人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-相似三角形的判定--知識(shí)講解(基礎(chǔ))(包含典型例題講解)

1、相似三角形的判定 -知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、 進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺(jué)性，提高推理 能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形在 和 中，如果我 們 就 說(shuō)與相 似 ， 記 作 .k 就是它們的相似比，“”讀作“相似于”.要點(diǎn)詮釋：(1)書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即 ，則說(shuō)明點(diǎn) a 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 a，點(diǎn) b 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 b，點(diǎn) c 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 c；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角

2、形和第二個(gè)三角形 的相似比.當(dāng)相似比為 1 時(shí)，兩個(gè)三角形全等.要點(diǎn)二、相似三角形的判定定理相似三角形的判定1 判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角 形相似.2 判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似. 3判定方法（三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么 這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角 必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.4判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么 這兩個(gè)三角形

3、相似.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直 角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)三、相似三角形的常見(jiàn)圖形及其變換：【典型例題】類型一、相似三角形1. 下列能夠相似的一組三角形為( ).a.所有的直角三角形 b.所有的等腰三角形c.所有的等腰直角三角形 d.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形【答案】c【解析】a 中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；b 中什么條件都不滿足；d 中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；c 中所有三角形都是由 90、45、45角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等. 答案選 c.【總結(jié)升華】根據(jù)相似三

4、角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等， 三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.舉一反三：【變式】給出下列幾何圖形：兩個(gè)圓；兩個(gè)正方形；兩個(gè)矩形；兩個(gè)正六邊形； 兩個(gè)等邊三角形；兩個(gè)直角三角形；兩個(gè)菱形其中，一定相似的有（填序號(hào)）【答案】.類型二、相似三角形的判定2. 如圖所示，已知中，e 為 ab 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，ab=3be，de 與 bc 相交于 f，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.2【思路點(diǎn)撥】充分利用平行尋找等角，以確定相似三角形的個(gè)數(shù). 【答案與解析】 四邊形 abcd 是平行四邊形， abcd，adbc， bef cdf bef aed. bef cdf aed.

5、當(dāng)befcdf 時(shí)，相似比當(dāng)befaed 時(shí)，相似比當(dāng)cdfaed 時(shí)，相似比；.【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定（有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似）與性質(zhì)（相 似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）.解題的關(guān)鍵是要仔細(xì)識(shí)圖，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.舉一反三：相似三角形的判定（2）【變式】 如圖，ad、ce 是abc 的高，ad 和 ce 相交于點(diǎn) f，求證：affd=cffe【答案】 ad、ce 是abc 的高, aef=cdf=90,又afe=cfe,aef cdf.af efcf fd, 即 affd=cffe3. 如圖，在abc 中，ab=ac=1，bc=接 bd（1）通過(guò)計(jì)算，判斷 ad 與 ac

6、 cd 的大小關(guān)系； （2）求abd 的度數(shù)，在 ac 邊上截取 ad=bc，連2222222【思路點(diǎn)撥】（1） 先求得 ad、cd 的長(zhǎng)，然后再計(jì)算出 ad 與 accd 的值，從而可得到 ad 與 accd 的關(guān)系；（2） 由（1）可得到 bd =accd，然后依據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等的兩三角形相似 證明bcdabc，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知dbc=a，db=cb，然后結(jié)合等腰三 角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得abd 的度數(shù)【答案與解析】解：（1）ad=bc=1，bc= ad=，dc=1=，ad =，accd=1=ad =accd（2）ad=bc，ad =accd，bc =accd

7、，即又c=c，bcdacb ，dbc=adb=cb=ada=abd，c=bdc設(shè)a=x，則abd=x，dbc=x，c=2xa+abc+c=180，x+2x+2x=180解得：x=36abd=36【總結(jié)升華】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形 內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證得bcdabc 是解題的關(guān)鍵4. 已知：如圖，abc 中，abac，ad 是中線，p 是 ad 上一點(diǎn)，過(guò) c 作 cfab， 延長(zhǎng) bp 交 ac 于 e，交 cf 于 f求證：bp2pepf【思路點(diǎn)撥】從求證可以判斷是運(yùn)用相似，再根據(jù) bp2pepf，可以判定所給的線段不 能組成相似三角形，這就需要考慮線段的等量轉(zhuǎn)移了.【答案與解析】連接，是的中垂線，又，【總結(jié)升華】根據(jù)求證確定相似三角形，是解決此類題型的捷徑.舉一反三：【變式】如圖，f 是abc 的 ac 邊上一點(diǎn)，d 為 cb 延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且 af=bd,連接 df,交 ab 于 e. 求證