電磁場(chǎng)與電磁波答案第四版謝處方完整版

1、電磁場(chǎng)與電磁波答案第HUA system office room HlMS2A-1UAS8Q8-一章習(xí)題解答1.1給定三個(gè)矢量4、8和C如下:求：分；(2) A-B ； 小方；小a在5上的分量；(6) AxC :(7) A(5xC)和(Axb) C ；(8) (Axb) xC 和 Ax(BxC)。,小 A %+外 2-冬 3123t 仏 ； _；二鳥(niǎo)二 e +e - g- /y |A| J:+22+(3fA V14 5(2) A_B | - | (er +eQe. 3) (-ey4+e.) | 二院 +ev6-e. 41 - 一753(3) a. 5= (%+c、. 2-0： 3) (ev4

2、+ ej= - 11/八 /A-b -11 11(4) 由 cosOr -. 二7-；二二7= 1四|A|V14x/177238舍cos(一二 135 5 加 V238A在5上的分量 =A | cosOah =% ey ez AxC =12-3=44 - Cvl3-el05 0-2(7)由于 3xC= 0 4 1 二48 +。、 5 + 夕 205 0-2所以 A(BxC)二(e* +. 2e： 3)(exS + e, 5 + e;20) = 42(AxB)xC= -10 _1 4 二e、2e 40 + e： 5 5 021. 2三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為4(0,L-2)、A(4, 1,-3)和B(6

3、, 2, 5)。(1) 判斷是否為一直角三角形1(2) 求三角形而面積。解(1)三個(gè)頂點(diǎn)(0，-2)、馬(4, 1, -3)和鳥(niǎo)(6, 2, 5)的位置矢量分別為 二.一娛,r2=ex4+ey-ez3f r. =ex6 + ey2 + e： 5則 居 2 -i =ex-f&3 二3 二幺 2 + 6、，+ 冬 8,由此可見(jiàn)故A46為一直角三角形。(2)三角形的面積S二1島x&J二T凡岡&3| = gx網(wǎng)二17.13 2 2 213求尸，(-3J ,4)點(diǎn)到尸(2, -2, 3)點(diǎn)的距離矢量R及R的方向。 解 rp. =-er3 + e+eA. rp =et2e2 +3,貝U Rpp =rP-r

4、P. =ex5-e -e，旦R”與工、)，、z軸的夾角分別為1.4給定兩矢量4二%2 + *,3-6.4和8二/4-5 +心6,求它們之間的夾角和 A在3上的分量。解A與8之間的夾角為二cos-)=cos-1(A BJ) = 131 回xgA在8上的分量為4二A尚二看：二-3.532解 Ax5= 21. 5 給定兩矢量 A=%2 + ev3-e： 4 和 8 二-%6-ev4 + j,求 Axb 在 C =Ci -Cy +C：上的 分量。3 _4 - ex 13 + ev22 + eAO所以 AxB 在 C 上的分量為(AxB) c=(A： , C二一j 二 74. 43 n心1. 6證明：如

5、果A6=AC和4x5 = AxC,則B=C；解 由 Ax8 = AxC,則有 Ax (Ax8) = Ax(AxCl 即由于A 5=4C,于是得到(A A) 3 = (A A) C故B=C1.7如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知 矢量c設(shè)A為一已知矢量，“二AX而P= AxX, 和P已知，試求X。解由尸二AxX,有故得x = pA AxPA. A1.8在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由(4, 2, 3)定出，求該點(diǎn)在：(1)直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)； (2)球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解(1)在直角坐標(biāo)系中 x 二 4cos(2/r/3)二 一2 * y = 4sin(273)二 2/3

6、3 z = 3 故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(-2, 25/1, 3) o(2)在球坐標(biāo)系中廠二+32 二5、6 二 tanz/(4/3) = 53.、0 二 2 乃/3 二 120。 故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為(5, 53. ，120。)1.9用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)E=e,M,廠(1) 求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3, 4, -5)處的|和反；(2) 求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(3, 4, -5)處后與矢量8=%2-*2 +與構(gòu)成的夾角。解 在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3, 4, -5)處，/二(-3)2 +42 +(-5尸二50 故(2)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3, 4, -5)處，r = -ex3+e -e 5所以故與8構(gòu)成的夾角為二 cos-1

7、 = COS-1 (-1910-)二 153. 6班B3/21. 10球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)4兇)和(弓傷)定出兩個(gè)位置矢量A1和& 0證明居 和&間夾角的余弦為解由居 -exi I sin E cos4 +e j sin d sin +e：r)cos得到3 :熊二1. 11 球面S的半徑為5,球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：f(e3sine)dS的值。S解寸( 3 sin 6) d S 二 0(% 3 sin 6)9. d S 二 jd 03sin 8x 5? sin 8d 8 =75/sS00112在由r二5、z二o和2二4圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量A=e, M+e. 2z驗(yàn)證 散度定 理C解在圓柱坐標(biāo)示中二0

