測量不確定度的合成 不確定度的估計(jì)與合成

1、測量不確定度的合成 不確定度的估計(jì)與合成 導(dǎo)讀：就愛閱讀網(wǎng)友為您分享以下“不確定度的估計(jì)與合成”的資訊，希望對您有所幫助，感謝您對的支持!a1,a2,?an分別為?x1,?x2,?xn的傳遞系數(shù)； Dkl誤差?xk與?xl的協(xié)方差(相關(guān)矩)。 以標(biāo)準(zhǔn)差的符號代人，得方差合成的表達(dá)式 ?ai2?i2?2?klak?kal?l 2i?1k?ln而標(biāo)準(zhǔn)差的合成關(guān)系式為 ?或?qū)懗??式中 ?ai?1n2i?i2?2?klak?kal?l (5?18) k?l?ai?1n2i?i2?R ?y的標(biāo)準(zhǔn)差； ?i?xi的標(biāo)準(zhǔn)差，i?1,2,?n； ?kl誤差?xk與?xl的相關(guān)系數(shù)； R反映誤差間相關(guān)關(guān)系的相

2、關(guān)項(xiàng)。 其中，相關(guān)項(xiàng)為 R?2?klak?kal?l (5?19) k?l而相關(guān)系數(shù)為 ?kl?Dkl?k?l 式中Dkl為協(xié)方差(相關(guān)矩)。 顯然，標(biāo)準(zhǔn)差的合成關(guān)系已不再是像式(3?17)那樣的線性疊加關(guān)系。這是隨機(jī)誤差間抵償性的反映，是其取值具有隨機(jī)性的必然結(jié)果。這種合成關(guān)系的差別正表明標(biāo)準(zhǔn)差與誤差本身具有本質(zhì)差別。 標(biāo)準(zhǔn)差的合成公式(5?18)中，相關(guān)項(xiàng)R反映了各項(xiàng)誤差間的線性關(guān)聯(lián)對標(biāo)準(zhǔn)差合成的影響。誤差間具有正相關(guān)關(guān)系時(shí)，其相互間的抵償性減弱。此時(shí)，誤差間的相關(guān)系數(shù)為正值，合成的總標(biāo)準(zhǔn)差偏大。反之，誤差間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，抵償性增強(qiáng)，合成總標(biāo)準(zhǔn)差偏小。 當(dāng)誤差間具有最強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系時(shí)，

3、則相互間具有確定的正比關(guān)系而不再有隨機(jī)抵償作用。此時(shí)，相關(guān)系數(shù)為1，合成的標(biāo)準(zhǔn)差最大。若各項(xiàng)誤差間均滿足這一條件，即?kl?1，則式(5?18)化為 ?(a?ii?1ni)?2?ak?kal?l?2k?l?a?ii?1ni (5?20) 當(dāng)各項(xiàng)誤差互不相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)?kl?0，則相關(guān)項(xiàng)為0，式(5?18)變?yōu)槿缦滦问??(a?ii?1ni)2 (5?21) 以上各式中?與?都為總體參數(shù)，而實(shí)踐上給出的都是子樣參數(shù)，以上各式應(yīng)以子樣參數(shù)代人。以標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(由統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為子樣標(biāo)準(zhǔn)差s，即u?s)代?，估計(jì)的相關(guān)系數(shù)r代?，即得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 u?或?qū)懗?u?(au)iii

4、?1n2?2?rklakukalul (5?22) k?l?(au)iii?1n2?R 式中 ui?xi的子樣標(biāo)準(zhǔn)不確定度，ui?si； ai?xi的傳遞函數(shù)。 其中相關(guān)項(xiàng) R?2?rklakukalul (5?23) k?l而相關(guān)系數(shù)估計(jì)量 rkl?ukl (5?24) ukul式中，ukl為估計(jì)的協(xié)方差。 當(dāng)全部相關(guān)系數(shù)rkl?1，則 u?(au)iii?1n2?2?akukalul?k?l?auii?1ni (5?25) 當(dāng)各項(xiàng)誤差互不相關(guān)，全部相關(guān)系數(shù)?kl?0，即R?0，則有 u?(au)iii?1n2 (5?26) 各誤差量之間互不相關(guān)的情形是常能得滿足或近似得到滿足的，因此式(5

5、?26)是最 常使用的合成公式。 令uci?aiui，式(5?26)可寫為 u?ui?1n2ci (5?27) 二、系統(tǒng)分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成 前已指出，不確定的(未知的)系統(tǒng)誤差也以其不確定度(方差、標(biāo)準(zhǔn)差或擴(kuò)展不確定 度)來評定，這與隨機(jī)誤差的情形相同。 一般測量過程包含若干項(xiàng)不確定的系統(tǒng)誤差，那么相應(yīng)的不確定度分量應(yīng)怎樣合成 才能獲得測量結(jié)果的總不確定度，這是測量結(jié)果不確定度合成中的重要問題。 由于這類誤差的取值具有不確定性，所以多個(gè)不同的這類誤差進(jìn)行疊加時(shí)具有隨機(jī) 誤差那樣的抵償性，其相應(yīng)的不確定度分量的合成也應(yīng)采取如隨機(jī)誤差那樣的方差相加 的方法。若給定這類誤差分量相應(yīng)的各標(biāo)準(zhǔn)不確定

6、度，則應(yīng)按式(5?22)式(5?27)合成 總標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 三、隨機(jī)分量與系統(tǒng)分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成 考慮到不確定系統(tǒng)誤差取值的不確定性，不確定系統(tǒng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度與隨機(jī)誤 差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度也應(yīng)按方差求和的方法進(jìn)行合成。一般可認(rèn)為不確定系統(tǒng)誤差與隨機(jī) 誤差是不相關(guān)的，則合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為 u?ur2?us2 (5?28) 式中 ur隨機(jī)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)不確定度； us系統(tǒng)誤差的總標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 若有n項(xiàng)隨機(jī)誤差分量，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為ur1,ur2,?urn；有m項(xiàng)系統(tǒng)誤差分量，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為us1,us2,?usm，則合成的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為 u?(ai?1n2u)?(au)?Rr?Rs

