數(shù)學(xué)中的變換幾種常見變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、目 錄中文題目 1中文摘要 關(guān)鍵詞 1英文摘要 關(guān)鍵詞 1引言 2一、 正交變換 2（一） 正交變換的定義2（二） 正交變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3二、 仿射變換 10（一）仿射變換的定義及其性質(zhì)10（二）仿射變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用11三、 射影變換 14（一）射影變換的定義14（二）射影變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用16四、 近似變換 19（一）近似變換的定義19（二）近似變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用20結(jié)束語22參考文獻(xiàn)22數(shù)學(xué)中的變換幾種常見變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用王鸞鳳（渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 中國）摘要：數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)變換有很多種，本文對(duì)幾種常見的數(shù)學(xué)變換正交變換、仿射變換、射影變換、相似變換的定義及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做了

2、總結(jié)。正交變換是歐氏空間中的一類重要的變換，是保持向量內(nèi)積不變的變換，正因?yàn)樗羞@一特征，使正交變換在高等代數(shù)中起著重要的作用。不僅如此，正交變換在多元函數(shù)積分中、多元公式中也有獨(dú)到的應(yīng)用。仿射變換是幾何中的一個(gè)重要變換，它是從運(yùn)動(dòng)變換到射影變換的橋梁。靈活的運(yùn)用仿射變換，能使一些初等幾何問題由繁到簡。射影變換中二維射影變換定理及其應(yīng)用非常重要。相似變換可以把求一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)迭代根轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較簡單的函數(shù)迭代根的問題。關(guān)鍵詞：正交變換，仿射變換，射影變換，相似變換。Transformation in mathematics-Several common transformations in

3、the application of mathematicsWang Luanfeng(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou China)Abstract: There are many mathematical transformations in mathematics. In this paper, it summarizes the definition of the orthogonal transformation, affine representation, projective transfor

4、mation and similar transformation. It also summarizes the application of problem-solving in mathematics. Orthogonal transformation is a major transformation in Euclidean space，it maintains the measure of the transformation. Precisely because of this character, orthogonal transformation plays an impo

5、rtant role in advanced algebra. Moreover, orthogonal transformation also has unique applications in the integration of multi-function, multi-formula, and so on. Affine transformation plays an important role in geometry, it is the transition from the movement to transform projective transform. Flexib

6、le usage of affine transformation makes some complex elementary geometry problems simple. The tow-dimensional projection transform theorem and its application is very important in the projective transformation. Similar transformation can make a complex problem of Gen-function iteration become simple

7、r.Keywords: Orthogonal transformation，Affine representation，Projective transformation， Similar transformation.引言我們?cè)诖髮W(xué)中學(xué)習(xí)了許多數(shù)學(xué)變換，接觸了數(shù)學(xué)中的正交變換、仿射變換、射影變換、相似變換等，它們?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，正交變換在數(shù)學(xué)分析、高等幾何、高等代數(shù)等學(xué)科中的解題有著很重要的應(yīng)用，仿射變換、射影變換在高等幾何中的圖形變換的解題非常重要，相似變換在高等代數(shù)中的多項(xiàng)式解題有著非常靈活的應(yīng)用，下面就這些數(shù)學(xué)變換的應(yīng)用做出總結(jié)。一、 正交變換（一）正交變換的定義正交變換是歐氏

8、空間中一類重要的線性變換保持向量的內(nèi)積不變的變換。.定義 設(shè)是歐幾里得空間的線性變換，稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，也就是說對(duì)任意的，都有.因?yàn)檎痪仃囀强赡娴?，所以正交變換是可逆的，由定義不難看出正交變換實(shí)際就是一個(gè)歐氏空間到它自身的同構(gòu)映射，因而正交變換的乘積與正交變換的逆變換還是正交變換，在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，正交變換與正交矩陣對(duì)應(yīng)，因此正交矩陣的乘積與正交矩陣的逆矩陣也是正交矩陣。如果是正交矩陣,那么由，可知或者。因此,正交變換的行列式等于或者等于。行列式等于的正交變換通常稱為旋轉(zhuǎn)或者稱為第一類的;行列式等于的正交變換稱為第二類的。在三維空間中,的幺正矩陣把左手坐標(biāo)系變換到右手坐標(biāo)

