畢業(yè)論文-特殊類型定積分的計(jì)算方法與技巧

1、 特殊類型定積分的計(jì)算方法與技巧 xx學(xué)院xx專業(yè) xx屆 xx摘 要: 定積分的計(jì)算是微積分的一個(gè)重要組成部分,在定積分的計(jì)算中，一些容易求得原函數(shù)的常用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算，而一些不易求原函數(shù)的特殊類型的定積分的計(jì)算是卻是難點(diǎn)，本文通過舉例分析了幾種特殊類型的定積分的計(jì)算方法與技巧,開拓解題思路,提高計(jì)算定積分的能力.關(guān)鍵詞: 定積分; 特殊類型；計(jì)算方法中圖分類號(hào): o172.2 methods for computation of special type of definite integral abstract：the calculation of definite integra

2、l is a main part of calculus, and in the calculation of definite integral, it is easy for newtonleibniz to compute the original function. while the most difficult point is the uneasy computation of the original function in some special types of definite integrals calculation. in order to solve these

3、 types of problem, in this article, the author not only gave some examples but also analyzed the method in these special types of definite integral. meanwhile, this paper offers some methods and calculation to deal with some of these special types definite integral to exploit new tracks to solve pro

4、blems and improve ours capability.key words: the integral; special type; calculation method 目錄1 引言12 對(duì)稱性與奇偶性定積分的計(jì)算22.1 利用對(duì)稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的定積分性質(zhì)22.2 利用對(duì)稱區(qū)間上非奇、非偶函數(shù)的定積分性質(zhì)22.3 利用非對(duì)稱區(qū)間可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱區(qū)間定積分的性質(zhì)33 周期函數(shù)在一些定積分中的計(jì)算43.1 以為周期的周期函數(shù)定積分43.2 以為周期的周期函數(shù)定積分44 利用特殊公式計(jì)算定積分54.1 利用遞推公式計(jì)算定積分54.2 對(duì)稱區(qū)間上公式的推廣64.3 非對(duì)稱區(qū)間上公式的推廣

5、65 分段函數(shù)的定積分的計(jì)算76 含有絕對(duì)值符號(hào)的定積分的計(jì)算76.1 找“零點(diǎn)”分區(qū)間，將絕對(duì)值脫去86.2 利用被積函數(shù)的奇偶性在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)計(jì)算定積分96.3 利用分段函數(shù)進(jìn)行積分96.4 利用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q法求定積分的值107 含有變上限（變下限）的定積分的計(jì)算118 巧用二重積分求解定積分129 利用泰勒級(jí)數(shù)求定積分的值12結(jié)束語13參考文獻(xiàn)13致謝14特殊類型定積分的計(jì)算方法與技巧1 引言定積分的計(jì)算是微積分學(xué)的重要內(nèi)容，其應(yīng)用十分廣泛，它是包括數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的基礎(chǔ).常見的定積分的計(jì)算方法包括分項(xiàng)積分法、分段積分法、換元積分法、分部積分法.另外對(duì)于找不出原函數(shù)或者被積函數(shù)十分復(fù)

6、雜的定積分，往往是很難求出其原函數(shù)的，從而無法用牛頓-萊布尼茲公式求解.針對(duì)這樣的情形，本文有必要在此基礎(chǔ)上研究出新的計(jì)算方法.對(duì)此本文總結(jié)了一些特殊類型定積分的計(jì)算方法，其中包括對(duì)稱性與奇偶性的定積分的計(jì)算、周期函數(shù)的定積分的計(jì)算、用特殊公式計(jì)算定積分、分段函數(shù)的定積分的計(jì)算、含絕對(duì)值的定積分的計(jì)算，特別的，在含絕對(duì)值定積分的計(jì)算中，我們又詳細(xì)的分為了四種方法，包括找“零點(diǎn)”法，將絕對(duì)值脫去法，用被積函數(shù)的奇偶性在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)計(jì)算定積分、利用分段函數(shù)進(jìn)行積分、以及利用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q求定積分的.另外還有一些特殊類型定積分的計(jì)算技巧，例如巧用二重積分求解定積分和泰勒級(jí)數(shù)公式求解定積分，并列舉

