均勻設(shè)計及其應用（均勻設(shè)計分會）

1、1 中國數(shù)學會均勻設(shè)計分會 沐浴在改革開發(fā)的陽光下，神州大地生機盎然，新生事物層出不窮。在科教興 國建設(shè)四化的過程中，人們熟悉的那些傳統(tǒng)的試驗設(shè)計方法，已不能充分滿足 快節(jié)奏高效率的要求。新時期呼喚新思維新方法。 中國科學家巧妙的將“數(shù)論方法”和“統(tǒng)計試驗設(shè)計”相結(jié)合，發(fā)明了一種全 新的試驗設(shè)計方法，這就是均勻設(shè)計法。 均勻設(shè)計法誕生於年。由中國著名數(shù)學家方開泰方開泰教授和王王 元元院士合作共同發(fā)明。 前言 2 均勻設(shè)計是一種試驗設(shè) 計 方法。它可以用較少的試 驗次數(shù)，安排多因素、多水平 的析因試 驗，是在均勻性的 度量下最好的析因試驗設(shè)計方 法。均勻設(shè)計也是仿真試驗設(shè) 計和穩(wěn)健設(shè)計的重要方法

2、。 3 - 1 - 4 使用方法 我們通過制藥工業(yè)中的一個實例, 來看均勻 設(shè)計表的使用方法。 例例1.11.1 :阿魏酸的制備 5 這就是說以阿魏酸的產(chǎn)量作為目標 Y。 阿魏酸是某些藥品的主要成分，在制備過程 中，我們想增加其產(chǎn)量。 全面交叉試驗要N=73=343次,太多了。 建議使用均勻設(shè)計。 有現(xiàn)成的均勻設(shè)計表，提供使用。參見: 6 經(jīng)過分析研究，挑選出因素和試驗區(qū)域，為 原料配比:1.0-3.4 吡啶總量:10-28 反應時間:0.5-3.5 確定了每個因素相應的水平數(shù)為7。如何安排試驗呢? “方開泰,均勻設(shè)計與均勻設(shè)計表,科學出版社(1994).” 之附表 1 網(wǎng)絡(luò)地址:http:/

3、.hk/UniformDesign 也可以瀏覽如下網(wǎng)頁 因素 x1 原料配比 x2 吡碇總量 (ml) x3 反應時間 (hr) 1.0100.5 水1.4131.0 1.8161.5 2.2192.0 平2.6222.5 3.0253.0 3.4283.5 第第1步步: 將試驗因素的水平列成下表： 表表 1.1.1: 7 第第2步步: : 選擇相應的均勻設(shè)計表. 每個均勻設(shè)計表有一個記號，它有如下的含義: Un(qs) 均勻設(shè)計 試驗次數(shù) 水平數(shù) 因素的最大數(shù) 8 例如: )7( 4 7 U No.1234 11236 22465 33624 44153 5

4、5312 66541 77777 )9( 4 9 U No.1234 11213 22545 33987 44369 55471 66726 77194 88638 99852 表表 1.1.2: 表表 1.1.3: 9 每個表還有一個使用表，將建議我們?nèi)绾芜x擇適當?shù)?列。其中偏差為均勻性的度量值，數(shù)值小的設(shè)計 表示均勻性好。例如 U7 (74)的使用表為, 因素數(shù)列號偏差 21, 30.2398 31, 2, 30.3721 41, 2, 3, 40.4760 No.1234 11236 22465 33624 44153 55312 66541 77777 No.123 1123 2246

5、 3362 4415 5531 6654 7777 ) 4 7( 7 U表表 1.1.4:表表1.1.2: 10 第第3步步: 應用選擇的 UD-表, 做出試驗安排。 No.123 1123 2246 3362 4415 5531 6654 7777 1. 將 x1, x2和 x3放入列1, 和3. x1 x2 x3 2用x1的個水平替代第 一列的1到 7. 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 3. 對第二列，第三列做同樣 的替代. 13 1.5 19 3.0 25 1.0 10 2.5 16 0.5 22 2.0 28 3.5 4. 完成該設(shè)計對應的試驗， 得到個結(jié)果，將

6、其放入最 后一列. y 0.330 0.366 0.294 0.476 0.209 0.451 0.482 表表 1.1.5: 11 第第 4步步: 用回歸模型匹配數(shù)據(jù) 首先，考慮線性回歸模型: 這個結(jié)果與人們的經(jīng)驗不符。 ) 1 . 1 . 1 ( 3322110 xxxy 使用回歸分析中變量篩選的方法，比如向后法，得到 推薦的模型為： )2 . 1 . 1 (0792. 02142. 0 3 xy 12 然后，我們嘗試用二次回歸模型來匹配這些數(shù)據(jù)： 使用向前的變量選擇法，我們發(fā)現(xiàn)適宜的模型： (1.1.3) 322331132112 2 333 2 222 2 1113322110 xxx

