《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1、直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)市第五十一中學(xué) 琳一、教學(xué)容解析本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人民教育課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課 程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著）必修2中第四章圓與方程第二節(jié)直線、圓的位置關(guān)系”的 第一課時(shí)，它是在學(xué)生已經(jīng)掌握“直線的方程”和“圓的方程”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究直線 與圓的位置關(guān)系.17世紀(jì)初期，笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開(kāi)始在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法研究幾 何問(wèn)題.上一章，我們學(xué)習(xí)了直線與方程.知道在直角坐標(biāo)系中，直線可以用方程表示，通 過(guò)方程，可以研究直線間的位垃關(guān)系，直線與直線的交點(diǎn)等問(wèn)題.本章在上一章的基礎(chǔ)上， 將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓的幾何特征，建立它的方程，通過(guò)方程

2、研究它的簡(jiǎn)單性質(zhì)，并用坐標(biāo) 法解決一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，如直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等問(wèn)題， 進(jìn)一步讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的基本思想方法，形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力.解析幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它溝通了數(shù)學(xué)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對(duì)象之間 的聯(lián)系.本節(jié)課將研究直線與圓的位置關(guān)系，它的核心容是如何借助直線的方程和圓的方程 來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，通過(guò)學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握兩種判斷方法.一種方法，根據(jù)學(xué)生初中 學(xué)習(xí)直線與圓相交、相切、相離的定義的基礎(chǔ)上，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立方程組，通 過(guò)討論方程組的解的不同情況來(lái)判斷.本方法主要突出坐標(biāo)法的思想且具有一般性，可類比 地推廣到對(duì)

3、橢圓、雙曲線、拋物線同類問(wèn)題的研究中.另一種方法，根據(jù)學(xué)生初中學(xué)習(xí)的直 線與圓三種位巻關(guān)系的判定，即利用圓心到直線的距離與半徑比較.該方法，涉及到把點(diǎn)與 坐標(biāo)、直線與方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)空間形式與數(shù)量關(guān)系的結(jié)合.需要特別指岀的是：該方法 屬圓的個(gè)性疇，不能推廣.通過(guò)分析不難看岀，“直線與圓的位巻關(guān)系”起到了承上啟下的 重要作用.直線與圓的位置關(guān)系這一容，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想.首先，直線與圓的位置這一幾何 特征，是通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)和直線、圓的方程來(lái)研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.這在學(xué)習(xí)直 線的方程、圓的方程時(shí)，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)，結(jié)合本節(jié)課容，可以進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想 方法的理解，發(fā)揮從“數(shù)”和形”

4、兩個(gè)方而共同分析解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì).其次，從本節(jié)課知 識(shí)的研究過(guò)程來(lái)看，由“幾何問(wèn)題（位置關(guān)系）”到代數(shù)問(wèn)題（坐標(biāo)、方程、點(diǎn)到直線的 距離公式、聯(lián)立方程組等），再到“幾何問(wèn)題（分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義）”，充分體現(xiàn)了 由“形”到“數(shù)”，再由數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用.再有，通過(guò) 具體例子判斷直線與圓的位置關(guān)系，來(lái)歸納總結(jié)判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，充分體現(xiàn)了 由特殊到一般的思想方法.因此，本肖課的教學(xué)重點(diǎn)：直線與圓的位宜關(guān)系及判斷方法：坐標(biāo)法的基本思想.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置（一）教學(xué)目標(biāo)1. 掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：熟練掌握判斷位置關(guān)系的兩種方法：能夠解決一些 簡(jiǎn)單的與直線與圓位置

5、關(guān)系相關(guān)的問(wèn)題.2. （1）通過(guò)本肖課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、探索、總結(jié)直線與圓位置關(guān)系的 判斷方法的過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、槪括的邏輯思維能力：（2）通過(guò)本節(jié)課的學(xué) 習(xí)，要讓學(xué)生經(jīng)歷如下過(guò)程：將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及苴關(guān)系，進(jìn) 而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，處理代數(shù)問(wèn)題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn) 題，要幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”和“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法.3. 激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生積極探索、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、總結(jié)規(guī)律的能力, 解題時(shí)養(yǎng)成歸納總結(jié)的良好習(xí)慣.（二）目標(biāo)解析1. 學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓相交、相切、相離