7、相應(yīng)的例子進(jìn)行了說明.然而，這些方法的應(yīng)用都是不同的，如對(duì)稱性與奇偶性的定積分的計(jì)算方法主要是利用被積函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性的特點(diǎn)來簡化計(jì)算，周期函數(shù)的定積分的計(jì)算方法主要是在被積函數(shù)具有周期性這一特點(diǎn)時(shí)來應(yīng)用的，用遞推公式計(jì)算定積分的方法主要是應(yīng)用在求三角函數(shù)定積分以及正余弦函數(shù)定積分互換中，利用分段函數(shù)進(jìn)行積分的方法主要是當(dāng)被積函數(shù)是給定函數(shù)與某一簡單函數(shù)復(fù)合而成時(shí)，要通過變量代換將其化為給定函數(shù)的形式來加以應(yīng)用的，含絕對(duì)值的定積分的計(jì)算方法主要是應(yīng)用在被積函數(shù)中含絕對(duì)值符號(hào)不易計(jì)算時(shí)來應(yīng)用的，每一種方法都有其各自的特點(diǎn)，當(dāng)然，這些方法有時(shí)也是相通的，本文將視具體情況具體討論. 2 對(duì)稱性與

8、奇偶性定積分的計(jì)算 2.1 利用對(duì)稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的定積分性質(zhì) 設(shè)為奇函數(shù)，則.設(shè)為偶函數(shù)，則.例2-11 計(jì)算定積分分析：注意到是區(qū)間上的偶函數(shù)，是區(qū)間上的奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性不難求得所給定積分的值.解 因?yàn)槭菂^(qū)間上的偶函數(shù)，故 因?yàn)槭菂^(qū)間上的奇函數(shù)，故 于是 = = 2.2 利用對(duì)稱區(qū)間上非奇、非偶函數(shù)的定積分性質(zhì)對(duì)任何函數(shù),有（1） （2）例2-22 求定積分 解 令 則 利用公式（1） 原積分例2-32 求定積分解 令 利用 所以有利用公式（2）則原積分 2.3 利用非對(duì)稱區(qū)間可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱區(qū)間定積分的性質(zhì)對(duì)任何區(qū)間,有（1）例2-42 求定積分 解 令 那么 ,利用公式（1）有

9、3 周期函數(shù)在一些定積分中的計(jì)算 3.1 以為周期的周期函數(shù)定積分設(shè)函數(shù)是定義在上的可積的周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，對(duì)，有，即周期函數(shù)在一個(gè)周期上的定積分等于常數(shù).例3-13 計(jì)算.解 =. 3.2 以為周期的周期函數(shù)定積分設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)，有.例3-23 計(jì)算解 是以為周期的函數(shù).于是 = = =4 利用特殊公式計(jì)算定積分 4.1 利用遞推公式計(jì)算定積分三角函數(shù)遞推公式：例4-14 計(jì)算解 = = 4.2 對(duì)稱區(qū)間上公式的推廣設(shè)在上連續(xù)，則例4-24 求定積分 的值.解 原式 4.3 非對(duì)稱區(qū)間上公式的推廣設(shè)在上連續(xù)，則例4-34 求定積分 的值.解 原式 5 分段函數(shù)的定積分的