7、 (5?29) ?ririsfsj2i?1n式中 ari相應(yīng)于各隨機(jī)誤差的傳遞系數(shù)； asi相應(yīng)于各系統(tǒng)誤差的傳遞系數(shù)； Rr隨機(jī)誤差相關(guān)項(xiàng)； Rr系統(tǒng)誤差相關(guān)項(xiàng)。 相關(guān)項(xiàng)為各協(xié)方差之和，按式(5?23)計(jì)算。 當(dāng)各誤差因素都互不相關(guān)時(shí)，則有 u?或直接寫成 ?(ai?1n?mnriuri)?(asjusj)2 (5?30) 2i?1m u?(au)iii?12 (5?31) 由以上合成式可見，單次測量結(jié)果的各標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成時(shí)，隨機(jī)分量與系統(tǒng)分量可 等同看待，各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量按同一方式合成而無須區(qū)分。 例5?3 啟動或止動秒表的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u0?0.03s，求由于秒表啟、止誤差引起的計(jì)時(shí)標(biāo)

8、準(zhǔn)不確定度。 解 設(shè)啟動和止動的誤差互不相關(guān)，則所計(jì)時(shí)段的標(biāo)準(zhǔn)不確定度按式(5?26)應(yīng)為 u?u02?u02?0.032?0.032s?0.043s 例5?4 如圖5?2所示，為確定孔心的坐標(biāo)位置在萬能工具顯微鏡上，分別測量孔的二切線位置x1和x，x2，則孔心坐標(biāo)按下式計(jì)算 x?1(x?x2) 21若x1與x2的測量瞄準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)不確定u1?u2?0.0005mm 圖5?2 求所給坐標(biāo)x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 解 由測量方程式 x?可知 ?x?1(x?x2) 2111?x1?x2 22設(shè)測量的瞄準(zhǔn)誤差?x1與?x2互不相關(guān)，則由式(5?26)，給出坐標(biāo)x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為 ?1?1? u?u1?u2? ?

9、2?2?1?1? ?0.0005mm?0.0005?3.5?10?4mm ?2?2? 例5?5 某測量方法的各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)、相關(guān)系數(shù)列于 2222表5?5中，計(jì)算測量的總標(biāo)準(zhǔn)不確定度(單位略)。 表5?5 i ui ai 0.08 2.1 1 rkl r12?0.4 r34?0.2 2 3 4 5 0.05 0.02 0.04 0.10 1 1.5 2 1 解 按式(5?22)計(jì)算測量的總標(biāo)準(zhǔn)不確定度，將表中數(shù)據(jù)代人式中，可得 u?(au)iii?1n2?2?klakukalul? k?l(a1u1)2?(a2u2)2?(a3u3)2?(a4u4)2?(a5u5)2?2

10、(r12a1u1a2u2?r34a3u3a4u4)?(2.1?0.08)2?(1?0.05)2?(1.5?0.02)2?(2?0.04)2?(1?0.10)2 ?2(0.4?2.1?0.08?1?0.05?0.2?1.5?0.02?2?0.04?0.2354 擴(kuò)展不確定度的合成 測量的不確定度分量以擴(kuò)展不確定度(極限誤差、誤差限)的形式給出時(shí)，可按擴(kuò)展不 確定度合成總的不確定度。其合成方法與標(biāo)準(zhǔn)差的合成法則是一致的，但應(yīng)考慮各誤差 分量的分布規(guī)律，考慮到包含因子(置信系數(shù))和置信概率。 一、擴(kuò)展不確定度的合成法則 測量的各項(xiàng)誤差相應(yīng)的不確定度分量若表達(dá)為擴(kuò)展不確定度Ui?kiui，則將各擴(kuò)展

11、不確定度分量合成可得總擴(kuò)展不確定度。 設(shè)合成的總標(biāo)準(zhǔn)不確定度為u，若選定了相應(yīng)于一定置信概率的置信系數(shù)k，測量 的總擴(kuò)展不確定度應(yīng)為 U?ku 若將合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u的表達(dá)式(5?25)代入上式，則有 U?k若給定各項(xiàng)誤差的擴(kuò)展不確定度 ?(au)iii?1n2?2?rklakukalul k?l U1,U2,?,Un 及相應(yīng)的包含因子(置信系數(shù)) k1,k2,?,kn 第五章 不確定度的估計(jì)與合成 測量數(shù)據(jù)或經(jīng)數(shù)據(jù)處理所給出的最終結(jié)果都不可能是被測量的客觀真實(shí)值，只是被 測量具有一定精度的近似(或稱為估計(jì)量)。所以，數(shù)據(jù)處理的結(jié)果僅給出被測量的估計(jì) 量是不夠的，還必須對估計(jì)量作出精度估計(jì)。

12、 測量或測量結(jié)果的精度估計(jì)(或可信賴程度)以“不確定度”這一參數(shù)表征。本章涉及 不確定度的表征參數(shù)，不確定度分量的估計(jì)和諸項(xiàng)不確定度分量的合成。測量不確定度 的表述涉及到測量誤差的性質(zhì)、分布、誤差因素間的相關(guān)關(guān)系，測量方法及數(shù)據(jù)處理方法 等，在討論不確定度時(shí)應(yīng)特別注意有關(guān)的前提條件。 不確定度的表述是測量數(shù)據(jù)處理中的基本問題之一。本章討論的基本原則和基本方 法同樣適用于儀器、設(shè)備的精度分析。 51 不確定度及其表征參數(shù) 一、不確定度的概念 經(jīng)過修正的測量結(jié)果仍然有一定的誤差，它們的具體數(shù)值是未知的，因此無法以其誤差的具體數(shù)值來評定測量結(jié)果的優(yōu)劣。 測量誤差或大或小，或正或負(fù)，其取值具有一定的分

