初中幾何輔助線作法大全

1、線、角、相交線、平行線規(guī)律 1.如果平面上有 n(n2)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫(huà)一條直線，一共可以畫(huà)出12n(n1)條.規(guī)律 2.平面上的 n 條直線最多可把平面分成12n(n+1)+1個(gè)部分.規(guī)律 3.如果一條直線上有 n 個(gè)點(diǎn)，那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為12n(n1)條.規(guī)律 4.線段（或延長(zhǎng)線）上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長(zhǎng)的一半. 例：如圖，b 在線段 ac 上，m 是 ab 的中點(diǎn)，n 是 bc 的中點(diǎn).1求證：mn = ac2證明：m 是 ab 的中點(diǎn)，n 是 bc 的中點(diǎn)a m b n cam = bm =1 1 ab ,bn

2、 = cn = bc2 2mn = mb+bn =1 1 1ab + bc = (ab + bc) 2 2 2mn =12ac練習(xí)：1.如圖，點(diǎn) c 是線段 ab 上的一點(diǎn)，m 是線段 bc 的中點(diǎn).求證：am =12(ab + bc)a c m b2.如圖，點(diǎn) b 在線段 ac 上，m 是 ab 的中點(diǎn)，n 是 ac 的中點(diǎn).求證：mn =12bca m n b c3.如圖，點(diǎn) b 在線段 ac 上，n 是 ac 的中點(diǎn)，m 是 bc 的中點(diǎn).求證：mn =12aba n b m c規(guī)律 5.有公共端點(diǎn)的 n 條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有12n(n1)個(gè).規(guī)律 6.如果平面內(nèi)有 n 條直線

3、都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有 2n（n1）個(gè). 規(guī)律 7. 如果平面內(nèi)有 n 條直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，則可構(gòu)成 n（n1）對(duì)對(duì)頂角.規(guī)律 8.平面上若有 n（n3）個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，過(guò)任意三點(diǎn)作三角形一共可作出 1)(n2）個(gè).規(guī)律 9.互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為 90o.16n(n規(guī)律 10.平面上有 n 條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12n(n1)個(gè).規(guī)律 11.互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半.規(guī)律 12.當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角 平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請(qǐng)同學(xué)們自

4、己證明.ca eghfbdca ehgfbdca eghfbd規(guī) 律13.已知 abde,如圖,規(guī)律如下：ab(1)cabc+bcd+cde=360e dab(2)cbcd = abc + cdeedc(3)aebdbcd = cde - abcab(4)ecdbcd = abc -cdeab(5)edccde =bcd +abc(6)abcabc = bcd +cdeed規(guī)律 14.成“8”字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線相交所成的角等于另兩個(gè)內(nèi)角和的一半.例：已知，be、de 分別平分abc 和adc，若a = 45,o c 的度數(shù).= 55o, 求 ea解：aabe =eade bccd

5、e =ecbe em得aabeccde =eadeecbecndbe 平分abc、de 平分adc， abe =cbe，cde =ade 2e =ace =12(ac)a =45o,c =55o,e =50o三角形部分規(guī)律 15在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu) 造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì) 證題.例：如圖，已知 d、e 為abc 內(nèi)兩點(diǎn)，求證：abacbddece.證法（一）：將de 向兩邊延長(zhǎng)，分別交 ab、ac 于 m、n在amn 中， am anmddene在bdm 中，mbmdbd在ce

6、n 中，cnnece得amanmbmdcnnemddenebdce abacbddece證法（二）延長(zhǎng) bd 交 ac 于 f，延長(zhǎng) ce 交 bf 于 g, 在abf 和gfc 和gde 中有，abafbddggfm dagfbencoo注意：2 gffcgece3 dggede有abafgffcdggebddggfgecedeabacbddece利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過(guò)引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量） 移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題.練習(xí)：已知：如圖 p 為abc 內(nèi)任一點(diǎn)，求證：12(abbcac)papbpcabbcac規(guī)律 16三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與

