小升初幾何真題和專項訓練

1、實用標準文案時間： 15 分鐘 滿分 5 分北京名校小升初真題（幾何篇）姓名 測試成績 1 （ 06 年清華附中考題）BE= 1 AB, 已知四邊形 EDCA 的面積3如圖，在三角形 ABC 中，D 為BC的中點， E為AB 上的一點，且 是 35 ，求三角形 ABC 的面積 .2 （ 06 年西城實驗考題）（如圖 ） 如果小正方形面積是 1 平方米，大正方四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形面積是 5 平方米，那麼直角三角形中，最短的直角邊長度是 米 .3 （ 05 年 101 中學考題）一塊三角形草坪前，工人王師傅正在用剪草機剪草坪一看到小靈通，王師傅熱情地招呼，說： “

2、小靈通， 文檔實用標準文案（如圖 ）修剪西部、東部、聽說你很會動腦筋，我也想問問你，這塊草坪我把它分成東、西、南、北四部分南部各需 10 分鐘， 16 分鐘， 20 分鐘請你想一想修剪北部需要多少分鐘？4 （ 05 年三帆中學考題）右圖中 AB=3 厘米， CD=12厘米， ED=8 厘米， AF=7 厘米 .四邊形 ABDE 的面積是平方厘米5 （06 年北大附中考題 ）三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC2 ，CD 2,CB=3,AM=BM ，那么三角形 AMN （陰影部分）的面積為多少？文檔實用標準文案附答案】1 根據(jù)定理：BED = 1 1 = 1 ，所以四邊形 ACDE 的面積

3、就是 6-1=5 份，這樣三角形 35 5ABC 2 3 66=422 小正方形面積是 1 平方米，大正方形面積是 5 平方米，所以外邊四個面積和是 5-1=4 ，所以每個三 角形的面積是 1 ，這個圖形是“玄形” ，所以長直角邊和短直角邊差就是中間正方形的邊長，所以求 出短邊長就是 1 。3 如下所示：將北部分成兩個三角形，并標上字母AC(10 x):20 y:165y 40 4xx 20那么有 ，即有 ，解得 (16 y):x 20:102x 16 yy 24所以修剪北部草坪需要 20+24 44 分鐘評注：在本題中使用到了比例關系，即：文檔實用標準文案SABG ：SAGC SAGE ：S

4、GECBE：EC；SBGA ：SBGCSAGF ：SGFCAF：FC；SAGC ：SBCG SADG ：SDGB AD ：DB ；有時把這種比例關系稱之為燕尾定理1114 四邊形 AFDC 的面積= 三角形 AFD+三角形 ADC=( FD AF )+(AC CD)= (FE+ED )22211111AF+( AB+BC )CD=( FEAF+ED AF )+ ( AB CD+BC CD )。22222所以陰影面積 = 四邊形AFDC-三角形AFE三角形BCD= (1FEAF+11 ED AF ) + (AB2221111111CD+BC CD )-FEAF-BC CD=ED AF+ABCD=

5、8 7+3222222212=28+18=465 因為缺少尾巴，所以連接 BN 如下，ABC 的面積為 3 2 2=3這樣我們可以根據(jù)燕尾定理很容易發(fā)現(xiàn)ANB得面積同理 CBN ： ACN =BM ：AM=1 ：1 ；設 AMN 面積為 1 份，則 MNB 的面積也是 1 份，所以就是 1+1=2 份，而 ACN： ANB =CD ：BD=2 ：1，所以 ACN得面積就是 4 份； CBN： ACN =BMAM=1：1，所以 CBN也是 4 份，這樣 ABC的面積總共分成 4+4+1+1=10 份，所以陰影面積為 31 =103。10文檔實用標準文案第二講 小升初專項訓練 幾何篇、小升初考試熱

6、點及命題方向幾何問題是小升初考試的重要內(nèi)容，分值一般在 12-14 分（包含 1 道大題和 2 道左右的小題）。尤其重要的就是平面圖形中的面積計算，幾何從內(nèi)容方面，可以簡單的分為直線形面積（三角形四邊形為主），圓的面積以及二者的綜合。其中直線形面積近年來考的比較多，值得我們重點學習。文檔實用標準文案從解題方法上來看，有割補法，代數(shù)法等，有的題目還會用到有關包含與排除的知識。二、 2007 年考點預測2007 年的小升初考試將繼續(xù)以大題形式考查幾何，命題的熱點在于等積變換和燕尾定理在求解三角形面 積里的運用同時還需要重點關注在長方形和平行四邊形框架內(nèi)運用邊長比等于相似比的定理，請老師重 點補充沙