6、的泄義和判左，但只停留在結(jié)論 層而.本節(jié)課將在這個(gè)基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生掌握的直線、圓的方程來(lái)探究直線與圓位置關(guān)系的 兩種判斷方法.一種方法是利用圓心到直線的距離與半徑比較（會(huì)涉及到點(diǎn)到直線距離公 式），思路簡(jiǎn)潔，學(xué)生易接受，但這種方法具有一泄的局限性，不能求岀公共點(diǎn)的坐標(biāo).另 一種方法是直線的方程與圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組的解的不同情況來(lái)判斷，充分體 現(xiàn)“數(shù)學(xué)結(jié)合”思想方法的應(yīng)用，同時(shí)為選修2中研究直線與圓錐曲線的位宜關(guān)系奠定堅(jiān)實(shí) 基礎(chǔ).掌握判斷位豊關(guān)系的方法，進(jìn)一步利用坐標(biāo)法解決一些簡(jiǎn)單的與位置關(guān)系相關(guān)的問(wèn)題.2. 數(shù)學(xué)思想的教學(xué)一般要經(jīng)過(guò)滲透孕育期、領(lǐng)悟形成期、應(yīng)用發(fā)展期、鞏固深化期四

7、個(gè)階段，而非能復(fù)制與灌輸.在探究利用坐標(biāo)法研究直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟到 數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的存在，并能運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想觀察、分析直線與圓的位置關(guān)系.3. 通過(guò)利用坐標(biāo)法探究宜線與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納、 概括的認(rèn)知過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生思維能力.三、學(xué)情分析（一）學(xué)生程度我所而臨的學(xué)生是髙一新生，所授課的班級(jí)中考數(shù)學(xué)平均分較低，學(xué)生層次不同，存在 一泄差異.雖經(jīng)歷了必修一集合、函數(shù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，但解析幾何的學(xué)習(xí)剛剛開(kāi)始，對(duì)坐 標(biāo)法還處于了解的層次。（二）知識(shí)層而1. 學(xué)生初中已經(jīng)接觸過(guò)直線與圓相交、相切、相離的定義和判泄：2. 掌握了點(diǎn)的

8、坐標(biāo)、直線的方程、圓的方程以及點(diǎn)到直線的距離公式；3. 必修二的第三章初步學(xué)習(xí)了坐標(biāo)法.（三）能力層而1. 掌握利用方程組的方法來(lái)求宜線的交點(diǎn)：2. 具有用坐標(biāo)法研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)：3. 具有一泄的數(shù)形結(jié)合解題思想的基礎(chǔ).根據(jù)以上三個(gè)方面的分析，在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)的條件下，學(xué)生可以自主完成利用圓 心到直線的距離與半徑比較來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法：部分學(xué)生可以在研究直線的 交點(diǎn)的基礎(chǔ)上來(lái)完成聯(lián)立直線與圓的方程，通過(guò)方程組的解的不同情況來(lái)研究，但學(xué)生僅僅 停留在模仿、類比的知識(shí)表而，知識(shí)的來(lái)龍去脈并不知曉，這時(shí)需要教師的引導(dǎo)和幫助.教學(xué)難點(diǎn)：用坐標(biāo)法判斷直線與圓的位置關(guān)系.根據(jù)本節(jié)

9、課的特點(diǎn)，在教學(xué)中借助幾 何畫板可以幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究.四、教學(xué)策略分析1. 根據(jù)本節(jié)課教材容的特點(diǎn)，為了更直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，借助信息技 術(shù)工具，以幾何畫板為平臺(tái)，通過(guò)圖形的動(dòng)態(tài)演示，變抽象為直觀，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù) 學(xué)思維提供支持.2. 由于我校學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，所以在整節(jié)課的教學(xué)中采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，這樣可 以為不同認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)生提供學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，同時(shí)有利于發(fā)揮各層次學(xué)生的作用.3. 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)遵循了“以學(xué)生為主”的教學(xué)模式，教師始終堅(jiān)持啟發(fā)式教學(xué)原 則，設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題串，以引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，注意到了少 講，給學(xué)生充分活動(dòng)的時(shí)間和空間，讓學(xué)生

