小學思維數(shù)學講義：差倍問題(一)-帶詳解

1、差倍問題（一）教學目標1. 掌握差倍問題的基本解法以及相關(guān)的年齡等應用題.2. 熟練應用通過圖示來表示數(shù)量關(guān)系知識精講差倍問題就是已知大小兩數(shù)的差，以及大小兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩數(shù)的問題差倍問題的特點與和倍問題類似。解答差倍問題的關(guān)鍵是要確定兩個數(shù)量的差及相對應的倍數(shù)差，一般 情況下，在題目中不直接給出，需要經(jīng)過調(diào)整和計算才能得到。解題思路：首先要在題目中找到 1 倍量，然后畫圖確定解題方法.被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對 應，相除后得到的結(jié)果是一倍量差倍問題的基本關(guān)系式：差(倍數(shù) 1 )= 1 倍數(shù)(較小數(shù))1 倍數(shù)幾倍=幾倍數(shù)(較大數(shù))或較小數(shù)+差=較大數(shù)解決差倍問題，關(guān)鍵是學會畫線

2、段圖，這樣可以幫助我們更好的弄清各數(shù)量之間的關(guān)系年齡問題的和差問題主要利用的年齡差不變。例題精講【例 1】 兩個整數(shù)，差為 l6，一個是另一個的 5 倍這兩個數(shù)分別是（ ）和（ ）【考點】差倍問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3 年級，初賽【解析】 本題屬于和差問題。小數(shù)：16（5-1）=4；大數(shù)：45=20 或 4+16=20?！敬鸢浮啃?shù) 4 ，大數(shù) 20【例 2】 李爺爺家養(yǎng)的鴨比鵝多18 只，鴨的只數(shù)是鵝的 3 倍，你知道李爺爺家養(yǎng)的鴨和鵝各有多少只嗎？ 【考點】差倍問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 引導學生畫圖，但是一定要強調(diào)差所對應的份數(shù)，這樣我們就可以

3、求一份量（一倍量），從而解決題 目與18 只相對應，這樣就可以求出一倍數(shù)也就是鵝的只數(shù)，求出了鵝的只數(shù)，鴨的只數(shù)就容易求 出來了鴨與鵝只數(shù)的倍數(shù)差是 3 -1 =2 （倍），鵝有18 2 =9 (只)，鴨有 9 3 =27 (只).【答案】鵝 9 只，鴨 27 只【鞏固】 甲班的圖書本數(shù)比乙班多 80 本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有圖書多少本？ 【考點】差倍問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 乙班的本數(shù)： 80（3-1）=40（本）甲班的本數(shù)： 403=120（本）或 4080=120（本）?！敬鸢浮考装?120 本，乙班 40 本【鞏固】 兩個書架，甲書架存書相當

4、于乙書架存書量的 5 倍，甲書架比乙書架存書多 120 本，則乙書架存書 多少本？【考點】差倍問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 多的120 本相當于乙書架的 4 倍，則乙書架的書為： 120 4 =30 （本）1【答案】 30 本【例 3】 開學前 6 天，小明還沒做寒假數(shù)學作業(yè)，而小強已完成了 60 道題，開學時，兩人都完成了數(shù)學作業(yè). 在這 6 天中，小明做的題的數(shù)目是小強的 3 倍，他平均每天做（ ） 道題.（a） 6 (b) 9 (c) 12 (d) 15【考點】差倍問題 【難度】1 星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 2 題【解析】 由于開學前 6 填時小強比小明多

5、做了 60 道題，而開學時兩人做的題一樣多，所以這 6 填中小明比小 強多做了 60 道題，而這 6 天中小明做的題的數(shù)目是小強的 3 倍，所以這 6 天小明做了 60（3-1）3=90 道題，他平均每天做 906=15 道題。正確答案為 d。【答案】 d【例 4】 小芳在看一本圖畫書，她說：由她所說，可知這本書共有 頁。【考點】差倍問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第 5 題【解析】 方法一：看完的是沒有看完的 2.4 倍，且比沒有看完的多 42 頁，所以沒有看完的是 42 (2.4-1)=30 （頁），書的頁數(shù)為： 30 (1+2.4)=102（頁）。方法二