7、xxx xxxxxxy )4 .1 .1 (0235.006.025.006232.0 31 2 33 xxxxy 13 來源來源dfSSMSFp 回歸30.062190 0.02073043.880.006 誤差30.014170 0.000472 總和60.063608 表表 1.1.6: 方差分析（方差分析（ANOVA） 表表 的示意圖殘差與 y 狀態(tài)是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。 圖圖1.1.1: y yy 14 .88.4,64.5,41.6 ,02174.0,978.0 31 2 3 3 2 xx x x ttt sR具有 模型)4 . 1 . 1 (0235. 0

8、06. 025. 006232. 0 31 2 33 xxxxy 中的三項，在 5%的水平下都是顯著的。 圖 1.1.2a 匹配圖圖 1.1.2b 正態(tài) Q-Q 圖 圖 1.1.2c偏回歸圖 15 第第5步步: : 優(yōu)化 - 尋找最佳的因素水平組合 表1.1.5的設(shè)計是73=343個全面試驗的部分實施, 其中最好 的試驗點是值為Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。 人們想找到滿足下式的x1*和 x3* : ),( max),( 31 * 3 * 1 xxYxxY 這里求取max的區(qū)域為： 5 . 35 . 0, 4 . 31 31 xx 31 2 3331 0235.006.025

9、.006232.0),( xxxxxxY且 16 x1x3的回歸系數(shù)是正的，x3的回歸系數(shù)也是正的, x1* = 3.4. 2 333 06. 03309. 006232. 0), 4 . 3( xxxY 在x3* = 2.7575達到最大值 。 圖圖 1.1.3 等值線圖等值線圖 (x1*,x3*) 在x1* = 3.4和 x3* = 2.7575處估計響應的最大值是 51.85% 。它 比個試驗點的最好值48.2%還大。 17 討論討論: 因素因素 x2 沒有給響應沒有給響應Y予顯著的貢獻，我們可以選予顯著的貢獻，我們可以選x2為為 其中點其中點x2 = 19 ml. 求出的求出的x1*

10、= 3.4 在邊界上在邊界上, 我們需要擴大我們需要擴大x1的試驗上限的試驗上限。 在在x1 = 3.4和和 x3 = 2.7575的鄰域的鄰域, ,追加一些追加一些試驗是必要的。試驗是必要的。 18 在第步，一些優(yōu)化算法是很有用的。 混合型水平的均勻設(shè)計混合型水平的均勻設(shè)計 試驗中各因素若有不同水平數(shù)，比如，其 水平數(shù)分別為q1，qk。 19 這時應使用相應的均勻設(shè)計表。見 “方開泰,均勻設(shè)計與均勻設(shè)計表,科學出版(1994).” 之附表2 每個混合水平表有一個記號，含義為： Un(q1 qk ) 均勻設(shè)計 試驗次數(shù) 各定量因素 之水平數(shù) 定量因素 的最大數(shù) 20 下表是一個混合水平均勻設(shè)計

11、表: 21 它的試驗數(shù) 為 12?？梢园?排水平數(shù)為、 、的因素 各一個。 123 1123 2132 3251 4264 5312 6331 7444 8463 9511 10524 11643 12652 U12(62 4) 此表也是混合水平均勻設(shè)計表。 22 它的試驗數(shù) 為 12?？梢园?排二個6水平因 素和一個4水平 因素的設(shè)計。 - 2 - 23 使用方法 考慮考慮4 4個因素：個因素： 平均施肥量X，分為12個水平 (70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114)。 種子播種前浸種時間T，分為6個水平(1,2,3,4,5,6)。 土壤類型B，分4種

12、B1，B2，B3，B4。 種子品種A，分3個A1，A2，A3。 對某農(nóng)作物產(chǎn)量的影響對某農(nóng)作物產(chǎn)量的影響, , 前兩個為定量因素，后兩個為定性因素。 24 例例2 2 .1:在農(nóng)業(yè)試驗中 如何安排試驗，引出了下面的內(nèi)容。 混合型因素混合型水平的均勻設(shè)計混合型因素混合型水平的均勻設(shè)計 一般情況下試驗中既有定量型連續(xù)變化因 素，又有定性型狀態(tài)變化因素。 假設(shè)有k個定量因素X1,Xk； 這k個因素可化為k個連續(xù)變量， 其水平數(shù)分別為q1，qk。 又有t個定性因素G1,Gt， 這t個定性因素分別有d1，dt個狀態(tài)。 25 人們使用“擬水平法”，或用優(yōu)化方法計算，求出相應的 均勻設(shè)計表。 這種混合因素混

13、合水平表有如下的記號和含義： Un(q1 qk d1 dt ) 均勻設(shè)計 試驗次數(shù) 各定性因素 之水平數(shù) 定性因素 的最大數(shù) 各定量因素 之水平數(shù) 定量因素 的最大數(shù) 26 U12(12643 2 ) 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12

