迅速上升到096mg/ml,又已知:對于甲、乙在停止喝酒后,血液中的酒精含量每小時減少為原來的一半下午2:00時,兩人開車相遇,發(fā)生碰撞請據(jù)此判斷,兩人是否屬于酒后駕駛?能否以酒后駕駛對這起事故進行判罰?答案: 對于甲,設(shè)經(jīng)過小時后才能駕駛汽車,則此人喝了15

39、0ml啤酒后,經(jīng)過小時的酒精含量為,根據(jù)題意有,即,由于,所以,因甲至少3小時后此人才能駕駛汽車,甲上午9:00喝酒,下午2:00已經(jīng)可以正常駕駛汽車;對于乙,設(shè)經(jīng)過y小時,可以駕駛汽車,同理,由,即,由于,所以,乙至少需要4個小時才能駕駛汽車,上午9:00喝酒,下午2:00也屬于正常駕駛,因此,兩人的糾紛不應(yīng)當以酒后駕駛進行判罰.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫推薦閱讀數(shù)學家的眼光作者：張景中.不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用非常廣泛，它貫穿整個高中數(shù)學的始末，諸如函數(shù)的定義域，值域的求法，最值問題的求法，數(shù)學應(yīng)用問題的解法等等，它和高中數(shù)學的內(nèi)容結(jié)合非常廣泛，同學們，你想知道不等式應(yīng)用有哪些嗎？如何使用不等式去

40、解決實際問題嗎？讓我們從閱讀不等式的應(yīng)用開始我們的求知之旅吧.數(shù)學史話數(shù)學界名人以華人數(shù)學家命名的研究成果中華民族是一個具有燦爛文化和悠久歷史的民族，在燦爛的文化瑰寶中數(shù)學在世界上也同樣具有許多耀眼的光環(huán)，我國古代算術(shù)的許多研究成果里面就早已孕育了后來西方數(shù)學才涉及的思想方法，這不僅反映了中華民族文化的博大精深，也說明了我們的民族是一個聰明智慧的民族，有不少數(shù)學人才和在世界領(lǐng)先的數(shù)學研究成果，我們應(yīng)該引以為榮，更應(yīng)該發(fā)揚和光大數(shù)學前輩的治學精神，愛好數(shù)學，學好數(shù)學，用好數(shù)學.我們希望能看到更多的華人數(shù)學家誕生！希望有更多的以華人數(shù)學家命名的研究成果載入世界數(shù)學史冊，揚我中華民族之威！下面就是收

41、集到的以華人數(shù)學家命名的研究成果.李氏恒等式：數(shù)學家李善蘭在級數(shù)求和方面的研究成果，在國際上被命名為“李氏恒等式”.華氏定理：數(shù)學家華羅庚關(guān)于完整三角和的研究成果被國際數(shù)學界稱為“華氏定理”；另外他與數(shù)學家王元提出多重積分近似計算的方法被國際上譽為“華王方法”.蘇氏錐面：數(shù)學家蘇步青在仿射微分幾何學方面的研究成果在國際上被命名為“蘇氏錐面”.熊氏無窮級：數(shù)學家熊慶來關(guān)于整函數(shù)與無窮級的亞純函數(shù)的研究成果被國際數(shù)學界譽為“熊氏無窮級”.陳示性類：數(shù)學家陳省身關(guān)于示性類的研究成果被國際上稱為“陳示性類”.周氏坐標：數(shù)學家周煒良在代數(shù)幾何學方面的研究成果被國際數(shù)學界稱為“周氏坐標；另外還有以他命名的

42、周氏定理和周氏環(huán).吳氏方法：數(shù)學家吳文俊關(guān)于幾何定理機器證明的方法被國際上譽為“吳氏方法”；另外還有以他命名的“吳氏公式”.王氏悖論：數(shù)學家王浩關(guān)于數(shù)理邏輯的一個命題被國際上定為“王氏悖論”.柯氏定理：數(shù)學家柯召關(guān)于卡特蘭問題的研究成果被國際數(shù)學界稱為“柯氏定理”；另外他與數(shù)學家孫琦在數(shù)論方面的研究成果被國際上稱為“柯孫猜測”.陳氏定理：數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想研究中提出的命題被國際數(shù)學界譽為“陳氏定理”.楊張定理：數(shù)學家楊樂和張廣厚在函數(shù)論方面的研究成果被國際上稱為“楊張定理”.陸氏猜想：數(shù)學家陸啟鏗關(guān)于常曲率流形的研究成果被國際上稱為“陸氏猜想”.夏氏不等式：數(shù)學家夏道行在泛函積分和不變

