高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文(2021年最新整理)

1、（通用版）2017屆高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文（通用版）2017屆高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（通用版）2017屆高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文）的內(nèi)容能夠給您的工作和

2、學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為（通用版）2017屆高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文的全部?jī)?nèi)容。17第30練與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一，應(yīng)用廣泛，是高考的重點(diǎn)考查對(duì)象，拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問題都是高考熱點(diǎn)考查形式有選擇題、填空題也有解答題,小題難度一般為低中檔層次，解答題難度為中檔偏上體驗(yàn)高考1(2015四川）設(shè)直線l

3、與拋物線y24x相交于a,b兩點(diǎn)，與圓(x5）2y2r2（r0)相切于點(diǎn)m,且m為線段ab的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（)a(1，3） b(1，4)c（2，3) d(2，4）答案d解析設(shè)a(x1，y1），b（x2，y2),m（x0,y0），則相減得(y1y2）(y1y2)4（x1x2），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條；當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，如圖x1x2,則有2，即y0k2,由cmab得，k1，y0k5x0，25x0，x03，即m必在直線x3上，將x3代入y24x,得y212，2y02,點(diǎn)m在圓上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44,4r21

4、6，2r4.故選d.2（2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為f，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)a，b，c,其中點(diǎn)a，b在拋物線上，點(diǎn)c在y軸上，則bcf與acf的面積之比是()a。b.c.d。答案a解析由圖形可知，bcf與acf有公共的頂點(diǎn)f,且a，b，c三點(diǎn)共線，易知bcf與acf的面積之比就等于。由拋物線方程知焦點(diǎn)f（1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1。點(diǎn)a，b在拋物線上,過a，b分別作ak，bh與準(zhǔn)線垂直,垂足分別為點(diǎn)k，h，且與y軸分別交于點(diǎn)n，m.由拋物線定義，得|bm|bf|1，an|af|1.在can中，bman，.3（2016四川）設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p是以f為焦點(diǎn)的拋

5、物線y22px(p0）上任意一點(diǎn)，m是線段pf上的點(diǎn)，且pm2|mf|,則直線om的斜率的最大值為（)a. b. c。 d1答案c解析如圖,由題意可知f，設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y00時(shí)，kom0時(shí)，kom0,要求kom的最大值,不妨設(shè)y00.則()，kom，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時(shí)等號(hào)成立故選c.4（2016課標(biāo)全國(guó)乙)以拋物線c的頂點(diǎn)為圓心的圓交c于a，b兩點(diǎn),交c的準(zhǔn)線于d，e兩點(diǎn)已知|ab|4，de2，則c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）a2 b4c6 d8答案b解析不妨設(shè)拋物線c：y22px(p0),則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r0)，如圖,又可設(shè)a（x0，2），d，點(diǎn)a（x0,2）在拋物線y22

6、px上，82px0，點(diǎn)a（x0,2)在圓x2y2r2上，x8r2，點(diǎn)d在圓x2y2r2上，25r2，聯(lián)立，解得p4，即c的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4,故選b。5(2015上海）拋物線y22px（p0）上的動(dòng)點(diǎn)q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p_.答案2解析根據(jù)拋物線的性質(zhì),我們知道當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)q運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)的時(shí)候，才與拋物線焦點(diǎn)的距離最小，所以有pq|min1p2.高考必會(huì)題型題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1已知p為拋物線y26x上一點(diǎn)，點(diǎn)p到直線l:3x4y260的距離為d1.(1)求d1的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)；（2)若點(diǎn)p到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d2,求d1d2的最小值解(1）設(shè)p（,y0)，則

7、d1(y04）236，當(dāng)y04時(shí),（d1)min,此時(shí)x0，當(dāng)p點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)時(shí)，（d1)min。(2）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，則f（，0),且d2pf|,d1d2d1|pf|，它的最小值為點(diǎn)f到直線l的距離，(d1d2）min.點(diǎn)評(píng)與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑變式訓(xùn)練1(1)(2016浙江）若拋物線y24x上的點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)m到y(tǒng)軸的距離是_(2)已知點(diǎn)p在拋物線y24x上,那么點(diǎn)p到q(2，1)的距離與點(diǎn)p到拋物線