14、 6 4 2 3 2 2 27 例： 次試驗。 可以安排個 水平數(shù)為12和 6的定量因素， 以及總數(shù)為 的一個水平 為4、兩個水 平為3和兩個 水平為2的定 性因素的設(shè)計。 U12(12643 ) 28 表 2.1.1 2461212 1351111 2241010 11399 34288 13177 32666 11555 34444 23333 32222 21111 4321 我們選均勻設(shè)計表 2.1.1安排此試驗 第一列安排平均施肥 量X，分為12個水 平 第二列安排種子播種 前浸種時間T，分 為6個水平 第三列安排土壤類型 B，分4種B1，B2， B3，B4。 第四列安排種子品種 A

15、，分3個A1，A2， A3。 9746114 10625110 12204106 11873102 1069298 1053194 1271690 1111586 927482 899378 901274 771170 24 13 22 11 34 13 32 11 34 23 32 21 AB AB AB AB AB AB AB AB AB AB AB AB ABTX值 試驗的安排及結(jié)果如表2.1.2 29 為了進行分析，我們引進5個偽變量。它們的記 號和取值如下： 30 它們和 、 一起進行回歸分析。 B因素的 ) 000100010001 ( 31 z ) 001000100010 (

16、32 z ) 010001000100 ( 33 z ) 010101010000 ( 41 z ) 101000000101 ( 42 z A因素的 回歸方程如下回歸方程如下: 0000061141 1110051101 0001041061 1100131021 000002981 011001941 000106901 010015861 000004821 101003781 000102741 100011701 974 1062 1220 1187 1069 1053 1271 1111 927 899 901 771 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e e

17、e e e e e e e e e e 7 6 5 4 3 2 1 0 427416335324313210 ZZZZZTXy + = 31 84.1 8753.0 875.168 50.124 45.144 98.208 09.231 625.12 54.8 96.158 7 6 5 4 3 2 1 0 F R 不顯著。需進一步考慮高階回歸項。 若我們考慮除主效應外，再多考慮一個2次效 應和一個交互效應。這時回歸方程化為 32 解得 回歸系數(shù)的 最小二乘估 計及其和 值為： 0114 0110 4106 0102 098 094 690 086 082 078 274 070 0000061

18、141 1110051101 0001041061 1100131021 000002981 011001941 000106901 010015861 000004821 101003781 000102741 100011701 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 974 1062 1220 1187 1069 1053 1271 1111 927 899 901 771 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 e e e e e e e e e e e e 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 )( 329 2 8427416335324313210 ZTXZ

19、ZZZZTXy += 33 解得 5883.14170 0000. 1 0600.11 4937. 0 6920.41 3200.91 6902.101 7927.144 9875.199 8600. 9 8649.98 3642.3898 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 F R 非常顯著非常顯著 34 回歸系數(shù)的 最小二乘估 計及其和 值為： )( 329 2 8427416335324313210 ZtXZZZZZtXy 35 5883.14170 0000. 1 0600.11 4937. 0 6920.41 3200.91 6902.101 7927.144 9875.199

20、8600. 9 8649.98 3642.3898 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 F R 方程為: 其中 1.含變量x 的兩項與其它是分離的（即 可加的），最大值點在 x=100.127 。 2.含變量z41 z42 的兩項與其它是分離 的，最大值點在 z41=0 z42=0，即品種 3為好。 3.含變量 z31 z32 z33 的四項與其它 是分離的，最大值點可能在 z31=1 z32=0 z33=0 類型為1，=6 或 z31=0 z32=1 z33=0 類型為2， =6 比較后知道為后者。 所以得到最佳狀態(tài)組合為 施肥量X=100.127， 浸種時間T=6， 土壤類型B取2，

21、種子品種A取3， 此時最大值估計為 4515.1321 7929.144692.203642.3898 127.1008619.98127.1004937. 0 2 m y 36 一、表的選擇,因素及水平的安排 若試驗中有k個定量因素和t個定性因素時，我們從 混合型均勻設(shè)計表中選出帶有s=k+t列的 Un(q1qkd1dt)表。 這里要求nk+d+1,其中d=(d1+dt -t). 為了給誤差留下自由度，其中的n最好不取等號。 表中前k列對應k個連續(xù)變量， 表中后t列可安排定性因素。 安排n個試驗，得到n個結(jié)果y1，y2，yn。 37 下面綜述應注意的事項： 為了分析，首先要將定性因素之狀態(tài)，

