相似三角形知識點及典型例題

1、相似三角形知識點及典型例題知識點歸納：1、三角形相似的判定方法(1) 定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。(2) 平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。(3) 判定定理1:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。(4) 判定定理2:如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。(5) 判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個

2、三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。(6) 判定直角三角形相似的方法： 以上各種判定均適用。 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。如圖，Rt ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜邊 BC上的高，則有射影定理如下：2 2(1)( AD) =BDDC,(2)( AB) =BDBC,2(3)( AC) =CDBC。2 2 注：由上述射

3、影定理還可以證明勾股定理。即(AB) + ( AC) = ( BC)典型例題：例1如圖，已知等腰ABC中，AB= AC,AD丄BC于D,CG| AB,BG分別交AD,AC于E、證明：如圖，連結(jié) EC, / AB= AC AD丄BC,/-Z ABC=Z ACB AD垂直平分 BC BE= EC, Z 1 = Z 2, /Z ABC-Z 1=Z ACB-Z 2 ,即Z 3=Z 4,又 CGII AB /.Z G=Z 3,4=Z GCE EF 又tZ CEG=Z CEFCEFAGEC EG = CE EC= EG- EF ,故 EB=EF- EG【解題技巧點撥】本題必須綜合運用等腰三角形的三線合一的

4、性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來得到證明而其中利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BE=EC把原來處在同一條直線上的三條線段BE, EF, EC轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。FB FD例2 已知：如圖，AD是Rt ABC斜 BC上的高，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于 F,求證：BA = AC證法一：如圖，在 Rt ABC中，tZ BAC= Rt Z , ADL BC, Z 3=Z C,又E是Rt ADC的斜邊 AC上的中點， ED=2 AC= EC, ./Z 2=Z C,又Z 1 = Z 2, ./Z 1 = Z 3 ,FB BD Z DFB=Z AFD

5、 / DFBAAFD, / FD = AD(1)BD BA又 AD是 Rt ABC的斜邊 BC上的高，/ Rt ABM Rt CAD / AD = AC (2)FB BA FB FD由(1) (2)兩式得 FD = AC ,故 BA = ACFB FD證法二：過點 A作AGII EF交CB延長線于點 G貝U BA = AG (1)t E是AC的中點，ED| AC / D是GC的中點，又 ADL GC / AD是線段GC的垂直平分線，/ AG= AC (2)FB FD由(1)( 2)兩式得：BA = AC ,證畢。【解題技巧點撥】BD本題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后

6、通過中間比“AD ”過渡，使問題得證，證法二中是運用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)使問題得證.一、如何證明三角形相似例1、如圖：點 G在平行四邊形 ABCD勺邊DC的延長線上，AG交BC BD于點E、卩，則厶AGSs例2、已知 ABC中, AB=AC / A=36 BD是角平分線, 求證： ABCSA BCD例3 :已知，如圖， DABC一點連結(jié) ED AD,以BC為邊在 ABC外作/ CBE=/ ABD / BCE玄 BAD求證： DB0A ABC例4、矩形ABCD中, BC=3AB E、F,是BC邊的三等分點，連結(jié) 請證明你的結(jié)論。AE、A

7、F、AC,問圖中是否存在非全等的相似三角形?二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、 ABC中，在 AC上截取 AD,在CB延長線上截取 BE,使 AD=BE求證：DF?AC=B(?FE例6:已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90, M是BC的中點,DML BC于點E,交BA的延長線于點 Db求證：(1) mA=md?me ( 2)AE2AD2MEMD例7:如圖 ABC中, AD為中線，CF為任一直線， CF交AD于E,交AB于F,求證：AE: ED=2AF FB、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8:已知：如圖E、F分別是正方形 ABCD勺邊AB和AD上的點，且E

8、BAB-。求證：/ AEF=Z FBDAD 39、在平行四邊形ABCDAR BR CP DP各為四角的平分線，求證：SQll ABRP| BC例10、已知A C E和BF、D分別是/ 0的兩邊上的點，且AB| ED, BCll FE,求證:例11、直角三角形ABC中，/ ACB=90 , BCDE是正方形,AE交BC于F, FGII AC交AB于G 求證:EFC=FG例12、Rt ABC銳角C的平分線交 AB于E,交斜邊上的高 AD于 0,過0引BC的平行線交 AB于F,求證：AE=BFD課后作業(yè)一、填空題1. 已知：在厶ABC中，P是AB上一點，連結(jié) CP，當滿足條件/ ACP= / APC

9、=或AC2=時, AC刃 ABC2. 兩個相似三角形周長之比為 4： 9,面積之和為291，則面積分別是 。3. 如圖，DEFG是 Rt ABC的接正方形，若 CF= 8, DG= 4 逅，貝U BE=4. 如圖，直角梯形 ABCD中，AD| BC, AD丄CD, AC丄AB,已知 AD= 4, BC= 9，貝U AC =5. ABC中，AB= 15, AC= 9,點D是AC上的點，且AD=3 E在AB上，人。與厶ABC相似，貝U AE的長等于 6. 如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD則/ BDC的度數(shù)為 。第(G題圖7. ABC中，AB= AC / A= 36,BC= 1,BD平分/ AB

