伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要：伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數(shù)中的一個基本概念 , 是許多數(shù)學分支研究的重要工具。伴隨矩 陣作為矩陣中較為特殊的一類 , 其理論和應(yīng)用有自身的特點 . 而在大學的學習中 , 伴隨矩陣只是作 為求解逆矩陣的工具出現(xiàn)的 , 并沒有深入的研究 .本文分類研究伴隨矩陣的性質(zhì) ,并討論其證明過程, 得到一系列有意義的結(jié)論。 (1) 介紹伴隨矩陣在其行列式、秩等方面的基本性質(zhì) ; (2) 研究數(shù) 乘矩陣、乘積矩陣、分塊矩陣的伴隨矩陣的運算性質(zhì)及伴隨矩陣在逆等方面的運算性質(zhì) ; (3) 研究 矩陣與其伴隨矩陣的關(guān)聯(lián)性質(zhì) , 主要介紹由矩陣的對稱性、正定性、奇異

2、性、正交性推出伴隨矩陣 的對稱性、正定性、奇異性、正交性 ; (4) 研究伴隨矩陣間的關(guān)系性質(zhì) , 主要研究由兩矩陣的相似、 合同等關(guān)系推出對應(yīng)的兩伴隨矩陣之間的關(guān)系 ; (5) 研究伴隨矩陣在特征值與特征向量等方面的性 質(zhì); (6)給出 m重伴隨矩陣的定義及其一般形式 ,研究 m重伴隨矩陣的相應(yīng)的性質(zhì)。 本文的主要創(chuàng) 新點在于研究了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)。矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學學科中。在物理學中，矩陣 于電路學、力學、光學和量子物理中都有應(yīng)用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 在天體物理、量子力學等領(lǐng)域，也會出現(xiàn)無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣

3、。然而伴隨矩陣在矩陣中占據(jù)著比較特殊的位置，通過它可以推導出逆矩陣的計算公式，使方 陣求逆的問題得到解決，伴隨矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用有著與眾不同的特點。在矩陣計算及討論中 , 常 常會遇到伴隨矩陣 , 但對伴隨矩陣的一些性質(zhì)進行系統(tǒng)討論的卻很少 , 以下將主要針對伴隨矩陣 的各種性質(zhì)及應(yīng)用討論。關(guān)鍵詞：伴隨矩陣 可逆矩陣 方陣性質(zhì)1、 伴隨矩陣的定義a11a1na21 a22定 義 1. 設(shè) Aij 是 矩 陣 A=a2n中元素aij 的代數(shù)余子式，則矩陣A11A12an1an2annA1nA2A*=稱為 A 的伴隨矩陣An2nn定義2.設(shè)A為n階方陣，如果有矩陣 B滿足AB=BA=E則, B就稱為

4、 A的逆矩陣，記為 B=A* 注意：只有方陣才有伴隨矩陣和逆矩陣2、伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì) 1.設(shè) A為n階方陣，AA* =A*A=AEd000d0證明：由行列式按一列（行）展開 :AA* =A* A=0 =d E, 其中 d = A00000d性質(zhì) 2. n 階矩陣 A可逆的充分必要條件是矩陣 A非退化，即 A 0,且A1 A .A.證明：若 A0，則A可逆，且A 1= A ；反之，若A可逆，則有 AA-1 =E，所以| AA-1|=|A|A -1|=1故|A|=0. 即 A 非退化。證明：因為 （kA） 11 A 1，由性質(zhì) 2兩邊取逆可得 kA A(A* )1 故 (A*) 1A，A，另一方

5、面，由性質(zhì)2 有(A 1) 11A1(A 1)* A(A 1)* (A 1)*1A A，由(A 1)* (A*) 1性質(zhì) 3.2. 設(shè) A為 n階矩陣，則秩n，當秩 A n時A* = 1，當秩 A n 1時 .0，當秩 A n 2時證明：（1）當秩 A=n時，則 A 0, A是可逆的，即有 A 1存在，所以A* AA 1. 可見，秩 A*=n。反之，當秩 A* =n 時， A* 可逆時，則有 （A* ） 1存在，所以A= A (A*)1,有 A 0，因 A=0，從而 A* =0，這與秩 A* =n 矛盾，所以 A 0，于是秩性質(zhì) 3.1. 若 A為非奇異矩陣，則 （A 1）* （A*） 1 .