13、散性，即不確定性。在多次重復(fù) 測量中，可看出測量結(jié)果將在某一范圍內(nèi)波動，從而展示了這種不確定性。測量結(jié)果取值 的這一不確定性反映了測量誤差對測量結(jié)果的影響?？梢赃@樣認(rèn)為，測量結(jié)果可能的取值范圍越大，即其誤差值的可能范圍越大，表明測量誤差對測量結(jié)果的影響越大(在概率的意義上)，測量結(jié)果的可靠性越低。反之，測量結(jié)果可能的取值范圍越小，表明測量誤差對測量結(jié)果的影響越小，即測量結(jié)果不確定的程度越小，因而測量結(jié)果也就越可靠。為反映測量誤差的上述影響，引入“不確定度”這一概念。 測量的不確定度表示由于存在測量誤差而使被測量值不能肯定的程度。它的大小表征測量結(jié)果的可信程度。按誤差性質(zhì)，不確定度可分為系統(tǒng)分量

14、的不確定度和隨機(jī)分量的不確定度；按其數(shù)值的估計(jì)方法，不確定度可分為用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的和用其他方法估計(jì)的二類； 應(yīng)注意，測量的不確定度與測量誤差是完全不同的兩個(gè)概念。不確定度是表征誤差對測量結(jié)果影響程度的參數(shù)，而不是誤差。測量誤差取值具有不確定性并服從一定的分布，而不確定度對某一確定的測量方法來說具有確定的值(只是在實(shí)際估計(jì)時(shí)，所得不確定度的估計(jì)量有一定的不確定性)，兩者的性質(zhì)完全不同。 二、不確定度的表征參數(shù) 前面已給出了表征隨機(jī)誤差分布特征的參數(shù)方差D與標(biāo)準(zhǔn)差?。方差D或標(biāo) 準(zhǔn)差?反映了測量結(jié)果(或測量誤差)可能取值的分散程度。D或?較大，則誤差分布曲 線較寬，表明測量結(jié)果可能的取值范圍較寬，

15、在概率意義上測量誤差的影響較大，應(yīng)認(rèn)為 該測量結(jié)果精度較低，或可靠性較差。反之，D或?較小，則相應(yīng)的誤差分布曲線高而窄， 表明測量誤差的影響小，測量結(jié)果取值不確定的程度小而精度高。方差或標(biāo)準(zhǔn)差是測量 誤差作用的表征參數(shù)，與誤差值本身不同。 因此，方差D或標(biāo)準(zhǔn)差?可作為測量不確定性的表征參數(shù)。實(shí)踐上則使用估計(jì)的標(biāo) 準(zhǔn)差(子樣標(biāo)準(zhǔn)差)s作為不確定度的表征參數(shù)，在不確定度的表述中常稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用u表示，即u?s。 測量不確定度也可用擴(kuò)展不確定度表示為 U?ku 式中，k為包含因子，是相對應(yīng)于置信概率P?1?(?為顯著度)的置信系數(shù)。置信概率 P為測量數(shù)據(jù)包含于區(qū)間(?ku,ku)的概率。通常置

16、信概率取約定值，如P?95%，P?99%等。 當(dāng)u值可信度較高時(shí)，由選定的P值按正態(tài)分布確定是值(當(dāng)被測量誤差服從正態(tài) 分布時(shí))。但當(dāng)u值可信度較低時(shí)(由小子樣獲得u值)，則應(yīng)按t分布確定k值。 不確定度的合成結(jié)果不僅與各分量的不確定度有關(guān)，而且還與各誤差分量間的相關(guān) 性有關(guān)。因?yàn)橄嚓P(guān)性影響誤差間的抵償作用，進(jìn)而影響總誤差的分散性，這種影響以協(xié)方 差(相關(guān)矩)反映出來。所以，必要時(shí)還應(yīng)給出各誤差分量的協(xié)方差(相關(guān)矩)或相關(guān)系數(shù)。 用統(tǒng)計(jì)的方法給出不確定度時(shí)，因?yàn)樗罁?jù)的測量數(shù)據(jù)的數(shù)目是有限的，所以給出的 方差或標(biāo)準(zhǔn)差僅是其估計(jì)量(子樣方差或子樣標(biāo)準(zhǔn)差)。隨著測量數(shù)據(jù)數(shù)目的增加，所給出的方差估計(jì)

17、量或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量的可靠性趨于增強(qiáng)；而在測量數(shù)據(jù)數(shù)目很少時(shí)，所給方差 或標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量的精度則很低。 為反映所給方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)估計(jì)量的可靠性的這一差別，應(yīng)給出相應(yīng)的自由度。 自由度是指所給的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)的估計(jì)量中所含獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。顯然，獨(dú)立變 量數(shù)越多，即自由度越大，所給估計(jì)方差就越可靠。 當(dāng)按t分布估計(jì)擴(kuò)展不確定度時(shí)，自由度是必須涉及的關(guān)鍵參數(shù)。 不確定度也可以相對量的形式給出，如 uxUx，等。 xx52 不確定度的估計(jì) 為了給出測量的總不確定度，實(shí)踐中通常首先估計(jì)出其各項(xiàng)分量，然后再按一定方式合成。因而，在不確定度評定中，如何恰當(dāng)?shù)毓烙?jì)不確定度各項(xiàng)分量，具有關(guān)鍵性意義。 標(biāo)準(zhǔn)差是不