7、一個(gè)外角平分線相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半. 例：如圖，已知 bd 為abc 的角平分線，cd 為abc 的外角ace 的平分線，它與 bd 的延長(zhǎng)線交于d.求證：a = 2d證明：bd、cd 分別是abc、ace 的平分線ace =21, abc =22 a = ace abcada = 2122b21c e又d =12a =2d規(guī)律 17. 三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于 90 加上第三個(gè)內(nèi)角的一半.1例：如圖，bd、cd 分別平分abc、acb， 求證：bdc = 90o a2證明：bd、cd 分別平分abc、acba2122 = 180o2(12)= 180oabdc

8、 = 180o(12) (12) = 180obdc 把式代入式得bad1 2c2(180obdc)= 180oa 即：360o2bdc =180oa 2bdc = 180oabdc = 90o12a規(guī)律 18. 三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的銳角等于 90 減去第三個(gè)內(nèi)角的一半.例：如圖，bd、cd 分別平分ebc、fcb， 求證：bdc = 90o 證明：bd、cd 分別平分ebc、fcbebc = 21、fcb = 2221 =aacb22 =aabc得2（12）= aabcacba2（12）= 180oa1（12）= 90o a2abdc = 180o(12)12a1bdc = 18

9、0o(90o a)2eb1d2cfbdc = 90o12a規(guī)律 19. 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差（的絕對(duì)值） 的一半.例：已知，如圖，在abc 中，cb， adbc 于 d， ae 平分bac.求證：ead =12(cb)證明：ae 平分bacabae =cae =12bacbe dcbac =180o(bc)eac =12180o(bc)adbcdac = 90o c ead = eacdacead =12180o(bc)(90oc)a1= 90o (bc)90oc 2bafe dcbdfec3=12(cb)如果把 ad 平移可以得到如下兩圖，f

10、dbc 其它條件不變，結(jié)論為efd =12(cb).注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過(guò)解一道題掌握 一類(lèi)題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力.規(guī)律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)， 可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在 內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知 d 為abc 內(nèi)任一點(diǎn)，求證：bdcbac證法（一）：延長(zhǎng) bd 交 ac 于 e，bdc 是edc 的外角，bdcdecaa同理：decbacdedbdcbacbcbf c證法（二）：連結(jié) ad，并

11、延長(zhǎng)交 bc 于 fbdf 是abd 的外角，bdfbad同理cdfcadbdfcdfbadcad即：bdcbac規(guī)律 21.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形. 例：已知，如圖，ad 為abc 的中線且1 = 2，3 = 4，求證：becfef證明：在 da 上截取 dn = db，連結(jié) ne、nf，則 dn = dc 在bde 和nde 中，dn = db1 = 2ed = edanbdendeefbe = neb124d c同理可證：cf = nf 在efn 中，enfnef becfefoo規(guī)律 22. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形. 例

12、：已知，如圖，ad 為abc 的中線，且1 = 2，3 = 4，求證：becfef證明：延長(zhǎng) ed 到 m，使 dm = de，連結(jié) cm、fmbde 和cdm 中，bd = cd1 = 5ed = mdbdecdmcm = be又1 = 2，3 = 4123 4 = 1803 2 = 90即edf = 90ofdm = edf = 90oaedf 和mdf 中efed = mdb12d345cfdm = edfdf = dfedfmdfef = mf在cmf 中，cfcm mfbecfef（此題也可加倍 fd，證法同上）規(guī)律 23. 在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形. 例：已

13、知，如圖，ad 為abc 的中線，求證：abac2ad證明：延長(zhǎng) ad 至 e，使 de = ad，連結(jié) bead 為abc 的中線mbd = cd 在acd 和ebd 中 bd = cdb1a2d c1 = 2ad = edacdebd abe 中有 abbeae abac2ade規(guī)律 24.截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段 a、b、c、d 有下列情況之一時(shí)用此種方法： ab2 ab = c3 ab = cd例：已知，如圖，在abc 中，abac，1 = 2，p 為 a

