圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題x圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題

1、圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念:1、圓：至U定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4 、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相5 、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的

2、軌跡是:等的一條直線。1、點(diǎn)在圓內(nèi)d r點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上d r點(diǎn)B在圓上;3、點(diǎn)在圓外d r點(diǎn)A在圓外;二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離d r無交點(diǎn);2、3、直線與圓相交d r有兩個(gè)交點(diǎn);直線與圓相切d r有一個(gè)交點(diǎn);四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點(diǎn)d R r ；d R r ;夕卜切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖? 3)有兩個(gè)交點(diǎn)R rd Rr ；內(nèi)含（圖5 5)無交點(diǎn)d Rr ；d R r ；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)圖i五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）

3、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即:AB是直徑 AB CD CE DE弧BC 弧BD弧AC 弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在O O 中， AB / CD弧 AC 弧 BDCOAD六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論，即： AO

4、B DOE : AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即： AOB和 ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論：EOAD推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧;即：在O O中， C、D都是所對(duì)的圓周角CBOA精選推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在O O中， AB是直徑或 C 90C 90 AB是直徑MAN推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，

5、 OC OA OB ABC是直角三角形或 C 90注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.八、圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在O O中，四邊形 ABCD是內(nèi)接四邊形 C BAD 180 B D 180DAE C九、切線的性質(zhì)與判定定理(1) 切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MN OA且MN過半徑0A外端 MN是O 0的切線(2) 性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(

6、如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理: 即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線 的夾角。AD即： PA、PB是的兩條切線 PA PBPPO平分 BPALJAI一、圓幕定理(1) 相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在O O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P , PA PB PC PD(2) 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中

7、項(xiàng)。即：在O O 中，直徑 AB CD , CE2 AE BE(3) 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在O O中，T PA是切線，PB是割線2PA2 PC PB(4) 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖) 即：在O O中， PB、PE是割線 PC PB PD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB 。即：TO Oi、O O2相交于A、B兩點(diǎn)- O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：(1

8、) 公切線長(zhǎng)： Rt O1O2C 中，AB2 CO,2 、OQ22 CO22 ;(2) 外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算COD(1)正三角形在O O中 ABC 是正三角形，有關(guān)計(jì)算在 Rt BOD中進(jìn)行OD : BD :OB 1: .3:2 ；(2)正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt OAE中進(jìn)行，OE:AE:OA 1:1: .2 :OB(3) 正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt OAB中進(jìn)行，AB:OB:OA 1: ,3:2.卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：|n R180（2）扇形面積公式:n R2360

9、-IR2Bn :圓心角 R :扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l :扇形弧長(zhǎng)S :扇形面積2、圓柱：（1）圓柱側(cè)面展開圖S表 S側(cè) 2S底=2 rh 2 r2(2)圓柱的體積：Vr2h(2)圓錐側(cè)面展開圖(1)% SftS底=Rrr2(2)圓錐的體積：V1 r2. -r h3典型例題例1 兩個(gè)同樣大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如圖 1所示（點(diǎn)O, 0是圓心），分隔兩個(gè) 肥皂泡的肥皂膜 PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求 / TPN的大小.例2.如圖，AB為O O直徑，E是BC中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D, BD=3 , AB=10 ,則AC=精選D.例3.如圖，O O的直徑為10,圓心O到弦AB的距

10、離OM的長(zhǎng)為3,則弦AB的長(zhǎng)是()精選例4.如圖，在O O中，AB、CD是兩條弦，OE丄AB , OF丄CD，垂足分別為 EF.(1) 如果/ AOB= / COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？(2) 如果oe=of，那么Ab與Cd的大小有什么關(guān)系？ ab與cd的大小有什么關(guān)系？ /為什么？/ AOB與/ COD呢？OD例5.如圖3和圖4，MN是O O的直徑，弦 AB、CD/相交于 MNE上的一點(diǎn) P，ZZ APM= /CPM .(1) 由以上條件，你認(rèn)為 AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由.(2) 若交點(diǎn)P在O O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明 理

11、由.AMCPEFODNB例6如圖，點(diǎn) 0是/ ABC的內(nèi)切圓的圓心，若/ BAC=80，貝U / BOC=()A . 130 B. 100 C. 50 D. 65例7.如圖，AB為/O的直徑，C是ZO 上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且 / DCBMA(1) CD與/O相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明，如果不相切，請(qǐng)說明理由.(2) 若CD與/O相切，且 / D=3C , BD=10，求/ O的半徑.例&如圖所示，點(diǎn) A坐標(biāo)為(0, 3) , OA半徑為1,點(diǎn)B在x軸上.(1) 若點(diǎn)B坐標(biāo)為(4, 0), /B半徑為3,試判斷/A與/B位置關(guān)系;(2) 若/B過M (- 2, 0)且與/A相切，求B