18、確定度的基本表征參數(shù)，為討論方便，以下僅按標(biāo)準(zhǔn)差討論不確定度的估計(jì)。 我們可以用不同的方法給出標(biāo)準(zhǔn)差，這些方法可以歸結(jié)為統(tǒng)計(jì)的和非統(tǒng)計(jì)的兩類方法。 一、用統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)不確定度 用統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)不確定度是指依據(jù)一定數(shù)量的測量(或?qū)嶒?yàn))數(shù)據(jù)，按數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法給出測量的不確定度。這一方法以統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，所給結(jié)果具有明確的概率意義和一定的客觀性。原則上，對于測量的隨機(jī)誤差的不確定度總可以用統(tǒng)計(jì)的方法作出估計(jì)。 不確定度的統(tǒng)計(jì)估計(jì)都是根據(jù)有限次測量的數(shù)據(jù)所給出的精度參數(shù)，它們是子樣的方差，標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差等，是總體相應(yīng)參數(shù)的估計(jì)量。本書以不同的符號，如s、s等表示這種子樣參數(shù)，以區(qū)別于總體

19、參數(shù)(即理論意義上的參數(shù))。所依據(jù)的數(shù)據(jù)越少(小子樣)，給出的不確定度估計(jì)(參數(shù)s、s等)的可信程度就越差；而數(shù)據(jù)越多(大子樣)，給出的不確定度的可信程度就越高(即更接近理論意義上的總體參數(shù))。這一差別以所給不確定度的自由度表示。我們總希望給出的不確定度估計(jì)可信程度高一些，這就要求獲得盡可能多的測量數(shù)據(jù)。實(shí)際上因種種條件的限制，測量數(shù)據(jù)不會太多，有時(shí)甚至很少。因此一般給出的不確定度的可信程度是有限的，給出不確定度的有效數(shù)字通常只須取12位。 為估計(jì)測量的不確定度，通常采用對某一確定量的等精度的重復(fù)測量數(shù)據(jù)作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。對于不等精度的測量數(shù)據(jù)應(yīng)按加權(quán)值作統(tǒng)計(jì)估計(jì)。對于組合量的測量數(shù)據(jù)則常采用最小

20、二乘法處理，并按相應(yīng)的方法估計(jì)測量的不確定度。 以下著重討論依據(jù)等精度重復(fù)測量數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)測量的(或測量數(shù)據(jù)的)標(biāo)準(zhǔn)差的方法。 1矩法 22 按定義，方差為 對于隨機(jī)誤差?，其數(shù)學(xué)期望為： E(?)?0 因此，隨機(jī)誤差?的方差為： D(?)?E?E(?)2D(?)?E(?2)?2f(?)d? (5?1) ? 為計(jì)算測量的方差或標(biāo)準(zhǔn)差，在一恒定的條件下對某量X進(jìn)行多次的重復(fù)測量(這自然是等精度的測量)，得n個(gè)測量數(shù)據(jù)，則由方差的定義（式5?1)測量的方差可估計(jì)為 1n2 s?i (5?2) ni?12標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為 s?1n2? (5?3) ni?1i式中 ?i第i次測量誤差，?i?x

21、i?Xi； n測量次數(shù)。 若已知真值或相對真值X，則可求得亂。進(jìn)而可用式(5?3)計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差。但一般被測量的真值是未知的，能給出真值或相對真值的情形并不多見，因此式(5?3)在實(shí)踐中難以應(yīng)用。 由于殘差是易于獲得的，所以測量數(shù)據(jù)的精度通常用殘差來估計(jì)。為此，按式(4?4) 計(jì)算等精度重復(fù)測量數(shù)據(jù)x1,x2,?xn的殘差v1,v2,?vn依照式(5?3)，以殘差vi代替真誤差?i，則有 s2?或 ?vi?1n2in s?vi?1n2in 這就是方差及標(biāo)準(zhǔn)差的矩法估計(jì)。對于正態(tài)分布的情形，矩法估計(jì)與最大似然估計(jì)是一致的。由式(5?4)給出的方差估計(jì)是有偏估計(jì)量，只在測量數(shù)據(jù)較多時(shí)才接近無偏估計(jì)。

22、因此，一般不使用這一估計(jì)?，F(xiàn)指出這一估計(jì)的有偏性。 設(shè)有殘差 vi?xi?x?(xi?X)?(x?X)?i?x 式中 X被測量真值； ?i測量結(jié)果xi的誤差，?i?xi?X； ?x算術(shù)平均值的誤差，?x?x?X。 則方差估計(jì)的數(shù)學(xué)期望為 ?n?v2?i? E?i?1?n?1nE?n?(?i?x)2? ?i?1?1?n?nnE?2n2?i?x?2i?1i?1?i?xi?1? 1?nn?E(?2i)?nE(?2?x)i?1? 因?yàn)?E(?2i)?2 2E(?22?x)?x?n 故 ?n?v2?i1?E?i?n?1?2 ?n?n ?n可見，估計(jì)量?v2in的數(shù)學(xué)期望并非?2，因此它不是?2的無偏估計(jì)

23、量。i?12貝塞爾(Bessel)公式 由式(5?6)可得 ?n?v2?i?E?i?1?2 ?n?1?(5?6) (5?7) 可見，?vi?1n2i(n?1)是?2的無偏估計(jì)量，因此取方差的估計(jì)量為 ns?而標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為 2?vi?12in?1 (5?8) s?vi?1n2in?1 (5?9) 式(5?9)即為廣泛使用的貝塞爾公式。 按式(5?8)給出的s是?的無偏估計(jì)量，但按貝塞爾公式給出的s則是有偏的，因?yàn)楣烙?jì)量s是隨機(jī)變量，開方后產(chǎn)生系統(tǒng)偏差，即求得的s相對?有系統(tǒng)偏差，其值偏小。?的無偏估計(jì)可表示成如下形式 22 s?11s?MnMn?vi?1n2in?1 (5?10) 式中，1M