6、A）=n；2）當秩（ A） =n1 時，則 A 必有一個 n1階子式不為 0，即 A* 中至少有一個元素不為 0，所以，秩（ A* ） 1 ，另外秩（ A）=n 1. 則 A =0，于是， AA*AE 0.從而，秩（ A）+秩（ A* ） n,故秩（ A* ） 1.這便知秩（ A*） 1.反之，若秩（ A* ）=1，則 A* 中必有一個 Aij 0 ， 即是說 A 必有一個 n-1階子式不為零，故秩 A n-1但不能有秩（A）=n，否則，有秩 A* =n，而 n 2，這樣與秩 （A*） 1 矛盾，所以秩（ A） n ，則（ A） n 1，因此 , 秩（A）=n 1.3）當秩（ A）n 1時，則

7、 A中一切 n 1階子式均為 0，于是一切 Aij 0, A* 0所以，這時有秩（A* ） 0,反之，若秩 （A* ） 0,則 A* 0,即一切Aij 0，亦即 A的一切 n 1階子式為 0，所以秩（A）n 1.A的伴隨該性質(zhì)可以用來求 A的伴隨矩陣的秩， A的秩可以直接求出， 通過 A 的秩可以直接求出 矩陣.性質(zhì) 4. 秩 A* 秩A.性質(zhì) 5. A* = A n 1，其中 A是 n階方陣（ n 2）.證明：若 A 0， AA* = A E，AA* = A n A A*=AA* = An1若 A =0，這時秩 A* 1 ，A* =0，而也有 A* = An1綜合得 A* = An1性質(zhì) 6

8、.若 A是 n 階非零實矩陣， AA*,則 A 0.證明：用反證法，若 A 0，則 AAAAAE0，令一方面，設(shè) A（= aij） Rn nAA =AA* =na1ii1n2a2ii1=0n2anii1由（ 2）式主對角元素均等于0，可得 aij0,(i, j 1,2,n）, 此即 A=0，這與非零矩陣的假1,則 A A*,但 A 0 i設(shè)矛盾， A 0.條件 A是實方陣中“實”字不能少，否則，比如設(shè) A= i1性質(zhì) 7. 令 A,B 為 n 階矩陣，則（1）A對稱 A* 對稱；（2）A正交A* 正交；3）若 A與 B等價，則 A * 1 n 1 AA (A ) A ( A)與B*也等價；4）

9、若 A與 B相似，則 A*與B*也相似；5）若 A與 B合同，則 A*與B*也合同；6）A=B A* B* ；7）A 正定 A*正定； 8）A 為可逆矩陣 A*為可逆矩陣； 9）如果 A是可逆矩陣，那么 A為反對稱 A*為反對稱.證明：(1)這里只證（ 1），（ 2），其余的這里就不再證明了。(A*)T (AT)* A*, A*為對稱矩陣 ;(2)因為 A 是正交矩陣， 故AATE,A*(A*)T A*(AT )* (AT A)* E* EA* 是正交矩陣 .從該性質(zhì)我們看到方陣有很多的性質(zhì)是能 “遺傳” 給它的伴隨矩陣的， 因此我們在不求矩 陣伴隨的時候就能通過原矩陣的性質(zhì)去判斷伴隨矩陣的性

10、質(zhì)了。性質(zhì) 8. (A*)* (A*)T .性質(zhì) 9. 一切 An n （不一定 A非奇異）都有 （A*）* A A.證明：A*n1i ）當秩 A=n時， A0, A可逆，用 A-1左乘式子 AAA E兩邊得， A* AA 1用 A換 A*得，(A* )*An2A(A )(ii) 當秩 A n-1 時，n2A.則秩 A* 1, An-20,從而秩( A* )* 0，則(A*)* 0 An-2A,綜合即證該性質(zhì)討論了 A 的伴隨矩陣的伴隨矩陣和A的關(guān)系，一些問題會涉及此性質(zhì)，應(yīng)多加注意A * . (a 為實數(shù) )那么 bij 為行列式aA中劃去第 j 行和第 i 列的代數(shù)余子式（ n-1 階行列

11、式），其中每行提出公因子 a 后，可得 bij an 1Aji (i, j 1,2,n) ，由此即證 (aA)* =a n 1 A * .n1數(shù)乘矩陣的伴隨矩陣可以用該性質(zhì)很好的得出，本性質(zhì)是一些選擇、填空常考點性質(zhì) 11.設(shè)A,B 均為 n階方陣，則(AB )* B*A* .證明：當 AB0時，這時 A 0，B0，由公式 A*AA 1，可得(AB)* AB ( AB) 1BBA1BA,當 AB 0時，考慮矩陣 A( ) A E,B( ) B E,由于 A和 B都最多只有限個特征值，因為存在無窮多個使 A( ) 0, B( ) 03)那么由上面的結(jié)論有( A( )B( ) )*=B* ( )A

12、* ( )4)令( A( )B( )=(fij( )nn,B ()A*( ) (gij( )n n，則有fij( ) gij( ),(i, j1,2, ,n)5)由于有無窮多個使( 5)式成立，從而有無窮多個 使(5)式成立，但fij( ),gij () 都是多項式，從而 ( 3 ) 式 對 一 切 都 成 立 ， 特 別 令=0 ，這時有(AB) (A(0)B(0) B (0)A (0) B A . 該性質(zhì)是一些題目的?？键c，把求 AB的伴隨矩陣轉(zhuǎn)化為求 A 的伴隨矩陣和 題，可以很有效的解決問題 .B的伴隨矩陣的問性質(zhì) 12.如果矩陣 A可逆，令 為它的特征值， 是 A的屬于 的特征向量，