22、依照 偽變量法， 將第i個因素分別化成(di-1)個 相對獨立的n維偽變量Zi1,Zi2,，Zi(di-1)。 將這總共d=(d1+dt-t)個偽變量與相應的k個 連續(xù)變量X1，Xk一起進行建模分析。 為了保證主效應不蛻化，要對混合型均勻設(shè)計 表進行挑選。 38 二、試驗結(jié)果的回歸建模分析 如果不理想,則 39 ij t i di j ij k j jj ZXy 1 1 11 0 首先考察它們的一階回歸模型： 再考慮一些交互效應，和一些連續(xù)變量的高次效應。 顯然最多可考慮的附加效應數(shù)為m個，這里 mn-(k+d-2) 值得指出的是，由于Zij *Zij=Zij ,因此無需 考慮偽變量的高階效應

23、,只考慮連續(xù)變量的高 次效應即可. 又因為Zij1*Zij2=0,j1j2時,因此也無需考慮 同一狀態(tài)因素內(nèi)的偽變量間的交互效應。 只有i1i2時,才有可能使Zi1j1*Zi2j20，即 不同狀態(tài)因素間的交互效應可能要考慮.。 此外，不要忘記考慮連續(xù)變量與偽變量的交互 效應。 至于 三個以上的狀態(tài)因素間 的交互效應項 Zi1j1*Zi2j2*Zi3j30的可能性就更少了。 40 - 3 - 41 使用方法 許多產(chǎn)品都是混合多種成分在一起形成的。 面粉 水糖 蔬菜汁 椰子汁 鹽 發(fā)酵粉 乳酸 鈣 咖啡粉 香料 色素 咖啡面包咖啡面包 怎樣確定各種成分的比例呢？ 經(jīng)驗經(jīng)驗試驗試驗混料試驗混料試驗

24、混料配方均勻設(shè)計混料配方均勻設(shè)計 42 有 s 個因素: X1, , Xs 滿足 Xi 0, i = 1, , s 和 X1 + + Xs = 1. 試驗區(qū)域為單純形 Ts = (x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1 + + xs = 1. 單純形格子點設(shè)計 (Scheffe, 1958) . 單純形重心設(shè)計(Scheffe, 1963) . 軸設(shè)計(Cornell, 1975) 人們提出了許多混料設(shè)計方法，如 43 例如, 成分數(shù) s = 3 單純形格子點設(shè)計單純形重心設(shè)計 d 軸設(shè)計 這些設(shè)計的全面評價請參考： Cornell, J. A. (1990). Ex

25、periments with Mixtures: Designs, Models and the Analysis of Mixture Data. Wiley, New York. 44 混料均勻設(shè)計混料均勻設(shè)計 上述設(shè)計的弱點：上述設(shè)計的弱點： 許多點在Ts 的邊界上； 給用戶設(shè)計的選擇不多。 混料均勻設(shè)計是要尋找在Ts上均勻散布的試驗點。 問題問題: 怎樣設(shè)計這些試驗點呢？ 變換方法 45 給定s-1維單位立方體C s-1上的均勻設(shè)計，且用 Ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n 表示。則進行下列必要的 變換： (3.1.1) 1 1 1 1 1 1 1 1 s j

26、 kjks i j kjkiki js js is cx ccx xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n 是 Ts.上的均勻設(shè)計。 46 變換方法 例例3.13.1 構(gòu)造T3 上帶有11 個(配方)試驗點的均勻設(shè)計。 假設(shè)我們選用 U11(112) 和相關(guān)的 Ck, k = 1, ,11: , 511 1010 29 88 67 36 115 14 73 92 41 )11( 2 11 U 11 5 . 0 k k ; 4091.09545.0 8636.08636.0 1364.07727.0 6818.06818.0 5000.05909.0 2273.05000.0 95

27、45.04091.0 0455.03182.0 5909.02273.0 7727.01364.0 3182.00455.0 c 47 變換公式 (4.1) 現(xiàn)在成為: (3.1.2) . );1 ( ;1 213 212 11 kkk kkk kk ccx ccx cx . 3997. 05773. 00230. 0 8026. 01267. 00707. 0 1199. 07592. 01210. 0 5630. 02627. 01743. 0 3844. 03844. 02313. 0 1607. 05464. 02929. 0 6105. 00291. 03604. 0 0256. 0

28、5384. 04359. 0 2817. 01950. 05233. 0 2853. 00839. 06307. 0 0678. 01454. 07868. 0 ),( 321 kkk xxxx 用這個變換公式, 正方形0,12上的均勻設(shè)計 Ck = (ck1, ck2), k = 1, ,11 導出T3上的均勻設(shè)計 Xk = (xk1, xk2, xk3), k = 1, ,11 如下: 48 區(qū)域 T3 是一個邊長為 的等邊三角形,用 V2 表示。2 1 11 T3 x1 x2 x3 T3 可以證明：V2 上的任何點 (z1, z2) 到V2的三條邊之距離d1, d2和 d3,滿足 d1+d2+d3 = 1. d1 d2 d3 因此，