6、：設沒看的頁數(shù)為 x ，2.4 x = x +42， x =30，看完的頁數(shù)為 30+42=72 頁，所以全書共有 30+72=102 頁【答案】 102 頁【例 5】 箱子里裝有同樣數(shù)量的乒乓球和羽毛球每次取出 5 個乒乓球和 3 個羽毛球，取了幾次之后，乒 乓球恰好沒有了，羽毛球還有 6 個，則一共取了_次，原來有乒乓球和羽毛球各_ 個【考點】差倍問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，4 題【解析】 共取了 6 (5 -3) =3 (次)，原有乒乓球 5 3 =15 (個)，所以原有羽毛球也是 15 個【答案】取 3 次，羽毛球 15 個，乒乓球 15 個【例

7、6】 小張有 200 支鉛筆，小李有 20 支鋼筆每次小張給小李 6 支鉛筆，小李還給小張 1 支鋼筆經(jīng)過 _次這樣的交換后，小張手中鉛筆的數(shù)量是小李手中鋼筆數(shù)量的 11 倍【考點】差倍問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初試，2 題【解析】 方法一：題目中所求為小張手中鉛筆的數(shù)量和小李手中的鋼筆數(shù)量，而每一次交換，小張會減少 支鉛筆，而小李會少一支鋼筆；設經(jīng)過 x 次這樣的交換后，小張手中鉛筆的數(shù)量是小李手中鋼筆的數(shù)量的 11 倍。則 200 -6 x =11(20-x)，解之得 x .2方法二：為了使得每次都交換 6 支，那么設小李有鋼筆 206=120 支，每次交

8、換后的差不（1）如右 表，調(diào)整不變量（差）；（2）共交換了（200-1116）6=4次?！敬鸢浮?4 次【例 7】 甲、乙兩位學生原計劃每天自學時間相同若甲每天增加自學時間半小時，乙每天減少自學時間半 小時，則乙自學 6 天的時間僅相當于甲自學1 天的時間問：甲、乙原定每天自學的時間是多少？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 改變后，甲每天比乙多自學1 小時，即 60 分鐘它是乙現(xiàn)在五天自學的時間，即乙現(xiàn)在每天自學： 60 (6 -1) =12 （分），原來每天自學的時間是：12 +30 =42 （分）【答案】 42 分鐘【鞏固】 某小學原來參加室外活動的人數(shù)比參加室內(nèi)活動

9、的人數(shù)多 480 人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動的 50 人改為室 外活動，這樣室外活動的人數(shù)正好是室內(nèi)人數(shù)的 5 倍，則參加室內(nèi)、室外活動的共有多少人?【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 原來室外、室內(nèi)活動人數(shù)相差 480 人，現(xiàn)把室內(nèi)的 50 人改為室外活動，這樣室外活動人數(shù)比室內(nèi)人 數(shù)多 480 +50 2 =580 ( 人)，這時室外活動人數(shù)正好是室內(nèi)人數(shù)的 5 倍， 580 人相當于現(xiàn)在室內(nèi)活動 人數(shù)的 5 -1 =4 (倍)，這樣可先求出現(xiàn)在室內(nèi)活動人數(shù)為 580 4 =145 ，再求出室內(nèi)、外人數(shù)之和： 145 (5 +1) =870 人【答案】 870 人【例 8】 某

10、校五年級比六年級人數(shù)少154 人，若六年級學生再轉(zhuǎn)來 46 人，則六年級學生是五年級學生的 3 倍，問五、六年級各有多少人？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 五年級人數(shù)為： (154 +46) (3 -1) =100 （人），六年級的人數(shù)：100 +154 =254 （人）【答案】五年級100 人，六年級 254 人【鞏固】 小云比小雨少 20 本書，后來小云丟了 5 本書，小雨新買了 11 本書，這時小雨的書比小云的書多 2 倍.問：原來兩人各有多少本書？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 小雨的書比小云的書多 2 倍”，即小雨的書是小云的書的 3

