正多邊形的有關(guān)計(jì)算

1、正多邊形的有關(guān)計(jì)算【基礎(chǔ)知識(shí)精講】一、 定理：正n邊形的半徑和邊心距把正 n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.二、正多邊形有關(guān)計(jì)算（n -2） 180（1）正n邊形角的計(jì)算公式：每個(gè)內(nèi)角等于n（n為大于或等于3的整數(shù)）；每個(gè)外角360。=每個(gè)中心角=n .（2）正n邊形的其他有關(guān)計(jì)算，由于正n邊形的半徑和邊心距把正 n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正 n邊形各元素之間的關(guān)系，所以，可以把正 n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為 解直角三角形的問題，這個(gè)直角三角形的斜邊為外接圓半徑R, 條直角邊是邊心距 rn，另一條直角邊是an18090邊長an的一半（即2）；兩個(gè)銳角分別為中心

2、角的一半 （即 n ）和一個(gè)內(nèi)角的一半（即n ）或（即18090 - n ）.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】重點(diǎn)是把正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.難點(diǎn)是通過作正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.例1.某正多邊形的每個(gè)內(nèi)角比其外角大100,求這個(gè)正多邊形的邊數(shù).（n - 2） 180360解：設(shè)此正多邊形的邊數(shù)為n，則各內(nèi)角為n，外角為 n ，依題意得:(n - 2) 180360n - n =100解得n = 9答：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為9.例2.如圖7-42，已知：正三角形 ABC外接圓的半徑為 R,求它的邊長，邊心距、周長和面積解：連結(jié)OB過0作OMLBC于M1

3、80/Z BOIW3 =60,二/ 0BIW30011R.om= 2 0B= 2 R,. 丫 3= 2一22R2-(R)2BM= OB2 -OM2 = ;/= 2 RI-/a 3 = BC= 2BM=、3 Rf-/P 3= 3a3 = 3(3 R1 R 3 3/S3 = 3Sboc=3X 2 3 R- 2 =4 R例3. 一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形的面積相等，求它們邊長的比BD 2)07-43解：如圖7-43，設(shè)0,0分別是正三角形 ABC正六邊形EFGHIJ的中心，分別作ODLBC于D,作0 KXGH180 1于 K,連 OB O G 則在 RtAODB中，/ BOD= 3 =60, BD=

4、 2 a3,:-?3/r 3= OD=BD- ctg60 =6 a3,/S 3= 6Sodb=6X 2 BD- OD11 x 3 x 3=6x 2 x 2 a3x 6 a3 =4 a3.180丄在 RtAO KG 中，/ GO K=6 =30, GK= 2 a6./f6=O K=GK- ctg30a6/S 6 = 12So gk = 12X 2 XGKO K1 13、3= 12X2 x 2 a32 X2 日6 =2a62TS3 =S6 ,33 3.4 a23=2a262a532.a6=2 ,a2、3, 62a6=2 ,即卩已3 : a 22證明：如圖7-44 ,設(shè)OO是正n邊形ABC的內(nèi)切圓，

5、其中AB與。0相切于D,連OA OD OB知ODLAB丄1 Pl且OD= n ,.S OAB= 2 AB- OD= 2 n r n.T正n邊形有n個(gè)如同 OAB的等腰三角形，丄E 1/S n = nSOAB=n 2 n r = 2 Rr n.【難題巧解點(diǎn)撥】例1.已知：如圖7-45,00半徑為R,求。0內(nèi)接正八邊形的邊長 a8，邊心距5和中心角.解：連結(jié) OA OB并作OQAB于點(diǎn)K,0K 丄 AB 二 AB-2AK0K經(jīng)過圓心0 360中心角 a =Z AOB=8 =451在 RtAAOK中，/ AK=90, OA= R,Z AO= 2 a = 22.5 故 AK=OAsin ZAO=R-

6、sin22.5 ,/AK= 0.3827R.a 8 = AB= 2AK= 0.7654Rr 8= OK=OA- cosZAOK=R- cos22.5 =0.9239R說明正多邊形的半徑、邊心距和邊長的一半組成的一個(gè)直角三角形，有關(guān)正多邊形的計(jì)算常常歸結(jié)為解這個(gè)直角三角形.360(2)若正n邊形的半徑為R,則它的中心角 a = n ,180 180邊長 an = 2R- sinn ，邊心距 爲(wèi)=R- cos n .例2.已知如圖7-46，等邊 ABC的邊長為a,求其內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG勺面積.8S7-46解：設(shè)BC切OO于M,連OM OB _則OMLBC180在 RtOMB中，/ BOIW

