均勻設(shè)計(jì)及其應(yīng)用（均勻設(shè)計(jì)分會(huì)）

1、1 中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)均勻設(shè)計(jì)分會(huì) 沐浴在改革開(kāi)發(fā)的陽(yáng)光下，神州大地生機(jī)盎然，新生事物層出不窮。在科教興 國(guó)建設(shè)四化的過(guò)程中，人們熟悉的那些傳統(tǒng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，已不能充分滿足 快節(jié)奏高效率的要求。新時(shí)期呼喚新思維新方法。 中國(guó)科學(xué)家巧妙的將“數(shù)論方法”和“統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)”相結(jié)合，發(fā)明了一種全 新的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，這就是均勻設(shè)計(jì)法。 均勻設(shè)計(jì)法誕生於年。由中國(guó)著名數(shù)學(xué)家方開(kāi)泰方開(kāi)泰教授和王王 元元院士合作共同發(fā)明。 前言 2 均勻設(shè)計(jì)是一種試驗(yàn)設(shè) 計(jì) 方法。它可以用較少的試 驗(yàn)次數(shù)，安排多因素、多水平 的析因試 驗(yàn)，是在均勻性的 度量下最好的析因試驗(yàn)設(shè)計(jì)方 法。均勻設(shè)計(jì)也是仿真試驗(yàn)設(shè) 計(jì)和穩(wěn)健設(shè)計(jì)的重要方法

2、。 3 - 1 - 4 使用方法 我們通過(guò)制藥工業(yè)中的一個(gè)實(shí)例, 來(lái)看均勻 設(shè)計(jì)表的使用方法。 例例1.11.1 :阿魏酸的制備 5 這就是說(shuō)以阿魏酸的產(chǎn)量作為目標(biāo) Y。 阿魏酸是某些藥品的主要成分，在制備過(guò)程 中，我們想增加其產(chǎn)量。 全面交叉試驗(yàn)要N=73=343次,太多了。 建議使用均勻設(shè)計(jì)。 有現(xiàn)成的均勻設(shè)計(jì)表，提供使用。參見(jiàn): 6 經(jīng)過(guò)分析研究，挑選出因素和試驗(yàn)區(qū)域，為 原料配比:1.0-3.4 吡啶總量:10-28 反應(yīng)時(shí)間:0.5-3.5 確定了每個(gè)因素相應(yīng)的水平數(shù)為7。如何安排試驗(yàn)?zāi)? “方開(kāi)泰,均勻設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)表,科學(xué)出版社(1994).” 之附表 1 網(wǎng)絡(luò)地址:http:/

3、.hk/UniformDesign 也可以瀏覽如下網(wǎng)頁(yè) 因素 x1 原料配比 x2 吡碇總量 (ml) x3 反應(yīng)時(shí)間 (hr) 1.0100.5 水1.4131.0 1.8161.5 2.2192.0 平2.6222.5 3.0253.0 3.4283.5 第第1步步: 將試驗(yàn)因素的水平列成下表： 表表 1.1.1: 7 第第2步步: : 選擇相應(yīng)的均勻設(shè)計(jì)表. 每個(gè)均勻設(shè)計(jì)表有一個(gè)記號(hào)，它有如下的含義: Un(qs) 均勻設(shè)計(jì) 試驗(yàn)次數(shù) 水平數(shù) 因素的最大數(shù) 8 例如: )7( 4 7 U No.1234 11236 22465 33624 44153 5

4、5312 66541 77777 )9( 4 9 U No.1234 11213 22545 33987 44369 55471 66726 77194 88638 99852 表表 1.1.2: 表表 1.1.3: 9 每個(gè)表還有一個(gè)使用表，將建議我們?nèi)绾芜x擇適當(dāng)?shù)?列。其中偏差為均勻性的度量值，數(shù)值小的設(shè)計(jì) 表示均勻性好。例如 U7 (74)的使用表為, 因素?cái)?shù)列號(hào)偏差 21, 30.2398 31, 2, 30.3721 41, 2, 3, 40.4760 No.1234 11236 22465 33624 44153 55312 66541 77777 No.123 1123 2246