8、,廣)+ (2z) = 3r + 2r dr dz 42點(diǎn)5所以 Jv. Adr 二 jdz j d J (3r + 2)rdr = 1200 萬(wàn) r ooo又 | ATS 二 J (* + 2z) (e/dS+ qd 邑 + e： dSj 二ss故有 J V Ad f 二 1200/r 二 g A d S /s1. 13求(1)矢量Ane+eKV+e 24/啟3的散度； 求qa對(duì)中心在 原點(diǎn)的一個(gè)單位立 方體的積分；(3)求a對(duì)此立方體表面的積分，臉證散度定理。角軟 1)VA 二絲工 42+當(dāng)生 0二2、+ 2。+ 72/收 2 dx dy &(2) 7.A對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分

9、為(3) a對(duì)此立方體表面的積分故有VeAdt =_L A dS故有A*d / 二 8 二 J V x A*d SL14計(jì)算矢量對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為的球表面的積分，并求了對(duì)球體積 的積分。2/r 1二d s 二 J dsin 8d 3 二 4/rv、又在球坐標(biāo)系中，V. r = -L 一 (r2r)二3,所以/ rfr115求矢量A二CvX+evX2沿,y平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形回路的 線積分，此正方形的兩邊分別與；軸和)，軸相重合。再求VxA對(duì)此回路所包圍的曲面積分， 驗(yàn)證斯托克斯定理。y A d/ 二 jxdx-Jxd % +12- d y-10d y = 8又 VxA=所以jVx

10、 A dS 二 j je2yz + e. 2x)*e： dxd y 二 8116求矢量A=e/+j沖2沿圓周/+ /二/的線積分，再計(jì)算VxA對(duì)此圓面 積的積分。解 g A d/二，xdx + xvd v = f (-1/ cos八sirT + cos2 sin2二 一 c c i 1117 證明：!？二 3 ； VxR=O ； (3) V(A. /?)二 A o 其中R =exx + evy + e；z , A為一常矢量。解 V. R = 一 + + 一 = 3 dx dy dz3= J=0(3)設(shè) A = e A +eA +c. A.，貝9 A R 二 A x +A、, y + A. z,

11、故L18 一徑向矢量場(chǎng)尸=%/ ()表示，如果尸二0,那么函數(shù)/0)會(huì)有什么特點(diǎn)呢?解在圓柱坐標(biāo)系中由二rf (r J = 0可得到/(r)二- C為任意常數(shù)0在球坐標(biāo)系中，由 V. F = -I 一r2/ (r) = 0 廠dr可得到/(一)二廠119給定矢量函數(shù)=er), + e,.x,試求從點(diǎn)V(2，-1)到點(diǎn)g(8, 2,-1)的線積分jEd/ ：(1)沿拋物線k = V ； Q沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)后是保守場(chǎng)嗎？解jE d/c二Je*、 dx + Es d y = jydx + xd y =(2)連接點(diǎn)凌(2, 1,-1)到點(diǎn)馬(8, 2,-1)直線方程為 x_2 _ x-8y 一

12、 1 y-2即 x-6y+4=02 2故 JEd/ 二 jEv dx + Ev d y = jyd(6y-4) + (6y-4)d y = j (12y-4)d y 二 14 c c I 由此可見(jiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，故是保守場(chǎng)。l20求標(biāo)量函數(shù)/二/”的梯度及/在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量3二+ 6、三+6 口定出；求3, 1)點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。 x底底z底八 凱 2yzM 畀 3)+ez?*”)二故沿方向勺二et二+巳-八二+ e.二的方向?qū)?shù)為 聞聞z聞點(diǎn)(2, 3, 1)處沿與的方向?qū)?shù)值為121試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中必二生+空L +生相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的dx dzI 11

13、 I題L21圖公式1 d 64 aA A 二(Mr) + + or dr rd(/f &解在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21圖所 示。矢量場(chǎng)a沿e,方向穿岀該六面體的表面的通量為 同理因此，矢量場(chǎng)A穿出該六面體的表面的通量為 故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式 磋W等+等誓1.22方程 =t +;+二給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢/ b- c1量。解由于2x2弋 2z+ 戶 + e ra b c故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為1.23現(xiàn)有三個(gè)矢量a、8、C為(1) 哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù) 的旋度 表示(2) 求出這些矢量的源分布。解在球坐標(biāo)系

14、中故矢量A既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標(biāo)系中故矢量5可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標(biāo)系中故矢量C可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。(2)這些矢量的源分布為V A = 0, VxA 二 0 ；-2rsin VxB =0 ； C = 0, VxC =e_(2x-6y) 124利用直角坐標(biāo)，證明.解在直角坐標(biāo)中1.25證明解根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有 式中巴表示只對(duì)矢量A作微分運(yùn)算，表示只對(duì)矢量H作微分運(yùn)算。由( xc)二 c. (axb) 1 可得同理Ax) = -A(V xH) SxH)故有V. (AxH) = 7f 橫截jfll S = lOcn

