常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用初探

1、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用初探教育科學(xué)【摘要】【關(guān)鍵詞】1,前言常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用初探一虞林杰(杭州師范大學(xué)錢江學(xué)院310012)本文以常見的常微分方程為例,分析常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的重要應(yīng)用.常微分方程數(shù)學(xué)建模應(yīng)用數(shù)學(xué)建模是當(dāng)前理論與實(shí)踐兩方面的研究熱點(diǎn).數(shù)學(xué)模型是指用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)語言針對一種實(shí)際問題或?qū)嶋H系統(tǒng)的發(fā)生現(xiàn)象的描述,這種描述在一般情況下是近似描述.數(shù)學(xué)建模就是結(jié)合實(shí)際情況獲得該數(shù)學(xué)模型,求解該模型從而得到結(jié)論,并驗(yàn)證結(jié)論正確合理與否的整個(gè)過程.總的來說,這是一個(gè)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的過程,特別是體現(xiàn)了”用數(shù)學(xué)”的精神.具體到微分理論主要是解決人們在解決實(shí)際問題是

2、遇到的以下困境:如果一個(gè)變量變化(增大或者減小),另一個(gè)變量的變化情況,包括變化大小,方向等性質(zhì).在解決這種問題的時(shí)候,直接建立需求兩個(gè)變量之間的關(guān)系式求出兩者變化的關(guān)系是比較困難的,但是建立關(guān)于未知變量的導(dǎo)數(shù),形成未知變量以及自變量的等式,即構(gòu)建微分方程則較為簡潔.在微分方程中,常微分方程涉及的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛,已經(jīng)從最初的物理,力學(xué)應(yīng)用擴(kuò)展到了生物,化學(xué)以及工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域,也因此成為了重要的數(shù)學(xué)工具.常微分方程解決實(shí)際問題的時(shí)候主要涉及兩方面的內(nèi)容,其一是哪些問題可以作為基礎(chǔ)而建立一個(gè)常微分方程模型,其二是對模型進(jìn)行分析求解并以其結(jié)果指導(dǎo)或解釋現(xiàn)實(shí)世界發(fā)生的現(xiàn)象.本文將以常見的常微分方

3、程為例,分析常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的重要應(yīng)用.2,常見常微分方程數(shù)學(xué)建模應(yīng)用舉例2.1人口預(yù)測模型最早的人口預(yù)測模型是馬爾薩斯模型,是英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出的,該模型的基本假設(shè)是人口在自然增長的過程中凈相對增長率,即出生率與死亡率之差是一個(gè)常數(shù),單位時(shí)間內(nèi)人口增長與人口總量成正比.假設(shè)這一比例為r,則在此假設(shè)下,設(shè)時(shí)刻t的人口總數(shù)為n(c),且該函數(shù)連續(xù)可微,根據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)在t到t+jt的時(shí)間段內(nèi),人口的增長量為n(什at)-n(t)=rn(t)at,r假設(shè)t0時(shí)刻的人口總數(shù)為n0,那么=rn,用分離變量法可以得dl到該數(shù)學(xué)模型的一般形式為_,j=.vnrf,即總?cè)丝跁凑罩笖?shù)形式無

4、限制的增長下去.盡管這一模型在一定程度上解釋了人口增長的情況,特別是比較符合17001961年問的世界人口總數(shù)變化情況,但是這種無限制甚至在總量上加速增長的模型顯然不符合更長時(shí)間,更大范圍內(nèi)的實(shí)際情況,按照此模型計(jì)算,2670年世界上將有36000億人,人類將無立錐之地.因此另一種更為符合實(shí)際情況的模型logistic模型出現(xiàn)了,1838年荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特引入了自然常數(shù)nm,該常數(shù)用以表示自然環(huán)境條件所能容許的最大的人口數(shù),而對于不同發(fā)展程度的國家而言,這一上限是不同的,工業(yè)化越發(fā)達(dá),可以容納人口的空間和糧食就越多,n巾的數(shù)值就越高.而凈增長率的數(shù)值也不再是恒定不變的了,而是隨著人口數(shù)