24、n為修正系數(shù)，對于正態(tài)分布的情形，其值列于表5?1中。 表5?1 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 1Mn 1.253 1.128 1.085 1.064 1.051 1.042 1.036 1.032 1.028 1.018 n 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 1Mn 1.013 1.011 1.009 1.006 1.005 1.004 1.004 1.003 1.003 1.0025 由表5?1可知，這一有偏性只在測量數(shù)據(jù)較少時(shí)才有較明顯的影響。測量數(shù)據(jù)較多時(shí)，這一影響可忽略不計(jì)。 另一方面，由于測量數(shù)據(jù)的數(shù)量總是有限的，所以按貝塞爾公式給出的

25、結(jié)果具有隨機(jī)性。由此造成的影響可用估計(jì)量s的標(biāo)準(zhǔn)差ss來評定，ss可估計(jì)為 ss?s2(n?1) (5?11) 可見，當(dāng)n很小時(shí)，所得估計(jì)量s的分散性是很大的；當(dāng)n增大時(shí)，這一分散性減小。 但總的來說，這一影響不可忽略，即一般所給的s并不精密。因此，所給出的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量s的有效數(shù)字一般只取一位或二位就夠了。 3極差法 設(shè)按某一測量方法對量X進(jìn)行n次等精度的重復(fù)測量，得測量數(shù)據(jù)x1,x2,?xn，取其中的最大值xmax及最小值xmin作統(tǒng)計(jì)量(極差) Wn?xmax?xmin (5?12) 測量的標(biāo)準(zhǔn)差可按下式估計(jì) s?Wn (5?13) dn式中dn為系數(shù)，對于正態(tài)分布的測量誤差，其dn值按n

26、值由表5?2查得。 表5?2 n dn 2 3 4 5 6 7 1dn n dn 1dn n dn 1dn n dn 40 45 50 1dn 1.128 0.8862 8 2.847 0.3512 14 3.407 0.2935 1.693 0.5908 9 2.970 0.3367 15 3.472 0.2880 2.059 0.4857 10 3.078 0.3249 20 3.735 0.2677 2.326 0.4299 11 4.322 0.2314 4.415 0.2265 4.598 0.2223 0.199 0.182 0.170 3.173 0.3152 25 3.931

27、0.2544 100 5.025 2.534 0.3946 12 3.258 0.3069 30 4.085 0.2448 200 5.495 2.704 0.3698 13 3.336 0.2998 35 4.213 0.2374 400 5.882 極差法給出的結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)，在測量數(shù)據(jù)的數(shù)目較少時(shí)，其估計(jì)精度比貝塞爾公式給出的結(jié)果略高一些，因此極差法是用于測量數(shù)據(jù)較少的情況。 同時(shí)，由于極差法計(jì)算簡單、迅速，所以有一定的實(shí)用性。 4最大誤差法 設(shè)測量誤差服從正態(tài)分布，現(xiàn)對量X進(jìn)行多次獨(dú)立的重復(fù)測量，得測量數(shù)據(jù)x1,x2,?xn，若已知被測量的真值X（或相對真值），則可得測量數(shù)據(jù)的

28、真誤差?1,?2,?n，測量的標(biāo)準(zhǔn)差可估計(jì)為 s?式中 1?iKnmax (5?14) ?imax絕對值最大的誤差； 1Kn 系數(shù)，其值可由表5?3查得。 表5?3 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 1Kn 1.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.49 0.46 0.44 0.43 1Kn? 1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44 但被測量的真值或相對真值常是未知的，所以應(yīng)按殘差計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，取vi?xi?x

29、，則 s?式中 vimax1Kn?vimax (5?15) 絕對值最大的殘差； 1Kn?系數(shù)，其值按n值由表5?3查得。 用最大誤差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差方法簡便，所求得的標(biāo)準(zhǔn)差s為無偏估計(jì)量。在測量數(shù)據(jù)較少(約n?10)時(shí)，這一估計(jì)量有一定精度，因而有一定使用價(jià)值。特別是在一次性實(shí)驗(yàn)中，不可能按貝塞爾公式給出標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)只能用最大誤差法作出估計(jì)。這是最大誤差法的突出特點(diǎn)。 例5?1 A、B對某量的測量數(shù)據(jù)分別為5.5286和5.5302，經(jīng)較為精確的檢定，其結(jié)果為5.5298，試評定A和B的測量精度。 解 檢定結(jié)果較為精確，故可認(rèn)為其結(jié)果為相對真值，則A、B所獲結(jié)果的誤差分別 ?A?xA?X?5.52

30、86?5.5298?0.0012 ?B?xB?X?5.5302?5.5298?0.0004 用最大誤差法計(jì)算相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差 sA?1?1.25?0.0012?0.0015 KnA1?B?1.25?0.0004?0.0005 KnsB?故B的結(jié)果遠(yuǎn)較A的結(jié)果精度高。 5別捷爾斯?eTepc?公式 設(shè)測量誤差服從正態(tài)分布，若對某量X進(jìn)行多次重復(fù)測量（獨(dú)立地），得n個(gè)測量數(shù)據(jù)x1,x2,?xn，求出其相應(yīng)的殘差v1,v2,?vn，則測量的標(biāo)準(zhǔn)差可按下式估計(jì) s?2?v?i?1nin(n?1) (5?16) 這就是計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的別捷爾斯公式，其簡化式為 s?1.253?vi?1nin(n?1) (5?17

