四點共圓問題

1、？o2121313四點共圓問題“四點共圓”問題在數學競賽中經常出現，這類問題一般有 兩種形式：一是以“四點共圓”作為證題的目的，二是以“四點 共圓”作為解題的手段，為解決其他問題鋪平道路 .判定“四點 共圓”的方法，用得最多的是統(tǒng)編教材幾何二冊所介紹的兩 種（即 p89 定理和 p93 例 3），由這兩種基本方法推導出來的其他 判別方法也可相機采用 .1 “四點共圓”作為證題目的例 1給出銳角 abc，以 ab 為直徑的圓與 ab 邊的高 cc及其 延長線交于 m，n.以 ac 為直徑的圓與 ac 邊的高 bb及其 延長線將于 p，q.求證：m，n，p，q 四點共圓.(第 19 屆美國數學奧林

2、匹克 )分析：設 pq，mn 交于 k 點，連接 ap，am.na欲證 m，n，p，q 四點共圓，須證qmkknpkkq，c b 即證(mc-kc)(mc+kc) (pb-kb)(pb+kb)bkp mc或 mc2-kc2=pb2-kb2. 不難證明 ap=am，從而有ab2 +pb2=ac2+mc2.故 mc2-pb2=ab2-ac2=( ak2-kb2 )-(ak2-kc2 ) = kc2-kb2.由即得，命題得證 .o例 2a、b、c 三點共線， o 點在直線外， o ，o ，o 分別為oab，obc，2 3oca 的外心.求證：o，o ，o ，1 2o 四點共圓.3(第 27 屆莫斯科

3、數學奧林匹克 )o1？o3a b c分析：作出圖中各輔助線.易證 o o 垂直平分 ob，o o 垂直平分1 2 1 3oa.觀察obc 及其外接圓，立得oo o = oo b=ocb.2 1 2觀察oca 及其外接圓，立得 oo o = oo a=oca.2由oo o =oo o2 1 3 1o，o ，o ，o 共圓. 1 2 3利用對角互補，也可證明 o，o ，o ，o 四點共圓，請同學1 2 3自證.2 以“四點共圓”作為解題手段這種情況不僅題目多，而且結論變幻莫測，可大體上歸納為 如下幾個方面 .(1)證角相等例 3在梯形 abcd 中，abdc，abcd，k，m 分別在 ad，bc

4、上， damcbk.求證：dmackb. （第二屆袓沖之杯初中競賽）dc分析：易知 a，b，m，k 四點共圓.連接 km， 有dabcmk.dab+adc 180，cmk+kdc180.k m a b故 c，d，k，m 四點共圓 cmddkc. 但已證ambbka，dmackb.(2)證線垂直a例 4o 過abc 頂點 a，c，且與 ab， bc 交于 k，n(k 與 n 不同) abc 外接圓和 bkn 外接圓相交于 b 和 m.求證： bmo=90.(第 26 屆 imo 第五題)bkmon cg分析：這道國際數學競賽題，曾使許多選手望而卻步 .其實，只 要把握已知條件和圖形特點，借助“四

5、點共圓”，問題是 不難解決的 .連接 oc，ok，mc，mk，延長 bm 到 g.易得gmc= bac=bnk=bmk.而cok=2bac=gmc+bmk=180-cmk，cok+cmk=180 c，o，k，m 四點共圓.在這個圓中，由oc=ok oc=ok omc=omk.但gmc=bmk，故bmo=90.(3)判斷圖形形狀例 5四邊形 abcd 內接于圓，bcd，acd，abd，abc 的 內心依次記為 i ，i ，i ，i .a b c d1 1ci121211試證：i i i i 是矩形.a b c d(第一屆數學奧林匹克國家集訓選拔試題 )分析：連接 ai ，ai ，bi ，bi 和

6、 di .易得c d c d bai b=90+ adb=90+2 2idb acacb=ai b a，b，i ，i 四點 d d c共圓.同理，a，d，i ，i 四點共圓 .此時b cai i =180-abi =180- abc， c d daic idbai i =180-adi =180- adc，c b bai i +ai ic d c b=360- (abc+adc)2=360- 180=270.2故i i i =90.b c d同樣可證 i i i i 其它三個內角皆為 90.該四邊形必為矩 a b c d形.(4)計算例 6正方形 abcd 的中心為 o，面積為 1989 2

7、.p 為正方形內 一點，且 opb=45，pa:pb=5:14 .則 pb=_(1989，全國初中聯(lián)賽)分析：答案是 pb=42 .怎樣得到的呢？dc連接 oa，ob.易知 o，p，a，b 四點共圓，有apb=aob=90.p o故 pa2+pb2=ab2=1989.由于 pa:pb=5:14，可求 pb.ab(5)其他例 7設有邊長為 1 的正方形，試在這個正方形的內接正三角形 中找出面積最大的和一個面積最小的，并求出這兩個面積 (須證明你的論斷 ).(1978，全國高中聯(lián)賽 )分析：設 efg 為正方形 abcd 的一個內接正三角形，由于正三 角形的三個頂點至少必落在正方形的三條邊上，所以

8、不妨 令 f，g 兩點在正方形的一組對邊上 .3作正efg 的高 ek，易知 e，k，g，aedd 四點共圓 kde=kge=60.同 理，kae=60.故kad 也是一個正 三角形， k 必為一個定點 .fbkgc又正三角形面積取決于它的邊長，當 kf 丄 ab 時，邊長為1，這時邊長最小，而面積 s= 也最小 .當 kf 通過 b 點時，4邊長為 2 2 - 3 ，這時邊長最大，面積 s=2 3 -3 也最大. 例 8ns 是o 的直徑，弦 ab 丄 ns 于 m，p 為 anb 上異于 n 的任一點，ps 交 ab 于 r，pm 的延長線交 o 于 q.求證： rs mq.(1991，江

9、蘇省初中競賽 )分析：連接 np，nq，nr，nr 的延長線交 o 于 q.連接 mq，sq.易證 n，m，r，p 四點共圓，從而， snq=mnr= mpr=spq=snq.根據圓的軸對稱性質可知 q 與 q關于 ns 成軸對稱 mq =mq.又易證 m，s，q，r 四點共圓，且 rs 是這個圓的直徑 ( rms=90) ，mq是一條弦 ( msq90) ，故 rs mq.但 mq=mq，所以，rsmq.練習題1.o 交o 于 a，b 兩點，射線 o a 交o 于 c 點，射線 o a 1 2 1 2 2交o 于 d 點.求證：點 a 是bcd 的內心 .1(提示：設法證明 c，d，o ，b

10、 四點共圓，再證 c，d，b，o1 2四點共圓，從而知 c，d，o ，b，o 五點共圓.)1 22.abc 為不等邊三角形 .a 及其外角平分線分別交對邊中垂線 于 a ，a ；同樣得到 b ，b ，c ，c .求證：a a =b b =c c .1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(提示：設法證 aba 與aca 互補造成 a，b，a ，c 四點共圓；1 1再證 a，a ，b，c 四點共圓，從而知 a ，a 都是abc 的外接圓 2 1 2上，并注意 a aa =90.)1 23.設點 m 在正三角形三條高線上的射影分別是 m ，m ，m (互不重1 2 3合).求證：m m m 也是正三角形 .1 2 34. 在 rtabc 中，ad 為斜邊 bc 上的高，p 是 ab 上的點，過 a 點 作 pc 的垂線交過 b 所作 ab 的垂線于 q 點.求證：pd 丄 qd. (提示：