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文檔簡介
1、標(biāo)準(zhǔn)實用文案奧數(shù)行程問題一、多人行程的要點及解題技巧行程問題是小學(xué)奧數(shù)中難度系數(shù)比較高的一個模塊,在小升初考試和各大奧數(shù)杯賽中都能見到行程問題的身影。行程問題中包括:火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程等等。每一類問題都有自己的特點,解決方法也有所不同,但是,行程問題無論怎么變化,都離不開“三個量,三個關(guān)系”:這三個量是:路程(S)、速度(V)、時間三個關(guān)系:1. 簡單行程:路程=速度X時間2. 相遇問題:路程和=速度和X時間3. 追擊問題:路程差=速度差X時間牢牢把握住這三個量以及它們之間的三種關(guān)系,就會發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。如“多人行程問題”,實際最常
2、見的是“三人行程”例:有甲、乙、丙三人同時同地出發(fā),繞一個花圃行走,乙、丙二 人同方向行走,甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米,乙每分鐘走38米,丙每分鐘走36米。在途中,甲和乙相遇后 3分鐘和丙相遇。 問:這個花圃的周長是多少米?分析:這個三人行程的問題由兩個相遇、一個追擊組成,題目中所給的條件只有三個人的速度,以及一個“3分鐘”的時間。第一個相遇:在3分鐘的時間里,甲、丙的路程和為(40+36 )X3=228(米)第一個追擊:這228米是由于在開始到甲、 乙相遇的時間里,乙、 丙兩人的速度差造成的,是逆向的追擊過程,可求出甲、乙相遇的時 間為 228 -(38-36 ) =114 (分鐘
3、)第二個相遇:在114分鐘里,甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長為(40+38 ) X 114=8892(米)我們把這樣一個抽象的三人行程問題分解為三個簡單的問題,使 解題思路更加清晰??傊谐虇栴}是重點,也是難點,更是鍛煉思維的好工具。只要理解好“三個量”之間的“三個關(guān)系”,解決行程問題并非難事!二、奧數(shù)行程:追及問題的要點及解題技巧1、多人相遇追及問題的概念及公式多人相遇追及問題,即在同一直線上,3個或3個以上的對象之間 的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞這一條基本關(guān)系式展開的,比如我們遇到 的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān) 系轉(zhuǎn)化.由此還可以得到如下兩條
4、關(guān)系式:多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜,但只要抓住這兩條公式,逐步 表征題目中所涉及的數(shù)量,問題即可迎刃而解.2、多次相遇追及問題的解題思路所有行程問題都是圍繞這一條基本關(guān)系式展開的,多人相遇與追 及問題雖然較復(fù)雜,但只要抓住這個公式,逐步表征題目中所涉及的 數(shù)量,問題即可迎刃而解.多次相遇與全程的關(guān)系1. 兩地相向出發(fā):第1次相遇,共走1個全程;第2次相遇,共走3個全程;第3次相遇,共走5個全程;第N次相遇,共走2N-1個全程;注意:除了第1次,剩下的次與次之間都是 2個全程。即甲第1 次如果走了 N米,以后每次都走 2N米。2同地同向出發(fā):第1次相遇,共走2個全程;第2次相遇,共走4個全程;
5、第3次相遇,共走6個全程;第N次相遇,共走2N個全程;3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵 多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差三、奧數(shù)行程:二次相遇的要點及解題技巧1、概念:兩個運動物體作相向運動或在 環(huán)形跑道 上作背向運動,隨著時間 的發(fā)展,必然面對面地相遇,這類問題叫做相遇問題。2、特點:它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題,一般是指相遇問題。3、類型:相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型:求路程,求相遇時間,求速度。4、三者的基本關(guān)系及公式:它們的基本關(guān)系式如下:總路程=(甲速+乙速)X相遇時間相遇時間=總路程+(甲速+乙速)另一個速度=甲乙速