14、d 上任一點(diǎn)，求證：abacpbpc證明：截長(zhǎng)法：在 ab 上截取 an = ac，連結(jié) pn在apn 和apc 中，an = aca1 = 212ap = apnpapnapcbdcpc = pnbpn 中有 pbpcbnpbpcabac補(bǔ)短法：延長(zhǎng) ac 至 m，使 am = ab，連結(jié) pm1a2在abp 和amp 中bdpcab = am1 = 2ap = apabpamppb = pm又在pcm 中有 cm pmpcabacpbpc練習(xí)：1.已知，在abc 中，b = 60o,ad、ce 是abc 的角平分線,并且它們交于點(diǎn) o 求證：ac = aecdm2.已知，如圖，abcd1

15、= 2 ,3 = 4.ed求證：bc = abcda1 42 3b c規(guī)律 25.證明兩條線段相等的步驟：o o1 觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。2 若圖中沒(méi)有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形 全等.3 如果沒(méi)有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，be、cd 相交于 f，b = c，1 = 2，求證：df = ef證明：adf =b3aef = c4又3 = 4b = cadf = aef在adf 和aef 中 adf = aefa1 = 2 af = afbd1 23f4ecadfaefdf =

16、ef規(guī)律 26.在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來(lái)證明兩個(gè)角相等. 例：已知，如圖 abc 中，ab = ac，bac = 90o，過(guò) a 作任一條直線 an，作 bdan 于 d，cean于 e，求證：de = bdce證明：bac = 90o, bdan12 = 90 13 = 902 = 3bdan ceanbda =aec = 90o在abd 和cae 中，bda =aec2 = 3a12dab = acb3ecabdcae bd = ae 且 ad = ce aead = bdce de = bdcen規(guī)律 27.三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距

17、離相等. 例：ad 為abc 的中線，且 cfad 于 f，bead 的延長(zhǎng)線于 e求證：be = cf證明：（略）afb12dce規(guī)律 28.條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形. 例：已知 ac = bd，adac 于 a，bcbd 于 b求證：ad = bc證明：分別延長(zhǎng) da、cb 交于點(diǎn) e adac bcbdcae = dbe = 90o 在dbe 和cae 中dbe =caebd = acee =eabdbecaeodced = ec，eb = eaedea = ec ebad = bc規(guī)律 29.連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)題. 例：已知，如圖，abcd，ad

18、bc求證：ab = cd證明：連結(jié) ac（或 bd）abcd，adbca13d1 = 2在abc 和cda 中，b42c1 = 2 ac = ca3 = 4 abccda ab = cde練習(xí)：已知，如圖，ab = dc，ad = bc，de = bf， 求證：be = dfdcabf規(guī)律 30.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”. 例：已知，如圖，在 abc 中，ab = ac，bac = 90o，1 = 2 ，cebd 的延長(zhǎng)線于 e求證：bd = 2ce證明：分別延長(zhǎng) ba、ce 交于 fbecfbef =bec = 90o在bef 和bec 中af1

19、 = 2debe = beb12cbef =bec befbecce = fe =12cfbac = 90o , becfbac = caf = 90o1bda = 90o1bfc = 90obda = bfc在abd 和acf 中bac = cafbda = bfcab = acabdacfbd = cfbd = 2ce練習(xí)：已知，如圖，acb = 3b，1 =2,cdad 于 d， 求證：abac = 2cda12bdc規(guī)律 31.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造全等三角形. 例：已知，如圖，ac、bd 相交于 o，且 ab = dc，ac = bd，求證：a

20、= dad證明：（連結(jié) bc，過(guò)程略）ob c規(guī)律 32.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件. 例：已知，如圖，ab = dc，a = d求證：abc = dcb證明：分別取 ad、bc 中點(diǎn) n、m， 連結(jié) nb、nm、nc（過(guò)程略）aabb規(guī)律 33.有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相 等證題.例：已知，如圖，1 = 2 ，p 為 bn 上一點(diǎn)，且 pdbc 于 d，abbc = 2bd，求證：bapbcp = 180o證明：過(guò) p 作 peba 于 epdbc，1 = 2pe = pd在 bpe 和 bpd 中bp