10、互相評(píng)價(jià)，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn).教師的重點(diǎn)放在了對(duì) 解法的歸納以及坐標(biāo)法的思想是否得到落實(shí)上.五、教學(xué)過(guò)程（一）引入新知問(wèn)題1：（1）根據(jù)圖（一）直角坐標(biāo)系中圓的圖形，寫出圓u的標(biāo)準(zhǔn)方程圓c的一般方程（2）在圖（一）中根據(jù)直線A：工*-3 = 0的方程畫岀直線,并判斷直線*與圓C的位置關(guān)系（3）在圖（二）中根據(jù)直線Vx+2/-2 = 0的方程畫出直線.并判斷直線心與圓C的位過(guò)關(guān)系（4）在圖（三）中根據(jù)直線?3:6x+8/-15 = 0的方程畫出直線,并判斷直線h與圓C的位置關(guān)系師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手畫圖、思考，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生代表到前而演示，一邊講解做題 過(guò)程一邊與同學(xué)們核對(duì).【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置

11、，可以鍛煉學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力，同時(shí)達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目 的，還體現(xiàn)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系：?jiǎn)l(fā)學(xué)生由圖形獲取直線與圓的位置關(guān)系以及判斷方法 的直觀認(rèn)知，為新課的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).思考1:在核對(duì)的過(guò)程中，圖（三）的結(jié)果岀現(xiàn)了分歧，有的同學(xué)的答案是宜線與圓的 位置關(guān)系是相離，有的同學(xué)認(rèn)為是相切，思考到底哪種情況是正確的呢？師生活動(dòng)：教師制造矛盾，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過(guò)圖形判斷直線與圓的位置關(guān)系會(huì)存在一定的 誤差，但又沒(méi)有更好地理由否定對(duì)方的結(jié)果.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的強(qiáng)烈欲望，體現(xiàn)新知學(xué)習(xí)的 必要性.思考2：怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？直線與圓相交、相切、相離的泄義：（1）直線和

12、圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相交；（2）直線和圓有唯一公共點(diǎn)，直線與圓相切：（3）直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，直線與圓相離.直線與圓相交、相切、相離的判龍：設(shè)圓的半徑為尸，圓心到直線的距離為（1）當(dāng)& “時(shí)，直線與圓相交：（2）當(dāng)d = r時(shí)，直線與圓相切：（3）當(dāng)N時(shí)，直線與圓相離.兩種方法：根據(jù)過(guò)義（根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)泄義位置關(guān)系）；圓心到直線的距離與圓的半徑嚴(yán)的大小關(guān)系.師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生思考、回答，教師根據(jù)學(xué)生回答情況及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充.【設(shè)計(jì)意圖】以問(wèn)題為載體，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、整理已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好 的學(xué)習(xí)習(xí)慣.（二）構(gòu)建新知問(wèn)題2：既然畫圖形存在誤差，思考不畫圖，不通過(guò)圖形如何判斷

13、直線與圓的位置關(guān)系？ 借助問(wèn)題1中（2）和（3）為背景進(jìn)行思考討論.（2）已知直線?l的方程是尤”-3 = ,圓C的方程是*+尸+2工-3 = 0,判斷直線百 與圓C的位置關(guān)系.（3）已知直線4的方程是r+-2 = D,圓C的方程是r2+/+2r-3 = 0,判斷直 線?2-與圓C的位置關(guān)系.師生活動(dòng)：以小組為單位進(jìn)行討論研究，教師巡視指導(dǎo)，討論有結(jié)果的小組可以派代表 寫在黑板上.【設(shè)計(jì)意圖】由較簡(jiǎn)單的問(wèn)題導(dǎo)岀這節(jié)課的容，讓學(xué)生利用已有的知識(shí)，探究用坐標(biāo)法 判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，給學(xué)生留有充分的活動(dòng)時(shí)間.思考3：如何利用坐標(biāo)法的三步曲總結(jié)利用圓心到直線的距離與半徑比較的方法？師生活動(dòng)：

14、學(xué)生講解，教師板書總結(jié)的過(guò)程，英他學(xué)生補(bǔ)充，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng).【設(shè)計(jì)意圖】利用幾何特征解決這個(gè)問(wèn)題，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，思路簡(jiǎn)單，容易獲得結(jié) 論.思考4：讓學(xué)生思考為什么可以通過(guò)讓直線的方程與圓的方程聯(lián)立，來(lái)研究直線與圓的 位置關(guān)系問(wèn)題？這種方法要讓學(xué)生先理解幾何元素及關(guān)系如何用代數(shù)表示，充分理解曲線與方程的對(duì)應(yīng) 關(guān)系.假設(shè)直線2 與圓c有公共點(diǎn)，設(shè)為M依丄)，教師要讓學(xué)生理解下列對(duì)應(yīng)關(guān)系.幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)M直線？j4x+B；+ C = 0圓。r2 +尸 + Dx+刖+點(diǎn)M在直線！上Bb + C = 0點(diǎn)M在圓C上a2 +護(hù)+加+勵(lì)+ F = 0直線！與圓C的公共點(diǎn)是M點(diǎn)M的坐標(biāo)是方程組J