11、倍.這個“倍數(shù)”是變化后的，所以“1 倍”數(shù) 應是小云變化后的書(見下圖).“差”是 2051136(本).，小云現(xiàn)有書：(20511)(3-1)18(本)； 小云原來有書 18523(本)，小雨原來有書 232043(本).【答案】小云 23 本，小雨 43 本【例 9】 學而思學校買來白粉筆比彩色粉筆多15 箱，白粉筆的箱數(shù)比彩色筆的 4 倍還多 3 箱，學而思學校 買來白粉筆和彩色粉筆各多少箱？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 這不是一道典型的 “差倍問題”，但我們可以通過適當?shù)淖冃?，將其作為一個典型的 “ 差倍問題” 來解 決見上圖，由于白筆比彩筆的 4 倍多 3

12、 箱，故把彩筆看做 1 倍數(shù)，(白筆 3 )就相當于彩筆的 4 倍， 即彩筆比(白筆 3 )少 3 倍，注意此時白筆比彩筆多15 -3 =12 （箱）彩色粉筆的箱數(shù)12 3 =4 (箱)， 白色粉筆的箱數(shù)： 4+15=19 (箱)【答案】白粉筆19 箱，彩色粉筆 4 箱【鞏固】 學而思學校買來白粉筆比彩色粉筆多 15 箱，白粉筆的箱數(shù)比彩色筆的 4 倍少 3 箱，學而思學校買來 白粉筆和彩色粉筆各多少箱？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 把彩筆看做 1 倍數(shù)，(白筆 3 )就相當于彩筆的 4 倍，即彩筆比(白筆 3 )少 3 倍，注意此時白筆比彩 筆多 15+3=18 箱

13、彩色粉筆的箱數(shù)18 3 =6 (箱)，白色粉筆的箱數(shù)： 6 +15 =21 (箱)【答案】白粉筆 21 箱，彩色粉筆 6 箱3【例 10】 有兩根鐵絲，第一根長 18 米，第二根長10 米，兩根鐵絲用去同樣長的一段后，第一根剩下的長 度是第二根剩下長度的 3 倍，兩根鐵絲各剩下多少米？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 引導學生畫圖，并找出本題中數(shù)與份數(shù)之間的關(guān)系以學生探索為主，教師指導為鋪用去同樣長 的一段后，兩段長度差為：18 -10 =8 （米），且第一根比第二根多：3 -1 =2 （倍），則第二根剩下： 8 2 =4 （米），第一根剩下： 4 3 =12 （米）【答

14、案】第一根剩下12 米，第二根剩下 4 米【鞏固】 有兩條紙帶，一條長 21 厘米，一條長 13 厘米，兩條紙帶都剪下同樣的一段后，長紙帶剩下的長度 是短紙帶剩下的 3 倍，問剪下的一段有多長？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 長紙帶剩下長度比短紙帶剩下的長度長： 21 -13 =8 （厘米），短紙帶剩下： 8 (3 -1) =4 （厘米）， 剪下：13 -4 =9 （厘米）【答案】 9 厘米【鞏固】 兩根繩，第一根長 64 米，第二根長52 米，剪去同樣長后，第一根是第二根的3 倍，求每根繩減去幾 米？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 剪去同樣長后

15、，第一根比第二根長(64 -52) 米，因此，第二根剩下的長為 (64 -52) (3 -1) =6 米，從 而剪去的長度為 52 -6 =46 米 【答案】 46 米【鞏固】 兩條紙帶，較長的一條為 23cm，較短的一條為 15cm. 把兩條紙帶剪下同樣長的一段后，剩下的兩 條紙帶中，要求較長的紙帶的長度不少于較短的紙帶長度的兩倍,那么剪下的長度至少是( )cm. （a）6 （b）7 （c）8 （d）9【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 2 題【解析】 b，設剪下的長度為 x 厘米則可以列出不等式：23- x 2（15- x ），整理得 x 7，所以剪下

16、的長度至 少是 7 厘米?！敬鸢浮?b【例 11】 有大小兩個桶原來水一樣多，如果從小桶倒 8 千克水到大桶，則大桶中水是小桶的 3 倍，求原來 大桶有水多少千克？【考點】和倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 現(xiàn)在大桶水比小桶水多： 8 2 =16 （千克），所以現(xiàn)在小桶中的水是： 16 (3 -1) =8 （千克），而原 來大桶中有水是： 8 2 =16 （千克）【答案】 16 千克【例 12】 兩筐千克數(shù)相同的蘋果，甲筐賣出 7 千克，乙筐賣出 19 千克后，甲筐余下的千克數(shù)是乙筐的 3 倍，兩筐蘋果原來各有多少千克？【考點】和倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 用下圖

17、表示它們的關(guān)系：設乙筐余下的千克數(shù)為 1 份，則甲筐余下的千克數(shù)為 3 份，甲、乙兩筐余下的蘋果相差 3 -1 =2 （份）原來甲、乙兩筐蘋果的千克數(shù)相同，甲筐賣出 7 千克，乙筐賣出 19 千克，說明甲筐比乙筐 少賣出 19 -7 =12 （千克），也就是乙筐余下的蘋果比甲筐少 12 千克，所以甲、乙兩筐余下的差是 12 千克，所對應的份數(shù)差是 2，從而可以求出 1 份及兩筐蘋果原來的重量，甲、乙兩筐余下的蘋果 數(shù)相差19 -7 =12 （千克），乙筐余下蘋果的數(shù)是12 （3-1）=6（千克），甲、乙兩筐原來各有蘋果的 數(shù)量 6 +19 =25 （千克）【答案】 25 千克【鞏固】 兩塊同樣

18、長的花布，第一塊賣出 31 米，第二塊賣出 19 米后，第二塊是第一塊的 4 倍，求每塊4花布原有多少米？【考點】差倍問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下 的多.所剩的布第二塊比第一塊多 31-19=12（米）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的 4 倍，那么第二 塊比第一塊多出的 12 米正好相當于所剩布的（4-1）倍，這 樣，第一塊所剩布的長度即可求出：第二塊布比第一塊布多剩多少米？31-1912（米），第一塊布剩下多少米？12（4-1）=4（米）第 一塊布原有多少米？4+31=35（米）（兩塊布原有

19、長度相等），綜合列式：（31-19）（4-1）+31=123+31=4 31=35（米）【答案】兩塊花布原有長度相等為 35 米【鞏固】 兩筐蘋果一樣重。第一筐賣出 8 千克，第二筐賣出 16 千克。第一筐中剩下的蘋果恰好是第二 筐中剩下的 3 倍。原來每筐蘋果重 千克?！究键c】和倍問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3 年級，決賽【解析】 第一筐剩下的是第二筐的 3 倍，那么就多 2 倍，得到： 16 +(16-8)(3-1)=20千克?！敬鸢浮?20 千克【例 13】 有兩根同樣長的繩子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，這時第二根長度是第一根長的 3 倍，這兩根

20、繩子原來長多少米？【考點】和倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 用下圖表示它們的關(guān)系：兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去 12 米，第二根繩子又接上 14 米后，第二根的長度 是第一根的 3 倍應該把變化后的第一根長度看作1 倍，而12 +14 =26 （米），正好相當于第一根繩 子剩下的長度的 2 倍所以，當從第一根截去 12 米后剩下的長度可以求出來了，那么第一根、第二 根原有長度也就可以求出來了所以，第一根截去 12 米剩下的長度：（12 +14）（3-1）=13（米）兩 根繩子原來的長度：13 +12 =25 （米）【答案】 25 米【鞏固】 甲、乙兩桶油重量相等，甲

21、桶取走 16 千克油，乙桶加入 14 千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重 量的 4 倍甲桶原來有油多少千克？【考點】差倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 后來乙比甲多14 +16 =30 千克油，所以這時甲桶油的重量是：30 (4 -1) =10 (千克)，甲桶原來有油 10 +16 =26 (千克) 【答案】 26 千克【鞏固】 三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來，三（1）班又買來新書 74 本，三（2）班從本 班原書中拿出 96 本送給一年級小同學，這時，三（1）班圖書是三（2）班的 3 倍，求兩班原 有圖書各多少本？【考點】差倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析

22、】 兩個班原有圖書一樣多.后來三（1）班又買新書 74 本，即增加了 74 本；三（2）班從本班原有圖書 中取出 96 本送給一年級同學，則圖書減少了 96 本.結(jié)果是一個班增加，另一個班減少，這樣兩個班 圖書就相差 96+74170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了 170 本圖書.又知三（1）班現(xiàn)有圖 書是三（2）班圖書的 3 倍，可見這 170 本圖書就相當于三（2）班所剩圖書的 3-1=2 倍，三（2）班 所剩圖書本數(shù)就可以求出來了，隨之原有圖書本數(shù)也就求出來了（見下圖）：5后來三（1）班比三（2）班圖書多多少本？7496=170（本）三（2）班剩下的圖書是多少本？170（3-1