21、= bpepe = pdapn bpe bpdb12d cbe = bdabbc = 2bd，bc = cdbd，ab = beae ae = cdpebe，pdbcpeb =pdc = 90o在pea 和pdc 中pe = pdpeb =pdcae =cdpeapdcpcb = eapbapeap = 180obapbcp = 180o練習(xí)：1.已知，如圖，pa、pc 分別是abc 外角mac 與nca 的平分線，它們交于 p， pdbm 于 m，pfbn 于 f，求證：bp 為mbn 的平分線mdapbcf n2. 已知，如圖， abc 中，abc =100o，acb = 20o，ce 是

22、acb 的平分線，d 是 ac 上一 點(diǎn)，若cbd = 20o，求ced 的度數(shù)。beadc規(guī)律 34.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，ab = ac，bdac 于 d，求證：bac = 2dbc證明：（方法一）作bac 的平分線 ae，交 bc 于 e，則1 = 2 = 又ab = acaebca2acb = 90o1 2dbdac12bacdbcacb = 90obec2 = dbcbac = 2dbc（方法二）過(guò) a 作 aebc 于 e（過(guò)程略） （方法三）取 bc 中點(diǎn) e，連結(jié) ae（過(guò)程略）有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線例：已知，如圖，ab

23、c 中，ab = ac，d 為 bc 中點(diǎn)，deab 于 e，dfac 于 f， 求證：de = df證明：連結(jié) ad.ad 為 bc 中點(diǎn)，bd = cd 又ab =acebdfcad 平分bacdeab，dfacde = df將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，abc 中，ab = ac，在 ba 延長(zhǎng)線和 ac 上各取一點(diǎn) e、f，使 ae = af，求證： efbc證明：延長(zhǎng) be 到 n，使 an = ab,連結(jié) cn,則 ab = an = acb = acb, acn = ancbacbacnanc = 180on2bca2acn = 180oeabcaacn = 9

24、0of即bcn = 90oncbcae = afaef = afe又bac = aef afe bac = acn anc bac =2aef = 2anc aef = ancefncefbcbc常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：已知，如圖，在abc 中，ab = ac，d 在 ab 上，e 在 ac 延長(zhǎng)線上，且 bd = ce，連結(jié) de 交 bc 于 f求證：df = ef證明：（證法一）過(guò) d 作 dnae，交 bc 于 n，則dnb = acb，nde = e，ab = ac，b = acba addb1n f2cb1f2cmeeb =dnbbd = dn又bd = cedn

25、 = ec在dnf 和ecf 中1 = 2ndf =edn = ecdnfecfdf = ef（證法二）過(guò) e 作 emab 交 bc 延長(zhǎng)線于 m,則emb =b（過(guò)程略）常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖，abc 中，ab =ac，e 在 ac 上，d 在 ba 延長(zhǎng)線上，且 ad = ae，連結(jié) de 求證：debc證明：（證法一）過(guò)點(diǎn) e 作 efbc 交 ab 于 f，則n da mafe =bfeaef =cab = acb =cafe =aefad = aeaed =ade又afeaefaedade = 180o 2aef2aed = 90o即fed = 90ode

26、fe又efbcdebcbc（證法二）過(guò)點(diǎn) d 作 dnbc 交 ca 的延長(zhǎng)線于 n，（過(guò)程略）（證法三）過(guò)點(diǎn) a 作 ambc 交 de 于 m，（過(guò)程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，abc 中，ab = ac，bac = 80o ,p 為形內(nèi)一點(diǎn)，若pbc = 10o pcb = 30o 求pab 的度數(shù).解法一：以 ab 為一邊作等邊三角形，連結(jié) ce則bae =abe = 60oo o oo o oae = ab = be ab = acae = acabc =acbaec =aceeac =bacbae= 80 60 = 20ace =12(180