31、) 別捷爾斯公式所給結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)，其精度與貝塞爾公式相近。 例5?2 已知某測量方法的測量誤差服從正態(tài)分布，現(xiàn)用該測量方法測量某量L共 10次，得測量數(shù)據(jù)li（單位略)如表5?4所示，試用各種方法求測量的標(biāo)準(zhǔn)差。 解 測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為 l?li?1nin?4.578 表5?4 i li 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l?4.578 4.575 4.573 4.578 4.576 4.574 4.579 4.576 4.574 4.577 4.576 vi?103 -0.8 -2.8 2.2 0.2 -1.8 3.2 0.2 -1.8 1.2 0.2 ?vi?14.4

32、 i?1n20.64 7.84 4.84 0.04 3.24 10.24 0.04 3.24 1.44 0.04 ?vi?31.6 i?1n vi2?106 由此可求得殘差，如表所示，則標(biāo)準(zhǔn)差按不同公式分別計(jì)算如下(為區(qū)分其效果，有效數(shù)字都取三位) （1） 按矩法計(jì)算 s?vi?1n2in?31.6?10?6?1.78?10?3 10（2） 按貝塞爾公式計(jì)算 s?vi?1n2in?1?31.6?10?6?1.87?10?3 10?1 (3) 按別捷爾斯公式計(jì)算 s?1.253(4) 按極差法計(jì)算 ?vi?1nin(n?1)?1.25314.4?10?310(10?1)?1.90?10?3 Wn

33、6?10?3s?1.95?10?3 dn3.078(5)按最大誤差法計(jì)算 s?1Knv?i?1nimax?0.57?3.2?10?3?1.82?10?3 二、用其他方法估計(jì)不確定度 實(shí)踐上，有相當(dāng)多的誤差因素的標(biāo)準(zhǔn)差無法用統(tǒng)計(jì)方法給出，特別是對某些系統(tǒng)性誤差因素更是如此。此時(shí)，需借助其他方法，在詳細(xì)研究測量過程的基礎(chǔ)上，按誤差的作用機(jī)理來確定標(biāo)準(zhǔn)差，這就是非統(tǒng)計(jì)的方法。這類方法依賴某種非統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)和對測量方法及以往實(shí)驗(yàn)資料的深入分析。例如，溫度變化(相對標(biāo)準(zhǔn)溫度20C)會造成測量誤差，特別是對于長度的測量，因此需要控制測量的環(huán)境溫度?，F(xiàn)分析溫度誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。在自動恒溫系統(tǒng)中，實(shí)際溫度在20C附近

34、?的范圍內(nèi)波動(圖5?1)。例如在恒溫箱中，當(dāng)箱內(nèi)溫度低于?(20?C?)時(shí)，溫度傳感器發(fā)出電信號，通過控制裝 圖5?1 置使加熱器通電升溫。當(dāng)溫度升高至20C?時(shí)，傳感器發(fā)出另一控制信號，加熱器斷電。當(dāng)環(huán)境溫度低于20C時(shí)，由于自然散熱，箱內(nèi)溫度緩慢下降。在降至允許的最低溫度?20?C?時(shí)，加熱器再度工作，溫度回升。如此循環(huán)反復(fù)，箱內(nèi)溫度在一定范圍內(nèi)波動，但不超過?。顯然，溫度的這一波動對測量是有影響的。例如在T1時(shí)刻測量時(shí)溫度誤差是?1?20C，而在T2時(shí)刻測量時(shí)溫度誤差是?2?20C。這一誤差隨機(jī)地出現(xiàn)于測量過程中，但無法用統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)它的影響。一般是以溫度波動的范圍?確定測量過程中溫

35、度誤差?的擴(kuò)展不確定度U?，按溫度波動的具體情形，假設(shè)Jd服從某種分布(例如?均分布)則溫度誤差的標(biāo)準(zhǔn)差可估計(jì)為 s?U? ?kk式中k為包含因子(置信系數(shù))，取決于誤差的分布規(guī)律。 這里溫度波動范圍厶夕是依據(jù)對系統(tǒng)工作機(jī)理及以往實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析給出的。而溫度誤差的分布是根據(jù)誤差的特征所作的假設(shè)，雖然有一定的事實(shí)根據(jù)，但畢竟不是根據(jù)嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)作出的，因此概率意義是含混的。由于它與誤差的實(shí)際分布有一定差異，有時(shí)甚至相差很大，所以給出的s含有一定的人為因素的影響。例如，假設(shè)?具有另外一種分布時(shí)，則所得s將有所不同(此時(shí)置信系數(shù)不同)，因此其客觀性受到影響。這就使非統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用具有很大的局限性。

36、但由于應(yīng)用條件的限制，用統(tǒng)計(jì)的方法遠(yuǎn)不能解決所有誤差因素的不確定度估計(jì)問題，所以非統(tǒng)計(jì)的方法在實(shí)際測量的不確定度估計(jì)中仍有廣泛的應(yīng)用。 按非統(tǒng)計(jì)的方法給出不確定度估計(jì)并沒有固定的模式和規(guī)則化的方法，應(yīng)針對具體的測量的問題去研究。這是與統(tǒng)計(jì)法的另一差別，因此，用非統(tǒng)計(jì)的方法估計(jì)不確定度更為困難。 雖然非統(tǒng)計(jì)方法與統(tǒng)計(jì)方法有所不同，但二種方法所給的不確定度參數(shù)本身并沒有本質(zhì)差別，況且所謂統(tǒng)計(jì)方法和非統(tǒng)計(jì)方法之間的區(qū)分也不是絕對的，所以為方便起見，本書對兩種方法給出的不確定度參數(shù)的表述形式(名稱及符號)將不作區(qū)分。 最后應(yīng)指出，以上討論的不確定度估計(jì)，一般總是測量(或測量數(shù)據(jù))的不確定度的某一分量，