5、 3362 4415 5531 6654 7777 ) 4 7( 7 U表表 1.1.4:表表1.1.2: 10 第第3步步: 應(yīng)用選擇的 UD-表, 做出試驗(yàn)安排。 No.123 1123 2246 3362 4415 5531 6654 7777 1. 將 x1, x2和 x3放入列1, 和3. x1 x2 x3 2用x1的個(gè)水平替代第 一列的1到 7. 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 3. 對(duì)第二列，第三列做同樣 的替代. 13 1.5 19 3.0 25 1.0 10 2.5 16 0.5 22 2.0 28 3.5 4. 完成該設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)， 得到個(gè)結(jié)果，將

6、其放入最 后一列. y 0.330 0.366 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482 表表 1.1.5: 11 第第 4步步: 用回歸模型匹配數(shù)據(jù) 首先，考慮線性回歸模型: 這個(gè)結(jié)果與人們的經(jīng)驗(yàn)不符。 ) 1 . 1 . 1 ( 3322110 xxxy 使用回歸分析中變量篩選的方法，比如向后法，得到 推薦的模型為： )2 . 1 . 1 (0792. 02142. 0 3 xy 12 然后，我們嘗試用二次回歸模型來(lái)匹配這些數(shù)據(jù)： 使用向前的變量選擇法，我們發(fā)現(xiàn)適宜的模型： (1.1.3) 322331132112 2 333 2 222 2 1113322110 xxx

7、xxx xxxxxxy )4 .1 .1 (0235.006.025.006232.0 31 2 33 xxxxy 13 來(lái)源來(lái)源dfSSMSFp 回歸30.062190 0.02073043.880.006 誤差30.014170 0.000472 總和60.063608 表表 1.1.6: 方差分析（方差分析（ANOVA） 表表 的示意圖殘差與 y 狀態(tài)是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。 圖圖1.1.1: y yy 14 .88.4,64.5,41.6 ,02174.0,978.0 31 2 3 3 2 xx x x ttt sR具有 模型)4 . 1 . 1 (0235. 0

8、06. 025. 006232. 0 31 2 33 xxxxy 中的三項(xiàng)，在 5%的水平下都是顯著的。 圖 1.1.2a 匹配圖圖 1.1.2b 正態(tài) Q-Q 圖 圖 1.1.2c偏回歸圖 15 第第5步步: : 優(yōu)化 - 尋找最佳的因素水平組合 表1.1.5的設(shè)計(jì)是73=343個(gè)全面試驗(yàn)的部分實(shí)施, 其中最好 的試驗(yàn)點(diǎn)是值為Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。 人們想找到滿足下式的x1*和 x3* : ),( max),( 31 * 3 * 1 xxYxxY 這里求取max的區(qū)域?yàn)椋?5 . 35 . 0, 4 . 31 31 xx 31 2 3331 0235.006.025

9、.006232.0),( xxxxxxY且 16 x1x3的回歸系數(shù)是正的，x3的回歸系數(shù)也是正的, x1* = 3.4. 2 333 06. 03309. 006232. 0), 4 . 3( xxxY 在x3* = 2.7575達(dá)到最大值 。 圖圖 1.1.3 等值線圖等值線圖 (x1*,x3*) 在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575處估計(jì)響應(yīng)的最大值是 51.85% 。它 比個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的最好值48.2%還大。 17 討論討論: 因素因素 x2 沒(méi)有給響應(yīng)沒(méi)有給響應(yīng)Y予顯著的貢獻(xiàn)，我們可以選予顯著的貢獻(xiàn)，我們可以選x2為為 其中點(diǎn)其中點(diǎn)x2 = 19 ml. 求出的求出的x1*

10、= 3.4 在邊界上在邊界上, 我們需要擴(kuò)大我們需要擴(kuò)大x1的試驗(yàn)上限的試驗(yàn)上限。 在在x1 = 3.4和和 x3 = 2.7575的鄰域的鄰域, ,追加一些追加一些試驗(yàn)是必要的。試驗(yàn)是必要的。 18 在第步，一些優(yōu)化算法是很有用的。 混合型水平的均勻設(shè)計(jì)混合型水平的均勻設(shè)計(jì) 試驗(yàn)中各因素若有不同水平數(shù)，比如，其 水平數(shù)分別為q1，qk。 19 這時(shí)應(yīng)使用相應(yīng)的均勻設(shè)計(jì)表。見(jiàn) “方開(kāi)泰,均勻設(shè)計(jì)與均勻設(shè)計(jì)表,科學(xué)出版(1994).” 之附表2 每個(gè)混合水平表有一個(gè)記號(hào)，含義為： Un(q1 qk ) 均勻設(shè)計(jì) 試驗(yàn)次數(shù) 各定量因素 之水平數(shù) 定量因素 的最大數(shù) 20 下表是一個(gè)混合水平均勻設(shè)計(jì)