43、測度論方面的研究成果被國際數(shù)學界稱為“夏氏不等式”.姜氏空間：數(shù)學家姜伯駒關(guān)于尼爾森數(shù)計算的研究成果被國際上命名為“姜氏空間”；另外還有以他命名的“姜氏子群”.侯氏定理：數(shù)學家侯振挺關(guān)于馬爾可夫過程的研究成果被國際上命名為“侯氏定理”.周氏猜測：數(shù)學家周海中關(guān)于梅森素數(shù)分布的研究成果被國際上命名為“周氏猜測”.王氏定理：數(shù)學家王戌堂關(guān)于點集拓撲學的研究成果被國際數(shù)學界譽為“王氏定理”.袁氏引理：數(shù)學家袁亞湘在非線性規(guī)劃方面的研究成果被國際上命名為“袁氏引理”.景氏算子：數(shù)學家景乃桓在對稱函數(shù)方面的研究成果被國際上命名為“景氏算子”.陳氏文法：數(shù)學家陳永川在組合數(shù)學方面的研究成果被國際上命名為“

44、陳氏文法”.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫有關(guān)不等式數(shù)學符號的起源數(shù)學符號的發(fā)明和使用比數(shù)字晚，但是數(shù)量多得多現(xiàn)在常用的有200多個，初中數(shù)學書里就不下20多種它們都有一段有趣的經(jīng)歷例如加號曾經(jīng)有好幾種，現(xiàn)在通用“”“”是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變而來的十六世紀，意大利科學家塔爾塔利亞用意大利文“pi”（加的意思）的第一個字母表示加，最后都變成了“”減號是從拉丁文“minus”（“減”的意思）演變來的，簡寫m，再省略掉字母，就成了“”了也有人說，賣酒的商人用“”表示酒桶里的酒賣了多少以后，當把新酒灌入大桶的時候，就在“”上加一豎，意思是把原線條勾銷，這樣就成了個“”等等16世紀法國數(shù)學家維葉特用

45、“”表示兩個量的差別可是英國牛津大學數(shù)學、修辭學教授雷科德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數(shù)相等是最合適不過的了，于是等于符號“”就從1540年開始使用起來1591年，法國數(shù)學家韋達在文中大量使用這個符號，才逐漸為人們接受十七世紀德國萊布尼茨廣泛使用了“”號，他還在幾何學中用“”表示相似，用“”表示全等大于號“”和小于號“”，是1631年英國著名代數(shù)學家哈里奧特創(chuàng)用至于“”“”、“”這三個符號的出現(xiàn)，是很晚很晚的事了大括號“”和中括號“”是代數(shù)創(chuàng)始人之一韋達創(chuàng)造的摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫阿拉伯數(shù)字的由來小明是個喜歡提問的孩子.一天，他對09這幾個數(shù)字產(chǎn)生興趣：為什么它們被稱為“阿拉伯數(shù)字”呢？

46、于是，他就去問媽媽:“09既然叫阿拉伯數(shù)字，那肯定是阿拉伯人發(fā)明的了，對嗎，媽媽？”，媽媽搖搖頭說：“阿拉伯數(shù)字實際上是印度人發(fā)明的.大約在1500年前，印度人就用一種特殊的字來表示數(shù)目，這些字有10個，只要一筆兩筆就能寫成.后來，這些數(shù)字傳入阿拉伯，阿拉伯人覺得這些數(shù)字簡單、實用，就在自己的國家廣泛使用，并又傳到了歐洲.就這樣，慢慢變成了我們今天使用的數(shù)字.因為阿拉伯人在傳播這些數(shù)字上發(fā)揮了很大的作用，人們就習慣了稱這種數(shù)字為阿拉伯數(shù)字” .小明聽了說：“原來是這樣.媽媽，這可不可以叫做將錯就錯呢？”媽媽笑了.、和的本領(lǐng)很久以前，數(shù)學王國比較混亂.09十個兄弟不僅在王國稱霸，而且彼此吹噓自己