15、金十妙+ C = jy十h十灰十陌十歹=o的解師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，教師巡視指導(dǎo)，讓學(xué)生完成用聯(lián)立方程組的方法確泄直線 與圓的位置關(guān)系，并完成利用坐標(biāo)法的三步曲總結(jié)這種方法【設(shè)計(jì)意圖】用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn).直線. 圓：然后對(duì)坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后再把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論. 讓學(xué)生體驗(yàn)坐標(biāo)法的思想.借助幾何畫板平臺(tái)，讓學(xué)生真正理解數(shù)”與形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.思考5：總結(jié)利用方程判斷直線與圓的位宜關(guān)系的兩種方法.方法一：設(shè)直線？以功2 = 0,圓+= 0”血十 + C = 0,4可由方程組+= 0 (*)的解的不同情況來(lái)判斷:當(dāng)方程組有兩

16、組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線？與圓C相交:當(dāng)方程組有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線？與圓C相切;當(dāng)方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解時(shí)，宜線與圓C相離.方法二設(shè)直線廠禺+勿2 = 5圓C-妙亠。-巧、八刀_ |加十勵(lì)十可由圓心C9Q到直線？的距離匚歹 與半徑F的大小關(guān)系來(lái)判斷:(1) 當(dāng)力時(shí)，直線？與圓c相交:(2) 當(dāng)=廠時(shí)，直線？與圓相切:(3) 當(dāng)廠時(shí)，直線？與圓C相離.教師幫助學(xué)生梳理、歸納:位宜關(guān)系相交相切相離幾何特征d rd = y代數(shù)特征(*)式有兩組實(shí)數(shù) 解(*)式有一組實(shí)數(shù) 解(*)式?jīng)]有實(shí)數(shù)解公共點(diǎn)個(gè) 數(shù)兩個(gè)一個(gè)沒(méi)有【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立的思考，概括出利用直線與圓的方程來(lái)判斷它們位置關(guān)系 的兩種方法，自己可以把

17、課堂上所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)連成知識(shí)線，從而加深了學(xué)習(xí)的印象.(三) 小結(jié)新知問(wèn)題2：利用所學(xué)知識(shí)解決有“爭(zhēng)議”的問(wèn)題(4) 已知直線?3的方程是歆+與-15 = 0,圓(7的方程是r2+/+2r-3 = 0t判斷直 線?3與圓C的位置關(guān)系.師生活動(dòng)：學(xué)生任意選擇方法，進(jìn)行判斷，教師巡視、統(tǒng)計(jì)選擇兩種方法的人數(shù).對(duì)比 兩種方法.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生感受到利用所學(xué)的知識(shí)可以解決一些問(wèn)題， 充分體現(xiàn)所學(xué)知識(shí)的必要性.通過(guò)兩種方法的對(duì)比，可以對(duì)解法進(jìn)行歸納，并體現(xiàn)坐標(biāo)法的 思想.一種方法屬圓的個(gè)性疇，不能解決公共點(diǎn)的坐標(biāo)，也不能推廣：另一種方法具有一般 性，可以解決公共點(diǎn)的坐標(biāo)，也可類比地推

18、廣到對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線同類問(wèn)題的研究中.(四) 鞏固新知問(wèn)題3：已知圓C的方程為? + /=8,直線？過(guò)定點(diǎn)尺），斜率為匕 當(dāng)直線？與圓。相交：相切：相離時(shí)，分別求左的取值.師生活動(dòng)：學(xué)生練習(xí)鞏固，教師巡視指導(dǎo)，利用投影展示學(xué)生的解題過(guò)程，并提岀解題 的規(guī)要求.利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，不但可以鞏固所學(xué)知識(shí)，還可以讓學(xué)生真正體會(huì)由幾 何問(wèn)題（位置關(guān)系）”到“代數(shù)問(wèn)題（坐標(biāo)、方程、點(diǎn)到直線的距離公式、聯(lián)立方程組等）， 再到“幾何問(wèn)題（分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義）”，充分體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”，再由“數(shù)” 到“形”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，是轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用.（五）歸納小結(jié)問(wèn)題4：（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？（2）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些方法？（3）本節(jié)課