09第8次課(第5章：推移質輸沙率2)

1、1 第第5 5章章 推移質輸沙率推移質輸沙率 5.1.4 5.1.4 根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式 H HA AEinsteinEinstein在試驗和觀測中注意到在試驗和觀測中注意到 床面泥沙顆粒運動的隨機性以及推移質與床沙之間存在床面泥沙顆粒運動的隨機性以及推移質與床沙之間存在 著交換現(xiàn)象，基于實測資料建立了推移質運動強度著交換現(xiàn)象，基于實測資料建立了推移質運動強度與與 水流參數(shù)水流參數(shù)之間的經(jīng)驗關系。之后他利用概率論的方法之間的經(jīng)驗關系。之后他利用概率論的方法 導出了導出了和和函數(shù)關系的數(shù)學表達式，并進一步推廣到函數(shù)關系的數(shù)學表達式，并進一步推廣到

2、 非均勻沙的推移運動。非均勻沙的推移運動。 2 1 1、EinsteinEinstein的基本認識的基本認識 (1) (1) 推移質泥沙具有運動靜止再運動的特點。推移質推移質泥沙具有運動靜止再運動的特點。推移質 輸沙率取決于泥沙顆粒在交換過程中在床面停留時間的長輸沙率取決于泥沙顆粒在交換過程中在床面停留時間的長 短，停留時間越長，推移質輸沙率越小。短，停留時間越長，推移質輸沙率越小。 (2)(2)推移質運動具有隨機性，應著眼于群體泥沙的運動統(tǒng)計推移質運動具有隨機性，應著眼于群體泥沙的運動統(tǒng)計 。 (3)(3)沙粒起動的概率，決定于泥沙的性質及其周圍床面附近沙粒起動的概率，決定于泥沙的性質及其周

3、圍床面附近 的流態(tài)，與沙粒過去的歷史無關。的流態(tài)，與沙粒過去的歷史無關。 5.1.4 5.1.4 根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式 3 當瞬時水流條件不足以維持泥沙繼續(xù)運動，就會沉淀下當瞬時水流條件不足以維持泥沙繼續(xù)運動，就會沉淀下 來。對于一定的沙粒，在床面各處沉積的概率（沉積率）來。對于一定的沙粒，在床面各處沉積的概率（沉積率） 相同。相同。 沙粒在兩次連續(xù)沉積點之間的平均運動距離，稱為單沙粒在兩次連續(xù)沉積點之間的平均運動距離，稱為單 步距離，決定于沙粒的大小和形狀，與水流條件、床沙組步距離，決定于沙粒的大小和形狀，與水流條件、床沙組 成及推移質輸沙率無

4、關。成及推移質輸沙率無關。 泥沙起動的主要作用力是上舉力，當瞬時上舉力大于泥沙起動的主要作用力是上舉力，當瞬時上舉力大于 泥沙的水下有效重量時，床面沙粒就進入運動狀態(tài)。一泥沙的水下有效重量時，床面沙粒就進入運動狀態(tài)。一 定的沙粒，起動概率在床面各處都是相同的。定的沙粒，起動概率在床面各處都是相同的。 5.1.4 5.1.4 根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式 1 1、EinsteinEinstein的基本認識的基本認識 4 EinsteinEinstein從上述基本認識出發(fā)推導得到了從上述基本認識出發(fā)推導得到了當運動泥沙當運動泥沙 與床面泥沙的交換達到平衡時與

5、床面泥沙的交換達到平衡時的輸沙率，的輸沙率， 所謂運動泥沙與床面泥沙的交換達到平衡，所謂運動泥沙與床面泥沙的交換達到平衡，是指對于是指對于 任何類型和大小的泥沙來說，在單位時間內，沉積在任何類型和大小的泥沙來說，在單位時間內，沉積在 單位面積上的泥沙顆粒數(shù)，應該等于同一面積中沖刷單位面積上的泥沙顆粒數(shù)，應該等于同一面積中沖刷 外移的泥沙顆粒數(shù)。外移的泥沙顆粒數(shù)。 5.1.4 5.1.4 根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式 5 在一定的水流條件下，假定河床表面比例為在一定的水流條件下，假定河床表面比例為P P的部分面積的部分面積 其上的水流上舉力大于泥沙顆粒的水

