常微分方程在數(shù)學建模中的應用論文

1、畢 業(yè) 論 文論文題目：常微分方程在數(shù)學建模中的應用姓 名：學科專業(yè)：指導教師：完成時間：摘 要常微分方程是數(shù)學理論（特別是微積分）聯(lián)系實際的重要工具，它不僅與幾何學、力學、電子技術(shù)、自動控制、星際航行、甚至和化學、生物學、農(nóng)業(yè)以及經(jīng)濟學都有著密切的聯(lián)系。本文結(jié)合實踐背景，建立數(shù)學模型，并利用所得結(jié)果去解釋某些實際問題。關(guān)鍵字 常微分方程、人口預測模型、市場價格模型、混合溶液的數(shù)學模型、震動模型目 錄第一章 人口預測模型第二章 市場價格模型第三章 混合溶液的數(shù)學模型第四章 震動模型 緒 論當我們描述實際對象的某些特性隨時間（或空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預測它的未來性態(tài)，研究它的控制

2、手段時，通常要建立對象的動態(tài)模型。建模時首先要根據(jù)建模目的和對問題的具體分析作出簡化假設，然后按照對象內(nèi)在的或可以類比的其他對象的規(guī)律列出微分方程，求出方程的解并將結(jié)果翻譯回實際對象，就可以進行描述、分析、預測或控制了。事實上在微分方程課程中，解所謂應用題時我們遇到簡單的建立動態(tài)模型問題，例如“一質(zhì)量為m的物體自高h處自由下落，初速度是零，設阻力與下落速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，求下落速度隨時間的變化規(guī)律?！庇秩纭叭萜鲀?nèi)有鹽水100l,內(nèi)含鹽10kg,令以3l/min的速度從一管放進凈水，以2l/min的速度從另一管抽出鹽水，設容器內(nèi)鹽水濃度始終是均勻的，求容器內(nèi)含鹽量隨時間變化規(guī)律?！北?/p>

3、文討論的是常微分方程在數(shù)學建模中的應用。第一章 人口預測模型由于資源的有限性,當今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長,為了得到人口預測模型,必須首先搞清影響人口增長的因素,而影響人口增長的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災害、戰(zhàn)爭等諸多因素,如果一開始就把所有因素都考慮進去，則無從下手.因此,先把問題簡化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型. 例1（馬爾薩斯（malthus）模型） 英國人口統(tǒng)計學家馬爾薩斯（17661834）在擔任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計資料,發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個常數(shù),于1789年在人口原理一書中提出了聞名于世

4、的馬爾薩斯人口模型,他的基本假設是：在人口自然增長過程中,凈相對增長（出生率與死亡率之差）是常數(shù),即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比,比例系數(shù)設為,在此假設下,推導并求解人口隨時間變化的數(shù)學模型.解 設時刻的人口為,把當作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總數(shù)很大,可近似地這樣處理,此乃離散變量連續(xù)化處理）,據(jù)馬爾薩斯的假設,在到時間段內(nèi),人口的增長量為,并設時刻的人口為,于是 這就是馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為,此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長. 模型檢驗：據(jù)估計1961年地球上的人口總數(shù)為,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長,這樣, ,于是 .這個公式非常準確地反映了

5、在17001961年間世界人口總數(shù).因為,這期間地球上的人口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍（請讀者證明這一點）但是,后來人們以美國人口為例,用馬爾薩斯模型計算結(jié)果與人口資料比較,卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異,尤其是在用此模型預測較遙遠的未來地球人口總數(shù)時,發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問題,如按此模型計算,到2670年,地球上將有36 000億人口.如果地球表面全是陸地（事實上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非常荒謬的,因此,這一模型應該修改. 例2（邏輯logistic模型） 馬爾薩斯模型為什么不能預測未來的人口呢？這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的

6、人生活,隨著人口的增加,自然資源環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著,如果當人口較少時,人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話,那么當人口增加到一定數(shù)量以后,這個增長率就要隨人口的增加而減小.因此,應對馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長率為常數(shù)的假設進行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學家韋爾侯斯特(verhulst)引入常數(shù),用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)（一般說來,一個國家工業(yè)化程度越高,它的生活空間就越大,食物就越多,從而就越大）,并假設將增長率等于,即凈增長率隨著的增加而減小,當時,凈增長率趨于零,按此假定建立人口預測模型.解 由韋爾侯斯特假定,馬爾薩斯模型應改為上式就是邏輯模型,該方程