11、表: 21 它的試驗(yàn)數(shù) 為 12。可以安 排水平數(shù)為、 、的因素 各一個(gè)。 123 1123 2132 3251 4264 5312 6331 7444 8463 9511 10524 11643 12652 U12(62 4) 此表也是混合水平均勻設(shè)計(jì)表。 22 它的試驗(yàn)數(shù) 為 12?？梢园?排二個(gè)6水平因 素和一個(gè)4水平 因素的設(shè)計(jì)。 - 2 - 23 使用方法 考慮考慮4 4個(gè)因素：個(gè)因素： 平均施肥量X，分為12個(gè)水平 (70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114)。 種子播種前浸種時(shí)間T，分為6個(gè)水平(1,2,3,4,5,6)。 土壤類型B，分4種

12、B1，B2，B3，B4。 種子品種A，分3個(gè)A1，A2，A3。 對(duì)某農(nóng)作物產(chǎn)量的影響對(duì)某農(nóng)作物產(chǎn)量的影響, , 前兩個(gè)為定量因素，后兩個(gè)為定性因素。 24 例例2 2 .1:在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中 如何安排試驗(yàn)，引出了下面的內(nèi)容。 混合型因素混合型水平的均勻設(shè)計(jì)混合型因素混合型水平的均勻設(shè)計(jì) 一般情況下試驗(yàn)中既有定量型連續(xù)變化因 素，又有定性型狀態(tài)變化因素。 假設(shè)有k個(gè)定量因素X1,Xk； 這k個(gè)因素可化為k個(gè)連續(xù)變量， 其水平數(shù)分別為q1，qk。 又有t個(gè)定性因素G1,Gt， 這t個(gè)定性因素分別有d1，dt個(gè)狀態(tài)。 25 人們使用“擬水平法”，或用優(yōu)化方法計(jì)算，求出相應(yīng)的 均勻設(shè)計(jì)表。 這種混合因素混

13、合水平表有如下的記號(hào)和含義： Un(q1 qk d1 dt ) 均勻設(shè)計(jì) 試驗(yàn)次數(shù) 各定性因素 之水平數(shù) 定性因素 的最大數(shù) 各定量因素 之水平數(shù) 定量因素 的最大數(shù) 26 U12(12643 2 ) 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12

14、 6 4 2 3 2 2 27 例： 次試驗(yàn)。 可以安排個(gè) 水平數(shù)為12和 6的定量因素， 以及總數(shù)為 的一個(gè)水平 為4、兩個(gè)水 平為3和兩個(gè) 水平為2的定 性因素的設(shè)計(jì)。 U12(12643 ) 28 表 2.1.1 2461212 1351111 2241010 11399 34288 13177 32666 11555 34444 23333 32222 21111 4321 我們選均勻設(shè)計(jì)表 2.1.1安排此試驗(yàn) 第一列安排平均施肥 量X，分為12個(gè)水 平 第二列安排種子播種 前浸種時(shí)間T，分 為6個(gè)水平 第三列安排土壤類型 B，分4種B1，B2， B3，B4。 第四列安排種子品種 A

15、，分3個(gè)A1，A2， A3。 9746114 10625110 12204106 11873102 1069298 1053194 1271690 1111586 927482 899378 901274 771170 24 13 22 11 34 13 32 11 34 23 32 21 AB AB AB AB AB AB AB AB AB AB AB AB ABTX值 試驗(yàn)的安排及結(jié)果如表2.1.2 29 為了進(jìn)行分析，我們引進(jìn)5個(gè)偽變量。它們的記 號(hào)和取值如下： 30 它們和 、 一起進(jìn)行回歸分析。 B因素的 ) 000100010001 ( 31 z ) 001000100010 (

16、32 z ) 010001000100 ( 33 z ) 010101010000 ( 41 z ) 101000000101 ( 42 z A因素的 回歸方程如下回歸方程如下: 0000061141 1110051101 0001041061 1100131021 000002981 011001941 000106901 010015861 000004821 101003781 000102741 100011701 974 1062 1220 1187 1069 1053 1271 1111 927 899 901 771 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e e