8、焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（)a（,1） b(，1)c(1，2） d（1,2）答案（1)9（2)b解析（1）拋物線y24x的焦點(diǎn)f（1，0）準(zhǔn)線為x1，由m到焦點(diǎn)的距離為10，可知m到準(zhǔn)線x1的距離也為10，故m的橫坐標(biāo)滿足xm110,解得xm9,所以點(diǎn)m到y(tǒng)軸的距離為9.（2）拋物線y24x焦點(diǎn)為f(1,0)，準(zhǔn)線為x1，作pq垂直于準(zhǔn)線，垂足為m，根據(jù)拋物線定義，|pq|pf|pqpm，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,直角三角形斜邊大于直角邊知：pq|pm的最小值是點(diǎn)q到拋物線準(zhǔn)線x1的距離所以點(diǎn)p縱坐標(biāo)為1，則橫坐標(biāo)為,即（，1）題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)例2（2015福

9、建)已知點(diǎn)f為拋物線e：y22px(p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)a（2，m）在拋物線e上，且af|3.（1)求拋物線e的方程；(2)已知點(diǎn)g(1,0)，延長(zhǎng)af交拋物線e于點(diǎn)b,證明：以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓，必與直線gb相切方法一(1)解由拋物線的定義得|af2.因?yàn)閨af|3，即23，解得p2，所以拋物線e的方程為y24x。(2）證明因?yàn)辄c(diǎn)a（2,m)在拋物線e：y24x上，所以m2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)a（2，2）由a（2,2），f(1，0)可得直線af的方程為y2（x1）由得2x25x20，解得x2或x，從而b。又g（1,0），所以kga，kgb。所以kgakgb0，從而agfbgf，

10、這表明點(diǎn)f到直線ga，gb的距離相等,故以f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切方法二（1）解同方法一（2）證明設(shè)以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓的半徑為r。因?yàn)辄c(diǎn)a(2，m）在拋物線e：y24x上,所以m2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)a(2，2)由a（2，2），f（1,0）可得直線af的方程為y2(x1)由得2x25x20。解得x2或x,從而b。又g（1,0），故直線ga的方程為2x3y20。從而r.又直線gb的方程為2x3y20.所以點(diǎn)f到直線gb的距離dr.這表明以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切點(diǎn)評(píng)（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)的位置及p

11、的值，再進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程變式訓(xùn)練2已知拋物線c的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)o，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且經(jīng)過點(diǎn)m(2,1）（1)求拋物線c的方程；（2)若一個(gè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求該等邊三角形的面積;（3）過點(diǎn)m作拋物線c的兩條弦ma，mb，設(shè)ma，mb所在直線的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k22時(shí)，試證明直線ab的斜率為定值，并求出該定值解（1）設(shè)拋物線c的方程為x22py（p0），

12、由點(diǎn)m（2,1）在拋物線c上,得42p,則p2，拋物線c的方程為x24y.（2)設(shè)該等邊三角形opq的頂點(diǎn)p，q在拋物線上，且p（xp，yp),q(xq，yq)，則x4yp，x4yq，由|op|oq|，得xyxy，即(ypyq)（ypyq4)0.又yp0，yq0，則ypyq,|xp|xq|，即線段pq關(guān)于y軸對(duì)稱poy30，ypxp，代入x4yp,得xp4，該等邊三角形邊長(zhǎng)為8，spoq48。(3）設(shè)a（x1,y1），b(x2,y2）,則x4y1，x4y2，k1k2(x12x22）2.x1x212,kab(x1x2)3。題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3已知拋物線c：ymx2（m0)，焦點(diǎn)為f，

13、直線2xy20交拋物線c于a,b兩點(diǎn)，p是線段ab的中點(diǎn)，過p作x軸的垂線交拋物線c于點(diǎn)q。（1）求拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2）若拋物線c上有一點(diǎn)r（xr，2）到焦點(diǎn)f的距離為3，求此時(shí)m的值；(3）是否存在實(shí)數(shù)m，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在，求出m的值；若不存在，說明理由解（1）拋物線c：x2y,它的焦點(diǎn)f(0，）（2)|rfyr,23，得m.（3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20,依題意，有（2)24m（2）0m。設(shè)a（x1,mx），b(x2，mx），則(*）p是線段ab的中點(diǎn),p(，）,即p(，yp)，q（，）得(x1，mx）,（x2，mx)，若存在實(shí)數(shù)m,使abq是

