概率與數(shù)理統(tǒng)計 (茍長義 著) 天津大學(xué)出版社第2章一維隨機變量習(xí)題及答案

1、第2章一維隨機變量 習(xí)題2一. 填空題：1.設(shè) 離 散 型 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 是 ， 則 用 f (x) 表 示 概 = _。 解：2.設(shè) 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 為 則 p 0x1 = _。 解： p 0x0， 則 c 的 值 應(yīng) 是 _ e-l_。解： 5 設(shè) 隨 機 變 量 x 的 分 布 律 是 則 = 0.8 。解： 令 得 6.若 定 義 分 布 函 數(shù) ， 則 函 數(shù) f(x)是 某 一 隨 機 變 量 x 的 分 布 函 數(shù) 的 充 要 條 件 是 f ( x ) 單 調(diào) 不 減 ， 函 數(shù) f (x) 右 連 續(xù) ， 且 f ( ) =

2、0 ， f ( + ) = 17. 隨機變量，記， 則隨著的增大，之值 保 持 不 變 。8. 設(shè) x n ( 1， 1 )，記x 的概率密度為 j( x ) ，分布函數(shù)為 f ( x )，則 0.5。9、分別用隨機變量表示下列事件(1)觀察某電話總機每分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，試用隨機變量表示事件.“收到呼喚3次” ，“收到呼喚次數(shù)不多于6次”(2)抽查一批產(chǎn)品，任取一件檢查其長度，試用隨機變量表示事件.“長度等于10cm” = ；“長度在10cm到10.1cm之間” = (3)檢查產(chǎn)品5件，設(shè)a為至少有一件次品，b為次品不少于兩件，試用隨機變量表示事件.解: 10 、一袋中裝有5只球，編號為1

3、,2,3,4,5，在袋中同時取3只，以x表示取出的3只球中的最x345 大號碼，則x的分布律為: 二. 計算題：1、將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以表示兩次中得到的小的點數(shù)，試分別寫出的分布律.234567891011122、設(shè)在15只同類型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽樣，以x表示取出次品的只數(shù).求x的分布律；.x0123、(1)設(shè)隨機變量x的分布律為：為常數(shù)，試確定常數(shù).解: 因 , 故 (2)設(shè)隨機變量x的分布律為：，試確定常數(shù). 4、飛機上載有3枚對空導(dǎo)彈，若每枚導(dǎo)彈命中率為0.6，發(fā)射一枚導(dǎo)彈如果擊中敵機則停止，如果未擊中則再發(fā)射第二枚，再未

4、擊中再發(fā)射第三枚，求發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)的分布律.x1230.60.240.165、汽車需要通過有4盞紅綠信號燈的道路才能到達目的地。設(shè)汽車在每盞紅綠燈前通過(即遇到綠燈)的概率都是0.6；停止前進(即遇到紅燈)的概率為0.4，求汽車首次停止前進(即遇到紅燈，或到達目的地)時，已通過的信號燈的分布律.解：汽車在停止前進時已通過的信號燈數(shù)是一個隨機變量，用x表示x可取值為0,1,2,3,4，又設(shè)a的表示事件：汽車將通過時第i盞信號燈開綠燈，由題意表示已通過的信號燈數(shù)是0(即第一盞信號燈是紅燈),故表示已通過的信號燈數(shù)是1(即第一盞信號燈是綠燈，而第二盞是紅燈),故.同理于是x的分布律為即x012340.4

5、0.240.1440.08640.12966、自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的機率為，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進行調(diào)整，求兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律.x012k7、一大樓內(nèi)裝有5個同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時刻：(1)恰有兩個設(shè)備被使用的概率是多少？ (2)至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？(3)至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？(4)至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？8、設(shè)事件a在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)a發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號，(1)進行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率.(2)進行7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出

6、信號的概率.解：(1)5次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號=(2)7次獨立試驗,指示燈發(fā)出信號 9、設(shè)某批電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對這批電子管進行測試，只要測得一個正品，管子就不再繼續(xù)測試，試求測試次數(shù)的分布律.解：解：設(shè)測試次數(shù)為x，則隨機變量x的可能取值為：，當(dāng)時，相當(dāng)于前 次測得的都是次品管子，而第k次測得的是正品管子的事件，10、每次射擊命中率為0.2，必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n次獨立射擊中至少擊中一次的概率為；(1)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次.(2)要使，必須，即射擊次數(shù)必須不小于次11、電話站為30

7、0個用戶服務(wù)，在一小時內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，試用泊松定理近似計算，在一小時內(nèi)有4個用戶使用電話的概率.解：由二項分布得現(xiàn)用泊松定理近似計算，,故12、某一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001，在某天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理計算)解：設(shè)x為發(fā)生事故的次數(shù)，則用泊松定理計算，13設(shè)x服從泊松分布，且已知，求解：，由，得，14、. 求離 散 型 隨 機 變 量 x 的 分 布 律 為 ， ( k = 1， 2， )， 的 充 分 必 要 條 件。解：由且 且 b 01

8、5 設(shè)x服從參數(shù)l = 1的指數(shù)分布 ，求方程 4x2 + 4xx + x + 2 = 0無實根的概率 。 解： 知 故 16. 已 知 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 x 的 概 率 密 度 為 且 知 x 在 區(qū) 間 ( 2，3 )內(nèi) 取 值 的 概 率 是 在 區(qū) 間 ( 1，2 ) 內(nèi) 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，試 確 定 常 數(shù) a ，b 。解：由 條 件 即 知 有 又 由 即 解 得 a = ，b = 17、設(shè)有函數(shù) 試說明能否是某隨機變量的分布函數(shù).解：不 能 因 為 當(dāng) 時 ， j ( x ) = sin x 0 故 在 上 ， j ( x ) = sin x 不 是 非

9、 負 。18、設(shè)某人計算一連續(xù)型隨機變量x的分布函數(shù)為： 試問他的計算結(jié)果是否正確？ 答：不正確19、在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點，以x表示這個質(zhì)點的坐標，這個質(zhì)點落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求x的分布函數(shù).解：p 0 0 )解: 正 方 體 體 積 h = x 3 函 數(shù) y = x 3 在 ( 0 ， a ) 上 的 反 函 數(shù) h 的 概 率 密 度 為 31. 設(shè) 隨 機 變 量 x 的 概 率 密 度 為 求 隨 機 變 量 h = l n x 的 概 率 密 度 。解：函 數(shù) y = l n x 的 反 函 數(shù) x = h ( y ) = e y ， 當(dāng) x 在 ( 0 ， + )上 變 化 時 ， y 在 ( ， + ) 上 變 化 ， 于 是 h 的 概 率 密 度 為 32. 已 知 某 種 產(chǎn) 品 的 質(zhì) 量 指 標 x 服 從 n(m , s2)， 并 規(guī) 定 | x m | m時 產(chǎn) 品 合 格 ， 問 m取 多 大 時 ， 才 能 使 產(chǎn) 品 的 合 格 率 達 到 95%。 已 知 標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) (x)的 值 ： (1.96) = 0.975 , (1.65) = 0.95 , (1.65) = 0.05,