6、度和-已知的一個速度四、奧數(shù)行程:火車過橋的要點及解題技巧1、什么是過橋問題?火車過橋問題是行程問題的一種,也有路程、速度與時間之間的數(shù)量關(guān)系,同時還涉及車長、橋長等問題?;緮?shù)量關(guān)系是火車速度X 時間=車長+橋長2、關(guān)于火車過橋問題的三種題型:(1 )基本題型:這類問題需要注意兩點:火車車長記入總路程; 重點是車尾:火車與人擦肩而過,即車尾離人而去。女口:火車通過一條長 1140米的橋梁用了 50秒,火車穿過1980 米的隧道用了 80秒,求這列火車的速度和車長。(過橋問題)一列火車通過800米的橋需55秒,通過500米的隧道需40秒。 問該列車與另一列長 384、每秒鐘行18米的列車迎面錯
7、車需要多少秒 鐘?(火車相遇)(2 )錯車或者超車:看哪輛車經(jīng)過,路程和或差就是哪輛車的車 長女口:快、慢兩列火車相向而行,快車的車長是50米,慢車的車長是80米,快車的速度是慢車的 2倍,如果坐在慢車的人見快車駛過窗 口的時間是5秒,那么,坐在快車的人見慢車駛過窗口的時間是多少?(3)綜合題:用車長求出速度;雖然不知道總路程,但是可以求 出某兩個時刻間兩人或車之間的路程關(guān)系女口:鐵路旁有一條小路,一列長為110米的火車以每小時 30千米 的速度向南駛?cè)ィ?點時追上向南行走的一名軍人,15秒后離他而去, 8點6分迎面遇到一個向北走的農(nóng)民,12秒后離開這個農(nóng)民。問軍人與農(nóng)民何時相遇?五、奧數(shù)行程
8、:流水行船的要點及解題技巧1、什么叫流水行船問題船在水中航行時,除了自身的速度外,還受到水流的影響,在這 種情況下計算船只的航行速度、時間和行程,研究水流速度與船只自 身速度的相互作用問題,叫作流水行船問題。2、流水行船問題中有哪三個基本量?流水行船問題是行程問題中的一種,因此行程問題中的速度、時 間、路程三個基本量之間的關(guān)系在這里也當(dāng)然適用.3、流水行船問題中的三個基本量之間有何關(guān)系?流水行船問題還有以下兩個基本公式:順?biāo)俣?船速+水速,(1 )逆水速度=船速-水速.(2)這里,船速是指船本身的速度,也就是在靜水中單位時間里所走過的路程.水速,是指水在單位時間里流過的路程.順?biāo)俣群湍嫠?/p>
9、度分別指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系,由公式(I)可以得到:水速=順?biāo)俣?船速,船速=順?biāo)俣?水速。由公式(2)可以得到:水速=船速-逆水速度,船速=逆水速度+水速。這就是說,只要知道了船在靜水中的速度,船的實際速度和水速 這三個量中的任意兩個,就可以求出第三個量。另外,已知船的逆水速度和順?biāo)俣龋?根據(jù)公式(1)和公式(2), 相加和相減就可以得到:船速=(順?biāo)俣?逆水速度)* 2 ,水速=(順?biāo)俣?逆水速度)* 2。六、奧數(shù)行程:環(huán)形跑道的要點及解題技巧1、什么是環(huán)形跑道問題 ?環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人(般至少兩人)多次
10、相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個行程狀態(tài)作出正確合理的線 段圖進行分析。2、 在做出線段圖后,反復(fù)的在每一段路程上利用:路程和=相遇時間x速度和路程差=追及時間x速度差3、解環(huán)形跑道問題的一般方法 :環(huán)形跑道問題,從同一地點出發(fā),如果是相向而行,則每合走 圈相遇一次;如果是同向而行,則每追上一圈相遇一次.這個等量關(guān) 系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向:路程差nSnS +0.5 S相對(反向):路程和nSnS- 0.5 S七、奧數(shù)行程:鐘面行程問題的要點及解題技巧1、什么是鐘面行程問題?鐘面行程問題是研究鐘面上的