17、e e e e e e e e e e 7 6 5 4 3 2 1 0 427416335324313210 ZZZZZTXy + = 31 84.1 8753.0 875.168 50.124 45.144 98.208 09.231 625.12 54.8 96.158 7 6 5 4 3 2 1 0 F R 不顯著。需進(jìn)一步考慮高階回歸項(xiàng)。 若我們考慮除主效應(yīng)外，再多考慮一個(gè)2次效 應(yīng)和一個(gè)交互效應(yīng)。這時(shí)回歸方程化為 32 解得 回歸系數(shù)的 最小二乘估 計(jì)及其和 值為： 0114 0110 4106 0102 098 094 690 086 082 078 274 070 0000061

18、141 1110051101 0001041061 1100131021 000002981 011001941 000106901 010015861 000004821 101003781 000102741 100011701 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 974 1062 1220 1187 1069 1053 1271 1111 927 899 901 771 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e e e e e e e e e e e e 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 )( 329 2 8427416335324313210 ZTXZ

19、ZZZZTXy += 33 解得 5883.14170 0000. 1 0600.11 4937. 0 6920.41 3200.91 6902.101 7927.144 9875.199 8600. 9 8649.98 3642.3898 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 F R 非常顯著非常顯著 34 回歸系數(shù)的 最小二乘估 計(jì)及其和 值為： )( 329 2 8427416335324313210 ZtXZZZZZtXy 35 5883.14170 0000. 1 0600.11 4937. 0 6920.41 3200.91 6902.101 7927.144 9875.199

20、8600. 9 8649.98 3642.3898 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 F R 方程為: 其中 1.含變量x 的兩項(xiàng)與其它是分離的（即 可加的），最大值點(diǎn)在 x=100.127 。 2.含變量z41 z42 的兩項(xiàng)與其它是分離 的，最大值點(diǎn)在 z41=0 z42=0，即品種 3為好。 3.含變量 z31 z32 z33 的四項(xiàng)與其它 是分離的，最大值點(diǎn)可能在 z31=1 z32=0 z33=0 類型為1，=6 或 z31=0 z32=1 z33=0 類型為2， =6 比較后知道為后者。 所以得到最佳狀態(tài)組合為 施肥量X=100.127， 浸種時(shí)間T=6， 土壤類型B取2，

21、種子品種A取3， 此時(shí)最大值估計(jì)為 4515.1321 7929.144692.203642.3898 127.1008619.98127.1004937. 0 2 m y 36 一、表的選擇,因素及水平的安排 若試驗(yàn)中有k個(gè)定量因素和t個(gè)定性因素時(shí)，我們從 混合型均勻設(shè)計(jì)表中選出帶有s=k+t列的 Un(q1qkd1dt)表。 這里要求nk+d+1,其中d=(d1+dt -t). 為了給誤差留下自由度，其中的n最好不取等號(hào)。 表中前k列對(duì)應(yīng)k個(gè)連續(xù)變量， 表中后t列可安排定性因素。 安排n個(gè)試驗(yàn)，得到n個(gè)結(jié)果y1，y2，yn。 37 下面綜述應(yīng)注意的事項(xiàng)： 為了分析，首先要將定性因素之狀態(tài)，

22、依照 偽變量法， 將第i個(gè)因素分別化成(di-1)個(gè) 相對(duì)獨(dú)立的n維偽變量Zi1,Zi2,，Zi(di-1)。 將這總共d=(d1+dt-t)個(gè)偽變量與相應(yīng)的k個(gè) 連續(xù)變量X1，Xk一起進(jìn)行建模分析。 為了保證主效應(yīng)不蛻化，要對(duì)混合型均勻設(shè)計(jì) 表進(jìn)行挑選。 38 二、試驗(yàn)結(jié)果的回歸建模分析 如果不理想,則 39 ij t i di j ij k j jj ZXy 1 1 11 0 首先考察它們的一階回歸模型： 再考慮一些交互效應(yīng)，和一些連續(xù)變量的高次效應(yīng)。 顯然最多可考慮的附加效應(yīng)數(shù)為m個(gè)，這里 mn-(k+d-2) 值得指出的是，由于Zij *Zij=Zij ,因此無(wú)需 考慮偽變量的高階效應(yīng)