7、漏原理的講解。三、典型例題解析=1/2 底高1 等積變換在三角形中的運用首先我們來討論一下和三角形面積有關的問題，大家都知道，三角形的面積因此我們有 【結論 1】等底的三角形面積之比等于對應高的比【結論 2】等高的三角形面積之比等于對應底的比這 2 個結論看起來很顯然，可大家小看它們，在許多和三角形面積比有關的題目中它們都能發(fā)揮巨大的作 用，因為它們把三角形的面積比轉化為了線段的比，我們來看下面的例題?！纠?1 】（）如圖，四邊形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于 O 點，三角形 ADO 的面積 =5 ，三角形 DOC的面積 =4 ，三角形 AOB 的面積 =15 ，求三角形 BOC 的面

8、積是多少？文檔實用標準文案解】：SADO=5,S DOC=4 根據(jù)結論 2 ，ADO 與DOC 同高所以面積比等于底的比 ,即 AO/OC=5:4同理 SAOB/S BOC=AO/OC=5:4,因為 SAOB=15 所以 SBOC=12 ?！究偨Y】從這個題目我們可以發(fā)現(xiàn)，題目的條件和結論都是三角形的面積比，我們在解題過程中借助結論2 ，先把面積比轉化成線段比，再把線段比用結論 2 轉化成面積比，解決了問題。事實上，這 2 次轉化的過程就相當于在條件和結論中搭了一座“橋梁” ，請同學們體會一下。拓展】 SAOD SBOC=S COD SAOB ，也適用于任意四邊形。【練習】如下圖，某公園的外輪廓

9、是四邊形 ABCD ，被對角線 AC 、BD 分成四個部分， AOB 面積為 1 平方千米， BOC 面積為 2 平方千米， COD 的面積為 3 平方千米，公園陸地的面積是 6.92 平方千米， 求人工湖的面積是多少平方千米？【例 2 】（）將下圖中的三角形紙片沿虛線折疊得到右圖，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為 2:3 。已知右圖中 3 個陰影的三角形面積之和為 1 ，那么重疊部分的面積為多少？文檔實用標準文案【解】：粗線面積：黃面積 =2 ： 3， 綠色面積是折疊后的重疊部分，減少的部分就是因為重疊才變少的，這樣可以設總共 3 份，后來粗線變 2 份，減少的綠色部分為 1 份，所

10、以陰影部分為 2-1=1 份，總結】份數(shù)在小升初中運用的相當廣，一定要養(yǎng)成這個思想！2 燕尾定理在三角形中的運用面我們再介紹一個非常有用的結論文檔實用標準文案燕尾定理】在三角形 ABC 中， AD,BE,CF 相交于同一點 O, 那么 SABO:S ACO=BD:DC證明】：根據(jù)結論 2 BD/DC=S ABD/S ADC=S BOD/S COD因此 BD/DC=( S ABD- S BOD)/( S ADC- S COD)=S ABO/S ACO所以證畢上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為ABO 和ACO 的形狀很象燕子的尾巴，這個定理被稱為燕尾定理。該定理在許多幾何題目中都

11、有著廣泛的運用。例 3 】()在ABC 中 BD =2:1, AE =1:3 ，求 OB =?DC EC OE分析】題目求的是邊的比值，我們可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積比文檔實用標準文案來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以方法二是我們要首選的方法。本題的圖形一看就知道是燕尾定理的基本圖，但 2 個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以第一步我們 要連接 OC 。解】：連接 OC因為 AE:EC=1:3 （ 條件），所以 SAOE/S COE=1:3 若設 SAOE=x, 則 SCOE=3x ，所以 SAOC=4x,根據(jù)燕 尾定理 S AOB/ S AOC=BD/