7、3 =601 1BM= 2 BC= 2 a1 3OM=BM- ctg ZBO=2 a ctg60 =6 a連結(jié)OE,作ONLEF于N,則 OE= OM= 6 a180、一 3在 RtONE中，/ EO= 4 =45, OE= 6 a.32、6/EN=OE- sin ZEON=6 a 2 = 12 a、-6/EF= 2EN=6 a、6 a2/S 正方形DEFG= eF= (6 a)2 =6O的半徑既說明解這類問題是正確畫出圖形，構(gòu)造直角三角形，在本題中，由于正三角形內(nèi)切圓 是正三角形的邊心距，又是正方形的半徑，所以求岀OO的半徑是個(gè)突破口12 nRa，利【課本難題解答】例.已知：半徑為R的圓內(nèi)接

8、正n邊形的邊長為an，求證：同圓內(nèi)接正 2n邊形的面積等于 用這個(gè)結(jié)果，求半徑為R的圓內(nèi)接正八邊形的面積(用代數(shù)式表示).fT07-47提示：如圖7-47，連結(jié)OA OB OA AB _則 OA丄AB/四邊形OAAB的面積等于1 丄2 AB- OA = 2 Ran丄半徑為R的圓內(nèi)接正2n邊形的面積等于 2 nRa1半徑為R的正八邊形的面積等于 2 4Ra=2、2 R【命題趨勢分析】正多邊形的有關(guān)計(jì)算是正多邊形和圓的一個(gè)重點(diǎn)命題內(nèi)容，主要在各類考試中的填空和選擇題中【典型熱點(diǎn)考題】例1.已知正六邊形的半徑為 3cm,則這個(gè)正六邊形的周長為cm.（2000年江蘇南通）分析：轉(zhuǎn)化為直角三角形求出正六

9、邊形的邊長，然后用P6= 6an求出周長.1例3.同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長的比是-63A. 2B. 4分析：分別求出正三角形、正方形的邊長，知應(yīng)選()64C.3D. 3 （2000年北京石景山）(A).【同步達(dá)綱練習(xí)】例2.已知正多邊形的邊心距與邊長的比為2，則此正多邊形為（）.A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.正十二邊形（2000年浙江臺(tái)州）分析:將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，由直角邊的比知應(yīng)選（B）.一、填空題1. 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成 個(gè)全等的直角三角形.2. 正三角形的半徑為 R則邊長為，邊心距為，面積為.若正三角形邊長為a，則半徑為.3. 正n邊形的一個(gè)外角

10、為 30 則它的邊數(shù)為 ，它的內(nèi)角和為 .4. 如果一正n邊形的一個(gè)外角等于一個(gè)內(nèi)角的三分之二，則這個(gè)正n邊形的邊數(shù)n=.5. 正六邊形的邊長為 1,則它的半徑為 ，面積為.6. 同圓的內(nèi)接正三邊形、正四邊形、正六邊形的邊長之比為 .7. 正三角形的高：半徑：邊心距為 .8. 邊長為1的正六邊形的內(nèi)切圓的面積是 .、選擇題1.正方形的外接圓半徑與內(nèi)切圓的半徑之比是（）A. 2 : 1B.2 : 1C.1 :.2D.1 ： 22.兩圓半徑之比為2： 3,小圓的外切正六邊形與大圓的內(nèi)接正六邊形面積之比為（）A.2 : 3B.4 : 9C.16 : 27D.43.正三角形的外接圓半徑是4cm,以正三

11、角形的一邊為邊作正方形，則此正方形外接圓半徑長為（）A.8 ,6cmB.4cmC.2 勺6 cm D. 6 cm三、計(jì)算題1.已知一個(gè)正n邊形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑分別為20cm, 10 3 cm,求：這個(gè)多邊形的邊長和面積2.已知。0的半徑為R,求它的內(nèi)接正三角形的內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形的周長【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1.如圖7-48所示，已知三個(gè)等圓。AO BOC兩兩外切，E點(diǎn)為。AOC的切點(diǎn)，EDLBC于D,圓的半 徑為1,求DE的長.2.證明：如果延長正六邊形的各邊，使其兩兩相交，順次連結(jié)各交點(diǎn)，則得一個(gè)新的正六邊形，而它的面 積等于原正六邊形面積的三倍.【知識(shí)探究學(xué)習(xí)】DCIfc3 32633A B C D 為2 2.（略）【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】請(qǐng)疏気供業(yè)后再畫菩黒!參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】7.3 ： 2 ： 1 8.4 n1.A 2.C 3.C三、1.邊長為20cm,面積為600 3 cmf2.所求正方形的周長為 22rS正方形ABCDEF(1)試猜想 S正方形abcd與S.aef的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)