用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案數(shù)學(xué)學(xué)科導(dǎo)學(xué)案（第次課）教師:_學(xué)生：年級(jí)：八 日期:星期:時(shí)段:_課 題分式方程的應(yīng)用學(xué)情分析教學(xué)目標(biāo)與考點(diǎn)分析1、能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確列分式方程解決問(wèn)題；2、會(huì)將有關(guān)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成分式方程來(lái)解決，感悟分式方程是反映現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系的一種模型；3、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題的能力。教學(xué)重點(diǎn)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題；教學(xué)方法講練結(jié)合法、歸納總結(jié)法學(xué)習(xí)內(nèi)容與過(guò)程1、解分式方程應(yīng)用題的步驟分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題，它與學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)列方程解應(yīng)用題的基本思路和方法 是一樣的，不同的是，表示關(guān)系的代數(shù)式是分式而已。一般地，列分式方程（組）解應(yīng)用題

2、的一般步驟：1. 審清題意；2. 設(shè)未知數(shù)；3. 根據(jù)題意找等量關(guān)系，列出分式方程；4. 解分式方程，并驗(yàn)根；5. 檢驗(yàn)分式方程的根是否符合題意，并根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果寫出答案.2、常見的實(shí)際問(wèn)題中等畳關(guān)系1.工程問(wèn)題工作效率=，工作量1工作量=工作效率X工作時(shí)間，工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量工作效率2. 完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1基礎(chǔ)練習(xí)：1、一臺(tái)甲型拖拉機(jī)4天耕完一塊地的一半，加一天乙型拖拉機(jī)，兩臺(tái)合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機(jī)單獨(dú)耕這塊地需要幾天？2、某市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長(zhǎng)300()米的污水輸送管道，為了盡量減少施工對(duì)城市交通造成的 影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)

3、劃增加25%,結(jié)果提前30天完成了任務(wù)，實(shí)際每天鋪設(shè)多長(zhǎng)管道？例：某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元，乙.丙兩隊(duì)合做10天完成，2廠家需付乙、丙兩隊(duì)共950()元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的寸，廠家需付甲.丙兩隊(duì)共550() 元.求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過(guò)15天完成全部工程，問(wèn)由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量.對(duì)于工期，一般情況下把整 個(gè)工作量看成1,設(shè)出甲、乙、丙各隊(duì)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間分別為兀天，y天，z天，可列出分式方程 組.練習(xí)1：某鎮(zhèn)道路改

4、造工程，由甲、乙兩工程隊(duì)合作2()天可完成.甲工程隊(duì)單獨(dú)施工比乙工程隊(duì)單獨(dú)施 工多用3()天完成此項(xiàng)工程.(1) 求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？(2) 若甲工程隊(duì)獨(dú)做巾天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作天(用含a的代數(shù)式表示)可完成此項(xiàng)工程；(3) 如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)1萬(wàn)元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)2.5萬(wàn)元，甲工程隊(duì) 至少要單獨(dú)施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工完成剩下的工程，才能使施工費(fèi)不超 過(guò)64萬(wàn)元？練習(xí)2:某一項(xiàng)工程在招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，施工一天，需付甲工程隊(duì)款1.5萬(wàn)元, 乙工程隊(duì)款1.1萬(wàn)元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，

5、可有三種施工方案：方案一：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成；方案二：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用5天；方案三：若甲、乙兩隊(duì)合做4天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成，也正好如期完成。試問(wèn)：在不耽誤工期的情況下，你覺(jué)得哪一種施工方案最節(jié)省工程款？請(qǐng)說(shuō)明理由。拓展：某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)工程費(fèi)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做1()2天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共950()元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的空，廠家需付甲、 丙兩隊(duì)工程費(fèi)共5500元.求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過(guò)15天完成全部工程，問(wèn)由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說(shuō)明

6、理由.思路點(diǎn)撥：這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量.對(duì)于工期，一般情 況下把整個(gè)工作量看成1,設(shè)出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間分別為兀天，刀天，z天，可 列岀分式方程組.解析：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需兀天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需卩天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需？天完成，依題意，得 61,x y 10(1+1) = 1,5(1+-) = -.x z 3I 丄 丄丄xE +x 10+x三，得兀+；+2=三一X0 得z =30 ,即 = 30, 丄丄一X 10 ,得兀=10 ,即X = 10,一X得丁=卩，即丁= 15.經(jīng)檢驗(yàn)，X = 10, y = 15, Z = 30是原方程組的解.設(shè)甲

7、隊(duì)做一天廠家需付么元，乙隊(duì)做一天廠家需付E元，丙隊(duì)做一天廠家需付左元,根據(jù)題意，得6(+) = 8700,10Q+O 二傾o,5(c+a) = 5500 =a = 800 9b = 650,7 = 300.由可知完成此工程不超過(guò)工期只有兩個(gè)隊(duì)：甲隊(duì)和乙隊(duì).此工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成需花錢1= 2000元；此工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成需花錢1場(chǎng)=9750元.所以，由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少.總結(jié)升華:舉一反三:在求解時(shí)，把匚，丁，7分別看成一個(gè)整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來(lái)解.【變式1】某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過(guò)規(guī)定日期三天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做兩