7、可分離變量,其解為,.下面,我們對模型作一簡要分析.（1）當,即無論人口的初值如何,人口總數(shù)趨向于極限值；（2）當時,這說明是時間的單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由于,所以當時,單增；當時,單減,即人口增長率由增變減,在處最大,也就是說在人口總數(shù)達到極限值一半以前是加速生長期,過這一點后,生長的速率逐漸變小,并且遲早會達到零,這是減速生長期；（4）用該模型檢驗美國從1790年到1950年的人口,發(fā)現(xiàn)模型計算的結(jié)果與實際人口在1930年以前都非常吻合,自從1930年以后,誤差愈來愈大,一個明顯的原因是在20世紀60年代美國的實際人口數(shù)已經(jīng)突破了20世紀初所設的極限人口.由此可見該模型的缺點之一是不易確定,

8、事實上,隨著一個國家經(jīng)濟的騰飛,它所擁有的食物就越豐富, 的值也就越大；(5）用邏輯模型來預測世界未來人口總數(shù).某生物學家估計,又當人口總數(shù)為時,人口每年以2%的速率增長,由邏輯模型得 ,即 ,從而得 ,即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說明的是：人也是一種生物,因此,上面關(guān)于人口模型的討論,原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物,如森林中的樹木、池塘中的魚等,邏輯模型有著廣泛的應用.第二章 市場價格模型對于純粹的市場經(jīng)濟來說,商品市場價格取決于市場供需之間的關(guān)系,市場價格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價格稱為(靜態(tài))均衡價格).也就是說,如果不考慮商品價格形成的動態(tài)過程,

9、那么商品的市場價格應能保證市場的供需平衡,但是,實際的市場價格不會恰好等于均衡價格,而且價格也不會是靜態(tài)的,應是隨時間不斷變化的動態(tài)過程.例3 試建立描述市場價格形成的動態(tài)過程的數(shù)學模型 解 假設在某一時刻,商品的價格為,它與該商品的均衡價格間有差別,此時,存在供需差,此供需差促使價格變動.對新的價格,又有新的供需差,如此不斷調(diào)節(jié),就構(gòu)成市場價格形成的動態(tài)過程,假設價格的變化率與需求和供給之差成正比,并記為需求函數(shù),為供給函數(shù)（為參數(shù)）,于是其中為商品在時刻的價格,為正常數(shù).若設,則上式變?yōu)?其中均為正常數(shù),其解為 .下面對所得結(jié)果進行討論:（1）設為靜態(tài)均衡價格 ,則其應滿足 ,即 ,于是得

10、,從而價格函數(shù)可寫為 ,令,取極限得 這說明,市場價格逐步趨于均衡價格.又若初始價格,則動態(tài)價格就維持在均衡價格上,整個動態(tài)過程就化為靜態(tài)過程；（2）由于 ,所以,當時,單調(diào)下降向靠攏；當時, ,單調(diào)增加向靠攏.這說明：初始價格高于均衡價格時,動態(tài)價格就要逐步降低,且逐步靠近均衡價格;否則,動態(tài)價格就要逐步升高.因此,式在一定程度上反映了價格影響需求與供給,而需求與供給反過來又影響價格的動態(tài)過程,并指出了動態(tài)價格逐步向均衡價格靠攏的變化趨勢.第三章 混合溶液的數(shù)學模型例4 設一容器內(nèi)原有100l鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3l/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/l的淡鹽水,同時以2l/mi

11、n的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學模型.解 設時刻容器內(nèi)的鹽量為kg,考慮到時間內(nèi)容器中鹽的變化情況,在時間內(nèi) 容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量抽出的鹽水中所含鹽量 容器內(nèi)鹽的改變量為,注入的鹽水中所含鹽量為,時刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,假設到時間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變（事實上,容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時刻在變,由于時間很短,可以這樣看）.于是抽出的鹽水中所含鹽量為,這樣即可列出方程,即.又因為時,容器內(nèi)有鹽kg,于是得該問題的數(shù)學模型為這是一階非齊次線性方程的初值問題,其解為 .下面對該問題進行一下簡單的討論,由上式不難發(fā)現(xiàn):時刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為 ,且當時,即長時間

12、地進行上述稀釋過程,容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問題的更一般的提法是：設有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量注入質(zhì)量濃度為的溶液 （指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同）,假定溶液立即被攪勻,并以的流量流出這種混合溶液,試建立容器中質(zhì)量濃度與時間的數(shù)學模型.首先設容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為,原來的初始質(zhì)量為 , =0時溶液的體積為,在d時間內(nèi),容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的數(shù)量,即,其中是流入溶液的質(zhì)量濃度, 為時刻容器中溶液的質(zhì)量濃度,于是,有混合溶液的數(shù)學模型該模型不僅適用于液體的混合,而且還適用于討論氣體的混合.第四章 振動模型振動是生活與工程中的常見