47、的本領(lǐng)最大.數(shù)學天使看到這種情況很生氣，派、和三個小天使到數(shù)學王國建立次序，避免混亂.三個小天使來到數(shù)學王國，09十個兄弟輕蔑地看著它們.9問道：“你們?nèi)齻€來數(shù)學王國干什么，我們不歡迎你們！” 笑著說：“我們是天使派到你們王國的法官，幫你們治理好你們國家.我是等號，這兩位是大于號和小于號，它們開口朝誰，誰就大；它們尖尖朝誰，誰就小.”09十個兄弟聽說它們是天使派來的法官，就乖乖地服從、和的命令.從此，數(shù)學王國有了嚴格的次序，任何人不會違反.數(shù)學家華羅庚華羅庚是一位只有初中文憑的世界一流數(shù)學家.他1910年11月12日出生于江蘇省金壇縣.他小時候?qū)W習很刻苦，初中畢業(yè)升入上海中華職業(yè)學校后，由于繳

48、不起學費而失學，失學后他在小雜貨店做記賬員.與此同時，他堅持自學數(shù)學，到處借書、抄書，并養(yǎng)成了“啃”數(shù)學難題的習慣.他用五年時間自學了高中的課程，又用兩年時間自學了大學的全部課程.他先后在國內(nèi)外幾所大學任教，19歲時開始發(fā)表論文，先后發(fā)表了幾十篇論文，成為著名的數(shù)學家.華羅庚爺爺于1985年6月在訪問日本時不幸逝世.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫日記本引他走向成才路雅各布伯努利是歐洲著名的數(shù)學家，他于1654年出生在瑞士的巴塞爾.從13歲開始，雅各布悄悄地寫起了日記，他把自己在學習中所取得的收獲及遇到的難題，統(tǒng)統(tǒng)記了下來.翻開他的日記，有閱讀書報雜志的體會，有與別人討論數(shù)學問題時得到的啟發(fā)，有解決數(shù)學難題

49、突發(fā)的奇想日記成了雅各布學習數(shù)學的問題集，解決問題的思路集、辦法集，研究數(shù)學問題的收獲集、成果集.雅各布對數(shù)學的執(zhí)著追求，終于使他走上了研究數(shù)學的道路.他33歲就成為巴塞爾大學數(shù)學教授.摘自互聯(lián)網(wǎng)百度文庫數(shù)學家陳景潤的故事（1）一本讀了20多遍的書堆壘素數(shù)論陳景潤讀書的方法很特別，他成名之后在一篇文章中談到：“我讀書不只滿足于讀懂，而是要把讀懂的東西背得滾瓜爛熟，熟能生巧嘛！”.我國著名的文學家魯迅先生把他搞文學創(chuàng)作的經(jīng)驗總結(jié)成四句話：“靜觀默察，爛熟于心，凝思結(jié)想，然后一揮而就.”當時我走的就是這樣一條路子！當時我能把數(shù)、理、化的許多概念、公式、定理，一一裝在自己的腦海里，隨手拈來應(yīng)用.拆開

50、書一頁頁地讀，堆壘素數(shù)論讀了20多遍.要把書讀到滾瓜爛熟，是需要極大的毅力的，尤其是數(shù)學方面的書，沒有故事情節(jié)，只有抽象的數(shù)學公式和符號.但是在陳景潤眼中，卻閃爍著幽遠、神奇的異彩.不少數(shù)學著作又大又厚，攜帶十分不便，陳景潤就把它一頁頁拆開來，隨時帶在身上，走到哪里讀到哪里.這位可愛的“書癡”奇怪的讀書方法，曾引起了一場小小的誤會：數(shù)學系的老師時常看到陳景潤拿著一頁頁散開的書在苦讀，以為他把資料室的書拆掉了.后來，經(jīng)過查實，陳景潤拆的書全是自己的，對于公家的書，他惜之如金，從不去拆.公私分明，數(shù)學家的邏輯同樣是毫不含糊.我們不得不佩服陳景潤腳踏實地的精神，他把魯迅先生的做學問的經(jīng)驗融入到了數(shù)學

51、研究之中.他在資料室工作期間，讀過多少書，很難計算，也無法計算.陳景潤知道知識的積累，需要有一個循序漸進的過程，科學高峰的攀登，更需要打下堅實而深厚的功底.他這一段時間的鉆研苦讀，是為日后的騰飛一搏奠定了的堅實基礎(chǔ)，是非常關(guān)鍵的. 刻苦研讀華羅庚的堆壘素數(shù)論20多遍 ,陳景潤回廈大后，他曾問廈大的教授李文清，我應(yīng)該讀什么書？李文清告訴他應(yīng)讀華羅庚的堆壘素數(shù)論.李文清說，陳景潤將華羅庚的這本書讀了近20遍，反復演算，并寫出了第一篇論文他利問題. 據(jù)陳景潤自己回憶：“堆壘素數(shù)論我一共讀了二十多遍，重要的章節(jié)甚至閱讀過四十遍以上，華先生著作中的每一個定理我都記在腦子里了.”當時陳景潤口袋了經(jīng)常裝有紙