6、下重量，有其上的水流上舉力大于泥沙顆粒的水下重量，有 1 1P P的的 面積上的面積上的 FL WLF 1-PP （單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量）（單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量） WFL 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 5.1.4 5.1.4 根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式根據(jù)統(tǒng)計法則建立的推移質輸沙率公式 6 NNPNPNPNP 234 N(1-P)NP(1-P)NP(1-P) 23 NP(1-P) DDDD 當單位時間內進入研究斷面（起始斷面）的當單位時間內進入研究斷面（起始斷面）的N N顆沙粒顆沙粒走完一走完一 個單步

7、距離（即完成一次跳躍）個單步距離（即完成一次跳躍）后，將會有后，將會有N(1N(1P)P)顆沙粒顆沙粒 正好落在正好落在F FL LWWW 的面積上，這些泥沙（ 的面積上，這些泥沙（ NPNP顆沙粒）將在走完一個單顆沙粒）將在走完一個單 步距離后繼續(xù)前進（跳躍）。步距離后繼續(xù)前進（跳躍）。 （單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量）（單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 7 NNPNPNPNP 234 N(1-P)NP(1-P)NP(1-P) 23 NP(1-P) DDDD 如此發(fā)展下去，當走完第如此發(fā)展下去，當

8、走完第K K個單步距離后，會有個單步距離后，會有 顆沙粒沉積下來。顆沙粒沉積下來。 在完成第二個單步距離后，又有在完成第二個單步距離后，又有NP(1NP(1P)P)顆沙粒沉積下來，顆沙粒沉積下來， 再剩下再剩下NPNP2 2顆泥沙繼續(xù)前進。顆泥沙繼續(xù)前進。 PNP k 1 1 （單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量）（單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 8 泥沙運動的平均距離（泥沙運動的平均距離（N N顆泥沙全部沉積下來的平均距離）顆泥沙全部沉積下來的平均距離） N N顆泥沙全部沉積下來，運行的總距離，應等于

9、每顆顆泥沙全部沉積下來，運行的總距離，應等于每顆 泥沙運動（跳躍）的距離之和。泥沙運動（跳躍）的距離之和。 P D N L l pj 1 0 P D N P DPN KPPPDPN DKPNPDPNP DPNPDPNL K K 1 1 1 )1( 321)1( )1(3)1( 2)1()1( 2 12 12 0 (5-29)(5-29) （單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量）（單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 (5-28)(5-28) 9 D Pg l g g b pj b d 1 1 若推移質泥沙的單寬

10、輸沙率為若推移質泥沙的單寬輸沙率為g gb b，則在單位時間內通過，則在單位時間內通過 所研究斷面的所研究斷面的N N顆泥沙（其重量為顆泥沙（其重量為g gb b ），都將在長度為），都將在長度為 L Lpj pj的范圍內沉積下來，這樣，單位面積上泥沙的沉積率 的范圍內沉積下來，這樣，單位面積上泥沙的沉積率 為為 （單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量）（單位時間內單位床面上沉積下來的泥沙量） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 10 這樣，在單位面積上，將有質量為這樣，在單位面積上，將有質量為 的泥沙被沖刷的泥沙被沖刷 外移，其中外移，其中A A

11、2 2、A A3 3分別為泥沙顆粒的面積和體積系數(shù)。分別為泥沙顆粒的面積和體積系數(shù)。 在單位面積上，有比例為在單位面積上，有比例為P P的面積上的面積上F FL L W W ，即顆粒沖刷 ，即顆粒沖刷 外移的概率為外移的概率為P P。 假定在單位床面面積上的泥沙顆粒數(shù)為假定在單位床面面積上的泥沙顆粒數(shù)為 a. a. 單位面積上沖起的泥沙量單位面積上沖起的泥沙量 (2) (2) 泥沙的沖刷率（單位時間從單位面積床面上沖起的泥沙量）泥沙的沖刷率（單位時間從單位面積床面上沖起的泥沙量） 2 2 3 3 DA DA s 2 2 1 DA PD A A s 2 3 則其質量為則其質量為 2 2、Eins