15、T求：(l)x = 0和X區(qū)域內(nèi)的總電荷量0；x2和“d區(qū)域題.27內(nèi)的總電荷量0。(1) Q 二 JpdT 二 j (一；Sju fx 八)S d x 二一 3 Sjus 二一4. 72x10 Ct o 93d0二 Jpdr= j(_$0 “/7/3” 3八二一.(1 W) /oS =497x10- “C2.2 個(gè)體密度為p二2. 32x10-7 C/n?的質(zhì)子束，通過(guò)1。丫的電壓加速后形成等 速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2nmi,束外沒(méi)有電荷分布，試求電流密 度和電流。，解質(zhì)子的質(zhì)堇 2 二 1. 7X10- kg、電量 q 二 1,6x10-19(2。由 得卩二 J2mq

16、U =1. 37x16 m/s故丿二 pv 二 0. 318 A/m22.3 一個(gè)半徑為的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為。的電荷，球體以勻角速度。繞一個(gè) 直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度C解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為Z軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn)P的位置矢量為且廠 與z軸的夾角為夕則P點(diǎn)的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為故J 二 pv =e&yrsinO 二 e co rsinO“廣/34 而 32.4 一個(gè)半徑為已的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q,同樣以勻角速度。繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求 球表面的面電流密度C解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為Z軸。設(shè)球面上任一點(diǎn)尸的位置矢量 為， 且與z軸的夾角為仇則尸點(diǎn)的線速度為球面的上電荷

17、面密度為故Js = (Tv =%2v欣/sin。二 幺 2sin,4的2. 5兩點(diǎn)電荷二8C位于z軸上z二4處，二_4c位于y軸上y二4處，求 (4, 0, 0)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解電荷在(4, 0. 0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 懿，磕懶骸生的電場(chǎng)為2.6-個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線電荷0,求垂直于圓平面的軸線上z二處的電場(chǎng) 強(qiáng)度 (。，。，)設(shè)半圓環(huán)的半徑也為“，如題26圖所示。解半圓環(huán)上的電荷元月d/,二P/d”在軸線上z二處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 亞二跳與4環(huán))(缶)在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線上z二。處的電場(chǎng)強(qiáng)度為27三根長(zhǎng)度均為3均勻帶電荷密度分別為小、如和自3 地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)月1二2%二2自3,

18、計(jì)算三角形 中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題2.6圖J 二一tan 30 = L(x, y, z)處的電場(chǎng)跑為E二4+、。令二0,則有由上式兩端對(duì)應(yīng) 分量相等，可得弱解 建立題27圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距 離為(X + a) (x 一 a)2 + y2 + Z23 2 二 2 (x - a) (x +y(x-)2 + y2 + z2s,= 2y (x+a)2 + y2 + z?產(chǎn)z(xa)2 + y + z23 2 二 2z(x+a) y + z23 2 ywo或z#0時(shí)，將式或式代入式僅 得二0。所以，當(dāng)0或計(jì)0 時(shí)無(wú)解；當(dāng)y二0且Z二0時(shí)，由式“有解得但X二-3a + 2不合題意，故僅在(

19、-3 - 2缶,0,0)處電場(chǎng)強(qiáng)度E二0。29 一個(gè)很薄的無(wú)限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的z軸 上z二z。處的電場(chǎng)強(qiáng)度E中，有一半是有平面上半徑為gz。的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解半徑為人電荷線密度為的帶電細(xì)圓環(huán)在工軸上z二Zo處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在Z軸上z二zo處的電場(chǎng)強(qiáng)度為而半徑為；5zo的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z二z。處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 2. 10 一個(gè)半徑為4的導(dǎo)體球帶電荷量為。，當(dāng)球體以均勻角 速度3繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，如題2. 10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度3o解球面上的電荷面密度為當(dāng)球體以均勻角速度。繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量r=乞刃點(diǎn)處的電流面密度為將球

20、面劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為d/= de的細(xì)圓環(huán)，則球面上任題210圖一個(gè)寬度為d/二odd細(xì)圓環(huán)的電流為d/二J3d/二sin6d6 細(xì)圓環(huán)的半徑為刀二fl sin夕圓環(huán)平面到球心的距離二acos,利用電流圓環(huán)的軸 線 上的磁場(chǎng)公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為8=e絕妙匚0d8二e絕2zj 8而6而2.11兩個(gè)半徑為/,、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開(kāi)距離為d,如題2.11圖 所示。電流/以相同的方向流過(guò)這兩個(gè)線圈。(1) 求這兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度8二*8,；(2) 證明：在中點(diǎn)處d/dx等于零；(3) 求出與d之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處B/d/也等