12、DC=2:1，所以 S AOB=8x ，所以 BO/OE=S AOB/S AOE=8x/x=8:1例 4 】（）三角形 ABC 中，C 是直角，已知 AC2，CD 2,CB=3,AM=BM ，那么三角形 AMN 陰影部分）的面積為多少？解】：因為缺少尾巴，所以連接文檔BN 如下，實用標準文案ABC 的面積為 3 2 2=3 這樣我們可以根據(jù)燕尾定理很容易發(fā)現(xiàn) ACN ： ANB =CD ：BD=2 ：1；同理 CBN ： ACN =BM ：AM=1 ：1 ； 設 AMN 面積為 1 份，則 MNB 的面積也是 1 份，所以 ANB 得面積就是 1+1=2 份，而 ACN： ANB =CD ：B

13、D=2 ：1，所以 ACN得面積就是 4 份； CBN： ACN =BMAM=11，所以 CBN也是 4 份，這樣 ABC的面積總共分成 4+4+1+1=10份，所以陰影面積為 313 = 。10 10定理需牢記做題有信心！3 平行線定理在三角形中的運用（熱點）面我們再來看一個重要定理：平行線的相關定理： （即利用求面積來間接求出線段的比例關系）同學們應該對下圖所示的圖形非常熟悉了相交線段 AD 和 AE 被平行線段 BC 和 DE 所截，得到的三角 形 ABC 和 ADE 形狀完全相似所謂“形狀完全相似”的含義是：兩個三角形的對應角相等，對應邊成比 例體現(xiàn)在右圖中， 就是 AB ： AD=B

14、C ：DE=AC ：CE= 三角形 ABC 的高：三角形 ADE 的高這種關 系稱為“相似” ，同學們上了中學將會深入學習相似三角形對應邊的比例關系在解幾何問題的時候非常 有用，要多加練習在實際運用的時候，相似的三角形往往作為圖形的一部分，有時還要經(jīng)過翻轉、平移等變化（如右下圖） 往往不易看出相似關系如（右下圖） AB 平行于 DE，有比例式 AB ：DE=AC ：CE=BC ：CD ，三角形 ABC 與三角形 DEC 也是相似三角形下圖形狀要牢記并且要熟練掌握比例式文檔實用標準文案【例 5 】（）如圖所示， BD ，CF將長方形 ABCD 分成 4 塊，DEF 的面積是 4 cm 2 ，CE

15、D 的面積 是 6cm 2 。問：四邊形 ABEF 的面積是多少平方厘米？【解】：方法一：連接 BF ，這樣我們根據(jù) “燕尾定理”在梯形中的運用知道三角形BEF 的面積和三角形 EDC 的面積相等也是 6 ，再根據(jù)例 1 中的結論知道三角形 BCE 的面積為 6 64=9 ，所以長方形的面積為： 15 2 30 。四邊形面積為 3046911 。方法二： EF/EC 4/6 2/3=ED/EB ，進而有三角形 CBE 的面積為： 63/2 9。則三角形 CBD 面積為 15 ，長方形面積為 15 230 。四邊形面積為 3046911?！纠?6 】（）如右圖，單位正方形 ABCD ，M 為 A

16、D 邊上的中點，求圖中的陰影部分面積。12【解 1 】：兩塊陰影部分的面積相等， AM/BC=GM/GB=,所以 GB/BM= ，而三角形 ABG 和三角形232 21111AMB 同高，所以 SBAG= SABM= 1 2= ，所以陰影面積為2=3 326633【解 2 】：四邊形 AMCB 的面積為（ 0.5+1 ）12= ，根據(jù)燕尾定理在梯形中的運用，知道 AMG ：4文檔實用標準文案BCG：BAG：22CMG =AM 2 ： BC 2 ：AMBC：AMBC=1 2 2 ： 1 ：1：1=1：4：2：2；22222所以四邊形AMCB的面積分成 1+4+2+2=9份，陰影面積占4 份，所以

17、面積為31。4142 2 =3【解 3 】：如右圖，連結 DG ，有： SACM=S BAM （同底等高） ，又 S BAG=S ADG （BAG 與ADG 關于 AC 對稱）又 SAGM=S GDM （等底同高）文檔實用標準文案【例 7 】（）如圖，正方形 ABCD 的面積是 120 平方厘米， E是 AB 的中點， F是 BC 的中點，四邊 形 BGHF 的面積是 平方厘米。【解】：解：延長 EB 到 K，使 BK=CD 。 三角形 EGK 與三角形 DGC 成比例， DC ：EK=2 ：3，所以 DG ： GK=2 ： 3，由于三角形 DEK=90 ，所以 EGK=90 3/5=54 ，