9、系;的幺正矩陣則把右手坐標(biāo)系變換到左手坐標(biāo)系。（二）正交變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1.正交的線性變換可以使一個(gè)實(shí)二次型變成平方和 ，其中平方項(xiàng)的系數(shù)就是矩陣的特征多項(xiàng)式全部的根。例 用正交變換法將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的正交變換.解：先寫出二次型的矩陣：解特征方程得的全部特征值為： 當(dāng)時(shí)，解齊次方程組，可得其基礎(chǔ)解系為：將正交化 再單位化，得： ， .當(dāng)時(shí)，解齊次方程組，可得其基礎(chǔ)解系為：單位化得：由于與一定正交，因此以作為列向量得正交矩陣：令 于是二次型通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形為：.例2 用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。解：設(shè)原二次型矩陣為 ，特征值為.相應(yīng)特征向量為：.單位化得： 令，其中，

10、所以.2.正交變換在積分中的某些應(yīng)用（1）正交變換在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用在多元函數(shù)積分中,是否用變量替換的方法,不僅僅是計(jì)算快和慢的問題,有時(shí)甚至成為是否能解的問題。如求，如果用直角坐標(biāo),就會(huì)遇到積分.由于我們不能將表示成初等函數(shù),因而問題的解決就變得困難了。用變量替換的方法就容易解決,但是變量替換只不過是改變積分區(qū)域的分劃,而選擇替換有著很大的隨意性,存在一定的難度。它要同時(shí)兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)。對(duì)此,用正交變換方法則顯得更簡便。例 對(duì)于連續(xù)函數(shù)證明：，其中。證明:設(shè)為三維空間的個(gè)向量,單位化得：,再將其擴(kuò)充為三維空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,設(shè)為.作正交變換: 這里 為正交矩陣（1）則 兩

11、邊轉(zhuǎn)置得： 所以： .又因?yàn)?，而，由式?）知：，于是由三重積分變量替換公式得:則.（2）正交變換在曲面積分中的應(yīng)用例：證明其中是單位球面：.分析：因?yàn)?，如果?，則，因此可以聯(lián)想到用正交變換。證明：作一新坐標(biāo)系，取作為坐標(biāo)平面，令軸垂直于它，則 （2）在坐標(biāo)系下，這一積分可寫為：由式（2）可確立一式，3個(gè)向量和，且它們兩兩正交，并且 .于是對(duì)的參數(shù)表示式取作：.其中其雅可比矩陣為則 同樣可以算得： .所以：.故其中在平面上.再把曲面積分化為二重積分得： .所以：則有.3.正交變換在多元公式中的應(yīng)用正交變換不僅在高等代數(shù)中起著重要的作用，在其他數(shù)學(xué)分支中也起著獨(dú)到的作用。求多元函數(shù)在某點(diǎn)的公式

12、，困難在于求其混合偏導(dǎo)數(shù)的繁瑣，計(jì)算量較大，如果我們能適時(shí)引入正交變換就可以使求混合偏導(dǎo)數(shù)變得相對(duì)簡單，甚至可以避免求混合偏導(dǎo)數(shù)。多元公式是指：若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)的任一點(diǎn)， 有 定理 在正交變換下有，那么函數(shù)在點(diǎn)的值等于在點(diǎn)的值，其中由變換所對(duì)應(yīng)的方程組在取值時(shí)所唯一確定的值.定理 若在點(diǎn)的某鄰城有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在正交變換后，在點(diǎn)的鄰城也有階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，其中是在變換下所對(duì)應(yīng)的鄰城.這兩個(gè)定理的結(jié)論是顯而易見的，有這兩個(gè)定理作保證，在求多元函數(shù)公式時(shí)，就可以大膽使用正交變換，我們得到變換后的公式后，若想回到原變量，只需要在公式中作逆變換即可。例 在的展式。解:我