13、現(xiàn)象.研究振動規(guī)律有著極其重要的意義.在自然界中,許多振動現(xiàn)象都可以抽象為下述振動問題.例5 設有一個彈簧,它的上端固定,下端掛一個質(zhì)量為的物體,試研究其振動規(guī)律.解 假設（1）物體的平衡位置位于坐標原點,并取軸的正向鉛直向下（見圖4）.物體的平衡位置指物體處于靜止狀態(tài)時的位置.此時,作用在物體上的重力與彈性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移及初始速度下,物體離開平衡位置,并在平衡位置附近作沒有搖擺的上下振動；（3）物體在時刻的位置坐標為,即時刻物體偏離平衡位置的位移；（4）在振動過程中,受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比,阻力的方向總是與速度方向相反,因此阻力為,為阻尼系數(shù)；（

14、5）當質(zhì)點有位移時,假設所受的彈簧恢復力是與位移成正比的,而恢復力的方向總是指向平衡位置,也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反,因此所受彈簧恢復力為,其中為勁度系數(shù)；（6）在振動過程中受外力的作用.在上述假設下,根據(jù)牛頓第二定律得圖4 , 這就是該物體的強迫振動方程.由于方程中, 的具體形式?jīng)]有給出,所以,不能對式直接求解.下面我們分四種情形對其進行討論.1. 無阻尼自由振動 在這種情況下,假定物體在振動過程中,既無阻力、又不受外力作用.此時方程變?yōu)?, 令,方程變?yōu)?,特征方程為 ,特征根為 ,通解為 ,或?qū)⑵鋵憺?其中 ,.這就是說,無阻尼自由振動的振幅,頻率均為常數(shù).2.有阻尼自由振動在

15、該種情況下,考慮物體所受到的阻力,不考慮物體所受的外力.此時,方程變?yōu)?令,方程變?yōu)?,特征方程為,特征根 .根據(jù)與的關(guān)系,又分為如下三種情形：(1)大阻尼情形, .特征根為二不等實根,通解為(2)臨界阻尼情形,.特征根為重根,通解為 這兩種情形,由于阻尼比較大,都不發(fā)生振動.當有一初始擾動以后,質(zhì)點慢慢回到平衡位置,位移隨時間的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示. 圖5 圖6(3)小阻尼情形,.特征根為共軛復根,通解為 將其簡化為 其中振幅隨時間的增加而減小.因此,這是一種衰減振動.位移隨時間的變化規(guī)律見右圖7. 3.無阻尼強迫振動 在這種情形下,設物體不受阻力作用,其所受外力為簡諧力,此時,方程

16、化為 圖7 , , 根據(jù)是否等于特征根,其通解分為如下兩種情形：（1）當時,其通解為 ,此時,特解的振幅為常數(shù),但當接近于時,將會導致振幅增大,發(fā)生類似共振的現(xiàn)象；（2）當時,其通解為,此時,特解的振幅隨時間的增加而增大,這種現(xiàn)象稱為共振,即當外力的頻率等于物體的固有頻率時,將發(fā)生共振. 4.阻尼強迫振動 在這種情形下,假定振動物體既受阻力作用,又受外力的作用,并設,方程變?yōu)?,特征根,則不可能為特征根,特解為 ,其中 ,還可將其化為,由此可見,在有阻尼的情況下,將不會發(fā)生共振現(xiàn)象,不過,當時,若很小,則仍會有較大的振幅；若比較大,則不會有較大的振幅.結(jié) 論在科學研究和生產(chǎn)實際中，經(jīng)常要尋求表

17、示客串事物的變量的函數(shù)關(guān)系。微分方程就是描述客觀事物的數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學模型常微分方程是數(shù)學理論（特別是微積分）聯(lián)系實際的重要工具，它不僅與幾何學、力學、電子技術(shù)、自動控制、星際航行、甚至和化學、生物學、農(nóng)業(yè)以及經(jīng)濟學都有著密切的聯(lián)系。本文結(jié)合實踐背景，建立數(shù)學模型，并利用所得結(jié)果去解釋某些實際問題。參考文獻丁同仁 常微分方程高等教育出版社2010.4.1周之銘 常微分方程（第三版）高等教育出版社 2007.4姜啟源、謝金星等 數(shù)學建模高等教育出版社 2003 賈曉峰 微積分與數(shù)學模型 高等教育出版社 1999歐陽瑞、孫要偉 常微分方程在數(shù)學建模中的應用宿州教育學院學報2008年2第11卷第2期吉蘊、朱向東 常微分方程在數(shù)學建模中的應用 濰坊高等職業(yè)教育2006年6 第2卷第2期致謝經(jīng)過近三個月的忙碌和工作，本次畢業(yè)論文已經(jīng)接近尾聲，作為一個畢業(yè)生的畢業(yè)設計，由于