10、計(jì)算對(duì)于此類題要認(rèn)清楚積分上下限是被積函數(shù)定義域的哪個(gè)區(qū)間段的端點(diǎn)，然后按段積分求和；當(dāng)被積函數(shù)是給定函數(shù)與某一簡單函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)時(shí)，要通過變量代換將其化為給定函數(shù)的形式，與此同時(shí)積分限也要相應(yīng)改變.例5-15 設(shè) 求 分析：先把被積函數(shù)化為,積分上下限要相應(yīng)改變解 令 = =6 含有絕對(duì)值符號(hào)的定積分的計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，首先要根據(jù)積分變量在積分區(qū)間的范圍設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算.有些積分要根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)間的不同情況，采用不同方法進(jìn)行計(jì)算.以下將介紹幾種特殊的方法來簡化運(yùn)算. 6.1 找“零點(diǎn)”分區(qū)間，將絕對(duì)值脫去先令絕對(duì)值內(nèi)式子等于零，求出被積函數(shù)在積分區(qū)間上

11、的根，將積分區(qū)間分為若干子區(qū)間，在每一段上去掉絕對(duì)值符號(hào)，再分段積分.例6-15 計(jì)算.解 例6-26 求 的值.解 6.2 利用被積函數(shù)的奇偶性在對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)計(jì)算定積分例6-37 求 的值.解 因?yàn)槭桥己瘮?shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)得 又是奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分由奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)知 故 6.3 利用分段函數(shù)進(jìn)行積分例6-48 求 其中e為閉區(qū)間中使被積函數(shù)有意義的一切值所組成的集合解 因?yàn)樵谒o的中的區(qū)間中有意義，而在區(qū)間中化成分段函數(shù)即可去掉絕對(duì)值，亦即可求積分值了故 例6-59 計(jì)算 解法1 化成分段函數(shù)后積分, 解法2 注意到是奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上

12、的積分，由奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的性質(zhì)知 而 故 6.4 利用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q法求定積分的值例6-610 計(jì)算 解 利用變量代換, 令 則 7 含有變上限（變下限）的定積分的計(jì)算對(duì)于此類題可用分部積分法做，將變上限（變下限）積分取作，其余的部分取作;也可將原積分化為二重積分,再更換累次積分次序. 例7-111 設(shè)計(jì)算分析：把取作取作解 =另解 =8 巧用二重積分求解定積分例8-112 計(jì)算積分.解 因?yàn)椋?.故.9 利用泰勒級(jí)數(shù)求定積分的值例9-112 求定積分.解 而冪級(jí)數(shù) 于是有結(jié)束語本文給出了幾種特殊類型的定積分的計(jì)算方法，主要包括含絕對(duì)值的定積分的計(jì)算、對(duì)稱性與奇偶性的定積分的計(jì)算、周期函

13、數(shù)的定積分的計(jì)算、分段函數(shù)的定積分的計(jì)算、巧用二重積分求解定積分以及巧用泰勒級(jí)數(shù)公式計(jì)算定積分，并列舉相應(yīng)的例子進(jìn)行說明. 參考文獻(xiàn)1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(上)m.北京:高等教育出版社，2001.2 劉書田、馮翠蓮.微積分m.北京:高等教育出版社,2003.3 龔冬保.高等數(shù)學(xué)典型題m.西安:西安交通大學(xué)出版社,2000.4 數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)m.第三版.北京：高等教育出版社，2001.87.-5 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法m.北京：高等教育出版社，2001.128-167.6 繆彩花.淺談定積分的計(jì)算技巧j.高校理科研究,2007.545-547.7 羅威.定積分計(jì)算中的若干技巧j.沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào),2010,28（02）:165-1688 李大華等. 高等數(shù)學(xué)典型問題100類. 華中工學(xué)院出版社.9 張自蘭等. 高等數(shù)學(xué)證題方法. 陜西科學(xué)技術(shù)出版社.10 費(fèi)定暉,周學(xué)勝.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（三）m.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1999.11 林學(xué)文.被積函數(shù)含絕對(duì)值的定積分的計(jì)算j.二炮工程學(xué)報(bào),1994(04).12 李若平.某些定積分的特別積分法j.工科數(shù)學(xué),1991,01（07）:179-181致謝本文是在xxx老師的悉心指導(dǎo)和嚴(yán)格要求下完成的，從選題到定稿，無不凝聚著老師的