14、以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則0，即(x1)(x2)（mx)（mx)0，結(jié)合(）化簡(jiǎn)得40，即2m23m20，m2或m，而2（,），（,）存在實(shí)數(shù)m2，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形點(diǎn)評(píng)（1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|abx1x2p,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式(3）涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解變式訓(xùn)練3（2015課標(biāo)

15、全國(guó)）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c：y與直線l：ykxa(a0）交于m，n兩點(diǎn),（1）當(dāng)k0時(shí)，分別求c在點(diǎn)m和n處的切線方程；（2）y軸上是否存在點(diǎn)p，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有opmopn？說明理由解(1)由題設(shè)可得m(2，a）,n(2，a），或m(2，a），n（2，a）又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，c在點(diǎn)（2,a）處的切線方程為ya（x2），即xya0。y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，c在點(diǎn)(2，a）處的切線方程為ya(x2)，即xya0。故所求切線方程為xya0和xya0。（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)p（0，b）為符合題意的點(diǎn),m（x1，y1），n（x2，y2），直線pm,pn的斜率分別為k1

16、，k2。將ykxa代入c的方程得x24kx4a0。故x1x24k，x1x24a。從而k1k2.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20,則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補(bǔ),故opmopn，所以點(diǎn)p（0，a）符合題意高考題型精練1如圖所示,過拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)f的直線l交拋物線于點(diǎn)a、b,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)c，若|bc|2bf，且|af3，則此拋物線的方程為（)ay29xby26xcy23xdy2x答案c解析如圖，分別過點(diǎn)a，b作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)e,d,設(shè)bfa，則由已知得：|bc2a,由定義得：bd|a,故bcd30.在直角三角形ace中，af|3，ae|3，|ac|33a，2ae|ac

17、，33a6，從而得a1，bdfg，求得p,因此拋物線方程為y23x，故選c。2已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)o,并且經(jīng)過點(diǎn)m(2,y0)若點(diǎn)m到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|om等于（）a2b2c4 d2答案b解析設(shè)拋物線方程為y22px，則點(diǎn)m(2，2）焦點(diǎn)，點(diǎn)m到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，24p9，解得p2（負(fù)值舍去)，故m(2，2)om2.3已知拋物線c：y2x的焦點(diǎn)為f，a（x0，y0）是c上一點(diǎn)，|afx0，則x0等于()a1 b2c4 d8答案a解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x。因?yàn)閍f|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0af|x0,解得x01.4已知拋物線c：y28x的焦點(diǎn)為f,

18、點(diǎn)m(2,2），過點(diǎn)f且斜率為k的直線與c交于a，b兩點(diǎn)，若amb90，則k等于（）a.b.c.d2答案d解析拋物線c：y28x的焦點(diǎn)為f（2，0），由題意可知直線ab的斜率一定存在，所以設(shè)直線方程為yk（x2），代入拋物線方程可得k2x2(4k28)x4k20，設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2）,則x1x24，x1x24,所以y1y2，y1y216，因?yàn)閍mb90，所以（x12,y12)（x22，y22）40，解得k2，故選d.5已知點(diǎn)a(2，3）在拋物線c：y22px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)a的直線與c在第一象限相切于點(diǎn)b，記c的焦點(diǎn)為f，則直線bf的斜率為（)a。b.c.d.答案d解析拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點(diǎn)a(2，3）在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而c：y28x，焦點(diǎn)為f(2，0）設(shè)切線方程為y3k（x2)，代入y28x得y2y2k30(k0），由于14（2k3）0,所以k2或k。因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限,所以k。將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點(diǎn)b的坐標(biāo)為(8，8)，所以直線bf的斜率為.6已知a(x1,y1）是拋物線y28x的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，b（x2,y2)是圓(x2)2y216上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)n（2,0），若abx軸,且x10)和e2：y22p2x（p20）,過原點(diǎn)o的兩條直