一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系

1、中考數(shù)學第一輪復習一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的尖系【課前熱身】1 方程(2X - 1) ( 3X+1)2.矢于X的一元二次方程=x2+2化為一般形式為，其中a= , b=/T7nx+m+3m=0有一個根為零，貝U m的值等于3矢于X的一元二次方程2 2X+mx+ n=0的兩個根為Xi=1, X2=- 2,則x+mx+n分解因式的結果4.尖于X的一元二次方程222x 3x a +1=0的一個根為 廠則a的值是()735若矢于X的一元二次方程(221 ) X+5x+m 3m+2=0的常數(shù)項為0，則m的值等于()【參考答案】1 5x2 X 3=0 5132. -33. ( X 1) (X+2)

2、 5.6.【考點聚焦】知識點:元二次方程根的判別式判別式與根的個數(shù)尖系判別式與根韋達定理及其逆定理 大綱要求：1 掌握一元二次方程根的判別式，會判斷常.對含有字母系數(shù)數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況的由一元二次方程，會根據(jù)字母的取值范圍判斷根的情況，也會根據(jù)根的情況確定字母的取值范圍；2. 掌握韋達定理及其簡單的應用；3. 會在實數(shù)范圍內把二次三項式分解因式；4. 會應用一元二次方程的根的判別式和韋達定理分析解決一些簡 單的綜合性問題【備考兵法】1考查重點與常見題型n1 利用根的判別式判別一元二次方程根的情況，矢有矢試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中，女口 ：2于x的方程ax 2x + 1二.0中，如果a0

3、u 元二次方程ax2 +bx + c = da H 0)有兩個實數(shù)根，即Xl,2 =2(2) b 4ac=0u 亓二次方稈有.相等的實數(shù)根，即Xi=x2 =b2 -4ac0u 一元二次方程 ax2 +bx + c = 0(a h 0 1實數(shù)根.2. 一元二次方程根與系數(shù)的矢系2若矢于X的一元二次方程ax + bx+ c=0( HO)有兩根分別為x、他、那么Xj+X険【典例精析】例1 (四川綿陽)已知矢于X的一元二次方程X2 + 2( k- 1)X + k2-1 =0有兩個不相等 的實數(shù)根.(1) 求實數(shù)k的取值范圍；(2) 0可能是方程的一個根嗎？若是，請求出它的另一個根；若不是，請說明理由.

4、【分析】這是一道確定待定系數(shù)m的一元二次方程，？又討論方程解的情況的優(yōu)秀考題，需要考生具備分類討論的思維能力.【答案】0,解得k 1，即實數(shù)k的取值范圍是kv 1(2)假設o是方程的一個根，則代入得o2 + 2( k- 1)o + k2- 1 = o ,解得k = - 1或k = 1 (舍去).即當k = - 1時，o就為原方程的一個根.此時，原方程變?yōu)?x2- 4X = 0，解得Xy 0 , X2 = 4，所以它的另一個根是4例2 (北京)已知下列n (n為正整數(shù))個矢于X的一元二次方程：(1)2 C八(2)2+2X 3=0+ (n 1) X n=0 n)(1) 請解上述一元二次方程(1),

5、 (2), (3) ( n)；(2) 請你指出這n個方程的根具有什么共同特點，寫出 一條即可.【分析】由具體到一般進行探究.【答案】C) (X+1) (X- 1) =0,所以 Xi = - 1 , x2=1 .(X+2) (X 1) =0，所以 Xi=- 2/2= 1 .(X+3) (X 1) =0 f 所以 Xi= 3 (2=1 .2- 1=0_5bjij.=D. 32. （2.009年湖南株洲）定義：如果一元二次方程2ax +bx+c = O(aHO)滿足 a + b + c = 0 .那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程已知ax? 兩個相等的實數(shù)根，則下列結論正確的是A. a = cB. a

6、 = b+ bx+ c = 0 (aHO)是“鳳凰”方程，且有C. b = CD. a = b = CA. 5-11（四川 k的取4.（內蒙古包頭）B.k _1 且kHO C. k 故選 CI Xi + X = im 2一，求出.X2= 2m 1” x = -3本題易出錯，學生易在求得 葉=1或m2 =5的兩個值后，代入22(Xi X2 )=(冷中X2 ) 4X1X2 =13或一11，易漏掉檢驗方程是否存在實根5- D【解析】本題考查方程的有矢知識，矢于X的方程ax2(a + 2)x + 2 = 0只有一解, 有兩種情況，該方程是一元一次方程，此時a =0，該方程是一元二次方程，方程有兩個相等

7、等的實數(shù)根(a+2 2 4aL2=0，解得a =2，故選D.6.7.8.9.10.填空題2. k_943.4.-17解答題収 1 + X2 =2,1解:由題意得xi +2X2 =3 V2.解得 Xt=1,X2=1 -血.所以 a=XiX2=(1+ 間(1 間二一1 .(2)法一：由題意，得X： 2捲一 1 =0 .所以 xr-3xiA2xi +x,= Xi3 -2xi2 -Xi -XiA3xi +X2=x|2 +2xi +1 +xi +X21 =21 =1 .法二：由題意，得為2=2為+1，32所以 Xi -3xi +2xi +X2= A(2xi +1)3(2 為 +1)+2xi+X2=2xi

8、 + 捲一6 為一k 3+2 捲 +X2 = 2(2xi +1) 3 為一3+X2=4X| +2 3xi3 + x?= Xi+x?1 =2 1 =1 .2. 解:(1)2x2 +kx-1 =0 ,46=k2 -4x2x(-1) = ka+8,22無論k取何值，k0，所以k +80，即也0 ,2/.方程2x + kx= 0有兩個不相等的實數(shù)根.k1(2)設 2x2+kx1 =0 的另一個根為 x，貝 y x-1=- ,(1Lx =221解得：x=，k=1,21/. 2x2 +kx1 =0的另一個根為一，k的值為1.23. 解：方程X2 -4x+b =0有兩個相等的實數(shù)根 =(Y)2-4b=0/

9、b=4. / c=4.b=c=4.ABC為等腰三角形.4. 解（1 ）易求得點C的坐標為（O,k）由題設可知xi，X2是方程（x + m） 2+k-m2 =0即X2 +2mx+k =0 的兩根，故 xi,2=如土舊竺,所以 Xi + xA -2m, xAxA k兩條相交弦，設它們的交點為點 0連結DB AO3A DOS” OD/AAB OCIkX1X2I如圖3,vo P與y軸的另一個交點為D,由于AB CD是O P的由題意知點C在y軸的負半軸上，從而點D在y軸的正半軸上, 所以點D的坐標為（0, 1）（2）因為AB丄CD AB又恰好為O P的直徑，則C、D尖于點0對稱,所以點C的坐標為（0,-1），即k = -1）又 AB = X2 -% =J（X2+ X2 -4xa2 = J（-2m）2-4k = 2jm2 - k = 2jm2 +1 ,AA所以 abc j ABAOC = X2jm2 +1X1 =75 解得 m = 2.225解：（1）當a=0時，函數(shù)為y=x+1，它的圖象顯然與x軸