52、片和拆成幾頁的書，以便隨時拿出來看，他開會前念，吃飯后念，空襲報警時在防空壕念，甚至走著路也念，反復揣摩、鉆研，直到爛熟于胸.像一塊磚那么厚的華羅庚的數(shù)學名著堆壘素數(shù)論，被陳景潤一頁頁拆開了.他一個字一個字地研究，整整讀了20多遍，幾乎達到了滾瓜爛熟的地步.華氏的這本專著，是當代數(shù)論精萃匯聚的結(jié)晶.對于其中的每一個公式、定理，陳景潤都進行反復的計算、核實.住在勤業(yè)齋的人們，只看到陳景潤的門一天到晚都關(guān)著，偶爾，看到他出來買飯，人影一閃，又進了那間只有七平方米的小屋.生活被陳景潤簡化得只剩下二個字：數(shù)論.他日夜兼程地馳騁于數(shù)論的天地里.睡眠很少.陳景潤有一套獨特的作息理論，在他的頭腦里，沒有失眠

53、二字，他多次對人說過：失眠，就意味著不需要睡覺，那就爬起來工作吧！他困了，和衣一躺，一醒來，又繼續(xù)工作.人們出于關(guān)心或好奇，有時也到陳景潤的小屋中去看看，遍地都是草稿紙.數(shù)論的許多領(lǐng)域，是靠極為抽象的推理演算的，演算了多少道題，連他自己也沒法計算了.只有陳景潤，才能領(lǐng)略其中的苦澀和樂趣. 對于陳景潤的研究方法他自己曾這樣總結(jié)：“白天拆書，晚上裝書，我就像玩鐘表那樣，白天把它拆開，晚上在一個原件一個原件地裝回去，裝上了，你才懂了.” “做研究就像登山，很多人沿著一條山路爬上去，到了最高點就滿足了.可我常常要試10條山路，然后比較那條山路爬得最高.凡是別人走過的路，我都試過了，所以我知道每條路能爬

54、多高.” 說到這里，你就會明白，為什么能夠改進華羅庚的方法的是陳景潤，為什么他能夠攀上攻克哥德巴赫猜想高峰的第二階梯. 對馬克思“在科學上沒有平坦的大道，只有不畏勞苦沿著陡峭山路攀登的人，才有希望達到光輝的頂點”的格言，陳景潤是有親身體驗的. 李文清老師家里至今還珍藏著一本數(shù)學系的科學研究題目登記本，第一頁便是陳景潤報的他利問題，他用藍色鋼筆工整地寫著“研究三角和方法，改進華羅庚先生結(jié)果”，至于目的，他寫的是“論文”，時間是1956年. （2）陳景潤叔叔是我國有名的數(shù)學家.他不愛玩公園，不愛逛馬路，就愛學習.學習起來，常常忘記了吃飯睡覺. 有一天，陳景潤叔叔吃中飯的時候，摸摸腦袋，哎呀，頭發(fā)太

55、長了，應(yīng)該快去理一理，要不，人家看見了，還當是個姑娘呢.于是，他放下飯碗，就跑到理發(fā)店去了. 理發(fā)店里人很多，大家挨著次序理發(fā).陳景潤叔叔拿的牌子是三十八號的小牌子.他想：輪到我還早著哩.時間是多么寶貴啊，我可不能白白浪費掉.他趕忙走出理發(fā)店，找了個安靜的地方坐下來，然后從口袋里掏出個小本子，背起外文生字來.他背了一會，忽然想起上午讀外文的時候，有個地方?jīng)]看懂.不懂的東西，一定要把它弄懂，這是陳景潤叔叔的脾氣.他看了看手表，才十二點半.他想：先到圖書館去查一查，再回來理發(fā)還來得及，站起來就走了.誰知道，他走了不多久，就輪到他理發(fā)了.理發(fā)員叔叔大聲地叫：“三十八號！誰是三十八號？快來理發(fā)！”你想想，陳景潤叔叔正在圖書館里看書，他能聽見理發(fā)員叔叔喊三十八號嗎？ 過了好些時間，陳景潤叔叔在圖書館里，把不懂的東西弄懂了，這才高高興興地往理發(fā)店走