8、天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰妹在規(guī)定日期完成，問(wèn)規(guī)定日期是多少天?【答案】工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所需天數(shù)，設(shè)為X天,那么乙單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)就是(x + 3)天.丄設(shè)工程總量為1,甲的工作效率就是匚，乙的工作效率是7刁，依題意，得卩+丄+亠七 x+3丿 x+3,解得 x = 6即規(guī)定日期是6天.【變式2】今年某大學(xué)在招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，264()名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)分別由兩位教帥 向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié) 果甲比乙少用2小時(shí)輸完.問(wèn)這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績(jī)？【答案】設(shè)教帥乙每分鐘能輸入X名學(xué)

9、生的成績(jī)，則教帥甲每分鐘能輸入2x名學(xué)生的成績(jī)，依題意，得：26402640 初 Q=60 x2x,解得 x=ll經(jīng)檢驗(yàn)，x=ll是原方程的解，且當(dāng)x=ll時(shí)，2x = 22,符合題意.即教師甲每分鐘能輸入22名學(xué)生的成績(jī)，教帥乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績(jī).2 營(yíng)銷問(wèn)題1. 商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品成本價(jià);2.商品利潤(rùn)率二商品利潤(rùn)商品成本價(jià)X100%3. 商品銷售額=商品銷售價(jià)x商品銷售最;4. 商品的銷售利潤(rùn)=(銷售價(jià)一成本價(jià))X銷售量.例：某校辦工廠將總價(jià)值為2000元的甲種原料與總價(jià)值為4800元的乙種原料混合后，其平均價(jià)比原甲 種原料每()5雌少3元，比乙種原料每05電多1元，問(wèn)混合

10、后的單價(jià)每().5燉是多少元?例：某書店老板去圖書批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買某種圖書.第一次用120()元購(gòu)書若干本，并按該書定價(jià)7元出售,很快售完.由于該書暢銷，第二次購(gòu)書時(shí)，每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提髙了 20%,他用150()元所購(gòu) 該書數(shù)量比第一次多1()本.當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)的4折售完剩余的書.試問(wèn)該 老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了(不考慮其它因素)?若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？ 總結(jié)升華：營(yíng)銷類應(yīng)用性問(wèn)題，涉及進(jìn)貨價(jià)、售貨價(jià)、利潤(rùn)率、單價(jià)、混合價(jià)、羸利、虧損等槪念，要 結(jié)合實(shí)際問(wèn)題對(duì)它們表述的意義有所了解.同時(shí)，要拿握好基本公式，巧妙建立關(guān)系式.隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)

11、 體制的建立，這類問(wèn)題具有較強(qiáng)的時(shí)代氣息，因而成為中誇?？嫉臒狳c(diǎn)問(wèn)題.練習(xí)：A、B兩位采購(gòu)員同去一家飼料公司購(gòu)買同一種飼料兩次，兩次飼料的價(jià)格有變化，但兩位采購(gòu) 員的購(gòu)貨方式不同.其中，采購(gòu)員A每次購(gòu)買100()千克，采購(gòu)員E每次用去8()0元，而不管購(gòu)買飼料 多少，問(wèn)選用誰(shuí)的購(gòu)貨方式合算？3.行程問(wèn)題速度=壁1.路程=速度X時(shí)間，艮時(shí)間吋間=路程 融.2. 在航行問(wèn)題中，其中數(shù)量關(guān)系是:順?biāo)俣?靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度一水流速度;3航空問(wèn)題類似于航行問(wèn)題. 例：甲、乙兩地相距828km, 一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是 普通快車平均速度的1.

12、5倍.直達(dá)快車比普通快車晩出發(fā)2h,比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均 速度.分析：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是路程二速度X時(shí)間， 應(yīng)根據(jù)題意，找岀追擊問(wèn)題總的等量關(guān)系，即普通快車走完路程所用的時(shí)間與直達(dá)快車由甲地到乙地所 用時(shí)間相等.思路點(diǎn)撥：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是路程=速度X 時(shí)間，應(yīng)根據(jù)題意，找岀追擊問(wèn)題中的等量關(guān)系.解析：設(shè)普通快車的平均速度為兀km/h,則直達(dá)快車的平均速度為1 尹km/h,依題意，得: 暨828X=1弘，解得“ 46經(jīng)檢驗(yàn)， = 46是方程的根，且符合題意.當(dāng)兀二 46 日寸,

13、1.5z = 69即普通快車的平均速度為46km/h,直達(dá)快車的平均速度為69km/h.總結(jié)升華：列分式方程與列整式方程一樣，注意找岀應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系，設(shè)好未知數(shù)，列岀方 程.不同之處是：所列方程是分式方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)其是否為所列方程的解，還要檢驗(yàn)是 否符合題意，即滿足實(shí)際意義.舉一反三：【變式1】一隊(duì)學(xué)生去校外參觀.他們出發(fā)30分鐘時(shí)，學(xué)校要把一個(gè)緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校岀發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍.若騎車的速度是隊(duì)伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時(shí)離 學(xué)校的距離是15千米，問(wèn)這名學(xué)生從學(xué)校岀發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時(shí)間？【答案】設(shè)步行速度為x千米/時(shí)，騎車速度為