5、量增加,接近人口上限而降低,具體而言,增長率的計(jì)算j公式為rfl一,當(dāng)m,/一時(shí),凈增長率逐漸趨向于0,據(jù)此間里的人口預(yù)測模型,用數(shù)學(xué)方式描述就是/dnn|ti/一一_j,分離變量可得到一般解,./=0f,一_m_一,分析易得當(dāng),一+一時(shí),總?cè)丝谙蛑鴑不斷h”.逼近,且增長率不斷降低,逐漸為0.根據(jù)這一模型的計(jì)算,世界人口的上限為9.86.109,大概為100億.2.2新產(chǎn)品推廣模型經(jīng)濟(jì)與管理科學(xué)當(dāng)中,根據(jù)常微分方程建立數(shù)學(xué)模型的情況也很多,新產(chǎn)品推廣模型就是比較經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型.通過求解數(shù)學(xué)方程,可以描述出經(jīng)濟(jì)量變化的基本規(guī)律,并據(jù)此作出決策和預(yù)測分析.模型建立在這樣的假設(shè)基礎(chǔ)之上:某種新產(chǎn)品

6、將要推向市場,在t時(shí)刻的銷量為,由于產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品,每一個(gè)產(chǎn)品都會帶來新的銷量,因此t時(shí)刻的產(chǎn)品銷量增長率與,f成正比,與此同時(shí),市場有一定的容量,即產(chǎn)品的銷訂f量上限n,由于這個(gè)市場容量變量的加入,與尚未購買產(chǎn)品的潛在客,戶數(shù)量n-x也成正比,由此得到=h,v_,其中的k為比例系數(shù).分解變量可以得到c玎,戶r由此可見這一方程也是logistic模型,根據(jù)該模型的特征可以知道,當(dāng)銷量達(dá)到最大需求量的時(shí),產(chǎn)品最為暢銷,此上后銷量增速則逐漸降低.這一結(jié)果與很多產(chǎn)品新上市的銷售曲線相符.據(jù)此市場分析家認(rèn)為,在新產(chǎn)品推出的初期應(yīng)控制生產(chǎn)量并加強(qiáng)廣告的宣傳;而在產(chǎn)品用戶在總量的20%到80%區(qū)間,則應(yīng)大批

7、量生產(chǎn)產(chǎn)品;而在產(chǎn)品用戶超過80%時(shí),應(yīng)改變策略適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn),從而達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益.3,結(jié)語應(yīng)用微分方程構(gòu)件數(shù)學(xué)模型的例子還有很多,如動力學(xué)模型,價(jià)格調(diào)整模型,人才分配模型等等.隨著世界經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展和自然科學(xué)的快速進(jìn)步,越來越多的現(xiàn)象需要通過數(shù)學(xué)語言加以描述,因此,建立在常微分函數(shù)基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)模型仍有較大的發(fā)展空間,其解釋自然與社會現(xiàn)象的潛力還有待挖掘.參考文獻(xiàn)1吉蘊(yùn),朱向東.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用j.濰坊高等職業(yè)教育,2006(2).2鄭宗劍.簡論微分方程建模j.四川文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué))2009(5)3黃羿.微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用j.佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào),2010(4).4汪娜.微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用j.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009(1).5郭爽,侯麗英,李秀麗.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用j.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2009(4).文明所追尋的人文氣息.我們在深深的感激,崇敬和景仰之余,應(yīng)當(dāng)認(rèn)真,嚴(yán)肅地思考,仔細(xì)盤點(diǎn),清理整合那達(dá)慕文化資源,提煉符合現(xiàn)代氣息的物質(zhì)和精神因素,將優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代文明有機(jī)融合,促進(jìn)文化優(yōu)勢的傳承,始終堅(jiān)持以人文本,大力弘揚(yáng)優(yōu)秀民族傳統(tǒng)體育文化,使國人受益,同時(shí)受益與世界.參考文獻(xiàn)1白紅梅.文化傳承與教育視野中的蒙古族那達(dá)慕.中央民族大學(xué)博士學(xué)位論文.2008,32j刑莉.蒙古族那達(dá)慕的人文精神.文化