定積分的計(jì)算方法

1、定積分的計(jì)算方法摘要定積分是積分學(xué)中的一個(gè)基本問(wèn)題，計(jì)算方法有很多，常用的計(jì)算方法有四種：(1)定義法、 (2)牛頓一萊布尼茨公式、(3)定積分的分部積分法、(4)定積分的換元積分法。以及其他特 殊方法和技巧。本論文通過(guò)經(jīng)典例題分析探討定積分計(jì)算方法，并在系統(tǒng)總結(jié)中簡(jiǎn)化計(jì)算方法！并 注重在解題中用的方法和技巧。關(guān)鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calcula

2、tion method is a lot of,(1) definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to proble

3、m in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目錄目錄1緒論3定積分的定義 3定積分的性質(zhì) 42常用計(jì)算方法5定義法5牛頓萊布尼茨公式 6定積分的分部積分法 7定積分的換元積分法73簡(jiǎn)化計(jì)算方法.錯(cuò)誤！未定義書簽。含參變量的積分錯(cuò)誤!未定義書簽。有理積分和可化為有理積分的積分錯(cuò)誤!未定義書簽。10104總結(jié)致謝 參考文獻(xiàn)1緒論定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間a,b中圖線下包圍的面積，如圖所示。即由y

4、=O,x=a,x=b,y=f(X所圍成圖形的面積。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),將區(qū)間a,b分成n個(gè)子區(qū)間x0,x 1 , (x i,x 2, (X2,X 3n-1 ,Xn,其中 Xo=a,Xn=bo 可知各區(qū)間的長(zhǎng)度依次是:A Xi=Xl-Xo, A X2=X2-Xl, Xn=Xn-Xn-1 o在每個(gè)子區(qū)間(X i-1 ,X i 中任取一點(diǎn)( 1 ,2,J)，作和式工/(如11設(shè)入=maxAxi, Ax2,-,A xn(gp入是最大的區(qū)間長(zhǎng)度)，則當(dāng)入宀0時(shí)，該和式無(wú)限接近于某 個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b的定積分，記為其中：a叫做

5、積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)， x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，/叫做積分號(hào)。之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)函數(shù)。根據(jù)上述定義，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積分，則有n等分的特殊分法：特別注意，根據(jù)上述表達(dá)式有，當(dāng) a,b區(qū)間恰好為0,1區(qū)間時(shí)，則0,1區(qū)間積分表 達(dá)式為：他如二輒燉1 =1定積分的性質(zhì)性質(zhì) 1f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dxbf (x)dx f(x)dxcaabb性質(zhì) 2 kf (x)dx k f (x)dx, (k 為常數(shù))aabc性質(zhì)3假設(shè)abc f

6、(x)dxaa性質(zhì)4如果在區(qū)間a,b上，恒有f(x)g(x),則f (x)dx g(x)dx a aK性質(zhì) 5 如果在區(qū)間a,b , f (x) 0,則 f(x)dx 0. (ab)a性質(zhì)6設(shè)A4及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則m(b a) bf(x)dx M(b a) , (avb)此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范a圍叫性質(zhì)7若f(x)在a,b上可積，貝U1 f(x) I在a,b上也可積，且 bf(x)dx b f (x)dxaa性質(zhì)8 (積分第一中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上可積,且在a,b上不變號(hào)，則在a,b上至少存在一點(diǎn)E,使得：bbf

7、(x)g(x)dx f () g(x)dxaa2常用計(jì)算方法定義法定積分的定義法計(jì)算是運(yùn)用極限的思想，簡(jiǎn)單的來(lái)說(shuō)就是分割求和取極限。以bI f(x)dx為例：任意分割，任意選取k作積分和再取極限。任意分割任意取k所計(jì)算a出的I值如果全部相同的話，則定積分存在。如果在某種分法或者某種k的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者k的取法下計(jì)算出來(lái)的值不相同，那么則說(shuō)定積分不存在。如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計(jì)算定積分是相當(dāng)困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取 ko但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作a,b的特殊分法，選取特殊的 k,計(jì)算出

8、定積分。第一步：分割.b a將區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式。h仝上，那么分割點(diǎn)的n坐標(biāo)為 a,0 , a h,0 , a 2h,0a (n 1 )h,0 ,b,0 ,k在 Xk i,xnxdxxln X2xd In x 2ln 2 0 x12i2ln 21定積分的換元積分法應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計(jì)算。一般情 況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的， 通常在應(yīng)用換元積分法求原函數(shù)的過(guò)程中也相 應(yīng)交換積分的上下限，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算。公式：若函數(shù)f （x）在區(qū)間a,b連續(xù)，且函數(shù)x有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)t時(shí),有a (t) b則:f(x)dxa證明

9、:(t) (t)dtf(x)dx F(x)(t)d (t)F(b) F(a)f (t) (t)dt(t)OF () F(b) F(a)ba f(X)dX(t) (t)dt這個(gè)公式有兩種用法：b通過(guò)(t) (t)dt(t)分別解出積分限與；、若計(jì)算f (x)dx7、選取合適的變換X (t),由a,bbY什伴入f MX縛至II、計(jì)算例計(jì)算定dXo解：設(shè) x asint 有 dx a costdto2 COS2 偵知詈)a時(shí),.a2 x2dx0a、計(jì)算 g(t)dt,其中 g(t) f (t)(t)、把g(t)湊成f (t)，(t)的形式；、檢查x(t)是否連續(xù)；、根據(jù)與通過(guò)x求出左邊的積分限a,b

10、 ；、計(jì)算計(jì)算定積分 1=dt。1 丁5 4t例2、解：令,5 4tX,則t5x2Ixdx4，dt21時(shí)，X當(dāng)tx 13當(dāng)t 1時(shí),1=3* 2X) dx14總結(jié)定積分計(jì)算中最常用的四種方法，本文通過(guò)舉例分析定積分的幾種計(jì)算方法，來(lái)體現(xiàn)定積分的計(jì)算。定積分的計(jì)算類型很多，要熟練地進(jìn)行定積分的各種運(yùn)算，就要對(duì)定積分的運(yùn)算技巧不斷熟悉和掌握。其實(shí)，在實(shí)際計(jì)算中，遇到的題目不一樣，用的計(jì)算方法也不一樣。定義 法一般不常用，計(jì)算起來(lái)比較困難，所以一般不會(huì)用定義法計(jì)算。常用的就是其他三種，即牛頓萊 布尼茨公式，分部積分法和換元積分法。致謝在老師的悉心指導(dǎo)下我完成了這篇關(guān)于定積分的計(jì)算方法的論文，感謝老師以以其嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的 教學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)精神和孜孜以求的工作作風(fēng)對(duì)我產(chǎn)生重大影響。在此想對(duì)理學(xué) 院的老師表示 真誠(chéng)的感謝，感謝您們給我這次機(jī)會(huì)，感謝您們知道與教誨。也感謝在學(xué)習(xí)過(guò)程中陪伴我