12、teinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 11 這個時間是質量為這個時間是質量為 的泥沙，受上舉力作用，由床的泥沙，受上舉力作用，由床 沙轉化為推移質而完全脫離床面的時間，在輸沙平衡情況下沙轉化為推移質而完全脫離床面的時間，在輸沙平衡情況下 （沖起與落下的泥沙相等），應等于相同重量泥沙沉積在床（沖起與落下的泥沙相等），應等于相同重量泥沙沉積在床 面上所需的時間。面上所需的時間。 已知沖刷外移的沙量后，要確定沖刷率，還須計算出質量已知沖刷外移的沙量后，要確定沖刷率，還須計算出質量 為為 的泥沙被水流沖刷托起所需的時間的泥沙被水流沖刷托起所需的時間t t。 b. b. 沖刷

13、所需時間沖刷所需時間 PD A A s 2 3 PD A A s 2 3 (1) (1) 泥沙的沖刷率（單位時間從單位面積床面上沖起的泥沙量）泥沙的沖刷率（單位時間從單位面積床面上沖起的泥沙量） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 12 gD D A D t s 1 gDP AA A gD D A PD A A g s s s s s 12 3 1 2 3 單位面積上泥沙的沖刷率為單位面積上泥沙的沖刷率為 EinsteinEinstein假定，這個時間與泥沙沉降一個沙粒距離所需要假定，這個時間與泥沙沉降一個沙粒距離所需要 的時間成正比，即的時間成正

14、比，即 由于床沙、推移質泥沙都屬于粗顆粒泥沙，其沉降位于紊由于床沙、推移質泥沙都屬于粗顆粒泥沙，其沉降位于紊 流區(qū)，流區(qū)， 因此，可得因此，可得 b. b. 沖刷所需時間沖刷所需時間 D t gD s （5-315-31） (2) (2) 泥沙的沖刷率（單位時間從單位面積床面上沖起的泥沙量）泥沙的沖刷率（單位時間從單位面積床面上沖起的泥沙量） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 (5-30)(5-30) 13 * 3 21 1 A gDD g A AA P P s s b 3 21 * A AA A gDD g s s b 整理后整理后 （5-34

15、5-34） 在推移質運動達到平衡時，在推移質運動達到平衡時， 自河床上沖起的泥沙和推移自河床上沖起的泥沙和推移 質落淤的泥沙應相等質落淤的泥沙應相等 (3) (3) 泥沙起動概率與推移質運動強度的關系（泥沙起動概率與推移質運動強度的關系（P P） 推移質運動強度推移質運動強度 PPA 1 * * * 1A A P 泥沙起動概率泥沙起動概率P P為為 gDP AA A D Pg s s b 12 3 1 （5-325-32） （5-335-33） 推移質單寬輸沙率推移質單寬輸沙率 單位單位kg/(m.s)kg/(m.s) gDD P P A g s sb 1 1 * （5-355-35） 14

16、3 3 DAW s 2 2 2 2 b LL u DACF 則則 C CL L0.1780.178 Einstein Einstein 從試驗結果得出，若取舉理論床面從試驗結果得出，若取舉理論床面0.35D0.35D （即（即y y0.35D0.35D）處的流速作為上式中的有效流速，）處的流速作為上式中的有效流速， 水流作用在該顆粒上的時均上舉力為水流作用在該顆粒上的時均上舉力為 粒徑為粒徑為D D的泥沙水下重量的泥沙水下重量為為 (4)(4)泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） （5-375-37） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率

17、公式推導推移質輸沙率公式推導 （5-365-36） 15 采用采用EinsteinEinstein對數(shù)流速分布公式表示作用于沙粒對數(shù)流速分布公式表示作用于沙粒 的有效流速的有效流速 2 2 6 .10lg75. 5 JgRub U U* *代替代替U U* *，是因為在存在沙波的條件下，與摩阻流，是因為在存在沙波的條件下，與摩阻流 速密切相關的拖曳力中，僅與沙粒阻力有關的一部分，速密切相關的拖曳力中，僅與沙粒阻力有關的一部分， 才對推移質運動起作用才對推移質運動起作用 取取y y0.35D0.35D，ks=Dks=D，U U* *取與沙粒阻力有關的摩阻流速取與沙粒阻力有關的摩阻流速U U* *

18、 ， ， 得得 (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） 6 .10lg75. 5 * Uub JgRU * s k y U u 230755.lg. * （5-385-38） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 16 L L F F LLL FFF 0* 1 LL FF ：瞬瞬時時上上舉舉力力； L F 0 ;上上舉舉力力的的無無因因次次脈脈動動值值 (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率