21、于零。解(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=e ”,2面+%2嚴(yán)得到兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=e、嚴(yán)(2)兩線圈的電流在其軸線上x (0 v x , *二5 刃是兩個(gè)平面(rpj和(tpj間的夾角。并問(wèn)兩個(gè)偶極子在 怎樣的相對(duì)取向下這個(gè)力值最大？題 2. 13解電偶極子P1在矢徑為的點(diǎn)上產(chǎn)生的電場(chǎng)為 所以P1與上之間的相互作用能為 因?yàn)?a=, 02=f 貝叮又因?yàn)?。是兩個(gè)平面(， P1)和(， pj間的夾角. 所以有另一方面，利用矢量恒等式可得因此(四 P2) = r (, x 0) ( “ xp2) * p ) (r p?)二 pg sin 0 sin O2 cos (j

22、+ pj p2 cos Q cos 02于是得到叱=T (sinqsin&cos0 -2cosqcosa)廣 故兩偶極子之間的相互作用力為q const(sin q sin a cos3np24 一 2 cos cos a) (一)二413odr r4乃4/(sin & sin a cos 歐一 2 cos司 cos 0?)由上式可見(jiàn)，當(dāng)q=2=o時(shí)，即兩個(gè)偶極子共線時(shí)，相互作用力值最大。2/4兩平行無(wú)限長(zhǎng)直線電流乙和乙，相距為d,求每根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度受到的安 培力 培。解無(wú)限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為27rr直線電流每單位長(zhǎng)度受到的安培力為 工“2二jX 4 d Z二-*式中是由電流A指向電流A的

23、單位矢量。同理可得，直線電流人每單位長(zhǎng)度受到的安培力為Fg二一F薩62坐2.15 根通電流1的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)通電流乙的圓環(huán)在同一平面上，圓心與 導(dǎo)線的距離為d,如題215圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為這里。是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點(diǎn)所張的角。解無(wú)限長(zhǎng)直線電流人產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 圓環(huán)上的電流元/2受到的安培力為由題2.1辦圖可知d/2 = (-er sin 0 + ez cos 0丿曰d 0 所以二 f w (一C-sing 一 ecos6)de -216證明在不均勻的電場(chǎng)中，某一電偶極子P繞坐 標(biāo) 原點(diǎn)所受到的力矩為rx(p V)E + pxEo題25圖解如題2. 16圖所示，設(shè)p二

24、qd/(d/l),則電偶 極子P繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受到的力矩為當(dāng)d/l時(shí)，有 故得到三章習(xí)題解答3.1真空中半徑為。的一個(gè)球面，球的兩極點(diǎn)處 分別設(shè)置點(diǎn)電荷V和 -試計(jì)算球赤道平面上電通密 度的通量(如題31圖所示)o解由點(diǎn)電荷4和-4共同產(chǎn)生的電通密度為題 2. 16_則球赤道平面上電通密度的通量3.2 1911年盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中使用的是半徑為乙的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為-Ze的電子云，在球心有一正電荷Ze (Z是原子 序數(shù)，。是質(zhì)子Ze( 廠、電荷量)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為4二儲(chǔ)丁 4,試證4乃S明之。解位于球心的正電荷Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為2二與廣二44

25、 rZe 3Ze_原子內(nèi)電子云的電荷體密度為P二一行市二一工7(廣、電子手在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為Uw/ 5 匿*Ze ( r 題3. 3圖 故原子內(nèi)總的電通量密度為D = DrW2=e-Y-3.3電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為夕。C/m二兩圓柱面半徑分 別 為和以軸線相距為c(cC -，如題3.3圖()所示。求空間各部分的電場(chǎng)。解由于兩圓柱面間的電荷不是軸對(duì)稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可 把半徑 為的小圓柱面內(nèi)看作同時(shí)具有體密度分別為4的兩種電荷分布，這樣在半徑為匕的整 個(gè)圓柱體內(nèi)具有體密度為4的均勻電荷分布，而在半徑為的整個(gè)圓 柱體內(nèi)則具有體密 度為-4的均勻電荷分布

26、，如題3.3圖(份所示。空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)是這兩種電荷所產(chǎn)生的 電場(chǎng)的疊加。在區(qū)域中，由高斯定律EdS二/,可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷5%在點(diǎn)尸產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為6二口二辛用二4彳乎二一等二2亢(/ 2與廣 2廟。 280r -題3. 3圖)q b_r err點(diǎn)P處總的電場(chǎng)為 E = Q+& = $(,-)2竊廣 r在且廠區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)尸產(chǎn)生的電場(chǎng) 分別為 點(diǎn)P處總的電場(chǎng)為E二E、+E； =2 (r 4)在，的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)尸產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為點(diǎn)P處總的電場(chǎng)為 E二E3 + E；二f (, /)二3c2島2%3.4 半徑為的球中充滿密度儀