23、,只考慮連續(xù)變量的高 次效應(yīng)即可. 又因?yàn)閆ij1*Zij2=0,j1j2時(shí),因此也無(wú)需考慮 同一狀態(tài)因素內(nèi)的偽變量間的交互效應(yīng)。 只有i1i2時(shí),才有可能使Zi1j1*Zi2j20，即 不同狀態(tài)因素間的交互效應(yīng)可能要考慮.。 此外，不要忘記考慮連續(xù)變量與偽變量的交互 效應(yīng)。 至于 三個(gè)以上的狀態(tài)因素間 的交互效應(yīng)項(xiàng) Zi1j1*Zi2j2*Zi3j30的可能性就更少了。 40 - 3 - 41 使用方法 許多產(chǎn)品都是混合多種成分在一起形成的。 面粉 水糖 蔬菜汁 椰子汁 鹽 發(fā)酵粉 乳酸 鈣 咖啡粉 香料 色素 咖啡面包咖啡面包 怎樣確定各種成分的比例呢？ 經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)試驗(yàn)試驗(yàn)混料試驗(yàn)混料試驗(yàn)

24、混料配方均勻設(shè)計(jì)混料配方均勻設(shè)計(jì) 42 有 s 個(gè)因素: X1, , Xs 滿足 Xi 0, i = 1, , s 和 X1 + + Xs = 1. 試驗(yàn)區(qū)域?yàn)閱渭冃?Ts = (x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 + + xs = 1. 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì) (Scheffe, 1958) . 單純形重心設(shè)計(jì)(Scheffe, 1963) . 軸設(shè)計(jì)(Cornell, 1975) 人們提出了許多混料設(shè)計(jì)方法，如 43 例如, 成分?jǐn)?shù) s = 3 單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)單純形重心設(shè)計(jì) d 軸設(shè)計(jì) 這些設(shè)計(jì)的全面評(píng)價(jià)請(qǐng)參考： Cornell, J. A. (1990). Ex

25、periments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York. 44 混料均勻設(shè)計(jì)混料均勻設(shè)計(jì) 上述設(shè)計(jì)的弱點(diǎn)：上述設(shè)計(jì)的弱點(diǎn)： 許多點(diǎn)在Ts 的邊界上； 給用戶設(shè)計(jì)的選擇不多。 混料均勻設(shè)計(jì)是要尋找在Ts上均勻散布的試驗(yàn)點(diǎn)。 問(wèn)題問(wèn)題: 怎樣設(shè)計(jì)這些試驗(yàn)點(diǎn)呢？ 變換方法 45 給定s-1維單位立方體C s-1上的均勻設(shè)計(jì)，且用 Ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n 表示。則進(jìn)行下列必要的 變換： (3.1.1) 1 1 1 1 1 1 1 1 s j

26、 kjks i j kjkiki js js is cx ccx xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n 是 Ts.上的均勻設(shè)計(jì)。 46 變換方法 例例3.13.1 構(gòu)造T3 上帶有11 個(gè)(配方)試驗(yàn)點(diǎn)的均勻設(shè)計(jì)。 假設(shè)我們選用 U11(112) 和相關(guān)的 Ck, k = 1, ,11: , 511 1010 29 88 67 36 115 14 73 92 41 )11( 2 11 U 11 5 . 0 k k ; 4091.09545.0 8636.08636.0 1364.07727.0 6818.06818.0 5000.05909.0 2273.05000.0 95

27、45.04091.0 0455.03182.0 5909.02273.0 7727.01364.0 3182.00455.0 c 47 變換公式 (4.1) 現(xiàn)在成為: (3.1.2) . );1 ( ;1 213 212 11 kkk kkk kk ccx ccx cx . 3997. 05773. 00230. 0 8026. 01267. 00707. 0 1199. 07592. 01210. 0 5630. 02627. 01743. 0 3844. 03844. 02313. 0 1607. 05464. 02929. 0 6105. 00291. 03604. 0 0256. 0

28、5384. 04359. 0 2817. 01950. 05233. 0 2853. 00839. 06307. 0 0678. 01454. 07868. 0 ),( 321 kkk xxxx 用這個(gè)變換公式, 正方形0,12上的均勻設(shè)計(jì) Ck = (ck1, ck2), k = 1, ,11 導(dǎo)出T3上的均勻設(shè)計(jì) Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ,11 如下: 48 區(qū)域 T3 是一個(gè)邊長(zhǎng)為 的等邊三角形,用 V2 表示。2 1 11 T3 x1 x2 x3 T3 可以證明：V2 上的任何點(diǎn) (z1, z2) 到V2的三條邊之距離d1, d2和 d3,滿足 d1+d2+d3 = 1. d1 d2 d3 因此，