線性代數(shù)教(學(xué))案_同濟(jì)版

1、線性代數(shù)學(xué)院、部系、所授課教師課程名稱線性代數(shù)課程學(xué)時(shí)45學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)教材名稱線性代數(shù)課程教案授課類型 理論課授課時(shí)間3 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章行列式1二階與三階行列式2全排列及其逆序數(shù)3n階行列式的定義4對(duì)換本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求：1. 會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算 2階和3階行列式。2. 知道n階行列式的定義。本授課單元教學(xué)容（包括基本容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等） 基本容：行列式的定義1. 計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法設(shè)P1P2III Pn是1,2,川，n這n個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序。先看有多少個(gè)比Pl大的數(shù)排在Pl前面，記為tl;再看有多少

2、個(gè)比P2大的數(shù)排在P2前面，記為t2 ；最后看有多少個(gè)比 Pn大的數(shù)排在Pn前面，記為tn ；則此排列的逆序數(shù)為t ti t2| tn。2. n階行列式a2ia22D aiia)2a na2nan1 an2 * | ann 其中pi p| Pn為自然數(shù)1,2,|, n的一個(gè)排列， (Pi P2| Pn)求和。n階行列式D中所含n2個(gè)數(shù)叫做D的元素(1) 弘嘰(PlP2| Pn)t為這個(gè)排列的逆序數(shù)，求和符號(hào)刀是對(duì)所有排列位于第i行第j列的元素 內(nèi)，叫做D的(i, j)元。3.對(duì)角線法則：只對(duì)2階和3階行列式適用aiiai2DHia?2aazia2ia22aiiai2ai3Da2ia22a23a

3、iia22 a33ai2a23a3iai3a2ia32a3ia32a33ai3a22a3iai2a2ia33aiia23a32重點(diǎn)和難點(diǎn)：理解行列式的定義行列式的定義中應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)和式中的任一項(xiàng)是取自D中不同行、不同列的 n個(gè)元素的乘積。由排列知識(shí)可知，D中這樣的乘積共有n!項(xiàng)。 和式中的任一項(xiàng)都帶有符號(hào) (1)t ,t為排列(PiP2|Pn)的逆序數(shù)，即當(dāng)PiPI Pn是偶排列時(shí)， 對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng) pip2|”pn是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào)。綜上所述，n階行列式D恰是D中所有不同行、不同列的 n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，其中一半 帶正號(hào)，一半帶負(fù)號(hào)。例：寫出4階行列式中含有aia23的

4、項(xiàng)。解：aiia23a32 a44 和 ana23a34 a42。例：試判斷814823831842856865和 832843814851825866是否都是6階行列式中的項(xiàng)。解：814823831842856865下標(biāo)的逆序數(shù)為4312650 1 2 2 0 1 6，所以 814823831842856865是6階行列式中的項(xiàng)。832843814851825866 下標(biāo)的逆序數(shù)為(341526)(234156)5 3 8 ，所以 832843814851825866 不是6階行列式中的項(xiàng)。00010020例:計(jì)算行列式D03004000解:D ( 1)01 2 3,123 424本授課單元

5、教學(xué)手段與方法：講授與練習(xí)相結(jié)合首先通過二(三)元線性方程組的解的表達(dá)式引出二(三)階行列式的定義。然后介紹有關(guān)全 排列及其逆序數(shù)的知識(shí)，引出n階行列式的定義。通過討論對(duì)換以及它與排列的奇偶性的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生了解行列式的三種等價(jià)定義。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)： P.26 1(1)(3)2(5)(6)本授課單元參考資料(含參考書、文獻(xiàn)等，必要時(shí)可列出) 線性代數(shù)附冊(cè) 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講(同濟(jì)第四版)線性代數(shù)課程教案授課類型 理論課 授課時(shí)間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第一章 行列式5行列式的性質(zhì)6行列式按行（列）展開7克拉默法則本授課單元教學(xué)目標(biāo)或要求: 1 .知道n階行列式的性質(zhì)

6、。2. 知道代數(shù)余子式的定義和性質(zhì)。3. 會(huì)利用行列式的性質(zhì)及按行（列）展開計(jì)算簡單的n階行列式。4 .知道克拉默法則。本授課單元教學(xué)容（包括基本容、重點(diǎn)、難點(diǎn)，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點(diǎn)難點(diǎn)的方法、例題等）：基本容：1. 行列式的性質(zhì)（1）行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式 DT相等。（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式；或者行列式的某一行（列）的各元素有公因子k,則k可提到行列式記號(hào)之外。（4）行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零。（5）若行列式的某一列（行）中各元素均為兩項(xiàng)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式

7、之和。（6）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列 式的值不變。2. 行列式的按行（列）展開(1) 把n階行列式中(i, j)元aij所在的第i行和第j列劃去后所成的n 1階行列式稱為(i, j)元的 余子式，記作Mij ；記Aj(2) n階行列式等于它的任一行 i行展開：(1)i jMj，則稱Aj為(i, j)元aj的代數(shù)余子式。的各元素與對(duì)應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積的和。(列)即可以按第ai1 Aiiai2Ai2| ain Ain (i 1,2,川,n)；或可以按第j列展開:82jA2j卅 anjAnj(j 1,2,川,n).aij A1j(3)行

8、列式中任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即ai1 Aj1 ai2 Aj 2aii A1 j a2i A2 j3.克拉默法則含有n個(gè)未知元Xi, X2| Xn的n個(gè)線性方程的方程組aiiXi812X2an Ajn0j ，aniAnj0,i j .Q nXn ba2nXn b2I曲曲皿刪an1X1 an 2X2 卅 annXn b當(dāng)bi, b2, |,bn全為零時(shí)，稱為齊次線性方程組；否則，稱為非齊次線性方程組。如果方程組的系數(shù)行列式D 0，那么它有唯一解：X DL(i 1,2|, n),其中 Di(i 1,2,|,n)是把D中第i列元素用方程組的右端的自由項(xiàng)替

9、代后所得到的 式。如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，那么它的系數(shù)行列式D 0。如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D 0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式必定等于零。a2iXi822X2(1)n階行列用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：(1)方程個(gè)數(shù)等于未知元個(gè)數(shù)；(2)系數(shù)行列式不等于零。克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系 適用于理論推導(dǎo).它主要4.一些常用的行列式(1)上、下三角形行列式等于主對(duì)角線上的元素的乘積。即aiiaii821 822ani an2 H Iannaii a22 I 0 ann特別地，對(duì)角行列式等于對(duì)角線元素的乘積，即ain類似地,a2,n 11)aiia22anna11 a2 | ann .n(n 1)a1n a2, n 1lban1 .a1 卅a1k引 III %設(shè)D1k41*，D2k1ak1 卅 akkbn1卅bnn3n1，則a1k4a11IHlak1G.1bnIIllbin4D1D2.Cn1IllCnkbn1IIIbnn(3)德蒙(Vandermonde行列式X12X1pX22X2Xn2XnI