13、們知道的法向量為，單位向量為，取此方向?yàn)樽儞Q后的軸，另取軸，使其與軸正交，如取則這兩個(gè)向量可構(gòu)成正交矩陣 .作正交變換 即則那么求在點(diǎn)的展式變成在的展式.所以二、 仿射變換（一）仿射變換的定義及其性質(zhì)1.定義 若兩個(gè)平面間（平面到自身）的一個(gè)點(diǎn)變換保持同素性，結(jié)合性和共線三點(diǎn)的單比不變，則這個(gè)點(diǎn)變換稱為仿射變換.2.定義 平面上點(diǎn)之間的一個(gè)線性變換叫做仿射變換. 3.仿射變換具有如下性質(zhì)： （1）仿射變換把直線變成直線，并且保持共線三點(diǎn)的介于關(guān)系。 （2）仿射變換把不共線三點(diǎn)變成不共線三點(diǎn)。 （3）仿射變換把平行直線變成平行直線。 （4）在仿射變換下平行線段的長度比值不變。（二）仿射變換在數(shù)學(xué)

14、中的應(yīng)用1.仿射變換將橢圓變成一個(gè)圓例 求一個(gè)仿射變換將橢圓變成一個(gè)圓。解：設(shè) 則變換（1）是一個(gè)仿射變換，橢圓經(jīng)過這個(gè)仿射變換后的象為，這是一個(gè)圓。2.仿射變換也將圓變成橢圓例 求一個(gè)仿射變換將圓變?yōu)橐粋€(gè)橢圓。解：設(shè) ，則變換是一個(gè)仿射變換，圓經(jīng)過這個(gè)仿射變換后的象為，這是個(gè)橢圓.3.用仿射變換求橢圓的面積例 求橢圓的面積。解：設(shè)在笛氏直角坐標(biāo)系下的橢圓的方程為經(jīng)過仿射變換其對(duì)應(yīng)圖形為圓 .如圖1： O OO B y （圖1）在仿射變換下，所以對(duì)應(yīng)，其中，令橢圓面積為，圓面積為，則 所以，因此所給的橢圓的面積為.例 求橢圓上兩點(diǎn)，和中心的連線以及橢圓弧所圍成的面積。 解：如圖2： o （圖2

15、）仿射變換把橢圓變成圓，相應(yīng)的點(diǎn)分別變?yōu)?。?中，又因?yàn)?，所以 圓中的扇形面積 .而 ，所以. 我們通過仿射變換不僅能夠求出橢圓面積，也能求出橢圓的扇形面積，只要給出橢圓上的兩點(diǎn)即可，橢圓的有關(guān)仿射性質(zhì)的問題可以轉(zhuǎn)化為圓的問題來解決，為解題或證明帶來了極大的方便。三、射影變換（一）射影變換的定義二次曲線是射影幾何的重要組成部分,二次曲線分為拋物線、雙曲線和橢圓。在這里介紹二維射影變換的基本定理的一種證法和拋物線、雙曲線和橢圓之間的互相轉(zhuǎn)化問題。1.定義 兩個(gè)平面間的一一對(duì)應(yīng)，如果滿足下列條件：（1）保持點(diǎn)和直線的結(jié)合性。（2）任何共線四點(diǎn)的交比等于其對(duì)應(yīng)四點(diǎn)的交比，則此一一對(duì)應(yīng)叫做射影對(duì)應(yīng)。

16、（3）在（2）中如果兩對(duì)應(yīng)平面是重合的，則所建立的射影對(duì)應(yīng)叫做該平面的射影變換。2.二維射影變換基本定理定理 設(shè)是平面上任意四點(diǎn),其中任意三點(diǎn)不在同一直線上；是平面上其它任意四點(diǎn),其中任意三點(diǎn)也不共線,那么存在一個(gè)而且只有一個(gè)射影變換,使。其中，為的轉(zhuǎn)置矩陣,為的轉(zhuǎn)置矩陣,為一定常數(shù)。而常數(shù)，由 和確定。證明：設(shè)為所求的二維射影變換，則有 （1） （2） （3） （4）（1），（2），（3）式可寫成 （5）設(shè)關(guān)于的方程組： （6）因?yàn)辄c(diǎn)無三點(diǎn)共線，所以方程組（6）有唯一的一組解：.同理關(guān)于的方程組： （7）有唯一一組解：.由（4）式，（5）式，（6）式有 （8）（7）式可改寫為 （9）從而比較