23、）=85（本）三（2）班原有圖書多少本？8596=181（本）（兩個班原有圖書一樣多）綜合算式：（7496）（3-1）961702+968596=181（本）【答案】兩個班原有圖書一樣多為 181 本【例 14】 大桶里有油 60 千克，小桶里有油 30 千克將兩個桶的油賣出同樣多以后，所剩下的油中，大桶 是小桶的 4 倍問兩個桶各剩油多少千克？【考點】和倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 用下圖表示它們的關(guān)系：賣出同樣多的油，可知兩個桶里所有油的差總保持不變，因此這是一個差倍問題小桶所剩的油為 倍數(shù)，大桶剩油是小桶剩油的 4 倍，所以大桶剩油比小桶剩油多 4 -1 =3 （倍）而大

24、桶比小桶多 的油總保持不變，是 60 -30 =30 （千克）再利用差倍問題的公式就可解決小桶剩下的油是： 30 3 =10 （千克），大桶剩下的油是：10 4 =40 （千克）【答案】小桶 10 千克，大桶 40 千克【鞏固】 食堂里有 94 千克面粉，138 千克大米，每天用掉面粉和大米各 9 千克，幾天后剩下的大米是面粉的 3 倍？【考點】差倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 因 每天用掉的面粉和大米數(shù)量相等，不論經(jīng)過多少天，面粉和大米的數(shù)量差都不變，仍然是： 138-94=44（千克）。我們把幾天后剩下的面粉重量看作 1 份，大米重量也就是 3 份，則幾天后剩下 面粉：44（

25、3-1）=22（千克）。用掉的面粉總量除以每天用面粉數(shù)量，可以得出所求的天數(shù)：（94-22） 9=8（天）?！敬鸢浮?8 天【鞏固】 實驗小學一校區(qū)人數(shù)比實驗小學二校區(qū)人數(shù)少 540 人，因為第三校區(qū)建成，從兩個校區(qū)各調(diào)走 200 人，這時實驗小學二校區(qū)人數(shù)恰好是實驗小學一校區(qū)人數(shù)的 4 倍，那么實驗小學一校區(qū)和實驗小學 二校區(qū)原來各有多少人？【考點】差倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 兩校區(qū)各調(diào)走 200 人之后還是相差 540 人，對應的倍數(shù)是：4 -1 =3 倍，實驗小學一校區(qū)調(diào)走 200 人 后剩下的人數(shù)是：540 (4 -1) =180 (人)，實驗小學一校區(qū)原有：180

26、 +200 =380 (人)，實驗小學二校 區(qū)為： 380 +540 =920 (人).【答案】實驗小學一校區(qū) 380 人，實驗小學二校區(qū) 920 人。【例 15】 有兩盤蘋果，如果從第一盤中拿 2 個放到第二個盤里，那么兩盤的蘋果數(shù)相同；如果從第二個 盤中拿 2 個放到第一盤里，那么第一盤的蘋果數(shù)是第二盤的 2 倍第一盤有蘋果多少個?【考點】差倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 原 來第一盤比第二盤多： 2 +2 =4 ( 個 ) ，從第二盤拿 2 個到第一盤里，第一盤就比第二盤多： 4 +(2 +2) =8 ( 個 ) ，第二盤拿走 2 個后剩下的蘋果數(shù)為： 8 (2 -1) = 8( 個 ) ，第一盤原有蘋果： 8 2 -2 =14 (個) 【答案】 14 個【鞏固】 小青和小紅每人都有一些水彩筆，如果小青給小紅 1 支，兩人就一樣多，如果小紅給小青 1 支，小 青的水彩筆就是小紅的 2 倍，那么小青和小紅各有多少支水彩筆？6【考點】差倍問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 “小青給小紅 1 支，兩人就一樣多”說明小青原來比小紅多1 +1 =2 (支)，“如果小紅給小青 1 支，小青 的水彩筆就是小紅的 2 倍”則小紅給小青 1 支后，小青就比小紅多 2