27、廠)的體電荷，己知電位移分布為r + Ar7 (r a)廠解：由貯 0 二夕，有 p (r) = v. p = 1A (rX)廠dr故在廠幺區(qū)域 p (r) = 4L (/ + Ar2) =5 (5/ +4Ar)廠d r在廠 a 區(qū)域 p (r)二 &)& , 4一+4-A二 0 廠 dr 廠3.5 一個(gè)半徑為。薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為。 為的體電荷，球殼上又另充有電荷量Q。己知球內(nèi)部的電場(chǎng)為E二e, (r/a) 4,設(shè)球內(nèi)介質(zhì) 為真空。計(jì)算：(1)球內(nèi)的電荷分布；(2)球殼外表面的電荷面密度。解(1)由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為(2) 球體內(nèi)的總

28、電量。為 Q 二 JpdT 二 j64=4;r/dr 二 4fJ r o a球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷-。，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷。，所以球殼外表面上的總電荷為2Q,故球殼外表面上的電荷面密度為2Q二二二2%4/ra3.6兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的同軸圓柱半徑分別為，二。和一 bS)，圓柱表面分別帶有密度為 巧和方的面電荷。(1)計(jì)算各處的電位移；(2)欲使廠 區(qū)域內(nèi)。二。，貝IJ,和?應(yīng)具 有什么關(guān)系？解由高斯定理當(dāng)，Y&時(shí)，有。(1)=0S當(dāng)a 03二2乃+ 2市內(nèi)2，則 為，e,上=空(2) 令 Q 則得到r b2 a3.7計(jì)算在電場(chǎng)強(qiáng)度=%y + ex的電場(chǎng)中把帶電量為-2 C的點(diǎn)電

29、荷從點(diǎn)(2, 1,7) 移到點(diǎn)2 (8, 2,-1)時(shí)電場(chǎng)所做的功：(1)沿曲線x = 2y2;(2)沿連接 該兩點(diǎn)的直線。解(1) W 二尸 d/ = qj*E d/ jEvdx + Evdy = (2)連接點(diǎn)(2, 1,7)或點(diǎn) E(8,2： -1)直線方程為即 x6y+4=02 2故皿二qjydx + xdy = qjyd(6y_4) + (6y_4) dy 二可(12y_4) dy 二4g 二-28x0, (J) c i138長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。(1)計(jì)算線電荷平分 面上任意點(diǎn)的電位。；(2)利用直接積分法計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電 場(chǎng)尸，并用 E二-V。核

30、對(duì)。解(1)建立如題3. 8圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分面 上任意點(diǎn)P的電位為L(zhǎng)/2題3.8圖沏。)=j：,=2 4g) 一 + Z -(2)根據(jù)對(duì)稱性，可得兩個(gè)對(duì)稱線電荷元夕，。出在 點(diǎn)P的電場(chǎng)為故長(zhǎng)為厶的線電荷在點(diǎn)尸的電場(chǎng)為由E二-V求有3. 9己知無(wú)限長(zhǎng)均勻線電荷P,的電場(chǎng)E =e試用定義式。(r)二jE d,求其電位函2g)r 數(shù)。其中小為電位參考點(diǎn)。解*二，川二鼎力二含1山二念吁由于是無(wú)限長(zhǎng)的線電荷，不能將小選為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。3J 0 一點(diǎn)電荷+4位于(-。，0,0)，另一點(diǎn)電荷-2q位于(00,0),求空間的零電 位 面。解兩個(gè)點(diǎn)電荷+4和-2。在空間產(chǎn)生的電位令叭

31、x, 乂 z)二 0，則有 /、一 二。y (x+ay +)廣 + 7+ 扌 + z即4Kx + a)2 X + z2 = (xaZ + y + 才故得(x + ： a+z2 二(；o)2由此可見(jiàn)，零電位面是一個(gè)以點(diǎn)(-4，。，。)為球心、大。為半徑的球面。3.11證明習(xí)題32的電位表達(dá)式為。(廠)二3(+ ；：)4麻。廠2 244江廠解 位于球心的正電荷Ze在原子外產(chǎn)生的電通量密度為 電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為0, =%P飛3 w所以原子外的電場(chǎng)為零。故原子內(nèi)電位為312電場(chǎng)中有一半徑為。的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為(1) 求圓柱內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度；(2) 這個(gè)圓柱是什么材料制

32、成的？表面有電荷分布嗎？試求之。 解(1)由E二-Vp,可得到Y(jié)4時(shí)，E二-廠二0Q 2Q2r a 時(shí)，E -一夕二-耳 一A (1) cos -eA (1) cos (f) | -dr rrc-Ac 其中一=+尸;(2) r cos(n) + Ssin(rT)圓柱坐標(biāo)；(3) cos (nJ 圓柱坐標(biāo)；(4) rcoso 球坐標(biāo)；(5) cos()球坐標(biāo)。解在直角坐標(biāo)系中 /=?+?+等dr dy- &g2 0 o2而二-sin(/LV) sin(/vk/r 1 = 八 sin 化 t)sirT), )/dx dx故V V = (-+ /T ) sin() sin(/y)二 0在圓柱坐標(biāo)系中

33、加一梟畢+察+察r dr dr廣附&一而故故而故1 d d(p I e Q廣亦 二7 萬(wàn) 位不叫 c s()+ A sino , o ) 1 =cos(廠)+ Asin(。)V 二 01 d d(p | d d(r) = ir cos (n (/) = if r - cos ( u o ) r dr dr r dr dr 7 二 0一在球坐標(biāo)系中為噂)+占怒山噌)+魯(4 r dr or r sin 0 d6 oO r sin 0。夕1 d 3 d(p I a + d2-(r2 3=-1-(rcos) | = 一cos0 廠 or or r or orr寸(p = 0lo ) C (p 16】

34、2d / _)42 c(5) (r -) h (r -cos8) | = fCos6廠 or or r or orr故夕二03. 14 B知y0的空間中沒(méi)有電荷，下列幾個(gè)函數(shù)中哪些是可能的電位的解cosh x ； e y，cosx ；-6 cos xsin xsinxsinysinzo6? & &(1) R C cosh X) +R e cosh x) + 一 (e， cosh x)= 21 cosh x w 0Ordi所以函數(shù)e-, coshx不是y 0空間中的電位的解；(2) 一(H cos x) + 7 (e cos x) + 7 c cos X)= 一 cos X + COS X =

35、0 ardy-dzr所以函數(shù)e- c osj是 0空間中可能的電位的解；(3) 二(邛 6 cosxsinx)+ f cosxsinQ + fecosxsinx)二 6r 6r &-所以函數(shù)cosxsinx不是0空間中的電位的解；(sin xsin y sin(4) 一r (sin xsin y sin z) + r (sin xsin y sin z) + r dx介廣dz.所以函數(shù)sin xsin _y sin z不是y 0空間中的電位的解。3. 15中心位于原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為尸二(、+e、J + e： z)。(1)計(jì)算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；(2)證明總

36、 的 束縛電荷為零。解(1) pP=-V. P =啊 同理 bp（y = 3二 bp（y 二 _3）= b/, （z 二 3）二 bp（z 二 _5）= 3Zi 乙 乙 乙乙乙（2）分二J a d 7+$ % d S = 3 凡七+673 x 二 0rc23j 6 一半徑為凡的介質(zhì)球，介電常數(shù)為/。，其內(nèi)均勻分布自由電荷。，證明中心 點(diǎn)的電位為鋁（次；解由g dS=g,可得到S時(shí), 4. ）二十二-即。產(chǎn)一，E、=S-33o3與與1 &）時(shí)， 4 加二。）二一八p,3即。，二，二幺二當(dāng)-3r-與3號(hào)廣故中心點(diǎn)的電位為3. 17 個(gè)半徑為K的介質(zhì)球，介電常數(shù)為心球內(nèi)的極化強(qiáng)度P二K，其 中K為一

37、常 數(shù)。（1）計(jì)算束縛電荷體密度和面密度；（2）計(jì)算自由電荷密度；（3）計(jì)算球內(nèi)、外 的電場(chǎng)和電位分布。解（1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為4=- （/勺二-與廠dr /廠在r二R的球面上，束縛電荷面密度為b二P|二e, P| =g（2）由于 0 二 7E + P,所以 V 0 二 /? +尸二V 0 + V P即（1曳）7 0 = 口產(chǎn) 由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為c n8Kp ）二V尸二p =r一&。 %（_ （）廣X 3占不壬什日f(shuō) 1 f | zi 247比RK總 的自由 電何量 q = pdT = -4rdr二7 （4 廣 一 o（3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 介質(zhì)球內(nèi)、外

38、的電位分別為3. 18 （1）證明不均勻電介質(zhì)在沒(méi)有自由電荷密度時(shí)可能存在束縛電荷體密度；（2）導(dǎo) 出束縛電荷密度Pp的表達(dá)式。解由。二+得束縛電荷體密度為PpTPTD + (y. E在介質(zhì)內(nèi)沒(méi)有自由電荷密度時(shí)，V二0,則有Pp=gE所以-()由此可見(jiàn)，當(dāng)電介質(zhì)不均勻時(shí)，可能不為零，故在不均勻電介質(zhì)中可能存在束 縛電 荷體密度。(2)束縛電荷密度Pp的表達(dá)式為pp=R E=_包EN8319兩種電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)分別為卬二2和42二3,其分界面為z二0平 面。如果 已知介質(zhì)1中的電場(chǎng)的那么對(duì)于介質(zhì)2中的E和。2,我們可得到什么結(jié)果？能否求出介質(zhì)2中任意點(diǎn)的 凰和幾解設(shè)在介質(zhì)2中在 z 二 0