17、（8）式、（9）式，因矩陣非異，故可得：，從而代入（5）式，有 從而有公式：. （二）射影變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例 求一射影變換,使橢圓變?yōu)殡p曲線.解：雙曲線與無窮遠(yuǎn)直線的交點(diǎn)為. （圖3）如圖3所示：設(shè)對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng).若為所求的二維射影變換，根據(jù)基本定理有.其中為方程組的解.為方程組的解.解方程組 即 可得 .解方程組 即 可得 .設(shè) 所以 得二維射影變換式：，其中.檢驗(yàn)：其逆變換為橢圓的方程可改寫為把變換式代入得即 化為非齊次坐標(biāo)為 .四、相似變換（一）相似變換的定義1.定義 如果存在可逆函數(shù)，使得函數(shù)和滿足，則稱和相似.注 一般地有兩個(gè)函數(shù)，由于對(duì)任意的，存在唯一的，使得，同時(shí)也存在

18、唯一的，使得，所以確定了一個(gè)定義在上，以為自變量，為因變量的函數(shù)，記作或，稱為由函數(shù)和經(jīng)過復(fù)合運(yùn)算得到的復(fù)合函數(shù)。2.定理 若和相似，即存在可逆函數(shù)使得，則的次迭代根為，其中 為的次迭代根。注 定義，則叫做關(guān)于的迭代指數(shù)。證明定理： 為的次迭代根 故為的次迭代根.注 由定理可知相似變換可以把求一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)迭代根轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較簡單的函數(shù)迭代根的問題。（二）相似變換在求函數(shù)迭代根問題中的應(yīng)用例 ，其中為實(shí)數(shù)，試尋求一個(gè)，使. 解： 取 則 的其中一個(gè)次迭代根為令則滿足 .例 設(shè)，試尋求一個(gè)，使得.解：取，則. 的其中一個(gè)次迭代根為令 .例 已知，試尋求一個(gè)函數(shù)，使得.解： 設(shè)，則 若 則 即

19、整理得到 從（3）式中可解得或.取，代入（1）、（2）有 于是（4）可化為，化得或.若取，代入（4）得，所以不可逆.故取，代入（4）得，取，則.所以 .因?yàn)榈囊粋€(gè)迭代根為，所以 .結(jié)束語 以上四種變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，深入了解其應(yīng)用有利于對(duì)這幾種數(shù)學(xué)變換的掌握，從而對(duì)于相關(guān)題目的解決提供簡便方法，對(duì)于深入的研究還需要進(jìn)一步的理論創(chuàng)新，不足指出，還望指正。參考文獻(xiàn)：1王萼芳、石生明等編：高等代數(shù)，北京，高等教育出版社，2003.2高澤民編：正交變換在積分中的某些應(yīng)用，福建，自然科學(xué)版，2005.3聶錫軍編：正交變換在多元Taylor公式中的應(yīng)用，丹東，1008-2174，2004.4華東師

20、范大學(xué)數(shù)學(xué)系等編：數(shù)學(xué)分析，北京，高等教育出版版，2001.5梅向明等編：高等幾何，北京，高等教育出版社，1998.6許光順編：二維射影變換的基本定理及其應(yīng)用，湖北，高等函授學(xué)報(bào)，2000.感想： 數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)變換有很多種，本文對(duì)幾種常見的數(shù)學(xué)變換正交變換、仿射變換、射影變換、相似變換的定義及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做了總結(jié)。收集該文只是在映射中對(duì)應(yīng)元素之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，元素與元素之間的對(duì)應(yīng)就涉及到變換，了解變換的應(yīng)用就成了一項(xiàng)重要內(nèi)容。tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgK