小學(xué)數(shù)學(xué) 容斥原理之重疊問題(二).教師版

1、7-7-2. 容斥原理之重疊問題（二）教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個方面的應(yīng)用知識要點(diǎn)一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計(jì)算求兩個集合并集的元素的個數(shù)，不能簡單地把 兩個集合的元素個數(shù)相加，而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個數(shù)，即減去交集的元素個數(shù)， 用式子可表示成： a u b =a +b -a i b (其中符號“ u ”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號“ i ” 讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理圖示如下: a 表示小圓部分， b 表

2、示大圓部分， c 表示大圓與小圓的公共部分，記為： a i b，即陰影面積圖示如下: a 表示小圓部分， b 表示大圓部分， c 表示大圓與小圓的公共部分，記為： a i b，即陰影面積1先包含 a +b重疊部分 a i b 計(jì)算了 2 次，多加了 1 次；2再排除 a +b -a i b把多加了 1 次的重疊部分 a i b 減去包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個集合 a、b 的并集 a u b 的元素的個數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行： 第一步：分別計(jì)算集合 a、b 的元素個數(shù)，然后加起來，即先求 a +b (意思是把 a、b 的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素

3、個數(shù)，即減去c =a i b (意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個數(shù)) 二、三量重疊問題a 類、 b 類與 c 類元素個數(shù)的總和 =a 類元素的個數(shù) +b 類元素個數(shù) +c 類元素個數(shù) -既是 a 類又是 b 類 的元素個數(shù) -既是 b 類又是 c 類的元素個數(shù) -既是 a 類又是 c 類的元素個數(shù) +同時是 a 類、 b 類、 c 類的元 素個數(shù)用符號表示為： a u b u c =a +b +c -a i b -b i c -a i c +a i b i c 圖示如下：圖中小圓表示 a 的元素的個數(shù)，中圓表示 b 的元素的個數(shù)， 大圓表示 c 的元素的個數(shù)1先包含： a +b +c重疊部分

4、a i b 、b i c 、c i a 重疊了 2 次，多加了 1 次 2再排除： a +b +c -a i b -b i c -a i c重疊部分 a i b i c 重疊了 3 次，但是在進(jìn)行 a +b +c - a i b -b i c -a i c 計(jì)算時都被減掉了3再包含： a +b +c -a i b -b i c -a i c +a i b i c 在解答有關(guān)包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考1例題精講模塊一、三量重疊問題【例 1】 一棟居民樓里的住戶每戶都訂了 2 份不同的報(bào)紙。如果該居民樓的住戶只訂了甲、乙、丙三種報(bào) 紙，其中甲報(bào) 30 份，乙報(bào) 34

5、 份，丙報(bào) 40 份，那么既訂乙報(bào)又訂丙報(bào)的有_戶?！究键c(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4 年級，1 試【解析】 總共有（303440） 252 戶居民，訂丙和乙的有 523022 戶?！敬鸢浮?22 戶【例 2】 某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有 34 人，手中有黃旗的共 有 26 人，手中有藍(lán)旗的共有 18 人其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有 6 人而手中只有紅、黃 兩種小旗的有 9 人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有 4 人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有 3 人，那么 這個班共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型

6、】解答abc【解析】 如圖，用 a 圓表示手中有紅旗的， b 圓表示手中有黃旗的， c 圓表示手中有藍(lán)旗的如果用手中有 紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去， 手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：（34+26 +18）-（9+4+3）- 6 2 =50 (人)【答案】50人【鞏固】 某班有 42 人，其中 26 人愛打籃球，17 人愛打排球，19 人愛踢足球，9 人既愛打籃球又愛踢足球，4 人既愛打排球又愛踢足球，沒有一個人三種球都愛好，也沒有一個人三種球都不愛好問：既愛打 籃球又愛打排球的有幾人？【考點(diǎn)】三量重疊問題

7、 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于全班 42 人沒有一個人三種球都不愛好，所以全班至少愛好一種球的有 42 人根據(jù)包含排除法， 42 =（26+17 +19）-（9+4+既愛打籃球又愛打排球的人數(shù) ）+0 ，得到既愛打籃球又愛打排球的人數(shù) 為： 49 -42 =7 (人)【答案】 7 人【例 3】 四年級一班有 46 名學(xué)生參加 3 項(xiàng)課外活動其中有 24 人參加了數(shù)學(xué)小組，20 人參加了語文小組， 參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的 35 倍，又是 3 項(xiàng)活動都參加人數(shù) 的 7 倍，既參加文藝小組也參加語文小組的人數(shù)相當(dāng)于 3 項(xiàng)都參加的人數(shù)的 2 倍，既參加數(shù)