39、處，由 jx(g-后 2)二 0 和 e： (0-o 2)=o ,可得于是得到耳(x, y, 0)二2 y 故得到介質(zhì)2中的電和0在“。處的表達(dá)式分別為E2 (x, y, 0)二 ex 2 yey3x% (10/3)D2 (x, y, 0) = () (q6y-e 9x + e/0)不能求出介質(zhì)2中任意點(diǎn)的E2和。-由于是非均勻場(chǎng)，介質(zhì)中任意點(diǎn)的電場(chǎng)與 邊界面 上的電場(chǎng)是不相同的。3.20電場(chǎng)中一半徑為。、介電常數(shù)為，的介質(zhì)球，己知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為 驗(yàn)證球表面的邊界條件，并計(jì)算球表面的束縛電荷密度C解在球表面上故有 6(4,。)二仍(4, o ), o-lr-a 八八|曰可見(jiàn)叼和外滿足

40、球表面上的邊界條件。球表面的束縛電荷密度為321平行板電容器的長(zhǎng)、寬分別為，和心極板間距離為d。電容器的一半厚度(。！)用介電常數(shù)為，的電介質(zhì)填充，如題3. 21圖所示。(1) (1)板上外加電壓U。，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2) (2)若已知板上的自由電荷總量為求此時(shí)極板間電壓和束縛電荷；(3) (3)求電容器的電容量。解（1）設(shè)介質(zhì)中的電場(chǎng)為E=eH,空氣中的電場(chǎng)為紇二44。由。又由于E 3 + Eg 萬(wàn)二0由以上兩式解得E - 2 () U。E = 2。( + o) 4 ( + ()”題 3.21玷卞第桁來(lái)1白djFh爲(wèi)而宓直決12月皿）（ +上極板的自由電荷面密度為上二-鉆

41、）二空占7 十電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度二（。*二-屋匚等（ + ）4故下表面上的束縛電荷面密度為5,下二一e jP二二甘一；（+（） 20 （ q） U0 （一 + 題）一上表面上的束縛電荷面密度為bp上二C由q二_2 呼一 ab （ + 。）（ + 0）。U -故得到2sysab_ (一0)Qbp（3）電容器的電容為C =（ + 題）43. 22厚度為小介電常數(shù)為二4%的無(wú)限大介質(zhì)板，放置于均勻電場(chǎng)E。中，板與紇成角斗，如題3. 22圖所zj O求：（1）使2二4/4的q值；（2）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。解根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件在介質(zhì)板的表面上有瞿吟由此得到 二 tarT，呂V- = tan?

42、1 一 = tan-二 14 s s 4（2）設(shè)介質(zhì)板中的電場(chǎng)為E,根據(jù)分界面上的邊界條件，有小芯。二Z,即所以 En - 一ocos 八=1ecOS14 4介質(zhì)板左表面的束縛電荷面密度bp =- （s- En -0ocosl4 = -0. 728 EO3介質(zhì)板右表面的束縛電荷面密度，二（-島）紇二j/E。cosl4 =0. 728343. 23在介電常數(shù)為*的無(wú)限大均勻介質(zhì)中，開(kāi)有如下的空腔，求各腔中的紇和D :（1）平行于E的針形空腔；（2）底面垂直于E的薄盤形空腔；（3）小球形空腔（見(jiàn)第四章4. 14題）。解（1）對(duì)于平行于E的針形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的側(cè)面上，有Eq = E 0故

43、在針形空腔中Eo 二 E , D = %Eo = &E（2）對(duì)于底面垂直于E的薄盤形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的底面上，有 ?？嗄枪试诒”P形空腔中 D （. sED（）=D = sE t E0=二o %324在面積為S的平行板電容器內(nèi)填充介電常數(shù)作線性變化的介質(zhì)，從一極板（）,二0）處的一直變化到另一極板（），二）處的4,試求電容量。解由題意可知，介質(zhì)的介電常數(shù)為設(shè)平行板電容器的極板上帶電量分別為土 /由高斯定理可得所以，兩極板的電位差U=E = 力二不rw；打馬+y一故電容量為 僅電自重力3. 25C _ *一 S （Z 0）z/ d In （邑/與）一體密度為夕二2. 32xlO-7C/n

44、J的質(zhì)子束，束內(nèi)的電荷均勻分布 束直徑S (JF)巧為2mlni束外沒(méi)有電荷分布，試計(jì)算質(zhì)子束內(nèi)部和外部的徑向電場(chǎng)強(qiáng)度。 解在質(zhì)子束內(nèi)部，由高斯定理可得2仃產(chǎn)4/0 %耳二言二就愛(ài)“31x1。o V/m(rErncrp8o步pa xio xlo_6 1 _ in. 2 1v/, in, 3 故E=二二 1. 31x10 - V/m (r 10 m)r 2%r 2x8. 854x10,r 73. 26考慮一塊電導(dǎo)率不為零的電介質(zhì)(外0,設(shè)其介質(zhì)特性和導(dǎo)電特性都是不均 勻的。證明當(dāng)介質(zhì)中有恒定電流/時(shí)，體積內(nèi)將出現(xiàn)自由電荷，體密度為p二j-v (V/) o試問(wèn)有沒(méi)有束縛體電荷外若有則進(jìn)一步求岀外。