10、C交于D,貝UB,AD=，設(shè) AB= x,則關(guān)于 x 的方程是.&如圖，已知 D是等邊 ABC的BC邊上一點，把 ABC向下折疊，折痕為 MN使點A落在點D處，若BD： DC= 2 : 3, 貝y AM： MN=。、選擇題AD 19.如圖，在正 ABC中，D E分別在 AC AB上，且 一，AE=BE則有（）AC 3A.A AEDA BEDB.A AEMA CBD C . AED ABDD.A BAD BCD10 .如圖，在 ABC中，D為 AC邊上一點，/ DBC=Z A, BC= 6 , AC= 3，貝U CD的長為()A.1.4對第(9)題圖11.如圖,A. 3對B 3BC延長線上一點，

11、C. 5對C.2交：L dc交于.D. 6對E DF,則圖中相似三角形共有(12. P是Rt ABC的斜邊BC上異于B C的一點，過點 P作直線截厶ABC,使截得的三角形與件的直線共有（）A. 1條B.2條C. 3條D. 4條13. 如圖，在直角梯形 ABCD中，AB= 7, AD= 2, BC=3若在 AB上取一點 P,使以J)AB(C相似，滿足這樣條JLAP、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，這樣的P點有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個三、解答下列各題14.如圖，長方形 ABCD中, 發(fā)，沿BC作勻速直線運動， 線段BD垂直？AB=5, BC= 10,點P從

12、A點出發(fā)，沿 AB作勻速運動，1分鐘可以到i1分鐘可到C點，現(xiàn)在點P點Q同時分別從A點、B點出發(fā)，點，點經(jīng)過多少時間，線段從B點出PQ恰恰與A第（14）圖15 .已知：如圖，正方形 DEFG接于Rt ABC EF在斜邊BC上, EFU AB于H.求證:=BE- FCB E F C（答案）例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角/G外,由BCll AD可得/仁/2,所以 AGBA EGC再/仁/2 （對頂角），由 AB| DG可得/ 4=/G,所以 EGBA EAB例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找

13、相等的角，顯然/ C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：/ A=36,AABC是等腰三角形，/ ABC=Z C=72 又BD平分/ ABC 則/ DBC=36在厶 ABCDA BCD中,/ C為公共角，/ A=/ DBC=36 ABCBA BCD例3分析：由已知條件/ ABD/ CBE / DBC公用。所以/ DBE=/ ABC要證的 DBE和 ABC 有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。從已知條件中可看到厶CBEA ABD這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：BC beB

14、C ab在厶 CBEn ABD中，/ CBE/ ABD, / BCE=Z BAD CBE ABD，.=即:=AB BDBE BDBC ab DBEDA ABC中，/ CBE玄 ABD, / DBC公用CBE+/ DBC/ ABD/ DBC/ DBE=Z ABC且=DBE ABCBE BD例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形: （1）如圖：稱為“平行線型”的相似三角形EC如圖：/仁/ 2, / B=/。，則厶AD0A ABC稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與厶EC

15、A解：設(shè) AB=a,貝U BE=EF=FC=3a由勾股定理可求得 AE=、2a ,在厶EAF與厶ECA中,/ AEF為公共角，且 C2所以 EAFB ECAEF AE例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF: FE=BC AC,再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進行證明：證明：過D點作DK| AB交BC于K,/ DK| AB,. DF: FE=BK BE又 AD=BE. DF: FE=BK AD,而 BK AD=BC AC 即 DF: FE= BC: AC,. DF?AC=B（?FE例 6 證明：（1）v/ BAC=90, M 是 BC 的中點， MA=MC / 1=/ C,/ DMLB

16、C, / C=/ D=9C- / B, / 仁/D,/ 2=/ 2,.山 MAB MDAMAMEMD MA mA=md? me2MA AE ME . AE MA MEMD AD MA AD2 MD MAAE(2) MA3A MDA 二 AD評注：命題1 如圖，如果/ 仁/ 2,那么 ABMAACB AB=AD?AG2命題2 如圖，如果 AB=AD?AC,那么 ABMAACB /仁/2。MEMD例7分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察AE AF要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“ AE ED的特征，作 DGII BA交CF于G,得厶AE D

17、EG 竺 二匚。與結(jié)論DE DG2AFAF1相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證 DG FB。FB12BF2AEED證明：過D點作DGII AB交FC于6則厶AEFA DEG （平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角 形與原三角形相似）竺竺 （1）DE DG/ D為BC的中點，且DGII BF. G為FC的中點則DG CBF的中位線，DG丄BF （2）將（2）代入（1）得：AF2de 1DE - BF22AFFB分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分 別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相

18、似（一個在直角三 角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明:作 FG丄 BD 垂足為 G 設(shè) AB=AD=3k則 BE=AF=K AE=DF=2k BD=3V2k/ ADB=45）,Z FGD=90./ DFG=45. dg=fg=DF V2k BG=3 2k 2k 2k 皂V2AE BG又/ A=Z FGB=90.A AEF GBFAEF=Z FBD分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。SQll AB,只需證明 AR用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點就是要明確目標，選擇適當?shù)谋壤€段。要證明DS證明：在厶A

19、DS和 ARB中。1 1AR/ DAR=/ RAB / DAB / DCP2 PCB / ABC.A ADS ABR 2 2ASAR BR但厶 ADSA CBQ DS=BQ 則，. SQll AB,同理可證，RP| BCAS BQ已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其OA OF 即可，ODOA OBOE OD例10分析：要證明AFI CD實要證明AF | CD只要證明OCBRDS因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。OE OFOA OF兩式相乘可得：一OC OBOC OD例11分析：要證明FC=FG從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用 比例線段來證明。要證明 FC=FG首先要找出與證明： AB| ED BCIFE/.與FG FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到證明： FG I AC| BEAB0A A