19、公式推導推移質輸沙率公式推導 為時間為時間t t的函數(shù)，代表附加于時均上舉力之上的脈動的函數(shù)，代表附加于時均上舉力之上的脈動 值，假定值，假定的均方差為的均方差為0 0，則相對脈動值，則相對脈動值* *應為應為 0* 0 * 0* 111 LL L L LL FF F F FF（5-385-38） 17 0* 22 2 16 .10lg75. 5 2 178. 0 JgRDAFL C CL L0.1780.178 0* 1 LL FF 2 2 2 2 b LL u DACF 2 2 6 .10lg75. 5 JgRub 0* 22 2 2 16 .10lg 2 5.75178. 0 hJD A

20、 FL （5-405-40） (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 沒有沙波時沒有沙波時R R =R =R，寬淺河道，寬淺河道R=h.R=h. 18 2 2 3 6 .10lg75. 5178. 0 2 A A B B F W L 0* 1 1 1 1 hJ D s （5-425-42） 水流運動強度水流運動強度 起動概率起動概率P P的表示的表示11 W F F W L L 或或 的概率的概率 3 3 DAW s 0* 22 2 2 16 .10lg 2

21、5.75178. 0 hJD A FL （5-405-40） (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 （5-365-36） （5-415-41） 19 由于上舉力由于上舉力F FL L與流速的平方成正比，不管流速是正還是負，與流速的平方成正比，不管流速是正還是負， 上舉力總是正的，所以上式中上舉力總是正的，所以上式中(1+) (1+) 可寫成絕對值的形可寫成絕對值的形 式式 0* 1 (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度

22、的關系（P P） B F W L 0* 1 1 1 （5-415-41） 不等式（不等式（5-415-41）變?yōu)椋┳優(yōu)?B 0* 1 （5-435-43） * 0 1 B 0 * B B （5-445-44） 不等式（不等式（5-445-44）表示在）表示在 * 0 * 0 - 11 BB 或或 WFL 范圍內，范圍內，泥沙起動。，泥沙起動。 20 0 * 1 B 在在 這個范圍內，上舉力小于沙粒的水這個范圍內，上舉力小于沙粒的水 下重量，沙粒不會為水流所起動。下重量，沙粒不會為水流所起動。 泥沙顆粒剛好被舉離床面的極限狀態(tài)為泥沙顆粒剛好被舉離床面的極限狀態(tài)為 （5-455-45） 0 * 0

23、 * 1 1 BB (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） * 0 1 B （5-445-44） 不等式（不等式（5-445-44）表示在）表示在 WFL 范圍內，范圍內，泥沙起動。，泥沙起動。 * 0 * 0 - 11 BB 或或 21 上舉力大于沙粒的水下重量，推移質將發(fā)生運動的事上舉力大于沙粒的水下重量，推移質將發(fā)生運動的事 件可以表達為件可以表達為 0 * 0 * 11 BBP 標準偏差 B 1/0 *B 0t 平均上舉力 y=e -t 2 的值為圖的值為圖5-45-4陰影部分的面積。陰影部分的面積。 其概率其概率 0 * 0 *

24、11 BB (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） 22 0 0 2 1 1 1 1 * * B B t dteP 求得沙粒不起動的求得沙粒不起動的 概率積分為概率積分為 Einstein Einstein根據(jù)埃爾賽尼的試驗成果，認為上舉力根據(jù)埃爾賽尼的試驗成果，認為上舉力 的分布遵循正常誤差定律，因此上舉力脈動值的相對的分布遵循正常誤差定律，因此上舉力脈動值的相對 變化量的概率分布也應該遵循正常誤差定律，他采用變化量的概率分布也應該遵循正常誤差定律，他采用 誤差函數(shù)形式的概率積分誤差函數(shù)形式的概率積分 dtexerf t 21 標準偏差

25、B 1/0 *B 0t 平均上舉力 y=e -t 2 (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） 23 標準偏差 B 1/0 *B 0t 平均上舉力 y=e -t 2 0 0 2 1 1 1 1 * * B B t dteP 這一方程式的示意圖這一方程式的示意圖 見圖見圖5-45-4，在圖中斜線，在圖中斜線 的陰影區(qū)內，上舉力的陰影區(qū)內，上舉力 大于沙粒水下重量，大于沙粒水下重量， 沙粒將為水流所起動，沙粒將為水流所起動， 陰影面積即等于泥沙陰影面積即等于泥沙 起動的概率起動的概率P P。 （5-465-46） 由于泥沙起動概率與不起動概率之和