18、所以四邊形 EBFG=EGK-BKF=24 。同理， EB： DC=1 ：2，所以 BH ：HD=1 ： 2 ，所以三角形 EBH=1/3EBD=10 所以，四邊形 BGHF 的面積是 24-10=14文檔實用標準文案4 利用“中間橋梁”聯(lián)系兩塊圖形的面積關系【例 8 】（）如圖，正方形 ABCD 的邊長是 4 厘米， CG=3 厘米，矩形 DEFG 的長 DG 為 5 厘米， 求它的寬 DE 等于多少厘米？解】：連結 AG ，自 A 作 AH 垂直于SAGD=4 4 2=8 ，又 DG=5 ，SAGD=AH DG 2 ，AH=8 2 5=3.2 （厘米），AD=4DE=3.2 （厘米）。文檔

19、實用標準文案例 9 】（）如下圖所示，四邊形 ABCD 與 DEFG 都是平行四邊形，證明它們的面積相等。證明】：這道題兩個平行四邊形的關系不太明了，似乎無從下手。我們添加一條輔助線，即連結CE（見 圖），這時通過三角形 DCE ，就把兩個平行四邊形聯(lián)系起來了。 在平行四邊形 ABCD 中，三角形 DCE 的底 是 DC ，高與平行四邊形 ABCD 邊 DC 上的高相等， 所以平行四邊形 ABCD 的面積是三角形 DCE 的兩倍； 同理，在平行四邊形 DEFG 中，三角形 DCE 的底是 DE，高與平行四邊形 DEFG 邊 DE 上的高相等， 所以 平行四邊形 DEFG 的面積也是三角形 DC

20、E 的兩倍。兩個平行四邊形的面積都是三角形 DCE 的兩倍，所以它們的面積相等。5 差不變原理的運用文檔實用標準文案例 10 】（）左下圖所示的ABCD 的邊 BC 長 10cm ，直角三角形長 8cm ，已知兩塊陰影部分的面積和比 EFG 的面積大 10cm 2 ，求 CF 的長?！窘狻浚簝蓧K陰影部分的面積和比 EFG 的面積大 10, 兩部分分別加上四邊形 BCFG ，的面積比三角形 BEC 的面積大 10cm 2BCE 的直角邊 EC這樣四邊形 ABCD文檔實用標準文案SBCE=1/2 10 8=40所以四邊形 ABCD 的面積是 50底是 10 ，所以高是 5cm例 11 】（）如圖，

21、 ABCG 是 47 的長方形， DEFG 是 2 10 的長方形，那么，三角形 BCM 的面積與三角形 DCM 的面積之差是多少？思 路 ：公共部分的運用，這是小升初的常用方法，熟練找出公共部分是解題的關鍵。解】： GC=7 ， GD=10推出 HE=3 ；BC=4 ， DE=2陰影 BCM 面積-陰影 MDE 面積=（BCM 面積+空白面積 ）-（MDE 面積+空白面積 ）=三角形 BHE 面積 - 長方形 CDEH 面積 =3 6 2-3 2=3總 結 ：對于公共部分要大膽的進行處理 ,這樣可以把原來無關的面積聯(lián)系起來 ,達到解題的目的 .拓 展 ：如圖 ,已知圓的直徑為 20,S1-S

22、2=12, 求 BD 的長度 ?文檔實用標準文案方法二 ：CM 和思 路 ：畫陰影的兩個三角形都是直角三角形，而BC 和 DE 均為已知的，所以關鍵問題在于求DM 這兩條線段之和 CD 的長是易求的，所以只要知道它們的長度比就可以了，這恰好可以 利用平行線 BC 與 DE 截成的比例線段求得解: GC=7 ，GD=10 知道 CD=3 ；BC=4 ， DE=2 知道 BC:DE=CM:DM 所以 CM=2 ， MD=1 。 陰影面積差為 :4 2 2-1 22=3方法三 ：連接 BDS BCM S DEM =S BCD S BDE =(3 4 2 3) 2=3 6 其他常考題型例 12 】（）