13、則 A* 的特征值是1 A, 是A*的屬于 1 A的特征向量 .證明： 由于 A 可逆，所以0，由于 A，左邊乘以 A* 得， A* AA* ，故A* = 1性質(zhì) 13.若 A為n階方陣且矩陣的行列式不為零，那么 A* 可表示為 A 的多項式形式 .證明：A的特征多項式是 f( )n1an 1L a1a0.因為 A可逆，所以 a0 ( 1)nA 0. 由哈密頓-凱萊定理知 f (A) 0,即Ann1an 1AL a1Aa0E 0a0 (An1 an1An2 La1E)A E右乘A*,得： A(An1 an1An 2 L a1E) A* a0故A* ( 1)n1(An1 an1An 2 L a1

14、E).該性質(zhì)把 A的伴隨矩陣轉(zhuǎn)化為 A 的多項式形式，這是求 A的伴隨矩陣的簡單有效方法3. 伴隨矩陣性質(zhì)的應(yīng)用111例1 設(shè)A 0 2 2 ,(A 1)*是A 1的伴隨矩陣，則求 (A1)*.003由性質(zhì) 1，因為 AA*E,有A 1)*. 本題 A6，所以1*A 1)*此題是求 A 的逆矩陣的伴隨矩陣， 的求出 .若用伴隨矩陣的定義求解則太復雜，可用性質(zhì)1 方便簡捷111例2若A011,求A 1.0011111解：A011，A*0001011001 ，A 1，由性質(zhì) 2得， A1A*1101001115 2 5解：A 1 121，1*(A 1 )*2 2 0 , 由性質(zhì) 3 得，(A*)

15、1 (A1)* , 所以1131 0 11111 2 1 ,試求伴隨矩陣 A*的逆矩陣.113A 的逆矩陣問題，可以根據(jù)性質(zhì)此題比較常見，求 的公式求出 .例 3 已知 3 階矩陣 A 的逆矩陣為 A 15 2 5 *1(A*) 1 2 2 01 0 1此題把求 A 的伴隨矩陣的逆矩陣問題轉(zhuǎn)化為求 A 的逆矩陣的伴隨矩陣問題，這樣根據(jù)性質(zhì)3 可以很容易的得出 .例42若 A 1 0 2 003 , 則求 A* .5解：A (12)3 011,由性質(zhì) 6得，A4A2116例51已知 A= 0011 ,求(A*)* .2解：例6若已知1A* = 00A=由性質(zhì) 11 可直接得(2A), 由性質(zhì)2A

16、)*.22此題考查的是數(shù)與矩陣的乘積的伴隨矩陣問題，7 設(shè) A 為三階矩陣， A 的特征值為解：10 知4A用性質(zhì)1，因為 A =1 5 7 35,由性質(zhì) 13 知，為 35-2=33,7-2=5,5-2=3. 故 A* 2E3353A)=A31A2A10 可以很方便的得出 .5，7. 試求行列式A* 的特征值分別為495A* 2E35,7,5. 于是 A*2E的特征值00.2例8 求矩陣 A的伴隨矩陣 A* .1A= 412,因a02 0,所以 A可逆，6 2 0由性質(zhì) 14 知 A* ( 1)3 1(A2 4A 5E)= 8 2 0 .311以上在伴隨矩陣的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，較為詳細地歸納

17、并討論了伴隨矩陣的性質(zhì)；并在此基 礎(chǔ)上討論了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)。無論經(jīng)過這多時間對所學知識的掌握和了解，可以更加進一步了解伴隨矩陣在數(shù)學中的地位和作 用，在解決復雜的數(shù)學問題時，能夠更加靈活運用它來解決實際問題其實數(shù)學知識不在于舉多少 例子，關(guān)鍵在于能夠真正理解了其內(nèi)涵，并且能夠熟練地把其運用到生活中創(chuàng)造它的價值 . 是對于教師還是學生來說，熟練掌握了這些性質(zhì)和應(yīng)用，就能夠使自己對伴隨矩陣的理解和認識 更全面和更深刻。參考文獻1 徐德余等. 高等代數(shù)習題精編 M. 成都：電子科技大學出版社， 1992.114.2 馮紅. 高等代數(shù)全程學習指導 M. 大連：大連理工大學出版社， 2004.196.3 閻滿富、陳景林等 . 高等代數(shù)習題匯編與解答 M. 天津：天津人民出版社， 1994.14 劉云慶等 . 高等代數(shù)習作課講義 M. 北京：北京師范大學出版社， 1987.102.5 錢吉林 . 高等代數(shù)題解精粹 M. 北京：中央民族大學出版社， 2002.120.6 施光燕 . 高等數(shù)學講稿