27、oeac)= 80oa1acb= (180obac)= 50o 2bce =aceacbbpec= 80 50 = 30pcb = 30opcb = bceabc =acb = 50o, abe = 60o ebc =abeabc = 60o50o =10o pbc = 10opbc = ebc在pbc 和ebc 中pbc = ebcbc = bcpcb = bcepbcebcbp = beab = beab = bpbap =bpaabp =abcpbc = 50o10o = 40opab =12(180oabp)= 70o解法二：以 ac 為一邊作等邊三角形，證法同一。 解法三：以 bc

28、為一邊作等邊三角形bce，連結(jié) ae,則eb = ec = bc，bec =ebc = 60oeb = ece 在 bc 的中垂線上eabpc同理 a 在 bc 的中垂線上 ea 所在的直線是 bc 的中垂線 eabcaeb =12bec = 30o =pcb由解法一知：abc = 50oabe = ebcabc = 10o =pbc abe =pbc,be = bc,aeb =pcb abepbcab = bpbap =bpaabp =abcpbc = 50o10o = 40opab =1 1(180oabp) = (180o40o)= 70o 2 2規(guī)律 35.有二倍角時(shí)常用的輔助線構(gòu)造等

29、腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角 例：已知，如圖，在abc 中，1 = 2，abc = 2c，求證：abbd = ac證明：延長(zhǎng) ab 到 e，使 be = bd，連結(jié) de則bed = bdeabd =ebdeabc =2eabc = 2ce = ca1 2在aed 和acd 中 e = c1 = 2bedcad = adaedacdac = aeae = abbeac = abbe即 abbd = ac平分二倍角例：已知，如圖，在abc 中，bdac 于 d，bac = 2dbc求證：abc = acb證明：作bac 的平分線 ae 交 bc 于 e，則bae = cae = db

30、c bdaccbd c = 90o caec= 90oaaec= 180ocaec= 90o aebcdabcbae = 90obeccaec= 90obae = caeabc = acb加倍小角例：已知，如圖，在abc 中，bdac 于 d，bac = 2dbc 求證：abc = acb證明：作fbd =dbc,bf 交 ac 于 f（過(guò)程略）afdb c規(guī)律 36.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來(lái).例：已知，如圖，abc 中，ab = ac，bac = 120o，ef 為 ab 的垂直平分線，ef 交 bc 于 f，交 ab 于 e求證：bf =12fc證明：連結(jié) a

31、f，則 af = bf b =fab ab = acb =c bac = 120ob =cbac =12(180obac) = 30ofab = 30oeabfcfac =bacfab = 120o30o =90o 又c = 30oaf =12fcbf =12fc練習(xí)：已知，如圖，在abc 中，cab 的平分線 ad 與 bc 的垂直平分線 de 交于點(diǎn) d，dmab 于 m，dn ac 延長(zhǎng)線于 n求證：bm = cnambedcn規(guī)律 37. 有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在abc 中，b =2c，adbc 于 d 求證：cd = abbd證明：（一）在 cd 上截取 de =

32、 db，連結(jié) ae，則 ab = ae b =aebb = 2caeb = 2ca又aeb = ceac c =eacae = ce又cd = dece cd = bdabce d bacd bf（二）延長(zhǎng) cb 到 f，使 df = dc，連結(jié)程略）規(guī)律 38.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在abc 中，bc = 2ab, abc = 2c,bd = cd 求證：abc 為直角三角形證明：過(guò) d 作 debc，交 ac 于 e，連結(jié) be，則 be = ce， c =ebcaf 則 af =ac（過(guò)abc = 2c abe =ebc bc = 2ab，bd = cd bd = a