8、學(xué)小 組又參加語文小組的有 10 人求參加文藝小組的人數(shù)【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合 a，參加語文小組的學(xué)生組成集合 b，參加文藝小組的學(xué)生組成集合 g三者都參加的學(xué)生有 z 人有 a u b u c =46，a =24，b =20，c =3.5， a i c =7 a i b i c，b i c=2a i b i c， a i b=10因?yàn)?a u b u c = a + b +c - a i b - a i c -b i c + a i b i c ， 所以 46=24+20+7x-10-2x -2x+x，解得 x=3，即三者的都

9、參加的有 3 人那么參加文藝小組的有 3 7=21 人【答案】 21 人2【鞏固】 五年級三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有 25 人參加自然興趣小組，35 人參加美術(shù)興趣小組，27 人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加美術(shù)興趣小組的有 12 人， 參加自然同時又參加美術(shù)興趣小組的有 8 人，參加自然同時又參加語文興趣小組的有 9 人， 語文、美術(shù)、自然 3 科興趣小組都參加的有 4 人求這個班的學(xué)生人數(shù)【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型】解答a自然b美術(shù)c語文【解析】 設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合 a，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語文興趣小組的人 組成集合

10、 ca=25， b=35， c =27， b i c =12， a i b=8， a i c =9，a i b i c =4.a u b u c =a + b + c - a i b - a i c - b i c + a i b i c.所以，這個班中至少參加一項(xiàng)活動的人有 25+35+27-12-8-9+4=62，而這個班每人至少參加一項(xiàng)即 這個班有 62 人【答案】 62 人【鞏固】 光明小學(xué)組織棋類比賽，分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有 42 人， 參加中國象棋比賽的有 55 人，參加國際象棋比賽的有33 人，同時參加了圍棋和中國象棋比賽 的有 18 人，同時參

11、加了圍棋和國際象棋比賽的有 10 人，同時參加了中國象棋和國際象棋比賽 的有 9 人，其中三種棋賽都參加的有 5 人，問參加棋類比賽的共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 根據(jù)包含排除法，先把參加圍棋比賽的 42 人，參加中國象棋比賽的 55 人與參加國際象棋比賽的 33 人 加起來，共是 42 +55 +33 =130 人把重復(fù)加一遍同時參加圍棋和中國象棋的 18 人，同時參加圍棋 和國際象棋的 10 人與同時參加中國象棋和國際象棋的 9 人減去，但是，同時參加了三種棋賽的 5 人 被加了 3 次，又被減了 3 次，其實(shí)并未計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，實(shí)際上參加棋類

12、比賽的共有： 130 -（18+10 +9）+5=98 (人)或者根據(jù)學(xué)過的公式： a u b u c =a +b +c -a i b -b i c -a i c +a i b i c ，參加棋類比賽的總 人數(shù)為： 42 +55 +33 -18 -10 -9 +5 =98 (人)【答案】 98 人【例 4】 新年聯(lián)歡會上，共有 90 人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍 于只參加合唱的人數(shù)；同時參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少 7 人；只參加演奏的比同時參 加演奏、跳舞但沒有參加合唱的人多 4 人；50 人沒有參加演奏；10 人同時參加了跳舞和合唱但沒 有參加演奏；

13、40 人參加了合唱；那么，同時參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的有_人【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析】 設(shè)只參加合唱的有 x 人，那么只參加跳舞的人數(shù)為 3x ，由 50 人沒有參加演奏、 10 人同時參加了跳 舞和合唱但沒有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為 50 -10 =40 人，即 x +3 x =40 ，得 x =10 ，所以只參加合唱的有10 人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30 人，又由“同時參加 三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少 7 人”，得到同時參加三項(xiàng)的有 3 人，所以參加了合唱的人中“同時 參加了演奏、合唱但沒有參加跳舞的”

14、有： 40 -10 -10 -3 =17 人【答案】17人【鞏固】 六年級 100 名同學(xué)，每人至少愛好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)其中，愛好體育的 55 人，愛 好文藝的 56 人，愛好科學(xué)的 51 人，三項(xiàng)都愛好的 15 人，只愛好體育和科學(xué)的 4 人，只愛好體育 和文藝的 17 人問：有多少人只愛好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛好體育的有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 只是 a 類和 b 類的元素個數(shù)，有別于容斥原理中的既是 a 類又是 b 類的元數(shù)個數(shù)依題意，畫圖 如 下 設(shè) 只 愛 好 科 學(xué) 和 文 藝 兩 項(xiàng) 的 有 x 人 由 容 斥 原 理 ， 列

15、方 程 得 55 +56 +51 -（17+15）-（4+15）-（x+15）+15=1003即55 +56 +51 -17 -4 -x -15 2 =100111 -x =100x =11 只愛好體育的有： 55 -17 -15 -4 =19 (人)【答案】11人只愛好科學(xué)和文藝，19人只愛好體育?！纠?5】 在某個風(fēng)和日麗的日子，10 個同學(xué)相約去野餐，每個人都帶了吃的，其中6 個人帶了漢堡， 6 個人 帶了雞腿， 4 個人帶了芝士蛋糕，有 3 個人既帶了漢堡又帶了雞腿， 1 個人既帶了雞腿又帶了芝士 蛋糕 2 個人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問：1 三種都帶了的有幾人？2 只帶了一種的有幾個

16、？【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4 星 【題型】解答abc【解析】 如圖，用 a 圓表示帶漢堡的人， b 圓表示帶雞腿的人， c 圓表示帶芝士蛋糕的人1 根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù) =（帶漢堡的人數(shù) +帶雞腿的人數(shù) +帶芝士蛋糕的人數(shù)）-（帶漢堡、雞 腿的人數(shù) +帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù) +帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù) ）+三種都帶了的人數(shù)，即 10 -（6+6+4）-（3+2+1）+三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：10 -10 =0 (人)2 求只帶一種的人數(shù)，只需從 10 人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10 -（3+2+1）=4(人)只帶了一種 的有 4 人【答案】（1）0 人，（2） 4 人【鞏

17、固】 盛夏的一天，有10 個同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂、雪碧、橙汁的 各有 5 人；可樂、雪碧都要的有 3 人；可樂、橙汁都要的有 2 人；雪碧、橙汁都要的有 2 人；三樣都 要的只有 1 人，證明其中一定有1 人這三種飲料都沒有要【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 略【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù) =( 要可樂的人數(shù) +要雪碧的人數(shù) +要橙汁的人 數(shù)) -(要可樂、雪碧的人數(shù) +要可樂、橙汁的人數(shù) +要雪碧、橙汁的人數(shù) ) +三種都要的人數(shù)，即至 少要了一種飲料的人數(shù)為：（5 +5 +5）-（3+2+2）+1=9(人)

18、10 -9 =1 (人)，所以其中有 1 人這三種 飲料都沒有要【例 6】 全班有 25 個學(xué)生，其中17 人會騎自行車，13 人會游泳，8 人會滑冰，這三個運(yùn)動項(xiàng)目沒有人全會， 至少會這三項(xiàng)運(yùn)動之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有 6 個人數(shù)學(xué)不及格， 那么， 數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有幾個學(xué)生？ 有幾個人既會游泳，又會滑冰？【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 有 6 個數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：25 -6 =19 (人)，即最多不會超過19 人會這三項(xiàng)運(yùn)動之一而 又因?yàn)闆]人全會這三項(xiàng)運(yùn)動，那么，最少也會有：（17 +13 +8）2=19 (人)至少會這三項(xiàng)運(yùn)動之

19、一于 是，至少會三項(xiàng)運(yùn)動之一的只能是19 人，而這 19 人又不是優(yōu)秀，說明全班 25 人中除了 19 人外，剩 下的 6 名不及格，所以沒有數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的 上面分析可知，及格的19 人中，每人都會兩項(xiàng)運(yùn)動：會騎車的一定有一部分會游泳，一部分會滑 冰；會游泳的人中若不會騎車就一定會滑冰，而會滑冰的人中若不會騎車就一定會游泳，但既會 游泳又會滑冰的人一定不會騎自行車所以，全班有19 -17 =2 (人)既會游泳又會滑冰【答案】（1）0 人，（2）2人【鞏固】 五年級一班共有 36 人，每人參加一個興趣小組，共有 a 、 b 、 c 、 d 、 e 五個小組，若參加 a 組 的有 15 人，參加