12、點(diǎn)坐標(biāo).例9.如圖，已知正六邊形 ABCDEF，其外接圓的半徑是 a, /求正六邊形的周長(zhǎng)和面積.例10.在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為 6和8,現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于 / ABC/的矩形水池DEFN ,其中 D、E在AB上，如圖24 - 94的設(shè)計(jì)方案是使 AC=8 , BC=6 .(1)求/ABC的邊AB上的高h(yuǎn). (2)設(shè)DN=x ,且h一DN 址，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN h AB的面積最大？ ( 3)實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在 AB上距B點(diǎn)1 . 85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹 是否位于最大矩形水池的邊上？如果在

13、，為了保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條 件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.例11 操作與證明：如圖所示， 0是邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長(zhǎng)，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在0處，并將紙板繞 0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形 ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長(zhǎng)度為定值 a 例12.已知扇形的圓心角為 120 ,面積為300 cm2.（1）求扇形的弧長(zhǎng)；（2）若將此扇形卷成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的軸截面面積為多少?D例13、如圖，AB是/O的直徑，BC是弦，OD ZBC于E,交BC于D .（1）請(qǐng)寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論；（2）若BC=8, ED = 2，求/O的半徑.

14、例14.已知：如圖等邊 ABC內(nèi)接于/O,點(diǎn)P是劣弧PC上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），延長(zhǎng)BP至D ,使BD AP，連結(jié)CD .(1 )若AP過圓心0,如圖厶請(qǐng)你判斷 PDC是什么三角形？并說明理由.(2)若AP不過圓心O，如圖Z, PDC又是什么三角形？為什么？ PDC為等邊三角形.D例15.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于/0, BD是/0的直徑,AE CD，垂足為E , DA平分BDE EO(1)求證：AE是/0的切線;(2) 若 DBC 30, DE 1cm，求 BD 的長(zhǎng).例16、如圖，已知在 /0中，AB= 4.3 , AC是/0的直徑，ACL BD 于F, / A=30(1) 求圖中陰影部分的

15、面積；(2) 若用陰影扇形 OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑例17.如圖，從一個(gè)直徑是 2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為90的扇形.(1) 求這個(gè)扇形的面積(結(jié)果保留)(2) 在剩下的三塊余料中，能否從第/塊余料中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成一個(gè)圓錐？請(qǐng)說明理由.(3) 當(dāng)/O的半徑R(R 0)為任意值時(shí)，(2)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.例18.(1)如圖OA、OB是/O的兩條半徑，且 OA OB，點(diǎn)C是OB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)：過點(diǎn)C作CD切/O于點(diǎn)D，連結(jié)AD交DC于點(diǎn)E.求證：CD=CE(2) 若將圖中的半徑 OB所在直線向上平行移動(dòng)交 OA于F，交/O于B,其他

16、條件不變，那么上述結(jié)論 CD=CE還成立嗎？為什么？(3) 若將圖中的半徑 OB所在直線向上平行移動(dòng)到 ZO外的CF,點(diǎn)E是DA的延長(zhǎng)線與CF的交點(diǎn)，其他條件不變，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎？為什么E兩點(diǎn)，交AD于點(diǎn)G,例19、2010山東德州)如圖，在/ ABC中，AB=AC , D是BC中點(diǎn)，AE平分/BAD 交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)0是AB上一點(diǎn)，ZO過A、(1)求證：BC與/O相切；(2 )當(dāng)/ BAC=120時(shí)，求/ EFG的度數(shù).例20、(2010廣東廣州)如圖，O O的半徑為1，點(diǎn)P是O O上一點(diǎn)，弦 AB垂直平分線段 OP, 點(diǎn)D是APB上任一點(diǎn)(與端點(diǎn) A、B不重合)，DE丄AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)D為圓心、DE長(zhǎng)為 半徑作O D，分別過點(diǎn)A、B作O D的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.(1)(2)(3)例21. (2010江西)“6字形圖中，F(xiàn)M是大圓的直徑,BC與大圓相切于B,OB與小圓相交于A,BC/ AD, CD ZB H/FM, BC/DG , DH/BH 于 H ,設(shè)FOB ,OB 4, BC 6,(1) 求證：AD是小圓的切線；(2) 在圖中找出一個(gè)可用表示的角，并說明你這樣表示的理由;(3) 當(dāng) 30，求DH的長(zhǎng)例22. （2010江蘇泰州，28, 12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y kx b （ k為常數(shù)且0）分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,O O半徑為、