33、ba在abe 和dbe 中 ab = bdabe =ebccedbbe = beabedbebae = bdebde = 90obae = 90o即abc 為直角三角形規(guī)律 39.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題. 例：已知，如圖，在abc 中，a = 90o，de 為 bc 的垂直平分線求證：be2ae2 = ac2證明：連結(jié) ce，則 be = cea = 90o ae2ac2 = ec2eaae2ac2= be2 be2ae2= ac2bdc練習(xí)：已知，如圖，在abc 中，bac = 90o，ab = ac， 求證：pb2pc2= 2pa2p 為 bc 上一點(diǎn)

34、abpc規(guī)律 40.條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如圖，在abc 中，b = 45o，c = 30o，ab = 2 ，求 ac 的長(zhǎng). 解：過(guò) a 作 adbc 于 dbbad = 90o，b = 45o，b = bad = 45o，ad = bdab2= ad2bd2，ab =2abdcad = 1c = 30o，adbc ac = 2ad = 2四邊形部分規(guī)律 41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半.例：已知,abcd 的周長(zhǎng)為 60cm，對(duì)角線 ac、bd 相交于點(diǎn) o，aob 的周長(zhǎng) boc 的周長(zhǎng)多 8cm，求 這個(gè)四邊形各邊長(zhǎng).解：四邊形

35、 abcd 為平行四邊形ab = cd，ad = cb，ao = coabcddacb = 60aoabob(obbcoc) = 8abbc = 30，abbc =8ab = cd = 19，bc = ad = 11答：這個(gè)四邊形各邊長(zhǎng)分別為 19cm、11cm、19cm、11cm.規(guī)律 42.平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差.（例題如上）規(guī)律 43.有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形例：已知，如圖， abc，acb = 90o，cdab 于 d，ae 平分cab 交 cd 于 f，過(guò) f 作 fhab 交 bc 于 h求證：ce = bhc證明：過(guò) f

36、作 fpbc 交 ab 于 p，則四邊形 fpbh 為 b =fpa，bh = fp5f43eh平行四邊形acb = 90o，cdaba12d pb5cab = 45o，bcab = 90o 5 =b5 =fpa又1 =2，af = afcafpafcf = fp4 =15，3 =2b 3 =4cf = cece = bh練習(xí)：已知，如圖，abefgh，be = gc 求證：ab = efghafhbe gc規(guī)律 44.有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段. 例：已知，如圖， abcd 中，ab = 2bc，m 為 ab 中點(diǎn)求證：cmdm證明：延長(zhǎng) dm、cb 交于 n四邊形 a

37、bcd 為平行四邊形ad = bc，adbca = nbaadn =n又am = bmd2camdbmnam31bnoaob doc boc aodad = bnbn = bcab = 2bc，am = bmbm = bc = bn1 =2，3 =n123n = 180o，13 = 90cmdm規(guī)律 45.平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等. 如圖：oe = ofaedbof c規(guī)律 46.平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角 形的面積等于平行四邊形面積的一半.如圖：bec=12abcdaedbc規(guī)律 47.平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線

38、所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的面 積之和等于平行四邊形面積的一半.如圖： = =12abcdaodbc規(guī)律 48.任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中， 條線段的平方和相等.不 相 鄰 的 兩o如圖：ao2oc2 = bo2 do2ad adobcbc規(guī)律 49.平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為 如圖：四邊形 ghmn 是矩形矩形.adghnmbc（規(guī)律 45規(guī)律 49 請(qǐng)同學(xué)們自己證明）規(guī)律 50.有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.例：已知，如圖，e 為矩形 abcd 的邊 ad 上一點(diǎn)，且 be = ed，p 為對(duì)角線 bd 上一點(diǎn)，pfbe 于 f，pg ad 于 g求證：pfpg = ab證明：證法一：過(guò) p 作 phab 于 h，則四邊形 ahpg 為矩形ah = gp phadadb =hpbbe = de ebd = adb hpb =ebdahbfe gpndc又pfb =bhp = 90opfbbhphb = fpahhb = pgpf即 ab = pgpf證法二：延長(zhǎng) gp 交 bc 于 n，則四邊形 abng 為矩形，（證明略）規(guī)律 51