37、而不是總不確定度。為給出測量的總不確定度，就要將用不同方法獲得的各不確定度分量按以下各節(jié)所述的方法進(jìn)行合成。 53 標(biāo)準(zhǔn)差不確定度的合成 測量不確定度是測量誤差的表征參數(shù)，與測量誤差完全不同，因此其合成規(guī)律應(yīng)具有 完全不同的特點(diǎn)。各誤差分量相應(yīng)的不確定度合成為測量結(jié)果的總不確定度時(shí)，不應(yīng)再 按線性關(guān)系疊加，而是采用方差求和的方法，并且還應(yīng)考慮到各誤差分量的相關(guān)關(guān)系。 一、標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成的基本關(guān)系 按誤差傳遞關(guān)系式(3?17)，測量結(jié)果的總誤差?y應(yīng)為各項(xiàng)原始誤差?x1,?x2,?xn的線性和，即 ?y?a?xii?1ni 顯然，若各項(xiàng)原始誤差?x1,?x2,?xn均為隨機(jī)誤差，則總誤差?y也

38、為隨機(jī)誤差。此時(shí)，上式為隨機(jī)變量之和。根據(jù)隨機(jī)變量方差的性質(zhì)，作為隨機(jī)變量的誤差?x1,?x2,?xn無論服從何種分布，上面線性和的方差都應(yīng)為 D(?y)?ai2D(?xi)?2i?1n1?k?l?n?akalDkl 式中 D(?y)?y的方差； D(?x1),D(?x2),?D(?xn)分別為?x1,?x2,?xn的方差； 則相應(yīng)的各標(biāo)準(zhǔn)不確定度可表示為 u1?UU1U,u2?2,?,un?n k1k2kn 這就是擴(kuò)展不確定度合成的基本關(guān)系式。這一合成關(guān)系式與標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成式 (5?25)是類似的，它反映了誤差的抵償性。 相關(guān)項(xiàng)以擴(kuò)展不確定度的形式表示為 R?21?k?l?n?rkl?a

39、kUkalUl? (5?33 )kkkl 相關(guān)項(xiàng)反映了各項(xiàng)誤差間相關(guān)關(guān)系對擴(kuò)展不確定度合成的影響，這一影響除與誤差 間的相關(guān)系數(shù)rkl有關(guān)以外，還與各擴(kuò)展不確定度分量、置信系數(shù)及傳遞系數(shù)有關(guān)。 應(yīng)當(dāng)指出，式(5?32)中的總擴(kuò)展不確定度與擴(kuò)展不確定度分量應(yīng)具有相同的置信相 率，在給定各置信系數(shù)（k與ki）時(shí)要予以注意。 一般來說，影響測量結(jié)果的各項(xiàng)誤差分量可能具有不同的分布。因此，式(5?32)中各 置信系數(shù)k1,k2,?kn一般也不相同。由這些不同分布的誤差分量綜合所得的測量總誤差則不服從正態(tài)分布，準(zhǔn)確地確定其置信系數(shù)是較困難的，這是與標(biāo)準(zhǔn)不確定度合成關(guān)系的不同之處。在按標(biāo)準(zhǔn)差合成不確定度時(shí)

40、，則無須考慮誤差的分布。 不過一般情況下，多數(shù)誤差因素服從正態(tài)分布，非正態(tài)分布的誤差因素所占的比重較 小，此時(shí)總誤差接近于正態(tài)分布，A值可取正態(tài)分布時(shí)的值。另外，在誤差數(shù)目n較大 時(shí)，總誤差也接近正態(tài)分布，置信系數(shù)也可按正態(tài)分布確定。 下面討論幾個(gè)特例。在某種特定的條件下，擴(kuò)展不確定度的合成公式(5?32)具有較 為簡單的形式。 當(dāng)各項(xiàng)誤差?x1,?x2,?xn都服從正態(tài)分布時(shí)，合成的總誤差?y?態(tài)分布，所以總誤差的置信系數(shù)k與各誤差分量的置信系數(shù)都相同，即 k?k1?k2?kn 因此擴(kuò)展不確定度合成公式(5?32)可化為 ?xi?1ni也服從正U?(aU)iii?1nn2?2?klakUka

41、lUl? k?l?(aU)iii?12?R (5?34) 式中 R?2?raUaUklkklk?ll (5?35) 在各項(xiàng)誤差服從正態(tài)分布的條件下，特別當(dāng)rkl?1寸，上式可化為 U?aUii?1ni (5?36) 而當(dāng)各項(xiàng)誤差分量服從正態(tài)分布，且互不相關(guān)，即rkl?0時(shí)，式(5?34)則化為 U?(aU)iii?1n2 (5?37) 若將各原始誤差的擴(kuò)展不確定度乘以傳遞系數(shù)折合至最后結(jié)果(或按定義直接計(jì)算出最后結(jié)果的各擴(kuò)展不確定度分量)即 U1?a1U1,U2?a2U2,?Un?anUn 則上面幾個(gè)常用的公式可分別寫成如下形式。 當(dāng)各項(xiàng)誤差都服從正態(tài)分布(k?k1?k2?kn)時(shí)，有 U?U

42、?iI?1N2?2?rklUk?Ul?k?l (5?38) 當(dāng)各項(xiàng)誤差都服從正態(tài)分布，且有強(qiáng)正相關(guān)關(guān)系(rkl?1)時(shí)，有 U?U? (5?39) ii?1n當(dāng)各項(xiàng)誤差都服從正態(tài)分布，且互不相關(guān)(rkl?0)時(shí)，有 U?U?ii?1n2 (5?40) 式(5?37)和式(5?40)具有十分簡單的形式，它們所給出的合成規(guī)則也常稱為“方和根”法，是最常用的合成公式。這是因?yàn)橥ǔ８髡`差因素多是服從或近似服從正態(tài)分布的，而且它們之間常是線性無關(guān)或近似于線性無關(guān)的。因此式(5?37)和式(5?40)的應(yīng)用條件常能得到滿足或近似得到滿足。 實(shí)踐中，非正態(tài)分布的誤差因素也常會出現(xiàn)。當(dāng)非正態(tài)分布的誤差因素在全

