初中幾何輔助線技巧秘籍

1、初中幾何輔助線技巧大全初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。 線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂凇?平移腰，移對(duì)角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。 上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)

2、全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。 切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。 圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。 要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。 若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難

3、。 注意點(diǎn)輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。 基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相 等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。 從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線； 利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）

4、。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地 去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以 介紹如圖 1-1,/ A0C2 BOC,如取 OE=OF 并連接 DE、DF,則有 0E3A OFADCD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例 1. 如圖 1-2, AB/CD，BE平分/ BCDCE平分/ BCD點(diǎn)E在AD上，求證：

5、BC=AB+CDo分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形， 即 利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題， 在證 明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。 但無論延長還是截取都要證明線 段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的 線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長線段 BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證 明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。 此題的證明也可以延長 BE與CD

6、的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2. 已知：如圖 1-3，AB=2AC / BAD=Z CAD, DA=DB 求證 DC丄 AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明例3. 已知：如圖1-4,在厶ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC,求證：AB-AC=CD圖1-4分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明 中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的 和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的 線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的 延長來證明呢?練習(xí)1. 已知在 ABC中，AD平分/ BAC,Z B=2/C,求證：AB

7、+BD=AC2. 已知：在厶 ABC中，/ CAB=2/ B，AE平分/ CAB交 BC于 E，AB=2AC,求證：AE=2CE3.已知：在厶ABC中，ABAC,AD為/BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CMAB-AC4.已知：D是厶ABC的/BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CDAB+AC（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明 問題。圖2-1例 1.如圖 2-1，已知 ABAD, / BACK FAC,CD=BC 求證：/ ADC+/ B=180?分析：可由C向/BAD的兩

8、邊作垂線。近而證/ ADC 與/B之和為平角。例2.如圖 2-2,在厶 ABC中，/ A=90?, AB二AC / ABD=/ CBD求證：BC=AB+AD分析：過D作DE丄BC于E,貝U AD=DE=CE貝肪勾造出 全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題， 從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3.已知如圖2-3，ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：/ BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí):CpO圖2-4D1. 如圖 2-4/ AOP=/ BOP=15? PC/OA，PD丄OA，如果 PC=4 貝U PD=()2

9、. 已知在厶 ABC中，/ C=90? AD 平分/ CAB CD=1.5,DB=2.5求 AC。3. 已知：如圖 2-5, / BACK CAD,ABAD CEL AB, AE=2 (AB+AD).求證：/ D+Z B=180?。4. 已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn),F為BC上的點(diǎn)，Z FAEZ DAE 求證：AF=AD+CF5. 已知：如圖 2-7,在 RtAABC中，Z ACB=90?,CLAB,垂足為 D, ABE平分Z CAB交CD于F,過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BHH是BC中點(diǎn)。0（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的

10、垂線， 使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形, 垂足為底邊上的中點(diǎn)， 該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質(zhì)與等腰三 角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一 邊相交）。例 1. 已知：如圖 3-1,Z BAD=Z DAC, ABAC,CL_AD 于 D,1 求證：DH= （AB-AC2例2.已知：如圖 3-2, AB=AC Z BAC=90? AD 為Z ABC的平分線，CE! BE求證：BD=2CEC分析：延長CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相

11、交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在厶ABC中，AD、AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線， 過頂點(diǎn)B作BFAD交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長分析：由AD、AE是/ BAC內(nèi)外角平分線，可得EA F .N 圖 3-3 丄AF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.已知：如圖3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC，AD=AB CM丄AD交A1D延長線于M。求證：AM= (AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作 A BD關(guān)于AD的對(duì)稱 AED,然后只需證DM=1ec另 A夕卜由求證的結(jié)果AM=3 (AB+AQ，即2AM=AB+AC

12、也可嘗試作 ACM關(guān)于CM的對(duì)稱 FCM,然后只需證DF=CF即可練習(xí)：1. 已知：在厶ABC中，AB=5, AC=3 D是BC中點(diǎn)，AE是/BAC的平分 線，且CELAE于E,連接DE,求DE=2. 已知BE BF分別是 ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線， AFLBF1于F, AEL BE于E,連接EF分別交 AB AC于M、N,求證MN=BC(四) 、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等腰 三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交, 從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。IC圖4-2B

13、例 4 如圖，ABAC, / 仁/2,求證：AB ACBD- CDb例 5 如圖，BCBA BD平分/ ABC,且 AD=CD 求證：/ A+Z C=180b如圖,AB/ CD, AE、DE分別平分Z BAD各Z ADE 求證：AD=AB+CD練習(xí)：1.已知，如圖，Z C=2ZA, AC=2BC求證： ABC是直角三角形C2.已知：如圖，AB=2AQ /仁/2, DA=DB 求證：DC丄ACC3. 已知CE AD是厶ABC的角平分線，/ B=60,求證：AC=AE+CD4. 已知：如圖在厶ABC中，/ A=90, AB=AC BD是/ABC的平分線，求證：BC=AB+ADC三由線段和差想到的輔

14、助線口訣:，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法:BC1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等 于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線 段等于長線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可 連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中， 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 1、 已知如圖

15、1-1： D、EABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交 AB AC于M、N，在厶 AMN 中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在厶 BDM 中, MB+MDBD;（2）在厶 CEN中, CN+NECE（ 3）由（1）+（ 2）+（ 3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于6,在厶ABF 和厶GFCn GDE中有：AB+AFBD+DG+GF三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FOGE+C0同上）（2）DG+GEDE 同上）（3）由（1）

16、 + （2） + （3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在 某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上， 再利用外角定 理：例如：如圖2-1 :已知DABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/ BDCN BAG分析：因?yàn)? BDC與/ BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系， 可適當(dāng)添 加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位 置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDC是厶EDC的外

17、角，/ BDC/ DEC 同理/ DECZ BAC，/-Z BDCZ BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時(shí)Z BDF是厶ABD的外角，./Z BDFZ BAD,同理，Z CDFZ CAD,/Z BDF+Z CDFZ BAD+Z CAD,即：Z BDCZ BAG注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,ABD圖3 1如:例如：如圖3-1 :已知ADABC的中線，且Z仁 Z 2,Z 3=Z 4,求證：BE+CFEF分析要證BE+CFEF可利用

18、三角形三邊關(guān)系定理 證明，須把BE CF, EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知 Z 仁Z 2,Z 3=Z 4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN, FN, EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB,連接NE, NF,貝U DN=DC 在厶DBE和厶N(yùn)DE中：DN=DB（輔助線作法）Z仁Z 2 （已知）ED=ED（公共邊）DBEANDE （SAS BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FNE（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段， 構(gòu)造全 等三角形，然后用全等三角形

19、的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖 6-1 :在 ABC中，ABAC /仁/ 2, P為AD 上任一點(diǎn)求證：AB-AOPB-PQ分析:要證：AB-AOPB-P，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)?欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN再連接PN,貝U PC=PN又在 PNB中， PB-PNvBN即：AB-ACPB-PC證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接卩汕在厶APN和厶APC中AN二AC （輔助線作法）/仁/ 2 （已知）AP=AP （公共邊） APNA APC （SAS，二

20、PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在厶BPN中，有PB-PNBN（三角形兩邊之差小于第三邊） BP-PCPM-PC三角形兩邊之差小于第三邊） AB-AOPB-PC例 1 如圖，AC平分/ BAD, CEL AB,且/ B+Z D=180,求證：AE=AD+BC例2如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分Z BAD, CEL AB于E, AD+AB=2AE求證：Z ADC+Z B=180o例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC求證：BC=AB+DCC例4如圖，已知RtAABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分線，DM丄A1B 于 M，且 AM=MB。求證：CD=2 DB。1.

21、如圖，AB/ CD, AE、DE分別平分/ BAD各/ ADE,求證：AD=AB+CDn r.2. 如圖， ABC中，/ BAC=90，AB=AC AE是過A的一條直線，且 B，C在AE的異側(cè)，BD丄AE于 D，CE!AE于 E。求證：BD=DE+CE四由中點(diǎn)想到的輔助線口訣:三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)， 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到 三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、 等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形1即如

22、圖 1 , AD是 ABC勺中線，貝U Saab=Saac=- Sabc（因?yàn)?AB與 ACD是等底同高的）例1.如圖2, A ABC中, AD是中線，延長 AD至U E,使DE=AD DF是A DCE 的中線。已知A ABC勺面積為2,求：A CD的面積。解：因?yàn)锳D是A ABC勺中線，所以Sa ac= , Sa ab= . X 2=1又因CD是A ACE 的中線，故 Sa cd=SAac=1 ,因 DF是 A CD的中線，所以 Sa cd=- Sa cd= X 1=。ZIL:.A CD的面積為 。（二八 由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD E、F分別

23、是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交 EF的延長線G、H。求證：/ BGE=/ CHE證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF, ME是A BCD勺中位線， ME 1 CD,: / MEF=/ CHE MF是A ABD勺中位線， MF , AB,：/ MFE=/ BGE/ AB=CD ME=MF,:/ MEF=/ MFE,從而/ BGE/ CHE（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知 ABC中，AB=5, AC=3,連BC上的中線 AD=2,求BC的長。解：延長 AD 至U E,使 DE=AD 貝U AE=2AD=&2=4在 AC刖 EBDK AD=ED / ADC=Z

24、 EDB CD=BD ACR EBD 二 AC=BE從而 BE=AC=3在 AB中，因 AE2+B=42+32=25=A,故/ E=90, BD=.，：. :=：=丄，故 BC=2BD=2=；。例4.如圖5,已知 ABC中, AD是/ BAC的平分線,線。求證： AB（是等腰三角形。證明：延長AD至U E, 使 DE=AD仿例3可證： BE CAD故 EB=AC / E=Z 2,又/仁/2,AD又是BC邊上的中圖5 / 仁/ E, AB=EB從而AB=AC,即 AB（是等腰三角形（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,已知梯形 ABCD中，AB/DC, AC丄BC, AD丄BD,求證：A

25、C=BD。證明：取 AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE CE貝U DE、CE分別為Rt ABD Rt ABC 斜邊AB上的中線，故 DE=CE= AB，因此/ CDEW DCE2 AB/DC,/ CDEH 1,Z DCE=/2,/ 1=/ 2,在 AD和 BC中,v DE=CE / 1 = /2, AE=BE ADIE BCE二AD=BC 從而梯形 ABCD是等腰梯形，因此 AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7, AB（是等腰直角三角形，/ BAC=90, BD平分/ ABC交AC 于點(diǎn)D, CE垂直于BD,交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE證明：延長BA, C

26、E交于點(diǎn)F,在 BE和 BE（中,v/ 仁/ 2, BE=BE / BEF=/ BEC=90, BE BEC 二 EF=EC 從而 CF=2CE又/ 1+/ F=/ 3+/ F=90,故/ 仁/3。在 AB併口 AC!中，v/ 仁/ 3, AB=AC / BAD=/ CAF=90 ABBe A ACF 二 BD=CF 二 BD=2CE注：此例中BE是等腰A BC的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可 得到全等三角形。例一：如圖 4-1: ADABC的中線，且/ 仁/2,/3= /4,求證：BE+C

27、FAEF。證明：廷長ED至M，使DM=DE,連接CM，M 入在厶BDE和厶CDM中，BD=CD（中點(diǎn)定義）:/仁/5 （對(duì)頂角相等） ED=MD（輔助線作法） BDEA CDM （SAS又 / 仁/ 2，Z 3=Z 4 （已知）/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4=180（平角的定義） / 3+Z 2=90即：/ EDF=90 / FDM=Z EDF=90在厶EDFftA MDF中ED=MD （輔助線作法）/ EDF=/ FDM （已證）DF=DF（公共邊） EDFAMDF （SAS EF=MF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在厶CMF中，CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF上題

28、也可加倍FD,證法同上。注意 當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)， 可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1： ADABC的中線，求證：AB+AC2AD分析：要證 AB+AC2AD 由圖想到：AB+BDAD,AC+CDAD所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD左邊比要證結(jié)論多 BD+CD故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長AD至E,使DE=AD,連接BE, CE AD ABC的中線（已知） BD=CD （中線定義）在厶ACD和厶EBD中BD=CD （已證）/仁/2 （對(duì)頂角相等

29、）AD=ED（輔助線作法） ACDA EBD （SAS BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）E圖5 1在 ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC2AD練習(xí)：1如圖，AB=6, AC=8, D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍2 如圖，AB=CD E 為 BC的中點(diǎn)，/ BAC=Z BCA 求證：AD=2AE3 如圖，AB=AC AD=AE M 為 BE 中點(diǎn)，/ BACK DAE=90。求證：AM丄DCAC4,已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD5.已知：如圖ADABC的中線，AE=EFBF

30、=ACF五全等三角形輔助線找全等三角形的方法:(1) 可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個(gè)可 能全等的三角形中；(2) 可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；(3) 從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；(4) 若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： 延長中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形; 引平行線構(gòu)造全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思 維模式是全等變換中的“對(duì)折” 2）遇到三角形的中線，

31、倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等 三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的 思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定 理或逆定理.4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是 全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相 等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì) 加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)， 常把某

32、點(diǎn)到原三角形各頂 點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答.（一）、倍長中線（線段）造全等1:（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5，AC=3,則中線AD的取值范圍是2:如圖， ABC中，E、F分別在AB、AC上, DE DF, D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與 EF的大小.3:如圖， ABC中，BD=DC=AC E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/BAE.中考應(yīng)用(09崇文二模)以ABC的兩邊ABAC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等 腰Rt ACE， BAD CAE 90 ,連接DE, M、N分別是BC DE的中點(diǎn)探 究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖 當(dāng)ABC為直角三角形

33、時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是?線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是;(2)將圖中的等腰Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0 BA,AD= CD, BD平分 ABC，求證:A C 1805:如圖在 ABC中，AB AC,/ 1 = Z 2, P為AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-AC PB-PCCD中考應(yīng)用 EBC周長記為Pb.求證Pb PA.（08海淀一模）如圖佐百邊形曲仞中tAD BCf點(diǎn)區(qū)是朋上一個(gè)功點(diǎn)，= BC,且 ZDC = &0d，判斷月D與BC的關(guān)蔡井證ftl你的結(jié)論-解:（三）、平移變換1.AD為厶ABC的角平分線，直線 MN丄AD于A.E為MN上一點(diǎn)， ABC周長記為 P2:如圖，在 ABC的

34、邊上取兩點(diǎn) D、E,且BD=CE求證：AB+ACAD+AE.（四）、借助角平分線造全等1:如圖，已知在厶 ABC中，/ B=60, ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) O,求證：OAEODE=OD2: (06鄭州市中考題)如圖， ABC中，AD平分/ BAQ DG丄BC且平分BC, DE丄AB于 E, DF丄 AC于 F. (1)說明 BE=CF勺理由；(2)如果 AB=a , AC=b ,求AE、BE的長.F中考應(yīng)用(06北京中考)如圖，0P是/ MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì) 以0P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解 答下列問題：(1) 如圖，在 AB

35、C中，/ ACB是直角，/ B=60, AD、CE分別是/ BAC / BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù) 量關(guān)系；(2)如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而 中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明; 理由。A(五) 、旋轉(zhuǎn)1:正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn),F為CD上的一點(diǎn),BE+DF=EF 求/ EAF的度數(shù).BCE2: D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM丄DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,（1）（2）3.如圖,BDC 1200，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連

36、接MN，則AMN的周長為C中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形 ABCD中，AB AD，BC CDAB BC，/ ABC 120，/ MBN 60，/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC （或它們的延長線）于E，F(xiàn) .當(dāng)/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如圖1），易證AE CFEF當(dāng)/ MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明;若不成立，線段 AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.（圖1）（圖2）D（圖3）（西城09年一模）已知：PA= 2 ,PB=4以AB為一邊作正方形 ABCD使 P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).

37、如圖，當(dāng)/ APB=45時(shí)，求AB及PD的長;當(dāng)/ APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)/ APB的大小.（09崇文一模）在等邊 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N,D為VABC外一點(diǎn)，且 MDN 60 , BDC 仁0 ,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關(guān)系.（I）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)Q；（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM DN時(shí)，猜想（I）問的兩 個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明

38、；（III）如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB CA的延長線上時(shí)，若 AN=x，貝U Q= （用 x、L表示）.六梯形的輔助線口訣:梯形冋題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長作出咼。如果出 現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形 問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。 常見的幾種 輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化 為三角形、平行四 邊形。b/MzME 故GFNU平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。AAjC延長兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。EB C作咼，轉(zhuǎn)化為 直角三角形和矩 形。AD bA

39、!EF中位線與腰中點(diǎn)連線。B CB C，F(xiàn)（一）、平移1、平移一腰:例1.如圖所示，在直角梯形 ABCD中，/ A= 90, AB/ DC, AD= 15, AB=16, BC= 17.求 CD 的長.解：過點(diǎn)D作DE/ BC交AB于點(diǎn)E.又AB/CD,所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以 DE= BO 17, CD= BE.在Rt DAE中，由勾股定理，得DE2-AD2,即 AE2 172- 152 = 64.所以AE= 8.所以 BE= AB AE= 16- 8= 8.即 CD= 8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的 取值范圍解：過點(diǎn)B作BM/

40、AD交CD于點(diǎn)M ,在厶 BCM 中，BM=AD=4,CM=CD- DM=CD- AB=8- 3=5,所以BC的取值范圍是：5 4BC屏 4，即 1BCCD求證：BDAC 證：作AE丄BC于E,作DF丄BC于F,則易知AE=DFD在 RtAABE和 RtA DCF中，因?yàn)?ABCD AE=DF所以由勾股定理得BECF即BFCE在 RtA BDF和 RtA CAE中由勾股定理得BDAC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形 ABCD中，AB/DC，O是BC的中點(diǎn)，/ AOD=90,證：AB+ CD=AD證：取AD的中點(diǎn)E,連接0E,則易知0E是梯形ABCD的中位

41、線，從而0E1 石（AB+ CD心AOD中，/ AOD=90，AE=DE1所以O(shè)E AD由、得AB+ CD=AD22、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延 長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, E、F分別是BD AC的中點(diǎn)，求證:(1) EF/AD；(2)EF1(BC2證：連接DF，并延長交BC于點(diǎn)G,易證 AFDA CFG則 AD=CG DF=GF由于DE=BE所以丘卩是厶BDG的中位線 1從而 EF/BG,且 EF -BG2因?yàn)?AD/BG，BG BC CG BC AD1 所以 EF/AD，EF -（BC AD）23

42、、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形ABCD中，AD/ BC, / BAD=9（0, E是DC上的中點(diǎn)，連接 AE和 BE,求/ AEB=2/ CBE解：分別延長AE與BC ,并交于F點(diǎn)E/ BAD=9且 AD / BC/ FBA=180-/ BAD=90又 AD/ BC/ DAE=/ F兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等） / AED=Z FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)） ADEA FCE （AAS AE=FE在 ABF中/ FBA=90 且 AE=FEBE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）心 FEB中 / EBF/ FEB

43、/ AEBN EBF+ / FEB=2/ CBE例16、已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB丄BC, E是CD中點(diǎn)，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系?解：AE=BE理由如下：延長AE,與BC延長線交于點(diǎn)F.v DE=CE / AEDN CEF/ DAEN F ADEA FCE AE=EFv AB丄 BC,二 BE=AE例 17、已知：梯形 ABCD中 , AD/BC, E 為 DC 中點(diǎn)，EF AB 于 F 點(diǎn)，AB= 3cm, EF=5cm 求梯形 ABCD的面積.解：如圖，過E點(diǎn)作MN / AB,分別交AD的延長線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn).v DE=EC AD / BC

44、DEMA CNE四邊形ABNM是平行四邊形v EF AB,S梯形 abcd=5abnm=ABX EF=15cm .【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）1.若等腰梯形的銳角是60,它的兩底分別為11cm, 35cm,則它的腰長為m.2.如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD / BC,Z B= 60, AD= 2, BC=)C. 21N8,則此等腰梯形的周長為（A. 19B. 20D. 22AD3. 如圖所示，AB / CD, AE丄DC, AE= 12, BD= 20, AC= 15,則梯形 ABCD的面積為（ ）A. 130 B. 140 C. 150 D. 160*4.如圖所示，在等腰梯形

45、 ABCD中，已知AD / BC,對(duì)角線AC與BD互相垂直，且 AD= 30, BC= 70,求BD的長.C5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于 60,它的兩底分別為15cm和49cm,求它的腰長.6. 如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD/ BC, AC丄BD, AD+ BC= 10, DE丄BC于E,求DE的長.C7.如圖所示，梯形 ABCD 中，AB / CD,/ D= 2/B, AD+ DC= 8,求 AB 的長.*8.如圖所示，梯形ABCD中，AD/ BC, (1)若E是AB的中點(diǎn)，且AD+ BC= CD,則DE與CE有何位置關(guān)系？ ( 2) E是/ ADC與/ BCD的角平分線的交點(diǎn)， 則DE與CE有何位置關(guān)系？A1 圓中作輔助線的常用方法：(1) 作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。(2) 若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心， 利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。(3) 若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點(diǎn)，連結(jié)此點(diǎn)與直徑 端點(diǎn)得到90度的角或直角三角形。(4) 連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。(5) 若題中有與半徑(或直徑)垂直的