11、時針和分針關(guān)系的問題,常見的有兩種:研究時針、分針成一定角度的問題, 包括重合、成一條直線、 成直角或成一定角度;研究有關(guān)時間誤差的問題.在鐘面上每針都沿順時針方向轉(zhuǎn)動,但因速度不同總是分針追趕時針,或是分針超越時針的局面,因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追 及問題來解.2、鐘面問題有哪幾種類型?第一類是追及問題(注意時針分針關(guān)系的時候往往有兩種情況)第二類是相遇問題(時針分針永遠不會是相遇的關(guān)系,但是當(dāng)時針分 針與某一刻度夾角相等時,可以求出路程和);第三種就是走不準(zhǔn)問 題,這一類問題中最關(guān)鍵的一點: 找到表與現(xiàn)實時間的比例關(guān)系。3、鐘面問題有哪些關(guān)鍵問題? 確定分針與時針的初始位置; 確定分針
12、與時針的路程差;4、解答鐘面問題有哪些基本方法? 分格方法:時鐘的鐘面圓周被均勻分成 60小格,每小格我們稱為 1分格。 分針每小時走60分格,即一周;而時針只走 5分格,故分針每分鐘走 1分格,時針每分鐘走1 /12分格。 度數(shù)方法:從角度觀點看,鐘面圓周一周是360。,分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度,即6。,時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12*60 度,即1/2度。文檔基礎(chǔ)朝識(1) 周常撻360* ,鐘面上有12個犬鴨.毎個大格是3601 -M2-3D-:有珂?zhèn)€小格,每個小搟 #360* F6曠斎 o(2) 時針每加時走一個大格 T所以時針每分鐘走3L 60=0.5* ;井針毎小時走G0牛 小榕I所凰
13、仃針廊分鐘總即”(3) 用大格來描述;時針毎小肘行1大帳.分針毎小肘行12大格.可看山分針連度繪吋針?biāo)俣鹊陌杀?(4) 用小格來描述:分針毎分鐘行I小棒時針毎分鐘行 小格#5)用度來描述:tt 60分忡行360度.剛分針毎分鐘行6度,時針毎分鐘行0.弓廃.八、奧數(shù)行程:走走停停的要點及解題技巧1、行程問題里走走停停的題目應(yīng)該怎么做1. 畫出速度和路程的圖。2. 要學(xué)會讀圖。3每一個加速減速、勻速要分清楚,這有利于你的解題思路。4. 要注意每一個行程之間的聯(lián)系。2、學(xué)好行程問題的要訣行程問題可以說是難度最大的奧數(shù)專題。類型多:行程分類細(xì),變化多,工程抓住工作效率和比例關(guān)系,而行程每個類型重點不一
14、,因此沒有一個關(guān)鍵點可以抓題目難:理解題目、動態(tài)演繹推理一一靜態(tài)知識容易學(xué),動態(tài)分 析需要較高的理解能力、邏輯分析和概括能力 跨度大:從三年級到六年級都要學(xué)行程四年的跨度,需要不 斷的復(fù)習(xí)鞏固來加深理解、夯實基礎(chǔ)那么想要學(xué)好行程問題,需要掌握哪些要訣呢? 要訣一:大部分題目有規(guī)律可依,要訣是 學(xué)透 基本公式 要訣二:無規(guī)律的題目有 攻略 ,一畫(畫圖法)二抓(比例法、 方程法)競賽考試中的行程題涉及到很多中數(shù)學(xué)方法和思想(比如:假設(shè) 法、比例、方程)等的熟練運用,而這些方法和思想,都是小學(xué)奧數(shù) 中最為經(jīng)典并能考察孩子思維的專項。九、奧數(shù)行程:發(fā)車問題的要點及解題技巧1 、發(fā)車問題的基本解題思路
15、空間理解稍顯困難, 證明過程對快速解題沒有幫助。 一旦掌握了 3 個基本公式,一般問題都可以迎刃而解。在班車?yán)?。即柳卡問題。不用基本公式解決,快速的解法是直接 畫時間 - 距離圖,再畫上密密麻麻的交叉線,按要求數(shù)交點個數(shù)即可完 成。如果不畫圖, 單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。2、對“發(fā)車問題”的化歸與優(yōu)化 “發(fā)車”是一個有趣的數(shù)學(xué)問題。解決“發(fā)車問題”需要一定的 策略和技巧。本文重點解決這樣兩個問題:一是在探索過程中,如何 揭示“發(fā)車問題”的實質(zhì)?二是在建模的過程中,如何選擇最簡明、 最嚴(yán)謹(jǐn)和最易于學(xué)生理解并接受的方法或情景? 為便于敘述,現(xiàn)將“發(fā)車問題”進行一般化處理:某人以