43、部誤差 中所占的比重不大時(shí)，擴(kuò)展不確定度的合成仍可近似地使用式(5?34)(5?40)。 二、系統(tǒng)分量擴(kuò)展不確定度的合成 對于不確定的系統(tǒng)誤差，其擴(kuò)展不確定度的合成可直接套用式(5?32)，、式(5?34)、式(5?36)及式(5?37)等，即采用“方和根”法(當(dāng)然也要考慮誤差的分布和相關(guān)性)： 考慮到不確定的系統(tǒng)誤差因素間也有如隨機(jī)誤差間那種不確定的關(guān)系，即相互問具有一定的抵償性，因此采用某些文獻(xiàn)上所提出的“絕對和”法合成極限誤差的方法時(shí)，其概率意義是含混不清的，所得結(jié)果偏大。即使少數(shù)幾項(xiàng)這類分量合成時(shí)也是如此。 所以用?1與?2的“絕對和”所得?估計(jì)?y的分散性是偏大的。按概率論的基本理論

44、，擴(kuò)展不確定度的合成還應(yīng)以方差相加這一法則為依據(jù)，直接采用以上所給各式按“方和根”法合成。 三、隨機(jī)分量與系統(tǒng)分量擴(kuò)展不確定度的合成 同樣，隨機(jī)誤差與不確定的系統(tǒng)誤差的擴(kuò)展不確定度合成時(shí)也應(yīng)以方差合成法則為依據(jù)。 設(shè)有隨機(jī)誤差分量?xr，相應(yīng)的擴(kuò)展不確定度為Ur，不確定的系統(tǒng)誤差分量?xs，相應(yīng)的擴(kuò)展不確定度為Us，則總誤差 ?y?xr?xs 的擴(kuò)展不確定度應(yīng)為 ?U?U?U?k?r?s? (5?41) ?kr?ks?若認(rèn)為?xr與?xs，都服從正態(tài)分布或接近正態(tài)分布，則k?kr?ks，有22U?Ur2?Us2 (5?42) 一般式中Ur與Us由相應(yīng)各分量合成而得，故式(5?42)又可寫成 U

45、?式中 Uri,ari隨機(jī)誤差分量的擴(kuò)展不確定度極其傳遞系數(shù)，i?1,2,?n； Usj,asj不確定的系統(tǒng)誤差分量的擴(kuò)展不確定度極其傳遞系數(shù)，j?1,2,?m； R反映誤差間的相關(guān)關(guān)系的相關(guān)項(xiàng)，按式(5?35)計(jì)算。 當(dāng)各誤差因素間互不相關(guān)時(shí)，有Ri?0，于是式(5?43)化為 U?或直接寫成 ?(aUrii?1n2)?(aU)?R (5?43) ?risjsj2j?1m?(aUrii?1nri)?(asjUsj)2 (5?44) 2j?1mm?n U?式中 ?(aU)iii?12 (5?45) Ui隨機(jī)的或系統(tǒng)的擴(kuò)展不確定度，i?1,2,?n?m； aiUi的傳遞系數(shù)。 當(dāng)將各擴(kuò)展不確定度

46、折合至測量結(jié)果時(shí)，即 Ui?aiUi 則上式可寫成 n?mU?U?ii?12 (5?46) 上式表明，對于單次測量結(jié)果，當(dāng)測量誤差服從正態(tài)分布，且互不相關(guān)時(shí)，不論是隨機(jī)誤差，還是系統(tǒng)誤差，其擴(kuò)展不確定度一律按同一方式合成。此時(shí)應(yīng)等同看待隨機(jī)誤差和不確定的系統(tǒng)誤差。 例5?6 三塊量塊研合在一起，求組和尺寸的擴(kuò)展不確定度。已知第一塊與第二塊的擴(kuò)展不確定度為0.5?m，第三塊的的擴(kuò)展不確定度為0.6?m。 解 組合尺寸的誤差應(yīng)是三塊量塊的檢定誤差的疊加結(jié)果。這是不確定的系統(tǒng)誤差。 量塊的中心長度誤差是由檢定方法帶來的，一般用擴(kuò)展不確定度（極限誤差）表征。以量塊的擴(kuò)展不確定度（極限誤差）的大小劃分量

47、塊的等別。 按等別使用時(shí)，量塊組合尺寸的擴(kuò)展不確定度應(yīng)是三塊量塊中心長度檢定擴(kuò)展不確定度的合成結(jié)果。顯然，它們的傳遞系數(shù)都為1。 按式(5?45)，組合尺寸的擴(kuò)展不確定度應(yīng)為 222 U?U1?U2?U3?0.52?0.52?0.62?m?0.93?m 例5?7 在例3?12漸開線齒形加工中，已知齒輪的基圓半徑r0?9.3969mm，擴(kuò)展?不確定度Ur0?0.0015mm，齒形展開角范圍?3150?23?，擴(kuò)展不確定度U?30?。試求齒形的擴(kuò)展不確定度。 解 例3?12中已給出誤差的傳遞系數(shù)的表達(dá)式，將題給數(shù)據(jù)代入，得傳遞系數(shù)值 ar0?0.5557rad a?r0?9.3969mm 將U?化成弧度值 ?6?6?4 U?U?4.848?10?30?4.848?10rad?1.45?10rad 設(shè)測量誤差?r0及?服從正態(tài)分布且互不相關(guān)，則由式(5?45)，得合成的擴(kuò)展不確定度 U? (ar0Ur0)2?(a?U?)2? (0.5557?1.5?10?3)2?(9.3969?1.45?10?