14、2x千米/時(shí)，依題意，得：15 1530二x60方程兩邊都乘以2x,去分母，得30-15=x, 所以，x=15.檢驗(yàn)：當(dāng) x=15 時(shí)，2x = 2X15#0,所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意.15 _ j_v302,騎車追上隊(duì)伍所用的時(shí)間為30分鐘.【變式2】農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠15千米的生產(chǎn)隊(duì)檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走，4()分鐘后，其余的 人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度.【答案】設(shè)自行車的速度為x千米/小時(shí)，那么汽車的速度為3x千米/小時(shí)，依題意，得：1515 40二x 60解得x=15 經(jīng)檢驗(yàn)x=15是這個(gè)方程的解.當(dāng) x=15

15、時(shí)，3x=45.即自行車的速度是15千米/小時(shí)，汽車的速度為45千米/小時(shí)例：輪船在順?biāo)泻叫?()千米的時(shí)間與在逆水中航行2()千米所用的時(shí)間相等，已知水流速度為2千米/時(shí)，求船在靜水中的速度30千米_20千米順?biāo)叫兴俣榷嫠叫兴俣确治觯捍祟}的等量關(guān)系很明顯：順?biāo)叫?0千米的時(shí)間二逆水中航行20千米的時(shí)間，即設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，又知水流速度，于是順?biāo)叫兴俣取⒛嫠叫兴俣瓤捎梦粗獢?shù)表示，問(wèn)題可解決.4、貨物運(yùn)輸應(yīng)用性問(wèn)題例：一批貨物準(zhǔn)備運(yùn)往某地，有甲、乙、丙三輛卡車可雇用.已知甲、乙、丙三輛車每次運(yùn)貨物量不變, 且甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)這批貨物分別運(yùn)加次、d次能運(yùn)完；若甲、丙兩車

16、合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)， 甲車共運(yùn)7 1801-；若乙、丙兩車合運(yùn)相同次數(shù)運(yùn)完這批貨物時(shí)，乙車共運(yùn)了 27()t.問(wèn)：(1)乙車每次所運(yùn)貨物量是甲車每次所運(yùn)貨物量的幾倍；(2)現(xiàn)甲、乙、丙合運(yùn)相同次數(shù)把這批貨物運(yùn)完時(shí)，貨主應(yīng)付車主運(yùn)費(fèi)各多少元？(按每運(yùn)h付運(yùn)費(fèi)2() 元計(jì)算)分析：解題思路應(yīng)先求出乙車與甲車每次運(yùn)貨量的比，再設(shè)岀甲車每次運(yùn)貨量是丙車每次運(yùn)貨量的倍, 列岀分式方程.課內(nèi)練習(xí)與訓(xùn)練1、改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計(jì)劃在荒坡上種96()棵樹，由于青年志愿者的支援，每日比原計(jì) 劃多種1/3,結(jié)果提前4天完成任務(wù)，原計(jì)劃每天種多少棵數(shù)？2、某超市用5000元購(gòu)進(jìn)一批新品種的蘋果進(jìn)

17、行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥110()0元資金購(gòu) 進(jìn)該品種蘋果，但這次的進(jìn)價(jià)比試銷時(shí)的進(jìn)價(jià)每千克多J ().5元，購(gòu)進(jìn)蘋果數(shù)量是試銷時(shí)的2倍。(1)試銷時(shí)該品種蘋果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？如果超市將該品種蘋果按每千克7元的定價(jià)出售，當(dāng)大部分蘋果售出后，余下的40()千克按定價(jià)的七 折售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元？3、輪船順?biāo)叫?()千米所需要的時(shí)間和逆水航行6()千米所用的時(shí)間相同。已知水流的速度是3千米/ 時(shí)，求輪船在靜水中的速度。4、一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買鉛筆30()枝以上，(不包括300枝)，可以按批發(fā)價(jià)付款, 購(gòu)買300枝以下，(包括30()枝)

18、只能按零害價(jià)付款。小明來(lái)該店購(gòu)買鉛筆，如果給八年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買 1枝，那么只能按零售價(jià)付款，需用12()元，如果購(gòu)買6()枝，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需要12()元,(1)這個(gè)八年級(jí)的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？(2)若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買6枝與按零售價(jià)購(gòu)買5枝的款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級(jí)學(xué)生有多少人？25、某廣告公司將一塊廣告牌任務(wù)交給師徒兩人，已知師傅單獨(dú)完成時(shí)間是徒弟單獨(dú)完成時(shí)間的彳，現(xiàn) 由徒弟先做一天，帥徒再合作2天完成。（1）帥、徒兩人單獨(dú)完成任務(wù)各需幾天？（2）若完成后得到報(bào)酬540元，你若是部門經(jīng)理，按個(gè)人完成的工作量計(jì)算報(bào)酬，該如何分配？6、為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1 20（）件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng).現(xiàn)在甲、 乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