16、勻速行 走在一條公交車線路上,線路的起點站和終點站均每隔相等的時間發(fā) 一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔 a 分鐘駛過一輛公交車,而從迎面每隔 b 分鐘就有一輛公交車駛來。 問:公交車站每隔多少時間發(fā)一輛車? (假 如公交車的速度不變,而且中間站停車的時間也忽略不計。)(1)把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題” 因為車站每隔相等的時間發(fā)一次車,所以同向的、前后的兩輛公 交車間的距離相等。這個相等的距離也是公交車在發(fā)車間隔時間內(nèi)行 駛的路程。我們把這個相等的距離假設(shè)為“1”。根據(jù)“同向追及”,我們知道:公交車與行人 a 分鐘所走的路程 差是 1 ,即公交車比行人每分鐘多走 1/a ,1/a 就是公交車與行人的
17、速 度差。根據(jù)“相向相遇”,我們知道:公交車與行人 b 分鐘所走的路程 和是 1 ,即公交車與行人每分鐘一共走 1/b ,1/b 就是公交車和行人的 速度和。這樣,我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法:大數(shù)=(和+差)+ 2,小數(shù)=(和-差)+ 2,可以很容 易地求出公交車的速度是(1/a+1/b )*2。又因為公交車在這個“間 隔相等的時間”內(nèi)行駛的路程是1,所以再用“路程*速度=時間”,我們可 以求出 問 題的 答案, 即公交車站發(fā)車的 間 隔時 間 是 1 * 【( 1/a+1/b )*2】=2 *(1/a+1/b )。(2)把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題” 如
18、果這個行人在起點站停留 m 分鐘,恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā) n 輛車,那 么我們就可以求出車站發(fā)車的間隔時間是m +n分鐘。但是,如果行人在這段時間內(nèi)做個“往返運動”也未嘗不可,那么他的“往返”決不 會影響答案的準(zhǔn)確性。因為從起點站走到終點站,行人用的時間不一定被 a和b都整除, 所以他見到的公交車輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此,我們不讓他從起點 站走到終點站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢?或者說讓他走 多長時間再立即返回呢?取 a 和 b 的公倍數(shù)(如果是具體的數(shù)據(jù),最好取最小公倍數(shù)), 我們這里取ab。假如剛剛有一輛公交車在起點站發(fā)出,我們讓行人從 起點站開始行走,先走 ab 分鐘,然后馬上返回;這時
19、恰好是從行人背 后駛過第 b 輛車。 當(dāng)行人再用 ab 分鐘回到起點站時, 恰好又是從迎面 駛來第 a 輛車。也就是說行人返回起點站時第( a+b )輛公交車正好 從車站開出,即起點站 2ab 分鐘開出了( a+b )輛公交車。這樣,就相當(dāng)于在 2ab 分鐘的時間內(nèi),行人在起點站原地不動看 見車站發(fā)出了( a+b )輛車。于是我們求出車站發(fā)車的間隔時間也是 2ab *(a+b ) =2 *(1/a+1/b)。這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車問題”的情景,更簡明、更嚴(yán) 謹(jǐn),也更易于學(xué)生理解和接受。如果用具體的時間代入,則會更加形 象,更便于說明問題。十、奧數(shù)行程:電梯問題的要點及解題技巧1、自動扶
20、梯的速度有哪兩條關(guān)系式?與流水行船問題類似的有自動扶梯上行走的問題,與行船問題類似的,自動扶梯的速度有以下兩條關(guān)系式:順行速度=正常行走速度+扶梯運行速度逆行速度=正常行走速度-扶梯運行速度2、自動扶梯上的行走速度有哪兩種度量?與流水行船不同的是,自動扶梯上的行走速度有兩種度量,一種是單位時間運動了多少米,一種是單位時間走了多少級臺階,這兩 種速度看似形同,實則不等,拿流水行程問題作比較,單位時間運動了多少米對應(yīng)的是流水行程問題中的船只順(逆)水速度,而單位時 間走了多少級臺階對應(yīng)的是船只靜水速度,一般奧數(shù)題目涉及自動 扶梯的問題中更多的只出現(xiàn)后一種速度,即單位時間走了多少級臺階所以處理數(shù)量關(guān)系的時候要非常小心,理清了各種數(shù)量關(guān)系,自動扶 梯上的行程問題會變得非常簡單.3、電梯問題需要注意哪兩點問題?電梯問題其實是復(fù)雜行程問題中的一類。有兩點需要注意,一是“總行程=電梯可見部分級數(shù)土電梯運行級數(shù)”,二是在同一個人上下往返的情況
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