26、為由于泥沙起動概率與不起動概率之和為1 1，所以，泥沙，所以，泥沙 起動而沖刷外移的概率為起動而沖刷外移的概率為 (4) (4) 泥沙起動概率與水流運動強度的關系（泥沙起動概率與水流運動強度的關系（P P） 24 * * * * A A dte B B t 1 1 1 0 0 2 1 1 43.10.5430 . 2/1 *0 BA， （5-345-34） （P P） * * 1A A P 理論公式和試驗資料的對比見圖理論公式和試驗資料的對比見圖5-55-5。 式中的常數(shù)可根據(jù)試驗式中的常數(shù)可根據(jù)試驗 資料確定資料確定 （5-475-47） 即得即得EinsteinEinstein推移推移 質

27、輸沙率公式質輸沙率公式 （P P） 0 0 2 1 1 1 1 * * B B t dteP （5-465-46） (5) Einstein(5) Einstein公式形式公式形式 2 2、EinsteinEinstein推移質輸沙率公式推導推移質輸沙率公式推導 25 2/1 3 2/1 1 gD g ss b 1 hJ D s b b、值愈小，反映水流強度愈大，輸沙強度亦愈大，值愈小，反映水流強度愈大，輸沙強度亦愈大， 推移質輸沙率愈大。推移質輸沙率愈大。 水流強度是水力粗度與水流作用力之比（是沙粒阻力水流強度是水力粗度與水流作用力之比（是沙粒阻力 引起的無量綱剪切應力即沙粒阻力對應的引起的

28、無量綱剪切應力即沙粒阻力對應的ShieldsShields數(shù)數(shù) 的倒數(shù)）；的倒數(shù)）； a a、EinsteinEinstein公式反映了推移質輸沙強度與水流強度公式反映了推移質輸沙強度與水流強度 之間的關系之間的關系. . (6) Einstein(6) Einstein公式的物理意義公式的物理意義 * * * * A A dte B B t 1 1 1 0 0 2 1 1 （5-475-47） 26 ln5 . 3 5 . 5 ln17. 44 e 在實際計算時可用圖在實際計算時可用圖5-55-5曲曲 線的擬合方程計算：線的擬合方程計算： 在在EinsteinEinstein公式中，推移質運

29、動強度與水流強度為積公式中，推移質運動強度與水流強度為積 分關系式。分關系式。 (6) Einstein(6) Einstein公式的運用公式的運用 27 27 1 1、求、求h h（有沙波時計算水流強度（有沙波時計算水流強度 時應采用時應采用R Rb b 。 。 ） )./( mskggb：其它其它m.sm.s制制 4 4、由式（、由式（5-355-35）計算推移質輸沙率）計算推移質輸沙率 ； 3 3、由、由- - 關系曲線確定推移質輸沙強度關系曲線確定推移質輸沙強度（或用擬合方程）（或用擬合方程） 2 2、計算水流強度、計算水流強度 由由EinsteinEinstein動床阻力計算方法求得

30、。動床阻力計算方法求得。 (7)Einstein(7)Einstein推移質輸沙率公式計算步驟推移質輸沙率公式計算步驟 1 hJ D s 1 JR D b s gDDg s sb b R 有沙波時計算水流強度的表達式為有沙波時計算水流強度的表達式為 gDD g s s b 28 因此在計算輸沙率時，對流速資料的可靠性及處理方因此在計算輸沙率時，對流速資料的可靠性及處理方 法必須十分注意。法必須十分注意。 這說明輸沙率對流速是十分敏感的。這說明輸沙率對流速是十分敏感的。 推移質輸沙率公式的一個共同特點是輸沙率大約與流推移質輸沙率公式的一個共同特點是輸沙率大約與流 速的四次方成正比。速的四次方成正比。 、推移質輸沙率公式的共性、推移質輸沙率公式的共性 （8 8）推移質輸沙率需要說明以下幾個問題）推移質輸沙率需要說明以下幾個問題 29 在采用公式時，要注意它的適用范圍，并應在類似河流在采用公式時，要注意它的適用范圍，并應在類似河流 中驗證后再應用。中驗證后再應用。 現(xiàn)有的推移質輸沙率公式很多。有人總結了自現(xiàn)有的推移質輸沙率