20、b 組的人數(shù)僅次于 a 組，參加 c 組、 d 組的人數(shù)相同，參加 e 組的人數(shù)最少，只 有 4 人那么，參加 b 組的有_人【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4 星 【題型】填空【解析】 參加 b ， c ， d 三組的總?cè)藬?shù)是 36 -15 -4 =17 (人)， c ， d 每組至少 5 人，當(dāng) c ， d 每組 6 人時，4b 組為 5 人，不符合題意，所以參加 b 組的有17 -5 -5 =7 (人)【答案】7人【例 7】 五一班有 28 位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語文、自然課外小組中的一個其中僅參加數(shù)學(xué)與語文 小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒有同學(xué)僅參加語文或僅參加自然小組，恰有

21、 6 個同學(xué) 參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語文小組，僅參加語文與自然小組的人數(shù)是 3 個小組全參加的人數(shù) 的 5 倍，并且知道 3 個小組全參加的人數(shù)是一個不為 0 的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語文小組的人 有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 參加 3 個小組的人數(shù)是一個不為 0 的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于 4，那么僅參加語文與自然小 組的人數(shù)則大于等于 20，而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有 6 個，這樣至少應(yīng)有 30 人，與題意 矛盾，所以參加 3 個小組的人數(shù)為 2僅參加語文與自然小組的人數(shù)為 10，于是僅參加語文與 自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加 3 個小組的人數(shù)

22、一共是 18 人，剩下的 10 人是僅參加數(shù)學(xué)與語 文以及僅參加數(shù)學(xué)的由于這兩個人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語文小組的有 5 人【答案】 5 人【例 8】 在一個自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的 人數(shù)多 3 個；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒有摘李子者多 4 人； 50 個人沒有摘草莓； 11 個人 摘了山莓和李子但沒有摘草莓；總共有 60 人摘了李子 .如果參與采摘水果的總?cè)藬?shù)是 100 ，你能回 答下列問題嗎？1 有 人摘了山莓；2 有 人同時摘了三種水果；3 有 人只摘了山莓；4 有 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；5 有 人只摘了草莓.山莓a(chǎn)

23、edgb f草莓【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】3 星 【題型】填空 【解析】 如圖，根據(jù)題意有a =2cg -c =3b -e =4a +d +c =50d =11c +d +f +g =60a +b +e =40c李子代入求解： a =26 ， b =9 ， c =13 ， d =11 ， e =5 ， f =20 ， g =16 所以有 a +d +e +g =26 +11 +5 +16 =58 (人)摘了山莓；2 有16 人同時摘了三種水果；3 有 26 人只摘了山莓；4 有 20 人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；5 有 9 人只摘了草莓.【答案】有58(人)摘了山莓；有16人同時摘了三

24、種水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而沒有摘山莓；有9人只摘了草莓.【例 9】 某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競技比賽，比賽一共只有三個項(xiàng)目，已知參加長跑、跳高、標(biāo)槍 三個項(xiàng)目的人數(shù)分別為 10、15、20 人，長跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之 一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？517體育55人 文藝56人415x科學(xué)51人【考點(diǎn)】三量重疊問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 由條件可知，參加長跑的人中有 2 人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有 3 人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo) 槍的人中有 4 人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長跑和跳高的人

25、數(shù)為 x，只參加長跑和標(biāo)槍的人數(shù)為 y， 只參加標(biāo)槍和跳高的有 z 人，三項(xiàng)都參加的有 n 人.那么有以下方程組：由 條 件 可 知 ， 參 加 長 跑 的 人 中 有 2 人 參 加 其 它 項(xiàng) 目 ， 參 加 跳 高 的 人 中 有 3 人 參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有 4 人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長跑和跳高的人數(shù)為 x，只參加 長跑和標(biāo)槍的人數(shù)為 y，只參加標(biāo)槍和跳高的有 z 人，三項(xiàng)都參加的有 n 人.那么有以下方程組：x +y +n =2 x +z +n =3 z +y +n =4將 3 條等式相加則有 2（x+y+z）+3n=9，由這個等式可以得到，n 必須是奇數(shù)，所以，n 只能是 1 或