45、解 p = N D 二勺 (8)二 V- (-J)二 JeVF(-)+ -VeJ對(duì)于恒定電流，有貯4二()，故得到介質(zhì)中有束縛體電荷外，且3. 27填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為明外導(dǎo)體內(nèi)半徑為C,介質(zhì)的分界面半徑為匕。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為句和邑，電導(dǎo)率為和。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓 為U。，外導(dǎo)體接地。求：(1)兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；(2)介質(zhì)分 界面上的自由電荷面密度；(3)同軸線單位長(zhǎng)度的電容及漏電阻。解(1)設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為人則由J/dS二/,可得電流密介質(zhì)中的電場(chǎng)Ex= = er (a r dr + f E, *dr = In +In i-2% a 2 b

46、于是得到1 =/、 / /、Z? n (b/a) + y! n (c/b)故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為(2) 由b二可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為 兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為(3) 同軸線單位長(zhǎng)度的漏電阻為R二與二 lnS/ )+ %儂為)2叮於由靜電比擬，可得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為C二2甲向S2 n (b/a) + n (c/b)3. 28半徑為凡和(留V自)的兩個(gè)同心的理想導(dǎo)體球面間充滿了介電常數(shù)為5、 電導(dǎo)率為/二 (1 +K)的導(dǎo)電媒質(zhì)(K為常數(shù))。若內(nèi)導(dǎo)體球面的電位為外導(dǎo)體球面 接地。試求：(1)媒質(zhì)中的電荷分布；(2)兩個(gè)理想導(dǎo)體球面間的電

47、阻。解設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為/,由于電流密度成球?qū)ΨQ分布，所以/4必（，+K）r力 4 研(r + K)r 4 硒 K (& + 用由兩導(dǎo)體間的電壓14%KU。可得到n&（a+K）n: （4 + K） 后巫一所以，區(qū)+2媒質(zhì)中的電荷體密度為歹）二媒質(zhì)K?U1心& (凡 + /O (r+/0o 2“(4(& + K)（& + K）內(nèi)、外表面上的電荷面密度分別為（2）兩理想導(dǎo)體球面間的電阻3. 29電導(dǎo)率為y的無(wú)界均勻電介質(zhì)內(nèi)，有兩個(gè)半徑分別為此和R的理想導(dǎo)體小 球, 兩球之間的距離為4 （4 A詞七），試求兩小導(dǎo)體球面間的電阻。解此題可采用靜電比擬的方法求解。假設(shè)兩小球分別帶電荷q和-/由

48、于兩 球間的距 離” “為、c/R、，可近似認(rèn)為小球上的電荷均勻分布在球面上。由電 荷q和-的電位 疊加求出兩小球表面的電位差，即可求得兩小導(dǎo)體球面間的電容，再由靜電比擬求出兩 小導(dǎo)體球面間的電阻。設(shè)兩小球分別帶電荷4和-/由于可得到兩小球表面的電位為6_ q _4 而所以兩小導(dǎo)體球面間的電容為 一瓦不一 11R R? d 7?j d R? W /?i & d R d /?2G - 由靜電比擬，得到兩小導(dǎo)體球面間的電導(dǎo)為 故兩個(gè)小導(dǎo)體球面間的電阻為R =（！+G 4/ry4 凡” 一小 一凡3. 30在一塊厚度d的導(dǎo)電板上，由兩個(gè)半徑為八和八的圓弧和莢角為a的兩半徑割 出的一塊扇形體，如題3.30圖所示。求：（1）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓 弧面之間 的電阻；沿&方向的兩電極的電阻。設(shè)導(dǎo)電板的電導(dǎo)率為解（1）設(shè)沿厚度方向的兩電極的電壓為6,則有故得到沿厚度方向的電阻為題3.30圖匸(2) 設(shè)內(nèi)外兩圓弧面電極之間的電流為則 故得到兩圓弧面之間的電阻為-(3) 設(shè)沿a方向的兩電極的電壓為4,則有5 = J E3rd (/)由于之與。無(wú)關(guān)，所以得到故得到沿&方向的電阻為&二4二一-泮In億評(píng))o當(dāng)外加電壓U固定時(shí),331圓柱形電容器外導(dǎo)體內(nèi)半徑為。，內(nèi)導(dǎo)體半徑為。在b 定的條件下，求使電容器中的最大電場(chǎng)強(qiáng)度取極小值入的內(nèi)導(dǎo)體半徑。的值和