23、下圖中，五角星的五個頂角的度數(shù)和是多少？五角【解】：連接 AB （見右圖）。因為 AOB= COD ，所以OAB+ OBA= OCE+ OEC。由此推知， 星五個頂角之和等于三角形 ABD 的三個內(nèi)角之和，是 180 度。文檔實用標準文案【例 13 】用同樣大小的 22 個小紙片18 厘米，求圖中陰影部分的面積和。擺成下圖所示的圖形， 已知小紙片的長是【解】：由圖形的等量關系： 5 長 3 長 3 寬，則寬 18 2/3 12 。再由弦圖的特點，陰影中正方 形的邊長為 18 12 6 ?？梢婈幱安糠置娣e為 366 108 。小結本講主要接觸到以下幾種典型題型：1 ）等積變換在三角形中的運用。參

24、見例1， 22 ）燕尾定理在三角形中的運用。 參見例 3，43 ）平行線定理在三角形中的運用。參見例5，6 ，74 ）利用“中間橋梁”聯(lián)系兩塊圖形的面積關系。參見例8，95 ）差不變原理的運用。參見例 10 ，116 ）其他?？碱}型。參見例 12 ，13課外知識】春秋戰(zhàn)國時代，一位父親和他的兒子出征打戰(zhàn)。父親已做了將軍，兒子還只是馬前卒。又一陣號角吹文檔實用標準文案響，戰(zhàn)鼓雷鳴了，父親莊嚴地托起一個箭囊，其中插著一只箭。父親鄭重對兒子說： “這是家襲寶箭，配 帶身邊，力量無窮，但千萬不可抽出來。 ”那是一個極其精美的箭囊，厚牛皮打制，鑲著幽幽泛光的銅邊兒，再看露出的箭尾。一眼便能認定用 上等的

25、孔雀羽毛制作。兒子喜上眉梢，貪婪地推想箭桿、箭頭的模樣，耳旁仿佛嗖嗖地箭聲掠過，敵方的 主帥應聲折馬而斃。果然， 配帶寶箭的兒子英勇非凡， 所向披靡。 當鳴金收兵的號角吹響時， 兒子再也禁不住得勝的豪氣， 完全背棄了父親的叮囑，強烈的欲望驅趕著他呼一聲就拔出寶箭，試圖看個究竟。驟然間他驚呆了。一只 斷箭，箭囊里裝著一只折斷的箭。我一直刳著只斷箭打仗呢！兒子嚇出了一身冷汗，仿佛頃刻間失去支柱 的房子，轟然意志坍塌了。結果不言自明，兒子慘死于亂軍之中。拂開蒙蒙的硝煙，父親揀起那柄斷箭，沉重地啐一口道： “不相信自己的意志，永遠也做不成將軍。 把勝敗寄托在一只寶箭上，多么愚蠢，而當一個人把生命的核心

26、與把柄交給別人，又多么危險！比如把希 望寄托在兒女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在單位身上溫馨提示：自己才是一只箭，若要它堅韌，若要它鋒利，若要它百步穿楊，百發(fā)百中，磨礪它，拯救 它的都只能是自己。作業(yè)題（注：作業(yè)題 - 例題類型對照表，供參考）題 1，2類型 1；題 3 ，4類型 5；題 5，6類型 6；文檔實用標準文案1 、（）如右圖所示，已知三角形ABC 面積為 1，延長 AB 至 D ，使BD=AB ；延長 BC 至 E，使 CE=2BC ；延長 CA 至 F，使 AF=3AC ，求 三角形 DEF 的面積。解：作輔助線 FB，則 SBAF 3SABC1/2 SDAF ；則

27、有 SABC 1/6 SDAF ；作輔助線 AE， 則 SACE2SABC 1/4 SCEF；則 SABC 1/8 SCEF；作輔助線 CD ，則有：SCBD SABC 1/3 SCEF；綜上，三角形 DEF 由這四個三角形構成，那么由已求出的比例關系可 知，三角形 DEF 的面積為 1+6+8+3 18 。2 、（）右圖是一塊長方形耕地，它由四個小長方形拼合而成，其中三個小長方形的面積分別為 15 、18 、30 公頃，問圖中陰影部分的面積是多少？解：設定陰影部分面積為 X, 則不難由長方形面積公式看出比例關系為：X/30=15/18 ，則 X=25 。文檔實用標準文案3 、正方形 ABFD 的面積為 100 平方厘米，直角三角形 ABC 的面積，比直角三角形（ CDE 的面積大 30